Signals analysis & processing
第 6章 滤波器华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
噪声
6.1 滤波器概述
滤波
目的,消除或减小信号中的干扰噪声?推广从原始信号中获取目标的特征信息
干扰背景下目标是否出现
信号波形检测。。。
滤波器
定 义：
滤除噪声、提取特征信息的系统
物理形式：
模拟滤波器 (R,L,C)
数字滤波器 (软件算法 )
信号的构成信噪分离信息获取信号
X3
6.1.1 滤波器的基本原理
信号与噪声通常占据不同的频带
滤波器实质上是一种选频器件
使一种频率的信号分量 (噪声 )大幅度衰减
使另一种频率的信号分量 (信号 )顺利通过
滤除噪声、获得有用信息
h(t)或 h(n) y(m)=s(m)
y(t)=s(t)
x(n)=s(m)+n(m)
x(t)= s(t) + n(t)
有用信息 噪声X(ω)
S(ω) N(ω)Y(ω
ωc
X4
6.1.1 滤波器的基本原理
滤波器输入输出关系：
( ) ( ) ( )y t x t h t
( ) ( ) ( )Y H X
()( ) ( ) hjH H e
( ) ( ) ( )y n x n h n
( ) ( ) ( )Y H X
连续系统 离散系统时域：
频域：
( ) ( ) ( )y t x t h t
()( ) ( ) hjH H e
h(t)或 h(n) y(m)=s(m)
y(t)=s(t)
x(n)=s(m)+n(m)
x(t)= s(t) + n(t)
X(ω) S(ω) N(ω)Y(ω
ωc
设计滤波器即设计合适的 H(ω)，满足滤波效果滤波器的截至频率
X5
6.1.2 滤波器的分类
按照选频特性
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器
全通滤波器
按滤波器元件性质
无源滤波器 (R,L,C)
有源滤波器 (含运放 )
|H(ω)|
ω
|H(ω)|
ωωc
LP
|H(ω)|
ωωc
HP
|H(ω)|
ωωc1 ωc2
BP
|H(ω)|
ωωc1 ωc2
LP
X6
6.1.3 滤波器的技术要求
理想滤波器与实际滤波器的区别
|H(ω)|
ωωc
截至频率处突变 缓变过渡通带内幅频特性常数 有波纹度阻带内幅频特性为 0 逐渐趣近 0
过渡带越窄、波纹度越小，
实际滤波器越接近于理想滤波器过渡带波纹度
|H(ω)|
ωωc
物理上不可实现
X7
6.1.3 滤波器的技术要求
滤波器的技术要求 (指标 )：
衡量滤波器的滤波性能
体现实际滤波器与理想滤波器的近似程度
一般有许多指标
截止频率 ωc
带宽 B
中心频率 ω0
通带波动 Δ
衰减函数 α
相移 υ
群延时 τg
一般设 |H(ω)|的峰值等于 1
过渡带
|H(ω)|
ωωc
1
通带
2/2
阻带
ωs
X8
截止频率 ωc
|H(ω)|下降 的频率
-3dB频率
一个或多个截止频率
带宽 (通带 )B
|H(ω)|从 1(0dB)下降到 (-3dB)的通频带宽度
带通滤波器上下截止频率之间的区域：
中心频率 ω0
带通滤波器上下截止频率的几何平均值
通带波动 Δ
通带内最大值与最小值之差
6.1.3 滤波器的技术要求
1
2
ωc
2/2
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
1
2
12 0 lg ( ) 3
2 dB
21ccB
0 1 2cc
ωs
X9
衰减函数 α
又称工作损耗
描述幅频特性的衰减程度
理想滤波器通带衰减＝ 0，阻带衰减＝ ∞
实际滤波器衰减在 0～ ∞之间
通带最大衰减 αp、阻带最小衰减 αs
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
ωc
2/2
6.1.3 滤波器的技术要求
2 0 lg ( )ssH2 0 lg ( )pcH
(0 )2 0 lg
()
H
H
220 l g ( ) 10 l g ( )HH
ωs
X10
相移 φ(ω)
信号通过滤波器后的相位滞后
相位滞后是频率的函数
群延迟 τg
相移对频率的导数 (变化率 )：
实际滤波器相移为负，群延迟为正
不失真测试系统的群延迟为常数！
6.1.3 滤波器的技术要求
ωc
2/2
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
ωs
()g dd
()( ) ( ) jH H e
X11
