Signals analysis & processing
第 6章 信号的相关分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
主要内容
6.1 相关系数及其性质
6.2 互相函数及其性质
6.3 相关定理
6.4 相关分析的应用
X3
6.1 相关系数及其性质
引言通信系统雷达系统控制系统等发送端 x(t) 接收端 y(t)
干扰信号 n(t)
+ +
现象,信号畸变,y(t)=x(t)+n(t)
问题,输出中有无输入？（信号检测）
输出与输入的依赖关系？（系统性能）
措施,延时域相关分析
X4
6.1 相关系数及其性质
引言
线性相关 —— 两个变量或函数之间的线性关系
非线性相关 —— 两变量之间的非线性关系可转化为线性相关来处理
推广：信号相关 —— 两信号之间的相关关系
用途：除噪、提高信噪比、相关检测等
x(t)
y(t)
线性相关
x(t)
y(t)
非线性相关
x(t)
y(t)
不相关
X5
6.1 相关系数及其性质
如果两个信号相似，可用一个信号 y(t) 去近似表示另一个信号 x(t)。
设 x(t),y(t)能量有限，
x(t)—— μx,σx
y(t)—— μy,σy
零均值化
( ) ~ ( 0,)xxxt ms-
( ) ~ ( 0,)yyyt ms-
t
x(t)
0
μx
t
y(t)
τ0
μy
( ) ( ) ( )x y ex t a y t x tt= + +
近似误差实系数 延时令,μx= μy=0
X6
6.1 相关系数及其性质
t
x(t)
0
μx
t
y(t)
τ0
μy
近似误差,( ) ( ) ( )
x y ex t a y t x tt= + +
( ) ( ) ( )e x yx t x t a y t t= - +
按最小均方差准则：
22 ( ) ( ) ( )
e x yx t x t a y t d tt
￥
-
轾= - +犏臌ò
2 ( ) m inext 求 axy，使
2 ()
e
xy
xt
a
2 ( ) ( ) ( )xyy t x t a y t d ttt￥
-
轾= - + - +犏臌ò
2( ) ( ) ( ) 0
xyy t x t d t a y t d ttt
ゥ
-?
+ - + =蝌
X7
2
( ) ( )
()
xy
y t x t dt
a
y t dt
t
t
￥
-
￥
-
+
+
ò
ò
6.1 相关系数及其性质
2( ) ( ) ( ) 0
xyy t x t d t a y t d ttt
ゥ
-?
+ - + =蝌
22 ( ) ( ) ( )
e x yx t x t a y t d tt
￥
-
轾= - +犏臌ò
2
22
m in
2
( ) ( )
( ) ( )
()
e
x t y t d t
x t x t d t
y t d t
t
￥
￥ -
￥
-
-
轾
+犏犏臌
=-
ò
ò
ò
代入误差公式，得最小近似误差
2
( ) ( )
()
x t y t dt
y t dt
t
￥
-
￥
-
+
=
ò
ò
X8
6.1 相关系数及其性质
用信号 x(t)的能量对最小误差归一化处理：
2
22
m in
2
( ) ( )
( ) ( )
()
e
x t y t d t
x t x t d t
y t d t
t
￥
￥ -
￥-
-
轾
+犏犏臌=- ò
ò
ò
2
m i n
m i n
2
()
()
ext
x t d t
e ￥
-
=
ò
2
22
( ) ( )
1
( ) ( )
x t y t dt
x t dt y t dt
t
￥
-
ゥ
-?
轾
+犏犏臌
=-
ò
蝌
令：
2
2
2
( ) ( )
1
xy
x t y t dt
s
t
s
￥
-
轾
+犏犏臌
=-
ò 平稳过程！
常数
( ) ( )
()xy
y
x t y t dtt
rt
ss
￥
-
+
=
ò
x
X9
6.1 相关系数及其性质
则,2m i n 1 ( )xye r t=-
( ) 1xyrt ￡? 可以证明：
xyr
称为相关系数
反映两信号的相关程度
是延时 τ的函数
01xyr< < 信号部分相关
0xyr = 信号完全不相关
1xyr = 信号完全相关
2 ()x y extr 信号相关程度越好相关系数正、
负号的意义？
X10
6.1 相关系数及其性质
对于功率有限信号
/2
/2
1
l im ( ) ( )
T
T T
xy
xy
x t y t dt
T
t
rt
ss
-
=
ò ＋
（ ）
推广到一般情况，将 代入，得
( ) ( ) yy t y t m?
( ) ( ) xx t x t m?
