? 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
第八课期权定价模型
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
期权定价中的难点
债券和股票的估价：贴现现金流
期权的估价
- DCF 不适用
- 给定到期日标的资产价格的分布，可以很容易地计算期权在到期日的收益
- 难于估计折现率
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
二项式期权定价模型
要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动
简单但非常有力的一个模型是二项式模型
- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值
- 当时间间隔足够短，这是很好的近似
- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理
- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期二项式模型
收益率被定义为价格的相对数
期望收益率 = 1.1
期望方差 = 0.09
$140
$80
$100
今日 1 年 概 率
21
21
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
通过复制来给期权定价
为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益
这个组合称为合成的衍生证券
要使无套利成立，这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格
组合的合成等同于对冲
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
无套利原则与对衍生证券的定价今日 到期日交易的衍生证券合成的衍生证券收益相同交易的衍生证券的价值 = 合成的衍生证券 （ 组合 ） 的价值
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期：给欧式看涨期权定价欧式看涨期权,0,8d,2.1,40,40,1 0 uXST
$40
今日 1 年 概率
8
480
uc
uS
0
320
dc
dS
p-1
p
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
组合 (合成看涨期权 ) = 股票 + 无风险资产
组合复制了该期权在 到期日 的收益
1.10 = 今天的 $1投资在 1年后的财富
解方程组得到
的负号意味者 借入
000 BSV
810.148 0 B
010.132 0 B
55.14,5.0 0 - B
0B
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无套利要求
含义：
p 的值从未使用过? 期望收益率无关紧要 !
45.555.14405.00?-V
45.50 Vc
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单期二项式期权定价的一般化今日 1 年 概率
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p-1
p
0
c
S
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该组合复制了该看涨期权在到期日的收益
解方程组得到：
，和
无套利要求：
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drT ceBdS 00
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00 -
- rTud e
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-
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0
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-
-?- -,1
0 其中
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
风险中性定价
很自然?可以被解释为是股票价格上涨的概率
(风险中性概率 或 等价鞅测度 )
可以被解释为是该看涨期权在到期日的收益
该期权的价值是它在到期日的期望收益按无风险利率折成的现值
在?下,
du cc -? 1
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Delta对冲组合
的符号为正，意味着投资
由 股股票和一个看涨期权空头构成的组合等价于无风险投资
该组合经常被称为无风险对冲组合,? (delta) 被称为套头比（ hedge ratio）
00 BSc 00 BcS -?-?
0B-
dSuS
cc du
00 -
-
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes期权定价模型
期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性来源
无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造
无风险组合必然获得无风险利率
这导致了 Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes模型的假设
完美的资本市场，没有套利机会
价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布朗运动
短期利率已知，并且不随时间发生变化
在期权的有效期内，标的股票不发放股利
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票价格的动态过程
连续时间模型假设股票价格服从几何布朗运动（ GBM）
其中：
,期望收益率
,波动率 (假设为常数 )
,标准 Wiener过程
S d WS d tdS
dW
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
离散时间近似
Z为 Wiener过程，则
－
其中?是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独立
ttSS
tz
z?
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Wiener过程的特征
的均值为 0
的方差为 T-t
的标准差为
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tT zz - tT -
tT zz -
tT zz -
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的特征
从时间 t到 T 收益率的均值为
从时间 t到 T 收益率的方差为
从时间 t到 T 收益率的标准差为
收益率的分布：,其中
tT -?
tT -2?
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,n tT -
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的分布
股票价格服从对数正态分布，即：
-,
2ln~ln
2
SNS T tT -
0
0,2
0 20
对数正态分布
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 偏微分方程的导出
构造一个组合?,该组合的构成如下：
－ 1单位衍生证券的空头
－ 股股票多头
zStSS
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2
2
22
2
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S
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
组合?的价值为：
在跨度为 的短期内，它的价值的变动为：
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2
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2
1?