6.2 模拟滤波器
用模拟器件构成的滤波器，处理模拟信号
设计模拟滤波器的实质：
求一个物理可实现系统的传递函数 H(s)
用 H(ω)尽可能逼近理想的频率特性
设计模拟滤波器的依据：
给定的工作损耗 αp,αs～ |H(ω)|2—— 幅度平方函数
频率选择性取决于传递函数 |H(ω)|2?H(s)
H(s)必须是稳定的时不变系统
实系数有理函数
分子阶数 n≤分母阶数 m
极点分布在左半 s平面
H(ω)有共轭对称性
2 0 lg ( )pcH 2 0 lg ( )ssH
0
0
()
n
i
i
i
m
k
k
k
as
Hs
bs
( ) ( )sHH
()
()
i
i
k
k
sz
sp
6.2.1 概述
X12
6.2.1 概述
当系统的傅里叶变换存在时：
2( ) ( ) ( )
sjH H s H s
2( ) ( ) ( )H H H
( ) ( ) sjH H s
( ) ( )HH
( ) ( )HH
( ) ( ) sjH H s
()
()
()
i
i
k
k
sz
Hs
sp
()
()
()
i
i
k
k
sz
Hs
sp
意义,
H(s)H(-s)的零、极点以 jω轴对称分布
一半属于 H(s),另一半属于 H(-s)
|H(ω)|2＝ 0的根也成对出现
幅度平方函数时 ω2的正实函数
|H(ω)|2中，以 -s2代替 ω2，可直接得出 H(s)与 H(-s)的零极点
从而确定滤波器的 H(s)
X13
一对 2重共轭零点,± j
两对实极点,± 2,± 3
取左半 s平面的极点 -2,-3 一对共轭零点 ± j 确定滤波器传递函数 H(s)
例题 5-1 求给定滤波器的平方幅度函数的最小相位滤波器的传递函数：
解：以 -s2代替 ω2，得
22
2
22
(1 )()
( 4 ) ( 9 )H
22
22
(1 )( ) ( )
( 4 ) ( 9 )
sH s H s
ss
21
( 2 )( 3 )
s
ss
22( ) ( )
( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )
s j s j
s s s s
( ) ( )()
( 2 ) ( 3 )
s j s jHs
ss
σ
jω
0
◎
◎
-j
j
×× 2-2 ×× 3-3
X14
6.2.2 巴特沃思低通滤波器
设计滤波器的一般工程方法：
利用逼近理论寻找可实现的逼近函数
逼近函数作为滤波器的幅度平方函数
Butterwoth
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
以巴特沃思函数作为滤波器的传递函数
低通滤波器幅度平方函数：
2
2
1
()
1 ( ) n
c
H?
为滤波器的截止频率
n 为滤波器的阶数
c?
当 时
所以 对应与滤波器的 -3dB点
1()
2cHc
c?
X15
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
1-5阶巴特沃思滤波器幅频特性
阶数 n增大时
通带变平
过渡段变窄、衰减加快
低通滤波效果变好
特点：
单调递减性
ω＜＜ 0时 H(ω) ≈1
ω?∞时 H(ω)?0
ω=ωc时 H(ω) ↓-3dB
最大平坦幅值滤波器
2
2
1()
1 ( ) n
c
H
c
X16
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
性能参数
衰减函数
通带衰减函数
阻带衰减函数
确定滤波器的阶数 n
2
1 0 lg 1
n
c
2
1
1 0 lg
1
n
c
2
| 1 0 l g 1 3
c
n
c
p
c
dB
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
c
n
2
| 1 0 l g 1
s
n
s
s
c
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
n
特别,ωc=1时
X17
2
2
1()
1 ( ) n
c
H
(2) 巴特沃思低通滤波器的极点分布
21
22s
k
n
根据滤波器的幅度平方函数?传递函数
令,即 代入
sj s
j
2()H?
2
2
1()
1 ( ) n
c
Hs s
j?
21()
22
kj
n
kcse
2 1ncsj21 ( ) 0n
c
s
j
kcs
：无零点，有 2n个极点
令分母多项式＝ 0,得到极点,21()2 21 kjn ne
1,2,,2kn?
