Signals analysis & processing
第 7章 随机信号分析与处理基础华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
7.1 随机信号的描述
随机信号 —— 非确定性信号没有任何确定的变化规律；
不能用准确的数学关系描述；
不能准确预测。
但可用数理统计方法研究其规律。
主要内容随机信号基本概念和统计特征
X3
7.1.1 随机信号及其概率结构
⑴ 随机信号及其概率结构
t
x2(t)
t
x1(t)
t
x3(t)
t
xn(t)
X(t)
t1
xn(t1)
x3(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t2
X(t2)
电子仪器热噪声电压
n次测量试验结果
X4
概念：样本空间与样本样本空间 /样本集合 X(t)：
{ }( ) ( ),1,2,iX t x t i== L
{ } { }1 1 1 2 1 1( ) ( ),( ),( ) | 1,2,iX t x t x t x t i= = =LL
样本函数 /样本 /实现在某一确定时刻 ti,X(ti)是随机变量：
函数集合
xi(t1)是随机的数值集合
/随机过程全部样本的集合构成随机过程
X5
n
t
X(t)
1 2 3 4 5012
0
概念：随机信号的概率分布
① 分布函数
11(,)F x t
表示随机信号 X(t)的样本在时刻 t1的取值小于 x1的概率。
反映随机信号的统计特征
[ ]11()P X t x=
x1
t1
X6
② 分布密度
[ ] [ ]1 1 1 1 1
11 0
1
(,) ( )
(,) l im
x
F x t P x X t x x
p x t
xx D
叮?D
==
禗随机信号 X(t)在时刻 t1的取值落在区间 [x1,x1 + △ x] 的平均概率若 X(t1)取值连续的情况。
一维分布密度
n
t
X(t)
1 2 3 4 5012
0
t1
x1+Δx
x1
X7
二维概率分布密度
[ ]1 2 1 2 1 1 2 2(,;,) ( ) ; ( )F x x t t P X t x X t x= ＃
[ ]2 1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,;,)
(,;,)
F x x t t
p x x t t
xx
=
抖的概率：时刻且时刻 222111 )(,)( xtXtxtXt
二维概率分布函数：
二维概率分布密度：
X8
n 维概率分布密度
[ ]
1 2 1 2
1 1 2 2
(,,;,,)
( ),( ),( )
nn
nn
F x x x t t t
P X t x X t x X t x= ＃
LL
L
[ ]1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,;,,)
(,,;,,)
n
nn
nn
n
F x x x t t t
p x x x t t t
x x x
=
抖
LL
LL
L
：的概率时刻且时刻?,)(,)( 222111 xtXtxtXt
n 维概率分布函数：
n 维概率分布密度：
当 n无限增大时 联合概率分布能精确反映随机过程的统计特征实际工作中，往往 只考虑一、二维分布函数
X9
(2) 随机信号分类 依据：随机信号的集合统计特征平稳随机过程：
（严平稳）
宽平稳随机过程：
非平稳随机过程：
若 X(t) 的统计特征不随时刻 t 变化。
此时，不必关心信号的起点和终点。
一维、二维统计特征不随时间变化，
高阶统计特征随时间变化统计特征随时刻 t 变化机器正常运行时的噪声、振动近似处理非平稳过程机器启动、刹车过程的噪声、振动可以证明：平稳随机信号的一维 F,p与时间无关；
二维 F,p仅与时间差有关。
X10
(2) 随机信号分类 —— 平稳随机信号分类
概率分布建立在随机过程总体集合的基础上，称为 集合平均统计特征量 ；计算量大,使用不变。
定义 时间平均统计量,样本沿时间轴的平均统计特征量；
根据集合平均和样本平均统计量的关系：分为
各态历经 (遍历性 )平稳随机信号,时间平均＝集合平均；
非各态历经 (遍历性 )平稳随机信号,时间平均 ≠集合平均
物理意义：各态历经平稳随机信号包含了随机过程所有可能的取值；当观察时间很大时，样本包含的信息近似等于总体信息，时间平均趋于集合平均。
各态历经平稳随机信号的集合平均可以用样本时间平均代替，
使信号描述得以简化。
X11
7.1.2 随机信号的数字特征
概率分布函数／密度计算复杂
工程中往往用简单的特征值表示随机信号,
均值
方差
均方值
相关函数 (第 6章 )
协方差函数 (第 6章 )
…….
