力学课程多媒体教学改革课题组材料力学多媒体教学课件南昌航空工业学院工程力学第三章,扭转一,扭转的概念二,圆轴扭转的强度问题三,圆轴扭转的刚度问题四,提高圆轴扭转强度和刚度的措施五,扭转静不定问题简介六,矩形截面杆扭转问题简介
§ 3-1 扭转的概念受力特点,
杆件所受到的力偶都作用在垂直于杆轴的平面内。
变形特点,
杆件的各个横截面绕杆轴发生相对转动。
§ 3-2 圆轴扭转的强度问题
1,外力分析外力形式：
功率与扭转外力偶矩的换算关系,
受到扭转外力偶的作用。
(2) 若转速 n的单位为 rpm (转 /分）
)(nP5 5 09M 0 mN
(P — kW)
)(nP0 2 47M 0 mN
(P — 马力 )
功率与扭转外力偶矩的换算关系,
(1) 若转速 n的单位为 rps (转 /秒）
)(nP1 5 9,2M 0 mN
(P — kW)
)(nP1 1 7,1M 0 mN
(P — 马力,PS)
2,内力分析（确定危险横截面）
(1) 横截面上内力形式：
扭矩 T— 作用面垂直于轴线的内力偶取左段研究
ΣMx=0:
T-MA+MC=0
得：
T=MA-MC
(2) 扭矩符号的规定：
采用右手法则，将扭矩 T用矢量表示，当矢量方向与截面外法线方向一致时为正，反之为负。
(3) 扭矩图例 1、传动轴如图所示，转速 n＝ 300rpm,主动轮输入功率 PA=500kW,从动轮功率分别为 PB＝ 150kW，
PC＝ 150kW,PD＝ 200kW，试作轴的扭矩图。
解：
mkN9.153005009550nP9550M AA
MB＝ MC＝ 4.78kN.m MD＝ 6.37kN.m
ΣMx=0:
T1+MB=0
得：
T1 =-MB
=-4.78 kN.m
类似可求出：
T2 =-9.56 kN.m
T3 = 6.37 kN.m
变形协调方程
圆轴扭转时横截面上的切应力刚性转动，半径保持为直线。
平面假设,圆轴受扭后，横截面保持为平面，并发生变形协调方程
圆轴扭转时横截面上的切应力变形协调方程
(?)=? d?dx
圆轴扭转时横截面上的切应力物性关系与应力分布
剪切胡克定律
＝ G?
圆轴扭转时横截面上的切应力物性关系与应力分布
＝ G? ＝ G? d?dx
圆轴扭转时横截面上的切应力静力学方程
A
(?)dA=Mx
圆轴扭转时横截面上的切应力切应力公式
d?
dx ＝
Mx
GIp Ip=?A?
2 dA
GIp— 扭转刚度
Ip — 截面的极惯性矩
圆轴扭转时横截面上的切应力切应力公式
(?)＝ Mx?I
p
圆轴扭转时横截面上的切应力最大切应力圆轴扭转时横截面上的最大切应力当? ＝? max 时,?＝? max
max=
Mx
Wp Wp=? max
Ip
Wp? 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的切应力截面的极惯性矩与 扭转截面系数
Ip＝?d
4
32 Wp=
d 3
16
Ip＝?D
4
32 ( 1-?
4 ) Wp=?D
3
16 ( 1-? 4 )
=d / D
对于实心圆截面对于圆环截面
圆轴扭转时横截面上的切应力
3,横截面上应力分析应力形式,剪应力 τ (其方向垂直于所在半径 )
应力大小,
p
ρ I
ρTτ
应力分布,沿半径方向按线性规律分布其中,ρ 是该点到圆心的距离；
为极惯性矩。
4,强度计算横截面上最大应力：
所有横截面上最大应力：
PP
m a x W
T
I
rTτ
τ
W
Tτ
m a xP
m a x
强度条件：
m a xP
m a x W
Tτ
[τ ]=(0.5～ 0.6)[σ ]，塑性材料
[τ ]=(0.8～ 1.0)[σ ]，脆性材料
WP=IP/r 称为抗扭截面模量极惯性矩 IP与抗扭截面模量 WP的常用值：
(1)实心圆截面：
32
dπI 4
P
16
dπW 3
P
(2)空心圆截面：
)α(132DπI 4
4
P?