2n个极点均匀分布间隔,第 1个极点位置
n
22n
＋
X18
极点分布图
(2) 巴特沃思低通滤波器的极点分布
21
22k
k
n
kcs
1,2,,2kn?
s
4
s
3
s
2
s
1
4 5
o
9 0
o
s
6
s
5
s
4
s
3
s
2
s
1
9 0
o
3 0
o
2阶
3阶极点 4个，间距 π/2 极点 6个，间距
π/3?所有极点以 jω轴对称分布在巴特沃思圆上
虚轴 jω上无极点
n为偶数时,jω轴上无极点
n为奇数时，在 s=± ωc的实轴上有两个极点巴特沃思圆
X19
(3) 巴特沃思低通滤波器的传递函数
因滤波器必须是稳定的
取左 s平面的全部极点作为 H(ω)的极点
右 s平面是的极点属于 H(-ω)
故：
1
()
()
n
c
n
k
k
Hs
ss
/2
22
1
21[ 2 c o s ( ) ]
22
n
c
n
cc
k
kss
n
/2
1
()
( ) ( )
n
c
n
kk
k
Hs
s s s s
保证 Sk＝ 0时，
H(0)=1
n为偶数时
n为奇数时
( 1 ) / 2
22
1
()
21
( ) [ 2 c o s ( ) ]
22
n
c
n
c c c
k
Hs
k
s s s
n
X20
(3) 巴特沃思低通滤波器的传递函数
传递函数的归一化处理
令 代入传递函数表达式：
/2
2
1
1
()
21
[ 2 c os( ) 1 ]
22
n
k
Hs
k
ss
n
0
0
1( ),1
n
k
k
k
nH
s
a
a
sa
c
ss
( 1 ) / 2
2
1
1
()
21
( 1 ) [ 2 c o s ( ) 1 ]
22
n
k
Hs
k
s s s
n
n为偶数时
n为奇数时通式：
巴特沃思多项式标准化查表表 5－ 1
X21
归一化频率的各阶巴特沃思多项式
n 巴特沃思多项式
1
2
3
4
5
6
7
8
2 21ss
6 5 4 3 23,8 6 4 7,4 6 4 9,1 4 2 7,4 6 4 3,8 6 4 1s s s s s s
1s?
322 2 1s s s
4322,6 1 3 3,4 1 4 2,6 1 3 1s s s s
5 4 3 23,2 3 6 5,2 3 6 5,2 3 6 3,2 3 6 1s s s s s
7 6 5 4 3 24,4 9 4 1 0,0 9 8 1 4,5 9 2 1 4,5 9 2 1 0,0 9 8 4,4 9 4 1s s s s s s s
8 7 6 5 4 3 25,1 5 3 1 3,1 3 7 2 1,8 4 6 2 5,6 6 8 2 1,8 4 6 1 3,1 3 7 5,1 5 3 1s s s s s s s s
X22
例题,若巴特沃思滤波器的指标为：当 时衰减率不大于 3dB;当 时衰减率不小于 30dB。
求滤波器的传递函数
解：令
1 2/rad s
2 6/rad s
1 2/cp r a d s
21 0 l g [1 ( ) ] 3p n
p
c
dB
2 6/s r a d s
归一化频率
3lg 1 0 1
3,1 4 3lg 3n
6 3/
2
s
s
c
r a d s
3 1/
3
p
c
c
r a d s
4n
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
c
n
查表，得：滤波器归一化传递函数
432
1()
2,6 1 3 3,4 1 4 2,6 1 3 1Hs s s s s
反归一化，令 得：滤波器传递函数
c
ss
432
4 3 2
1
()
( ) 2,6 1 3 ( ) 3,4 1 4 ( ) 2,6 1 3 ( ) 1
2 2 2 2
16
5,2 2 6 1 3,6 5 6 2 0,9 0 4 1 6
Hs
s s s s
s s s s
(取大 )
X23
小结,巴特沃思滤波器设计步骤
一般已知通带截止频率 和阻带截止频率
pc s?
通带衰减 和阻带衰减
s?p?
s
s
c
1pc
c
步骤 1：截止频率归一化处理
0,1
s
l g 1 0 1
lg
s
n
步骤 2：根据 计算阶数 n(取大 )
步骤 3：根据 表 5-1查取巴特沃思多项式
()Hs? 步骤 4：写出归一化巴特沃思滤波器传递函数
()Hs
c
ss
步骤 5：令 反归一化得到滤波器传递函数
X24
6.2.3 切比雪夫低通滤波器
巴特沃思滤波器的特点
幅频特性随单调减小，特性简单、容易掌握；
通带内误差分布不均匀；
阶数 n小时,过渡带频率特性下降慢 ;
要求阻带衰减快时，阶数很大，不利于硬件实现
改进方法,切比雪夫滤波器
切比雪夫低通滤波器
基于切必雪夫多项式正交函数
通带内等波动，保证通带内误差分布均匀
过渡带、阻带衰减单调递增，改善高频抑制性能
是全极点型滤波器中过渡带最窄的滤波器,
Chebyshev
X25
ε—— 决定通带内起伏大小的波动系数,0<ε<1
Tn (● )—— n 阶切比雪夫多项式
ωc—— 通带截止频率
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数：
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
1
1
c o s ( c o s ( ) ) 1()
c o s h ( c o s h ( ) ) 1n
n x xTx
n x x
1,2,n?