各态历经平稳随机信号用时间平均统计量描述；
非态历经平稳随机信号近似看成各态历经的。
X12
(1) 均值 (数学期望 )
随机信号 X(t)的所有样本在同一时刻 ti取值的统计平均值,
[ ( ) ] ( ) ( )i n i n i
n
E X t x t P t
￥
= -
=? t
x2(t)
t
x1(t)
t
xn(t)
X(t)
xn(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t1 ti
X(ti)
t
E[X(t)] E[X(ti)]
E[X(t1)]
E[X(t0)]
Pn(ti),ti 时刻样本值取 xn的概率不同时刻 t 时,随机信号的均值是变量
[ ( ) ] ( ) ( )nn
n
E X t x t P t￥
= -
\=?
当 X(t)取离散值时,
X13
(1) 均值 (数学期望 )
[ ( ) ] ( ) ( ; )E X t x t p x t d x
￥
-
= ò
t
x2(t)
t
x1(t)
t
xn(t)
X(t)
xn(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t1 ti
X(ti)
t
E[X(t)] E[X(ti)]
E[X(t1)]
E[X(t0)]
p(x;t),t时刻样本值取 x的概率密度 ;
平稳信号一维概率密度 p与时间无关,
故 mx(t)为常数,直流分量,
当 X(t)取连续值时,
()xmt=
mx(t),t时刻随机信号的均值 ;
X14
(1) 均值 (数学期望 )
各态历经平稳随机信号时间平均均值 (样本均值 )
1l im ( )
2
T
x T Tm x t d tT -= ò
取随机信号样本集中的一个样本 x(t)，
当观察时间 T 足够大时，时间平均均值
[ ( ) ]xm E X t=
均值的意义：直流分量与时间无关 mx
x(t)
t
X15
(2) 均方值
定义：
22( ) (,) ( )x t p x t d x E X t￥
-
轾= 犏臌ò2 ()x ty =
意义,信号的平均功率
21l im ( )
2
T
T T
x t d tT
-ò
2xy =
各态历经平稳随机信号：
与时间无关
2xy
2xs mx
x(t)
t
X16
(3) 方差定义,随机信号 与其均值之差的均方值
[ ] [ ] 2( ) ( ) ( )xD X t E X t m t=-
各态历经平稳随机信号：
2 ()x ts =
[ ] ( ) 21( ) l im 2 T x
T T
D X t x m d tT
-
=- ò2xs =
[ ] 2( ) ( ) ( ; )xx t m t p x t d x￥
-
=-ò
随机信号取值偏离其均值的程度意义,与时间无关
mx
x(t)
t
2 2 2x x xmys=+
X17
均值、方差、均方值的关系
2 2 2
x x xmys=+
( ) 22 1l im 2 Txx
T T
x m d xTs
-
=- ò
221l im [ 2 ]
2
T
xxT T x x m m d xT -= - +ò
221l im [ 2 ]
2
T T T
xxT T T Tx d x m x d t m d tT - - -= - +蝌
22xxmy=-
证明：
X18
7.1.3 随机信号数字特征的估计
随机信号测量中，只能获得有限的样本；
样本长度（观察时间）有限；
随机信号真实数字特征不可求得；
如何较精确的由样本估计数字特征？
估计质量的评价准则是什么？
本小节内容：
估计质量的评价准则
各态遍历性平稳随机信号数字特征估计
X19
（ 1）估计质量的评价准则
统计量一般有：
均值
均方差
随机信号统计量的估计质量评价指标：
无偏性 /渐近无偏性
有效性
一致性
X20
<1> 无偏估计
设 x为一统计量的真值,为其多次测量的估计值x%
估计的偏差为 ( ) [ ]B x x E x=-%%
若 即( ) 0Bx =% []E x x=%
则称 是 x 的无偏估计,否则是有偏估计x%
若 即
l i m ( ) 0N Bx =% l i m [ ]
N E x x=%
则称 是 x 的渐近无偏估计
N为观察次数或采样点数
x%
注意,无偏性指多次估计的平均值接近于真值，
不保证单次估计值都接近真值，可能有偏差。
X21
称估计值 比 有效
若 和 都是无偏的
<2> 有效估计
若用某种方法得到真值 x 的估计值 x%
( ) ( )D x D x￠<%%
2( ) [ ( ) ]D x E x x=-%%
x￠%
则称估计 是有效的
用其它方法得到的估计值为
若满足
2( ) [ ( ) ]D x E x xⅱ =-%%
x%
x% x￠%
2( ) [ ( [ ] ) ]D x E x E x=-% % % 2( ) [ ( [ ] ) ]D x E x E xⅱ =-% % %
x% x￠%
估计值与真值的均方差有效性保证估计值误差相对较小不排除偏差的存在
X22
<3> 一致估计
当观察次数或采样点数趋于无穷时，估计值均方误差趋于零，即
2l im ( ) l im [ ( ) ] 0
NND x E x x= - =%%
则称估计值 是 的一致估计量
x% x
一致性保证观察次数无穷大时，
估计值是无偏的，但不一定是有效的,
X23
（ 2）随机信号数字特征的估计
前提：各态遍历性；离散信号
设 x(n)是各态历经随机信号 {X(n)}的一个样本
采样点数 N
xm=
<1> 均值估计无偏估计：
1
0
1 N
x
n
mN
-
=
=?