)α(1
16
DπW 43
P?
其中，
D
dα? 为内外径之比。
D
d
例 2（同例 1）实心等截面直轴,d=110mm，
(1) 试求截面 Ⅱ 上距轴线 40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知 [τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解,①内力分析由扭矩图得知 T2=9.56kN.m
危险横截面在 AC段，
Tmax=9.56kN.m
② 应力计算
M P a6.26
32/101 1 0π
10409 5 6 0
I
ρTτ
124
3
p
2
ρ
③ 强度计算
M P a6.3616/101 1 0π 9 5 6 0WTτ 93
p
ma x
ma x
＜ [τ]
平面假设,圆轴受扭后，
横截面保持为平面，并发生刚性转动，半径保持为直线。
剪应力公式
p
ρ I
ρTτ
的推导：
1)变形协调关系
dx
d)(
3)静力学关系
A
ρ dAρτT
2)物理关系,τ =Gγ
G
|ó
|?
O
这表明，横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即 剪应力沿截面的半径呈线性分布 。
由上述两方程可得：
dx
dG)(,.,①
将 ① 式代入上式，可得：
PGI
T
dx
d,.,②
将式 ② 代入式 ①,即得所求结论例 3（同例 2）若 AD轮互换位置，试校核轴的强度。
解,互调 AD轮位置后，扭矩图如图所示，
Tmax=15.9 kN.m
]τ[M P a6 0,8WTτ
P
m a x
m a x
∴ 强度不符合要求。
)1(16 4
3
DW P
例 4（同例 2）若 BD轴改用内外径之比为 9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径
d与 D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。
解,M P a6.36
m a x
mkNT 56.9m a x
PW
T m a x
m a x
由 得
mmTD 157)1( 163
m a x
4
m a x?
d=0.9D=141mm
235.04/ 4/)( 2
1
22
d dDAAVV
实空实空
§ 3-3 圆轴扭转的刚度问题
1,变形计算
PGI
T
dx
d 或 dx
GI
Td
P
PGI
T
dx
d 或 dx
GI
Td
P
由右图可知,表示相距为 dx的两?d
个横截面之间的相对转角。
表示的则是单位长度内两个横截面的相对扭转
dx
d?
变形，我们称之为 单位长度扭转角 。
距离为 L的两个横截面之间的相对转角则为：
dxGITL0
P
1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
2） 若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
PGI
T L (单位,rad)
n
1i Pii
ii
IG
LT? (单位,rad)
2,刚度计算
][
m a xm a x
m a x?
PGI
T
dx
d (rad/m)
][180
m a x
m a x
PGI
T (° /m)或例 5（同例 2） d=110mm，若各轮之间距离均为
l=2m,G=80GPa,[ ]=0.5° /m,(1)试校核轴的刚度； (2)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。
θ
解,①刚度计算
Tmax=9560N.m
][48.0
π
1 8 0
GI
T
P
m a x
m a x
θ
所以刚度符合要求。
② 变形计算
4 7 7.01 8 0
P
BCBC
BC
IG
lT＝
954.0180
P
CACA
CA
IG
lT＝
635.0180
P
ADAD
AD
IG
lT＝
计算变形时
，
扭矩T
应取代数值
。
轴两端截面之间的相对扭转角为：
796.0ADCABCBD?＝＋＋＝
§ 3-4 提高圆轴扭转强度和刚度的措施
m a x
P m a x
T
W
[ ]max
P max
T
[ ]
GI
为了使 与 下降，有两条途径。
max?max
① 使 Tmax降低。 (通过调整主动轮的位置 )
② 提高 WP和 IP。
(b)采用空心轴。
(a)加大直径； 若 d→2d,则 WP→8W P，
IP→16I P。
§ 3-5 扭转静不定问题简介解：取 AB为研究对象
1) 静力平衡方程
ΣMx=0:
MA+MB-M0=0 ①
2) 变形协调方程
CBCA ＝
②
-
+
M A
M BM n
例 6,长为 L的等截面圆轴 AB,两端固定；外力偶 M0作用于 C处使轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度 GIP,试求轴在 C截面处的扭转角。
C
3) 物理关系方程
P
B
CB
P
A
CA
GI
bM
GI
aM
＝
＝
③
联解方程 ② 与 ③，得补充方程：
MA a=MB b ④
联解方程 ① 与 ④,得：
0Ml
aM
B＝0Ml
bM
A＝
l
ab
GI
M
P
CA
0＝?