n Tn(x) n Tn(x)
0 1 4 8x4-8x2＋ 1
1 x 5 16x5-20x3+5x
2 2x2-1 6 32x6-48x4+18x2-1
3 4x3-3x 7 64x7-112x5+56x3-7x
11( ) 2 ( ) ( )n n nT x x T x T x
递推公式
1c os ( )
2
1s i n ( )
2
jx jx
jx jx
x e e
x e e
j
1co s h ( ) co s ( ) ( )
2
1s i n h ( ) s i n ( ) ( )
2
xx
xx
x j x e e
x j x j e e
X26
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
切比雪夫多项式的特性曲线 (1-4阶 )
|x|<1时,Tn(x)在 ± 1之间波动
|x|>1时,|Tn(x)|单调上升
n 越大上升越快
|x|＝ 1时,|Tn(1)|≡1
当 x=0时：
n为奇数,Tn(x)＝ 0
n为偶数,|Tn(x)|＝ 1
故可保证当
在 0~1之间时，等幅波动
大于 1时，快速衰减
c
x
X27
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
切比雪夫多项式的幅频特性 (2-5阶 )
时,在 之间等幅波动
越小，波动幅度越小
所有曲线过 点
时，曲线锐减
n越大,下降越快
时，
比巴特沃思阻带下降快
B5劣于 C3，仅优于 C2
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
01
c
0
21 ~ 1 / 1()H?
2( ) 1 1 / 1c orH
c 21（,）1+
1
c
n:通带内最大最小值的总数
X28
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
参数确定,截止频率 ωc,波动系数 ε,阶数 n
截止频率 ωc：根据需要确定
波动系数 ε：通带最大损耗，由允许最大衰减 αmax确定
1c o s h ( c o ( 1s h ),s
n
c
s
c
Tn
m a x
2 ( ) | 1
cn
c
T
m i n0,111
1
c o s h ( 1 0 1 )
c o s h ( )s
n
2 22
m a x1 0 l g ( ) 1 0 l g ( 1 ( ) )pn
c
HT
m a x0,11 0 1
s
s
c
阶数 n：由允许的阻带最小衰减 αmin确定
22
m i n1 0 l g (1 ( ) )
s
sn
c
T
归一化阻带截止频率：
X29
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
(2) 切比雪夫低通滤波器的极点分布
1
1
11
sin h [ sin h ( ) ]
:
11
c o sh [ sin h ( ) ]
a
nwh e re
b
n
sj sj
根据滤波器的幅度平方函数?传递函数
令,即 代入,2()H? 2
22
1()
1 ( )n
c
Hs s
T
j
k k ksj
1()
n
c
sTj
j
221 ( ) 0
n
c
sT
j
22
22 1( ) ( )
kk
ccab
令分母多项式＝ 0,得到极点：
1,2,,2kn 记极点：
可证：
21
sin ( )
2
21
c o s( )
2
kc
kc
k
a
n
k
b
n
等间隔 π/n
X30
(2) 切比雪夫低通滤波器的极点分布
极点分布图
22
22 1( ) ( )
kk
ccab
21
2k
k
n
1,2,,2kn?