1
0
1 ()N
x
n
m x nN
-
=
=?%
1
0
1[ ] [ ( ) ]N
x
n
E m E x nN
-
=
=?%
1
0
1 [ ( ) ]N
n
E x nN
-
=
=?
X24
（ 2）随机信号数字特征的估计
11
2
1
00
2
2
0
11 [( [()) (]] )NN
n
N
m
mn
n
ExE nx
N N
x mn
---
==
1
=
=+ 邋?
<1> 均值估计一致估计：
1
0
1 ()N
x
n
m x nN
-
=
=?%
2[ ] [ ( [ ] ) ]x x xD m E m E m=-% % %
1
2
0
1
0
1[ ] [ ( ) 1 () ]N
m
x
n
N
Em mE x n xNN
-
=
-
=
=%Q
22[ 2 [ ] ( [ ] ) ]x x x xE m m E m E m= - +% % % %
22[ ] ( [ ] )xxE m E m=-%% 22[]
xxE m m=-%
X25
（ 2）随机信号数字特征的估计
2
l im [ ] l im 0xxNNDm Ns\ = =
当 x(n)与 x(m)不相关时：
11
2
00
1 ()NN
xx
nm
mn
mm
N
--
==
1
= 邋
2
2 2 2 2 21 1 1[ ] ( ) x
x x x x x x
ND m m m m
N N N N
syy -\ = + - = - =%
22
2
11( 1 )
xx
NN N m m
NN
-=? =
11
2
00
11
2
00
1 [ ( ) ] [1 [ ( ) ( ) ] ( ) ]NN
nm
mn
NN
nm
mn
E x n E x m
N
E x n x m
N
----
== ==
1 1
= 邋 邋一致估计
1
2 2 2
2
0
11[ ] [ ( ) ]N
xx
n
NE m E x n m
NN
-
=
-\ = +?%
X26
（ 2） 随机信号数字特征的估计
若均值的估计 已知，方差估计为
xm%
<2> 方差估计
1
22
0
1[ ] [ ( ) ]N
xx
n
E E x n mNs
-
=
=-? %%
1
22
0
1 [ ( ) ]N
x
n
E x n mN
-
=
=-? %
1
22
0
1 [ ( ) ]N
xx
n
x n mNs
-
=
=-? %%
1
22
0
1 { [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ] }N
xx
n
E x n m E x n E mN
-
=
= - +? %
1
22
0
11[ ( ) ] [ ]N
x
n
E x n E mNN
-
=
=-? %
该估计的均值
X27
（ 2） 随机信号数字特征的估计
1
2 2 2
2
0
11[ ] [ ( ) ]N
xx
n
NE m E x n m
NN
-
=
-=+?%Q
2 2 21l im [ ] l im
x x xNN
NE
Ns s s
-==Q
22[]xxE ss1Q
<2> 方差估计
11
2 2 2 2
2
00
1 1 1[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]NN
nn
NE E x n E x n m
N N Ns
--
==
-\ = - -邋
2 2 211[ ] [ ( ) ]
xx
NNE E x n m
NNs
--\ = -
2 2 211[ ( ) ] [ ( ) ]
x
NE x n E x n m
NN
-= - -
21 xNN s-=
有偏估计渐近无偏估计
第 7章 随机信号分析与处理基础华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
7.1 随机信号的描述
随机信号 —— 非确定性信号没有任何确定的变化规律；
不能用准确的数学关系描述；
不能准确预测。
但可用数理统计方法研究其规律。
主要内容随机信号基本概念和统计特征
X3
7.1.1 随机信号及其概率结构
⑴ 随机信号及其概率结构
t
x2(t)
t
x1(t)