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
因为该组合的收益率没有不确定性，所有它必须等于无风险利率。因此
从上述两个方程，就可以得到 Black-Scholes
偏微分方程：
trSSfftr
-
rfS fSSfrStf 2
2
22
2
1?
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
该偏微分方程不包括?！? 投资者的偏好不起作用！
任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券都满足上述偏微分方程
不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方程的边界条件
对于欧式看涨期权，边界条件为
对欧式期权解上述偏微分方程，就得到 Black-
Scholes期权定价模型
XSc TT -?,0m a x
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 公式式中，
是标准正态分布的累积概率分布函数
21 dNXedSNc r?--?
12 dSNdNXep r ---? -?
2
1
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-? 12 dd
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 模型在风险中性定价下的导出
利用 风险中性 概率算出期权在到期日的期望收益
用 无风险利率 对期望收益进行折现
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
欧式看涨期权的价值由下式给出：
由下式给出
进行一些简单的代数运算就可以得到 Black-Scholes公式
,
0,m ax
0
-
-
-
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
期权价格的决定因素正的变化 看涨期权 看跌期权股票价格,S
执行价格,X
波动率,
距离到期日的时间,
无风险利率,r
现金股利,d
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Black-Scholes公式的应用
,,年,
（按连续复利计息）
以及
50?S 45?X 0,2 5i,e,?- tT? pa%20
%6?r
2536.1
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
那么
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Delta对冲
Delta (?),期权价格对标的资产价格的变化比率
对于欧式看涨期权
,
对于欧式看跌期权
,
1dNSc0 c
11 - dNSp01- p
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估计历史波动率
在间隔为 年的期间观测到
计算连续复利
估计波动率 (标准差 )
每年的波动率：
nSSSS,,,,210?
- 1
ln
t
t
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1
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1
1
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
隐含波动率
期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价格与市场价格相等的波动率，即
期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应
在柜台市场（ OTC）,交易者和经纪商经常不是报货币价格而是报隐含的收益率
隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有效期内的平价波动率的一致估计（预期）
隐含波动率是前瞻性的
M1im p,,,,crXSf -?
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公司负债与股东权益
股东权益相当于拥有一个以 D为执行价格的对于公司价值 V的看涨期权
E
VD
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公司负债与股东权益
公司债权人相当于拥有一个面值为 D的无风险债券和同时出售一个执行价格为 D的看跌期权
VD
VD
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
实物期权
投资,有权选择投资时机,获得投资回报，但是没有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资在未来产生的现金流就是资产价格
与传统 NPV分析的关键区别：
- 不确定性（风险）是有价值的！
- 管理弹性（ Managerial flexibility ）
战略工具，但是大多数情况下难以准确估价
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
实物期权的主要类型
等待以在将来投资（看涨期权）
放弃（看跌期权）
弹性（看涨期权）
后续投资（看涨期权）
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
等待期权 (1)
传统的 NPV,要么现在投资，要么永不投资
但第三种选择是等待以在将来投资
期权价值
内在价值 (IV) + 时间价值 (TV)
TV = 能够等待的价值
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等待期权 (2)
决策法则传统的 NPV
接受项目，如果 NPV > 0,即 IV > 0
实物期权接受项目，如果 NPV > 期权价值
风险更大的项目? 期权价值更高
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等待期权 (3)：例子
石油公司获得某区块的 5年期开采权
NPV < 0? 拒绝但是如果石油价格上涨，或者随着技术的进步能够提高石油产量，则应该推迟到将来再投资
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
撤资期权
撤资：关闭企业的权利，即以出售价格为执行价格的看跌期权
公司愿意承受暂时的损失来谋求在未来可以抓住盈利的机会
决策法则,NPV(撤资 ) > 期权价值
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弹性期权
汽车制造商在数个国家都有生产设备
双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤
比较一家大型电厂与两家或更多的小型电厂
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后续期权
初始投资产生了后续项目的投资机会
例子,R&D,在新兴市场特别是发展中国家的投资
决策法则,
NPV + 后续期权的价值 > 0
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实物期权与金融期权之间的对应实物期权 金融期权期望现金流的现值 股票价格获得项目资产所需的投资 执行价格决策可以延迟的时间长度 距到期日的时间长度货币的时间价值 无风险利率现金流的不确定性 收益率的波动率