2阶 3阶极点 4个，间距 π/2
第一点,π/4处 (π/2n)
极点 6个，间距 π/3
第一点,π/6处 (π/2n)21sin ( )
2
21
c o s( )
2
kc
kc
k
a
n
k
b
n
s
6
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
j ω
σ
a ω
c
b ω
c
从 jω正向逆时针每隔 π/n等分圆,第一点 π/2n
s
1
s
3
s
2
s
4
j ω
σ
a ω
c
b ω
c
X31
(3) 切比雪夫低通滤波器的传递函数
幅度平方函数
1
()
n
pk
k
K
ss
2( ) ( ) ( )H H s H s
12
n
c
nK
12
() ( ) ( ) ( )
p p p n
KHs
s s s s s s
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
令 得归一化传递函数：/
css
切比雪夫多项式系数查表 5-3得
反归一化后得传递函数
()Hs
()Hs
取 s左半平面上的极点 spk，构成滤波器的传递函数
0( ) 1H
增益 K应使,可以证明：
1
1 1 0
nn
n
K
s b s b s b
1
()
()
n
pk
k
KHs
ss
1
1
2nnc
KK
X32
例题,5-5,5-6自学,补充 5-5a
5-5 5-6
例 5-5a
第 6章 滤波器华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
噪声
6.1 滤波器概述
滤波
目的,消除或减小信号中的干扰噪声?推广从原始信号中获取目标的特征信息
干扰背景下目标是否出现
信号波形检测。。。
滤波器
定 义：
滤除噪声、提取特征信息的系统
物理形式：
模拟滤波器 (R,L,C)
数字滤波器 (软件算法 )
信号的构成信噪分离信息获取信号
X3
6.1.1 滤波器的基本原理
信号与噪声通常占据不同的频带
滤波器实质上是一种选频器件
使一种频率的信号分量 (噪声 )大幅度衰减
使另一种频率的信号分量 (信号 )顺利通过
滤除噪声、获得有用信息
h(t)或 h(n) y(m)=s(m)
y(t)=s(t)
x(n)=s(m)+n(m)
x(t)= s(t) + n(t)
有用信息 噪声X(ω)
S(ω) N(ω)Y(ω
ωc
X4
6.1.1 滤波器的基本原理
滤波器输入输出关系：
( ) ( ) ( )y t x t h t
( ) ( ) ( )Y H X
()( ) ( ) hjH H e
( ) ( ) ( )y n x n h n
( ) ( ) ( )Y H X
连续系统 离散系统时域：
频域：
( ) ( ) ( )y t x t h t
()( ) ( ) hjH H e
h(t)或 h(n) y(m)=s(m)
y(t)=s(t)
x(n)=s(m)+n(m)
x(t)= s(t) + n(t)
X(ω) S(ω) N(ω)Y(ω
ωc
设计滤波器即设计合适的 H(ω)，满足滤波效果滤波器的截至频率
X5
6.1.2 滤波器的分类
按照选频特性
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器
全通滤波器
按滤波器元件性质
无源滤波器 (R,L,C)
有源滤波器 (含运放 )
|H(ω)|
ω
|H(ω)|
ωωc
LP
|H(ω)|
ωωc
HP
|H(ω)|
ωωc1 ωc2
BP
|H(ω)|
ωωc1 ωc2
LP
X6
6.1.3 滤波器的技术要求
理想滤波器与实际滤波器的区别
|H(ω)|
ωωc
截至频率处突变 缓变过渡通带内幅频特性常数 有波纹度阻带内幅频特性为 0 逐渐趣近 0
过渡带越窄、波纹度越小，
实际滤波器越接近于理想滤波器过渡带波纹度
|H(ω)|
ωωc
物理上不可实现
X7
6.1.3 滤波器的技术要求
滤波器的技术要求 (指标 )：
衡量滤波器的滤波性能
体现实际滤波器与理想滤波器的近似程度
一般有许多指标
截止频率 ωc
带宽 B
中心频率 ω0
通带波动 Δ
衰减函数 α
相移 υ
群延时 τg
一般设 |H(ω)|的峰值等于 1
过渡带
|H(ω)|
ωωc
1
通带
2/2
阻带
ωs
X8
截止频率 ωc
|H(ω)|下降 的频率
-3dB频率
一个或多个截止频率
带宽 (通带 )B
|H(ω)|从 1(0dB)下降到 (-3dB)的通频带宽度
带通滤波器上下截止频率之间的区域：
中心频率 ω0
带通滤波器上下截止频率的几何平均值
通带波动 Δ
通带内最大值与最小值之差
6.1.3 滤波器的技术要求
1
2
ωc
2/2
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
1
2
12 0 lg ( ) 3
2 dB
21ccB
0 1 2cc
ωs
X9
衰减函数 α
又称工作损耗
描述幅频特性的衰减程度
理想滤波器通带衰减＝ 0，阻带衰减＝ ∞
实际滤波器衰减在 0～ ∞之间
通带最大衰减 αp、阻带最小衰减 αs
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
ωc