t
x3(t)
t
xn(t)
X(t)
t1
xn(t1)
x3(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t2
X(t2)
电子仪器热噪声电压
n次测量试验结果
X4
概念：样本空间与样本样本空间 /样本集合 X(t)：
{ }( ) ( ),1,2,iX t x t i== L
{ } { }1 1 1 2 1 1( ) ( ),( ),( ) | 1,2,iX t x t x t x t i= = =LL
样本函数 /样本 /实现在某一确定时刻 ti,X(ti)是随机变量：
函数集合
xi(t1)是随机的数值集合
/随机过程全部样本的集合构成随机过程
X5
n
t
X(t)
1 2 3 4 5012
0
概念：随机信号的概率分布
① 分布函数
11(,)F x t
表示随机信号 X(t)的样本在时刻 t1的取值小于 x1的概率。
反映随机信号的统计特征
[ ]11()P X t x=
x1
t1
X6
② 分布密度
[ ] [ ]1 1 1 1 1
11 0
1
(,) ( )
(,) l im
x
F x t P x X t x x
p x t
xx D
叮?D
==
禗随机信号 X(t)在时刻 t1的取值落在区间 [x1,x1 + △ x] 的平均概率若 X(t1)取值连续的情况。
一维分布密度
n
t
X(t)
1 2 3 4 5012
0
t1
x1+Δx
x1
X7
二维概率分布密度
[ ]1 2 1 2 1 1 2 2(,;,) ( ) ; ( )F x x t t P X t x X t x= ＃
[ ]2 1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,;,)
(,;,)
F x x t t
p x x t t
xx
=
抖的概率：时刻且时刻 222111 )(,)( xtXtxtXt
二维概率分布函数：
二维概率分布密度：
X8
n 维概率分布密度
[ ]
1 2 1 2
1 1 2 2
(,,;,,)
( ),( ),( )
nn
nn
F x x x t t t
P X t x X t x X t x= ＃
LL
L
[ ]1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,;,,)
(,,;,,)
n
nn
nn
n
F x x x t t t
p x x x t t t
x x x
=
抖
LL
LL
L
：的概率时刻且时刻?,)(,)( 222111 xtXtxtXt
n 维概率分布函数：
n 维概率分布密度：
当 n无限增大时 联合概率分布能精确反映随机过程的统计特征实际工作中，往往 只考虑一、二维分布函数
X9
(2) 随机信号分类 依据：随机信号的集合统计特征平稳随机过程：
（严平稳）
宽平稳随机过程：
非平稳随机过程：
若 X(t) 的统计特征不随时刻 t 变化。
此时，不必关心信号的起点和终点。
一维、二维统计特征不随时间变化，
高阶统计特征随时间变化统计特征随时刻 t 变化机器正常运行时的噪声、振动近似处理非平稳过程机器启动、刹车过程的噪声、振动可以证明：平稳随机信号的一维 F,p与时间无关；
二维 F,p仅与时间差有关。
X10
(2) 随机信号分类 —— 平稳随机信号分类
概率分布建立在随机过程总体集合的基础上，称为 集合平均统计特征量 ；计算量大,使用不变。
定义 时间平均统计量,样本沿时间轴的平均统计特征量；
根据集合平均和样本平均统计量的关系：分为
各态历经 (遍历性 )平稳随机信号,时间平均＝集合平均；
非各态历经 (遍历性 )平稳随机信号,时间平均 ≠集合平均
物理意义：各态历经平稳随机信号包含了随机过程所有可能的取值；当观察时间很大时，样本包含的信息近似等于总体信息，时间平均趋于集合平均。
各态历经平稳随机信号的集合平均可以用样本时间平均代替，
使信号描述得以简化。
X11
7.1.2 随机信号的数字特征
概率分布函数／密度计算复杂
工程中往往用简单的特征值表示随机信号,
均值
方差
均方值
相关函数 (第 6章 )
协方差函数 (第 6章 )
…….