§ 3-6 矩形截面杆扭转问题简介
☆ 矩形截面杆扭转时，平面假设不成立。
a) 自由扭转：横截面上无正应力。
b) 约束扭转：横截面上有正应力，但很小。
自由扭转时，主要结果如下：
(1) 截面周边各点处剪应力方向与周边相切，
角点处剪应力为零。
(2) 剪应力在截面上非线性分布。
(3) 最大剪应力发生在矩形长边中点处。
2m a x cb
M n
Gcb
M n
3
式中 Mn为截面上扭矩,b为截面长边的长度，
c为短边的长度,α 和 β 是与比值 b/c有关的系数，可查表得到。
当 b/c>10 时，
3
1
例题 7,两根长度相等，材料相同，横截面积相等的等截面杆；一根杆的横截面为矩形，
矩形的长短边之比为 b/c=1.5，另一根杆的横截面为圆形；若两杆截面上的扭矩相等，试求两杆截面上的最大剪应力之比和单位扭角之比。
解：由两杆横截面积相等，可求出圆截面直径
ccd )5.1(
4
2? cd 382.1
当 b/c=1.5时，查表得,α =0.231
β =0.196
矩形截面杆 横截面上的最大剪应力为：
圆形截面杆 横截面上的最大剪应力为：
321m a x 892 c
M.
bc
M)( nn
32m a x 93.1 c
M
W
M)( n
n
n
497.1
2m a x
1m a x
)(
)(
1）求最大剪应力之比
cd
d
W n
382.1
16
3
2）求单位长度扭转角之比圆形截面杆 单位长度扭转角 为：
矩形截面杆 单位长度扭转角 为：
Gc
M
Gbc
M nn
431 40.3
Gc
M
GI
M n
P
n
42 79.2
1,2 1 9
2
1
cd
d
I P
382.1
32
4
返回总目录作业：
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§ 3-1 扭转的概念受力特点,
杆件所受到的力偶都作用在垂直于杆轴的平面内。
变形特点,
杆件的各个横截面绕杆轴发生相对转动。
§ 3-2 圆轴扭转的强度问题
1,外力分析外力形式：
功率与扭转外力偶矩的换算关系,
受到扭转外力偶的作用。
(2) 若转速 n的单位为 rpm (转 /分）
)(nP5 5 09M 0 mN
(P — kW)
)(nP0 2 47M 0 mN
(P — 马力 )
功率与扭转外力偶矩的换算关系,
(1) 若转速 n的单位为 rps (转 /秒）
)(nP1 5 9,2M 0 mN
(P — kW)
)(nP1 1 7,1M 0 mN
(P — 马力,PS)
2,内力分析（确定危险横截面）
(1) 横截面上内力形式：
扭矩 T— 作用面垂直于轴线的内力偶取左段研究
ΣMx=0:
T-MA+MC=0
得：
T=MA-MC
(2) 扭矩符号的规定：
采用右手法则，将扭矩 T用矢量表示，当矢量方向与截面外法线方向一致时为正，反之为负。
(3) 扭矩图例 1、传动轴如图所示，转速 n＝ 300rpm,主动轮输入功率 PA=500kW,从动轮功率分别为 PB＝ 150kW，
PC＝ 150kW,PD＝ 200kW，试作轴的扭矩图。
解：
mkN9.153005009550nP9550M AA
MB＝ MC＝ 4.78kN.m MD＝ 6.37kN.m
ΣMx=0:
T1+MB=0
得：
T1 =-MB
=-4.78 kN.m
类似可求出：
T2 =-9.56 kN.m
T3 = 6.37 kN.m
变形协调方程
圆轴扭转时横截面上的切应力刚性转动，半径保持为直线。
平面假设,圆轴受扭后，横截面保持为平面，并发生变形协调方程
圆轴扭转时横截面上的切应力变形协调方程
(?)=? d?dx
圆轴扭转时横截面上的切应力物性关系与应力分布
剪切胡克定律
＝ G?