2/2
6.1.3 滤波器的技术要求
2 0 lg ( )ssH2 0 lg ( )pcH
(0 )2 0 lg
()
H
H
220 l g ( ) 10 l g ( )HH
ωs
X10
相移 φ(ω)
信号通过滤波器后的相位滞后
相位滞后是频率的函数
群延迟 τg
相移对频率的导数 (变化率 )：
实际滤波器相移为负，群延迟为正
不失真测试系统的群延迟为常数！
6.1.3 滤波器的技术要求
ωc
2/2
|H(ω)|1 过渡带
ω
通带 阻带
ωs
()g dd
()( ) ( ) jH H e
X11
6.2 模拟滤波器
用模拟器件构成的滤波器，处理模拟信号
设计模拟滤波器的实质：
求一个物理可实现系统的传递函数 H(s)
用 H(ω)尽可能逼近理想的频率特性
设计模拟滤波器的依据：
给定的工作损耗 αp,αs～ |H(ω)|2—— 幅度平方函数
频率选择性取决于传递函数 |H(ω)|2?H(s)
H(s)必须是稳定的时不变系统
实系数有理函数
分子阶数 n≤分母阶数 m
极点分布在左半 s平面
H(ω)有共轭对称性
2 0 lg ( )pcH 2 0 lg ( )ssH
0
0
()
n
i
i
i
m
k
k
k
as
Hs
bs
( ) ( )sHH
()
()
i
i
k
k
sz
sp
6.2.1 概述
X12
6.2.1 概述
当系统的傅里叶变换存在时：
2( ) ( ) ( )
sjH H s H s
2( ) ( ) ( )H H H
( ) ( ) sjH H s
( ) ( )HH
( ) ( )HH
( ) ( ) sjH H s
()
()
()
i
i
k
k
sz
Hs
sp
()
()
()
i
i
k
k
sz
Hs
sp
意义,
H(s)H(-s)的零、极点以 jω轴对称分布
一半属于 H(s),另一半属于 H(-s)
|H(ω)|2＝ 0的根也成对出现
幅度平方函数时 ω2的正实函数
|H(ω)|2中，以 -s2代替 ω2，可直接得出 H(s)与 H(-s)的零极点
从而确定滤波器的 H(s)
X13
一对 2重共轭零点,± j
两对实极点,± 2,± 3
取左半 s平面的极点 -2,-3 一对共轭零点 ± j 确定滤波器传递函数 H(s)
例题 5-1 求给定滤波器的平方幅度函数的最小相位滤波器的传递函数：
解：以 -s2代替 ω2，得
22
2
22
(1 )()
( 4 ) ( 9 )H
22
22
(1 )( ) ( )
( 4 ) ( 9 )
sH s H s
ss
21
( 2 )( 3 )
s
ss
22( ) ( )
( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )
s j s j
s s s s
( ) ( )()
( 2 ) ( 3 )
s j s jHs
ss
σ
jω
0
◎
◎
-j
j
×× 2-2 ×× 3-3
X14
6.2.2 巴特沃思低通滤波器
设计滤波器的一般工程方法：
利用逼近理论寻找可实现的逼近函数
逼近函数作为滤波器的幅度平方函数
Butterwoth
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
以巴特沃思函数作为滤波器的传递函数
低通滤波器幅度平方函数：
2
2
1
()
1 ( ) n
c
H?
为滤波器的截止频率
n 为滤波器的阶数
c?
当 时
所以 对应与滤波器的 -3dB点
1()
2cHc
c?
X15
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
1-5阶巴特沃思滤波器幅频特性
阶数 n增大时
通带变平
过渡段变窄、衰减加快
低通滤波效果变好
特点：
单调递减性
ω＜＜ 0时 H(ω) ≈1
ω?∞时 H(ω)?0
ω=ωc时 H(ω) ↓-3dB
最大平坦幅值滤波器
2
2
1()
1 ( ) n
c
H
c
X16
(1) 巴特沃思低通滤波器的幅频特性
性能参数
衰减函数
通带衰减函数
阻带衰减函数
确定滤波器的阶数 n
2
1 0 lg 1
n
c
2
1
1 0 lg
1
n
c
2
| 1 0 l g 1 3
c
n
c
p
c
dB
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
c
n
2
| 1 0 l g 1
s
n
s
s
c
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
n
特别,ωc=1时
X17
2
2
1()
1 ( ) n
c
H
(2) 巴特沃思低通滤波器的极点分布
21
22s
k
n
根据滤波器的幅度平方函数?传递函数
令,即 代入
sj s
j
2()H?
2
2
1()
1 ( ) n
c
Hs s
j?
21()
22
kj
n
kcse
2 1ncsj21 ( ) 0n
c
s
j
kcs
：无零点，有 2n个极点
令分母多项式＝ 0,得到极点,21()2 21 kjn ne
1,2,,2kn?
2n个极点均匀分布间隔,第 1个极点位置
n
22n
＋
X18
极点分布图
(2) 巴特沃思低通滤波器的极点分布
21
22k
k
n
kcs
1,2,,2kn?