各态历经平稳随机信号用时间平均统计量描述；
非态历经平稳随机信号近似看成各态历经的。
X12
(1) 均值 (数学期望 )
随机信号 X(t)的所有样本在同一时刻 ti取值的统计平均值,
[ ( ) ] ( ) ( )i n i n i
n
E X t x t P t
￥
= -
=? t
x2(t)
t
x1(t)
t
xn(t)
X(t)
xn(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t1 ti
X(ti)
t
E[X(t)] E[X(ti)]
E[X(t1)]
E[X(t0)]
Pn(ti),ti 时刻样本值取 xn的概率不同时刻 t 时,随机信号的均值是变量
[ ( ) ] ( ) ( )nn
n
E X t x t P t￥
= -
\=?
当 X(t)取离散值时,
X13
(1) 均值 (数学期望 )
[ ( ) ] ( ) ( ; )E X t x t p x t d x
￥
-
= ò
t
x2(t)
t
x1(t)
t
xn(t)
X(t)
xn(t1)
x1(t1)
x2(t1)
X(t1)
t1 ti
X(ti)
t
E[X(t)] E[X(ti)]
E[X(t1)]
E[X(t0)]
p(x;t),t时刻样本值取 x的概率密度 ;
平稳信号一维概率密度 p与时间无关,
故 mx(t)为常数,直流分量,
当 X(t)取连续值时,
()xmt=
mx(t),t时刻随机信号的均值 ;
X14
(1) 均值 (数学期望 )
各态历经平稳随机信号时间平均均值 (样本均值 )
1l im ( )
2
T
x T Tm x t d tT -= ò
取随机信号样本集中的一个样本 x(t)，
当观察时间 T 足够大时，时间平均均值
[ ( ) ]xm E X t=
均值的意义：直流分量与时间无关 mx
x(t)
t
X15
(2) 均方值
定义：
22( ) (,) ( )x t p x t d x E X t￥
-
轾= 犏臌ò2 ()x ty =
意义,信号的平均功率
21l im ( )
2
T
T T
x t d tT
-ò
2xy =
各态历经平稳随机信号：
与时间无关
2xy
2xs mx
x(t)
t
X16
(3) 方差定义,随机信号 与其均值之差的均方值
[ ] [ ] 2( ) ( ) ( )xD X t E X t m t=-
各态历经平稳随机信号：
2 ()x ts =
[ ] ( ) 21( ) l im 2 T x
T T
D X t x m d tT
-
=- ò2xs =
[ ] 2( ) ( ) ( ; )xx t m t p x t d x￥
-
=-ò
随机信号取值偏离其均值的程度意义,与时间无关
mx
x(t)
t
2 2 2x x xmys=+
X17
均值、方差、均方值的关系
2 2 2
x x xmys=+
( ) 22 1l im 2 Txx
T T
x m d xTs
-
=- ò
221l im [ 2 ]
2
T
xxT T x x m m d xT -= - +ò
221l im [ 2 ]
2
T T T
xxT T T Tx d x m x d t m d tT - - -= - +蝌
22xxmy=-
证明：
X18
7.1.3 随机信号数字特征的估计
随机信号测量中，只能获得有限的样本；
样本长度（观察时间）有限；
随机信号真实数字特征不可求得；
如何较精确的由样本估计数字特征？
估计质量的评价准则是什么？
本小节内容：
估计质量的评价准则
各态遍历性平稳随机信号数字特征估计
X19
（ 1）估计质量的评价准则
统计量一般有：
均值
均方差
随机信号统计量的估计质量评价指标：
无偏性 /渐近无偏性
有效性
一致性
X20
<1> 无偏估计
设 x为一统计量的真值,为其多次测量的估计值x%
估计的偏差为 ( ) [ ]B x x E x=-%%
若 即( ) 0Bx =% []E x x=%
则称 是 x 的无偏估计,否则是有偏估计x%
若 即
l i m ( ) 0N Bx =% l i m [ ]
N E x x=%
则称 是 x 的渐近无偏估计
N为观察次数或采样点数
x%
注意,无偏性指多次估计的平均值接近于真值，
不保证单次估计值都接近真值，可能有偏差。
X21
称估计值 比 有效
若 和 都是无偏的
<2> 有效估计
若用某种方法得到真值 x 的估计值 x%
( ) ( )D x D x￠<%%
2( ) [ ( ) ]D x E x x=-%%
x￠%
则称估计 是有效的
用其它方法得到的估计值为
若满足
2( ) [ ( ) ]D x E x xⅱ =-%%
x%
x% x￠%
2( ) [ ( [ ] ) ]D x E x E x=-% % % 2( ) [ ( [ ] ) ]D x E x E xⅱ =-% % %
x% x￠%
估计值与真值的均方差有效性保证估计值误差相对较小不排除偏差的存在
X22
<3> 一致估计
当观察次数或采样点数趋于无穷时，估计值均方误差趋于零，即
2l im ( ) l im [ ( ) ] 0
NND x E x x= - =%%
则称估计值 是 的一致估计量
x% x
一致性保证观察次数无穷大时，
估计值是无偏的，但不一定是有效的,
X23
（ 2）随机信号数字特征的估计
前提：各态遍历性；离散信号
设 x(n)是各态历经随机信号 {X(n)}的一个样本
采样点数 N
xm=
<1> 均值估计无偏估计：
1
0
1 N
x
n
mN
-
=
=?