圆轴扭转时横截面上的切应力物性关系与应力分布
＝ G? ＝ G? d?dx
圆轴扭转时横截面上的切应力静力学方程
A
(?)dA=Mx
圆轴扭转时横截面上的切应力切应力公式
d?
dx ＝
Mx
GIp Ip=?A?
2 dA
GIp— 扭转刚度
Ip — 截面的极惯性矩
圆轴扭转时横截面上的切应力切应力公式
(?)＝ Mx?I
p
圆轴扭转时横截面上的切应力最大切应力圆轴扭转时横截面上的最大切应力当? ＝? max 时,?＝? max
max=
Mx
Wp Wp=? max
Ip
Wp? 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的切应力截面的极惯性矩与 扭转截面系数
Ip＝?d
4
32 Wp=
d 3
16
Ip＝?D
4
32 ( 1-?
4 ) Wp=?D
3
16 ( 1-? 4 )
=d / D
对于实心圆截面对于圆环截面
圆轴扭转时横截面上的切应力
3,横截面上应力分析应力形式,剪应力 τ (其方向垂直于所在半径 )
应力大小,
p
ρ I
ρTτ
应力分布,沿半径方向按线性规律分布其中,ρ 是该点到圆心的距离；
为极惯性矩。
4,强度计算横截面上最大应力：
所有横截面上最大应力：
PP
m a x W
T
I
rTτ
τ
W
Tτ
m a xP
m a x
强度条件：
m a xP
m a x W
Tτ
[τ ]=(0.5～ 0.6)[σ ]，塑性材料
[τ ]=(0.8～ 1.0)[σ ]，脆性材料
WP=IP/r 称为抗扭截面模量极惯性矩 IP与抗扭截面模量 WP的常用值：
(1)实心圆截面：
32
dπI 4
P
16
dπW 3
P
(2)空心圆截面：
)α(132DπI 4
4
P?
)α(1
16
DπW 43
P?
其中，
D
dα? 为内外径之比。
D
d
例 2（同例 1）实心等截面直轴,d=110mm，
(1) 试求截面 Ⅱ 上距轴线 40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知 [τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解,①内力分析由扭矩图得知 T2=9.56kN.m
危险横截面在 AC段，
Tmax=9.56kN.m
② 应力计算
M P a6.26
32/101 1 0π
10409 5 6 0
I
ρTτ
124
3
p
2
ρ
③ 强度计算
M P a6.3616/101 1 0π 9 5 6 0WTτ 93
p
ma x
ma x
＜ [τ]
平面假设,圆轴受扭后，
横截面保持为平面，并发生刚性转动，半径保持为直线。
剪应力公式
p
ρ I
ρTτ
的推导：
1)变形协调关系
dx
d)(
3)静力学关系
A
ρ dAρτT
2)物理关系,τ =Gγ
G
|ó
|?
O
这表明，横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即 剪应力沿截面的半径呈线性分布 。
由上述两方程可得：
dx
dG)(,.,①
将 ① 式代入上式，可得：
PGI
T
dx
d,.,②
将式 ② 代入式 ①,即得所求结论例 3（同例 2）若 AD轮互换位置，试校核轴的强度。
解,互调 AD轮位置后，扭矩图如图所示，
Tmax=15.9 kN.m
]τ[M P a6 0,8WTτ
P
m a x
m a x
∴ 强度不符合要求。
)1(16 4
3
DW P
例 4（同例 2）若 BD轴改用内外径之比为 9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径
d与 D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。
解,M P a6.36
m a x
mkNT 56.9m a x
PW
T m a x
m a x
由 得
mmTD 157)1( 163
m a x
4
m a x?
d=0.9D=141mm
235.04/ 4/)( 2
1
22
d dDAAVV
实空实空
§ 3-3 圆轴扭转的刚度问题
1,变形计算
PGI
T
dx
d 或 dx
GI
Td
P
PGI
T
dx
d 或 dx
GI
Td
P
由右图可知,表示相距为 dx的两?d
个横截面之间的相对转角。
表示的则是单位长度内两个横截面的相对扭转
dx
d?