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
关于实物期权的进一步阅读材料
Martha Amram and Nalin Kulatilaka,
Real Options,Managing Strategic Investments in an
Uncertain World,Harvard Business School Press,
1999
Lenos Trigeorgis,
Real Options,Managerial Flexibility and Strategy in
Resource Allocation,MIT Press,1996
Avimash Dixit and Robert Pindyck,
Investment under Uncertainty,Princeton University
Press,1994
第八课期权定价模型
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
期权定价中的难点
债券和股票的估价：贴现现金流
期权的估价
- DCF 不适用
- 给定到期日标的资产价格的分布，可以很容易地计算期权在到期日的收益
- 难于估计折现率
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
二项式期权定价模型
要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动
简单但非常有力的一个模型是二项式模型
- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值
- 当时间间隔足够短，这是很好的近似
- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理
- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期二项式模型
收益率被定义为价格的相对数
期望收益率 = 1.1
期望方差 = 0.09
$140
$80
$100
今日 1 年 概 率
21
21
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通过复制来给期权定价
为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益
这个组合称为合成的衍生证券
要使无套利成立，这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格
组合的合成等同于对冲
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
无套利原则与对衍生证券的定价今日 到期日交易的衍生证券合成的衍生证券收益相同交易的衍生证券的价值 = 合成的衍生证券 （ 组合 ） 的价值
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期：给欧式看涨期权定价欧式看涨期权,0,8d,2.1,40,40,1 0 uXST
$40
今日 1 年 概率
8
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
组合 (合成看涨期权 ) = 股票 + 无风险资产
组合复制了该期权在 到期日 的收益
1.10 = 今天的 $1投资在 1年后的财富
解方程组得到
的负号意味者 借入
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
无套利要求
含义：
p 的值从未使用过? 期望收益率无关紧要 !
45.555.14405.00?-V
45.50 Vc
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期二项式期权定价的一般化今日 1 年 概率
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
该组合复制了该看涨期权在到期日的收益
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
风险中性定价
很自然?可以被解释为是股票价格上涨的概率
(风险中性概率 或 等价鞅测度 )
可以被解释为是该看涨期权在到期日的收益
该期权的价值是它在到期日的期望收益按无风险利率折成的现值
在?下,
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Delta对冲组合
的符号为正，意味着投资
由 股股票和一个看涨期权空头构成的组合等价于无风险投资
该组合经常被称为无风险对冲组合,? (delta) 被称为套头比（ hedge ratio）
00 BSc 00 BcS -?-?
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes期权定价模型
期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性来源
无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造
无风险组合必然获得无风险利率
这导致了 Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes模型的假设
完美的资本市场，没有套利机会
价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布朗运动
短期利率已知，并且不随时间发生变化
在期权的有效期内，标的股票不发放股利
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票价格的动态过程
连续时间模型假设股票价格服从几何布朗运动（ GBM）
其中：
,期望收益率
,波动率 (假设为常数 )
,标准 Wiener过程
S d WS d tdS
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
离散时间近似
Z为 Wiener过程，则
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其中?是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独立
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Wiener过程的特征
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的特征
从时间 t到 T 收益率的均值为
从时间 t到 T 收益率的方差为
从时间 t到 T 收益率的标准差为
收益率的分布：,其中
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的分布
股票价格服从对数正态分布，即：
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对数正态分布
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 偏微分方程的导出
构造一个组合?,该组合的构成如下：
－ 1单位衍生证券的空头
－ 股股票多头
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
因为该组合的收益率没有不确定性，所有它必须等于无风险利率。因此
从上述两个方程，就可以得到 Black-Scholes
偏微分方程：
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1?