1
0
1 ()N
x
n
m x nN
-
=
=?%
1
0
1[ ] [ ( ) ]N
x
n
E m E x nN
-
=
=?%
1
0
1 [ ( ) ]N
n
E x nN
-
=
=?
X24
（ 2）随机信号数字特征的估计
11
2
1
00
2
2
0
11 [( [()) (]] )NN
n
N
m
mn
n
ExE nx
N N
x mn
---
==
1
=
=+ 邋?
<1> 均值估计一致估计：
1
0
1 ()N
x
n
m x nN
-
=
=?%
2[ ] [ ( [ ] ) ]x x xD m E m E m=-% % %
1
2
0
1
0
1[ ] [ ( ) 1 () ]N
m
x
n
N
Em mE x n xNN
-
=
-
=
=%Q
22[ 2 [ ] ( [ ] ) ]x x x xE m m E m E m= - +% % % %
22[ ] ( [ ] )xxE m E m=-%% 22[]
xxE m m=-%
X25
（ 2）随机信号数字特征的估计
2
l im [ ] l im 0xxNNDm Ns\ = =
当 x(n)与 x(m)不相关时：
11
2
00
1 ()NN
xx
nm
mn
mm
N
--
==
1
= 邋
2
2 2 2 2 21 1 1[ ] ( ) x
x x x x x x
ND m m m m
N N N N
syy -\ = + - = - =%
22
2
11( 1 )
xx
NN N m m
NN
-=? =
11
2
00
11
2
00
1 [ ( ) ] [1 [ ( ) ( ) ] ( ) ]NN
nm
mn
NN
nm
mn
E x n E x m
N
E x n x m
N
----
== ==
1 1
= 邋 邋一致估计
1
2 2 2
2
0
11[ ] [ ( ) ]N
xx
n
NE m E x n m
NN
-
=
-\ = +?%
X26
（ 2） 随机信号数字特征的估计
若均值的估计 已知，方差估计为
xm%
<2> 方差估计
1
22
0
1[ ] [ ( ) ]N
xx
n
E E x n mNs
-
=
=-? %%
1
22
0
1 [ ( ) ]N
x
n
E x n mN
-
=
=-? %
1
22
0
1 [ ( ) ]N
xx
n
x n mNs
-
=
=-? %%
1
22
0
1 { [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ] }N
xx
n
E x n m E x n E mN
-
=
= - +? %
1
22
0
11[ ( ) ] [ ]N
x
n
E x n E mNN
-
=
=-? %
该估计的均值
X27
（ 2） 随机信号数字特征的估计
1
2 2 2
2
0
11[ ] [ ( ) ]N
xx
n
NE m E x n m
NN
-
=
-=+?%Q
2 2 21l im [ ] l im
x x xNN
NE
Ns s s
-==Q
22[]xxE ss1Q
<2> 方差估计
11
2 2 2 2
2
00
1 1 1[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]NN
nn
NE E x n E x n m
N N Ns
--
==
-\ = - -邋
2 2 211[ ] [ ( ) ]
xx
NNE E x n m
NNs
--\ = -
2 2 211[ ( ) ] [ ( ) ]
x
NE x n E x n m
NN
-= - -
21 xNN s-=
有偏估计渐近无偏估计