s
4
s
3
s
2
s
1
4 5
o
9 0
o
s
6
s
5
s
4
s
3
s
2
s
1
9 0
o
3 0
o
2阶
3阶极点 4个，间距 π/2 极点 6个，间距
π/3?所有极点以 jω轴对称分布在巴特沃思圆上
虚轴 jω上无极点
n为偶数时,jω轴上无极点
n为奇数时，在 s=± ωc的实轴上有两个极点巴特沃思圆
X19
(3) 巴特沃思低通滤波器的传递函数
因滤波器必须是稳定的
取左 s平面的全部极点作为 H(ω)的极点
右 s平面是的极点属于 H(-ω)
故：
1
()
()
n
c
n
k
k
Hs
ss
/2
22
1
21[ 2 c o s ( ) ]
22
n
c
n
cc
k
kss
n
/2
1
()
( ) ( )
n
c
n
kk
k
Hs
s s s s
保证 Sk＝ 0时，
H(0)=1
n为偶数时
n为奇数时
( 1 ) / 2
22
1
()
21
( ) [ 2 c o s ( ) ]
22
n
c
n
c c c
k
Hs
k
s s s
n
X20
(3) 巴特沃思低通滤波器的传递函数
传递函数的归一化处理
令 代入传递函数表达式：
/2
2
1
1
()
21
[ 2 c os( ) 1 ]
22
n
k
Hs
k
ss
n
0
0
1( ),1
n
k
k
k
nH
s
a
a
sa
c
ss
( 1 ) / 2
2
1
1
()
21
( 1 ) [ 2 c o s ( ) 1 ]
22
n
k
Hs
k
s s s
n
n为偶数时
n为奇数时通式：
巴特沃思多项式标准化查表表 5－ 1
X21
归一化频率的各阶巴特沃思多项式
n 巴特沃思多项式
1
2
3
4
5
6
7
8
2 21ss
6 5 4 3 23,8 6 4 7,4 6 4 9,1 4 2 7,4 6 4 3,8 6 4 1s s s s s s
1s?
322 2 1s s s
4322,6 1 3 3,4 1 4 2,6 1 3 1s s s s
5 4 3 23,2 3 6 5,2 3 6 5,2 3 6 3,2 3 6 1s s s s s
7 6 5 4 3 24,4 9 4 1 0,0 9 8 1 4,5 9 2 1 4,5 9 2 1 0,0 9 8 4,4 9 4 1s s s s s s s
8 7 6 5 4 3 25,1 5 3 1 3,1 3 7 2 1,8 4 6 2 5,6 6 8 2 1,8 4 6 1 3,1 3 7 5,1 5 3 1s s s s s s s s
X22
例题,若巴特沃思滤波器的指标为：当 时衰减率不大于 3dB;当 时衰减率不小于 30dB。
求滤波器的传递函数
解：令
1 2/rad s
2 6/rad s
1 2/cp r a d s
21 0 l g [1 ( ) ] 3p n
p
c
dB
2 6/s r a d s
归一化频率
3lg 1 0 1
3,1 4 3lg 3n
6 3/
2
s
s
c
r a d s
3 1/
3
p
c
c
r a d s
4n
0,1lg 1 0 1
lg ( )
s
s
c
n
查表，得：滤波器归一化传递函数
432
1()
2,6 1 3 3,4 1 4 2,6 1 3 1Hs s s s s
反归一化，令 得：滤波器传递函数
c
ss
432
4 3 2
1
()
( ) 2,6 1 3 ( ) 3,4 1 4 ( ) 2,6 1 3 ( ) 1
2 2 2 2
16
5,2 2 6 1 3,6 5 6 2 0,9 0 4 1 6
Hs
s s s s
s s s s
(取大 )
X23
小结,巴特沃思滤波器设计步骤
一般已知通带截止频率 和阻带截止频率
pc s?
通带衰减 和阻带衰减
s?p?
s
s
c
1pc
c
步骤 1：截止频率归一化处理
0,1
s
l g 1 0 1
lg
s
n
步骤 2：根据 计算阶数 n(取大 )
步骤 3：根据 表 5-1查取巴特沃思多项式
()Hs? 步骤 4：写出归一化巴特沃思滤波器传递函数
()Hs
c
ss
步骤 5：令 反归一化得到滤波器传递函数
X24
6.2.3 切比雪夫低通滤波器
巴特沃思滤波器的特点
幅频特性随单调减小，特性简单、容易掌握；
通带内误差分布不均匀；
阶数 n小时,过渡带频率特性下降慢 ;
要求阻带衰减快时，阶数很大，不利于硬件实现
改进方法,切比雪夫滤波器
切比雪夫低通滤波器
基于切必雪夫多项式正交函数
通带内等波动，保证通带内误差分布均匀
过渡带、阻带衰减单调递增，改善高频抑制性能
是全极点型滤波器中过渡带最窄的滤波器,
Chebyshev
X25
ε—— 决定通带内起伏大小的波动系数,0<ε<1
Tn (● )—— n 阶切比雪夫多项式
ωc—— 通带截止频率
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数：
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
1
1
c o s ( c o s ( ) ) 1()
c o s h ( c o s h ( ) ) 1n
n x xTx
n x x
1,2,n?