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
该偏微分方程不包括?！? 投资者的偏好不起作用！
任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券都满足上述偏微分方程
不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方程的边界条件
对于欧式看涨期权，边界条件为
对欧式期权解上述偏微分方程，就得到 Black-
Scholes期权定价模型
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 公式式中，
是标准正态分布的累积概率分布函数
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12 dSNdNXep r ---? -?
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 模型在风险中性定价下的导出
利用 风险中性 概率算出期权在到期日的期望收益
用 无风险利率 对期望收益进行折现
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
欧式看涨期权的价值由下式给出：
由下式给出
进行一些简单的代数运算就可以得到 Black-Scholes公式
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
期权价格的决定因素正的变化 看涨期权 看跌期权股票价格,S
执行价格,X
波动率,
距离到期日的时间,
无风险利率,r
现金股利,d
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes公式的应用
,,年,
（按连续复利计息）
以及
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
那么
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Delta对冲
Delta (?),期权价格对标的资产价格的变化比率
对于欧式看涨期权
,
对于欧式看跌期权
,
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11 - dNSp01- p
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
估计历史波动率
在间隔为 年的期间观测到
计算连续复利
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
隐含波动率
期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价格与市场价格相等的波动率，即
期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应
在柜台市场（ OTC）,交易者和经纪商经常不是报货币价格而是报隐含的收益率
隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有效期内的平价波动率的一致估计（预期）
隐含波动率是前瞻性的
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公司负债与股东权益
股东权益相当于拥有一个以 D为执行价格的对于公司价值 V的看涨期权
E
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
公司负债与股东权益
公司债权人相当于拥有一个面值为 D的无风险债券和同时出售一个执行价格为 D的看跌期权
VD
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北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
实物期权
投资,有权选择投资时机,获得投资回报，但是没有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资在未来产生的现金流就是资产价格
与传统 NPV分析的关键区别：
- 不确定性（风险）是有价值的！
- 管理弹性（ Managerial flexibility ）
战略工具，但是大多数情况下难以准确估价
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
实物期权的主要类型
等待以在将来投资（看涨期权）
放弃（看跌期权）
弹性（看涨期权）
后续投资（看涨期权）
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
等待期权 (1)
传统的 NPV,要么现在投资，要么永不投资
但第三种选择是等待以在将来投资
期权价值
内在价值 (IV) + 时间价值 (TV)
TV = 能够等待的价值
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
等待期权 (2)
决策法则传统的 NPV
接受项目，如果 NPV > 0,即 IV > 0
实物期权接受项目，如果 NPV > 期权价值
风险更大的项目? 期权价值更高
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等待期权 (3)：例子
石油公司获得某区块的 5年期开采权
NPV < 0? 拒绝但是如果石油价格上涨，或者随着技术的进步能够提高石油产量，则应该推迟到将来再投资
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
撤资期权
撤资：关闭企业的权利，即以出售价格为执行价格的看跌期权
公司愿意承受暂时的损失来谋求在未来可以抓住盈利的机会
决策法则,NPV(撤资 ) > 期权价值
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弹性期权
汽车制造商在数个国家都有生产设备
双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤
比较一家大型电厂与两家或更多的小型电厂
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后续期权
初始投资产生了后续项目的投资机会
例子,R&D,在新兴市场特别是发展中国家的投资
决策法则,
NPV + 后续期权的价值 > 0
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实物期权与金融期权之间的对应实物期权 金融期权期望现金流的现值 股票价格获得项目资产所需的投资 执行价格决策可以延迟的时间长度 距到期日的时间长度货币的时间价值 无风险利率现金流的不确定性 收益率的波动率
北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
关于实物期权的进一步阅读材料
Martha Amram and Nalin Kulatilaka,
Real Options,Managing Strategic Investments in an
Uncertain World,Harvard Business School Press,
1999
Lenos Trigeorgis,
Real Options,Managerial Flexibility and Strategy in
Resource Allocation,MIT Press,1996
Avimash Dixit and Robert Pindyck,
Investment under Uncertainty,Princeton University
Press,1994