变形，我们称之为 单位长度扭转角 。
距离为 L的两个横截面之间的相对转角则为：
dxGITL0
P
1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
2） 若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
PGI
T L (单位,rad)
n
1i Pii
ii
IG
LT? (单位,rad)
2,刚度计算
][
m a xm a x
m a x?
PGI
T
dx
d (rad/m)
][180
m a x
m a x
PGI
T (° /m)或例 5（同例 2） d=110mm，若各轮之间距离均为
l=2m,G=80GPa,[ ]=0.5° /m,(1)试校核轴的刚度； (2)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。
θ
解,①刚度计算
Tmax=9560N.m
][48.0
π
1 8 0
GI
T
P
m a x
m a x
θ
所以刚度符合要求。
② 变形计算
4 7 7.01 8 0
P
BCBC
BC
IG
lT＝
954.0180
P
CACA
CA
IG
lT＝
635.0180
P
ADAD
AD
IG
lT＝
计算变形时
，
扭矩T
应取代数值
。
轴两端截面之间的相对扭转角为：
796.0ADCABCBD?＝＋＋＝
§ 3-4 提高圆轴扭转强度和刚度的措施
m a x
P m a x
T
W
[ ]max
P max
T
[ ]
GI
为了使 与 下降，有两条途径。
max?max
① 使 Tmax降低。 (通过调整主动轮的位置 )
② 提高 WP和 IP。
(b)采用空心轴。
(a)加大直径； 若 d→2d,则 WP→8W P，
IP→16I P。
§ 3-5 扭转静不定问题简介解：取 AB为研究对象
1) 静力平衡方程
ΣMx=0:
MA+MB-M0=0 ①
2) 变形协调方程
CBCA ＝
②
-
+
M A
M BM n
例 6,长为 L的等截面圆轴 AB,两端固定；外力偶 M0作用于 C处使轴发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度 GIP,试求轴在 C截面处的扭转角。
C
3) 物理关系方程
P
B
CB
P
A
CA
GI
bM
GI
aM
＝
＝
③
联解方程 ② 与 ③，得补充方程：
MA a=MB b ④
联解方程 ① 与 ④,得：
0Ml
aM
B＝0Ml
bM
A＝
l
ab
GI
M
P
CA
0＝?
§ 3-6 矩形截面杆扭转问题简介
☆ 矩形截面杆扭转时，平面假设不成立。
a) 自由扭转：横截面上无正应力。
b) 约束扭转：横截面上有正应力，但很小。
自由扭转时，主要结果如下：
(1) 截面周边各点处剪应力方向与周边相切，
角点处剪应力为零。
(2) 剪应力在截面上非线性分布。
(3) 最大剪应力发生在矩形长边中点处。
2m a x cb
M n
Gcb
M n
3
式中 Mn为截面上扭矩,b为截面长边的长度，
c为短边的长度,α 和 β 是与比值 b/c有关的系数，可查表得到。
当 b/c>10 时，
3
1
例题 7,两根长度相等，材料相同，横截面积相等的等截面杆；一根杆的横截面为矩形，
矩形的长短边之比为 b/c=1.5，另一根杆的横截面为圆形；若两杆截面上的扭矩相等，试求两杆截面上的最大剪应力之比和单位扭角之比。
解：由两杆横截面积相等，可求出圆截面直径
ccd )5.1(
4
2? cd 382.1
当 b/c=1.5时，查表得,α =0.231
β =0.196
矩形截面杆 横截面上的最大剪应力为：
圆形截面杆 横截面上的最大剪应力为：
321m a x 892 c
M.
bc
M)( nn
32m a x 93.1 c
M
W
M)( n
n
n
497.1
2m a x
1m a x
)(
)(
1）求最大剪应力之比
cd
d
W n
382.1
16
3
2）求单位长度扭转角之比圆形截面杆 单位长度扭转角 为：
矩形截面杆 单位长度扭转角 为：
Gc
M
Gbc
M nn
431 40.3
Gc
M
GI
M n
P
n
42 79.2
1,2 1 9
2
1
cd
d
I P
382.1
32
4
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