n Tn(x) n Tn(x)
0 1 4 8x4-8x2＋ 1
1 x 5 16x5-20x3+5x
2 2x2-1 6 32x6-48x4+18x2-1
3 4x3-3x 7 64x7-112x5+56x3-7x
11( ) 2 ( ) ( )n n nT x x T x T x
递推公式
1c os ( )
2
1s i n ( )
2
jx jx
jx jx
x e e
x e e
j
1co s h ( ) co s ( ) ( )
2
1s i n h ( ) s i n ( ) ( )
2
xx
xx
x j x e e
x j x j e e
X26
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
切比雪夫多项式的特性曲线 (1-4阶 )
|x|<1时,Tn(x)在 ± 1之间波动
|x|>1时,|Tn(x)|单调上升
n 越大上升越快
|x|＝ 1时,|Tn(1)|≡1
当 x=0时：
n为奇数,Tn(x)＝ 0
n为偶数,|Tn(x)|＝ 1
故可保证当
在 0~1之间时，等幅波动
大于 1时，快速衰减
c
x
X27
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
切比雪夫多项式的幅频特性 (2-5阶 )
时,在 之间等幅波动
越小，波动幅度越小
所有曲线过 点
时，曲线锐减
n越大,下降越快
时，
比巴特沃思阻带下降快
B5劣于 C3，仅优于 C2
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
01
c
0
21 ~ 1 / 1()H?
2( ) 1 1 / 1c orH
c 21（,）1+
1
c
n:通带内最大最小值的总数
X28
(1) 切比雪夫低通滤波器的幅频特性
参数确定,截止频率 ωc,波动系数 ε,阶数 n
截止频率 ωc：根据需要确定
波动系数 ε：通带最大损耗，由允许最大衰减 αmax确定
1c o s h ( c o ( 1s h ),s
n
c
s
c
Tn
m a x
2 ( ) | 1
cn
c
T
m i n0,111
1
c o s h ( 1 0 1 )
c o s h ( )s
n
2 22
m a x1 0 l g ( ) 1 0 l g ( 1 ( ) )pn
c
HT
m a x0,11 0 1
s
s
c
阶数 n：由允许的阻带最小衰减 αmin确定
22
m i n1 0 l g (1 ( ) )
s
sn
c
T
归一化阻带截止频率：
X29
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
(2) 切比雪夫低通滤波器的极点分布
1
1
11
sin h [ sin h ( ) ]
:
11
c o sh [ sin h ( ) ]
a
nwh e re
b
n
sj sj
根据滤波器的幅度平方函数?传递函数
令,即 代入,2()H? 2
22
1()
1 ( )n
c
Hs s
T
j
k k ksj
1()
n
c
sTj
j
221 ( ) 0
n
c
sT
j
22
22 1( ) ( )
kk
ccab
令分母多项式＝ 0,得到极点：
1,2,,2kn 记极点：
可证：
21
sin ( )
2
21
c o s( )
2
kc
kc
k
a
n
k
b
n
等间隔 π/n
X30
(2) 切比雪夫低通滤波器的极点分布
极点分布图
22
22 1( ) ( )
kk
ccab
21
2k
k
n
1,2,,2kn?
2阶 3阶极点 4个，间距 π/2
第一点,π/4处 (π/2n)
极点 6个，间距 π/3
第一点,π/6处 (π/2n)21sin ( )
2
21
c o s( )
2
kc
kc
k
a
n
k
b
n
s
6
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
j ω
σ
a ω
c
b ω
c
从 jω正向逆时针每隔 π/n等分圆,第一点 π/2n
s
1
s
3
s
2
s
4
j ω
σ
a ω
c
b ω
c
X31
(3) 切比雪夫低通滤波器的传递函数
幅度平方函数
1
()
n
pk
k
K
ss
2( ) ( ) ( )H H s H s
12
n
c
nK
12
() ( ) ( ) ( )
p p p n
KHs
s s s s s s
2
22
1()
1 ( )n
c
H
T
令 得归一化传递函数：/
css
切比雪夫多项式系数查表 5-3得
反归一化后得传递函数
()Hs
()Hs
取 s左半平面上的极点 spk，构成滤波器的传递函数
0( ) 1H
增益 K应使,可以证明：
1
1 1 0
nn
n
K
s b s b s b
1
()
()
n
pk
k
KHs
ss
1
1
2nnc
KK
X32
例题,5-5,5-6自学,补充 5-5a
5-5 5-6
例 5-5a