X11
周期信号时,T
取一个周期
6.1 相关系数及其性质
/2
/2
1l im ( ) ( )
()
T
T T
xy
y
x t y t dt
T
t
rt
ss
-
+
=
ò
x
/2
/2
1
l im [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
T
y x x yT
T
y
x t y t x t y t d t
T
t m m t m m
ss
-
+ - - + +
=
ò
x
/2
/2
1
l im [ ( ) ] [ ( ) ]
T
xyT
T
y
x t y t d t
T
m t m
ss
-
- + -
=
ò
x
/2
/2
1l im ( ) ( )
()
T
xyT T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
\=
ò
x
X12
小结 —— 相关系数计算式
能量有限信号
( ) ( )
()
xy
xy
y
x t y t d tt m m
rt
ss
￥
-
+-
=
ò
x
功率有限信号
/2
/2
1
l im ( ) ( )
()
T
xyT
T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
=
ò
x
X13
6.2 相关函数及其性质
相关系数只与 有关/2
/2
l im ( ) (1 )T
T T
x t y t tT dt
-
+ò
定义相关函数
/2
/2
( ) l im ( ) ( )Txy T
T
R x t y t d ttt
-
=+ò能量有限信号：
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ ò
功率有限信号：
相关函数也描述信号之间的相关关系，但有量纲；
相关系数为归一化参数，便于应用；
两个信号在不同延时 τ时相关关系可能不同。
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X14
相关系数与相关函数的比较
|ρxy| Rxy 相关性 近似误差
0 完全不相关 100％
1 完全相关 0％
（ 0,1） 部分相关 (0,1)
x y x ym m s s±
xymm
)x y x ym m s s+
(,x y x ym m s s-
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X15
互相关函数与自相关函数
Rxy(τ),ρxy(τ)描述不同延时 τ时两个信号的相关程度
称 Rxy(τ)为互相关函数 ;称 ρxy(τ)为互相关系数 /2
/2
1
l im ( ) ( )
()
T
xyT
T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
=
ò
x当 x(t)=y(t)时，相关函数描述同一信号不同时刻取值的依赖关系
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xx T TR x t x t d tTtt -=+ ò
（ 1）互相关函数与互相关系数
（ 2）自相关函数与自相关系数称 Rxx(τ)为自相关函数 ;称 ρxx(τ)为自相关系数
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ ò
/2
2
/2
2
1
l im ( ) ( )
()
T
xT
T
xx
x t x t d t
T
tm
rt
s
-
+-
=
ò
x
X16
6.2 相关函数的性质
6.2.1互相关函数的性质
0 1 1 0 2 2( ) s i n ( ),( ) s i n ( )x t x t y t y tw j w j= + = +
引例 （ 2－ 30）：
求信号 x(t)与 y(t)的互相关函数 Rxy(τ),已知
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ò
解,功率有限信号,T取两信号的周期的最小公倍数
/2
0 0 1 1 2 2/2
1( ) sin ( ) sin [ ( ) ]T
xy TR x y t t d tTt w j w t j-= + + +ò
分两种情况,
X17
6.2.1 互相关函数的性质
(1) 当 时，由正弦信号的正交性：
/2
0 0 1 1 2 2/2
1( ) sin ( ) sin [ ( ) ]T
xy TR x y t t d tTt w j w t j-= + + +ò
12ww1
0 0 0 2 1
1( ) c o s[ ( ) ]
2xyR x yt w t j j= + -
( ) 0xyR t =
1 2 0w w w==? (2) 当 时：
结论：
X18
6.2.1 互相关函数的性质
结论：
同频相关，不同频不相关
Rxy保留两信号的幅值、同频频率、相位差
丢失两信号的初相位
当 τ?∞时：
无同频分量,Rxy(τ）?μxμy
有同频分量,Rxy(τ)以共同频率作恒幅振荡
Rxy(τ)|τ＝ τo＝ max。 一般 τ0≠0，描述信号通道时差，
用于相关检测
Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
( ) 0xyR t =
0 0 0 2 1
1( ) c o s[ ( ) ]
2xyR x yt w t j j= + -
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X19
6.2.1 互相关函数的性质
互相关函数可能的图像
Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
()yxR t
t
T-
T
2T-
()xyR t
t
T
T
2T
Rxy(τ)≠ Ryx (-τ)
Rxy(τ)
ττo
μxμy
Rmax
0
X20
6.2.2 自相关函数的性质
性质
( ) ( )x x x xRRtt-=
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xx T TR x t x t d tTtt -=+ ò
2
2
()( ),( 0 ) 1x x x
x x x x
R tmr t r
s
-==
x
对称性,Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
最大值：
2 2 2( 0 )x x x x xR m s y= + =
无周期分量时 Rx x(∞)?μx2
有周期分量时 Rx x(∞)周期振荡
保留信号的幅值、频率，丢失初相位
0 0 0 2 1
2
00
1
( ) c os[ ( ) ]
2
1
( ) c os( )
2
xx
xx
R x y
R x t
t w t j j
tw
= + -
=
X21
6.2.2 自相关函数的性质
()xyR t
Rxy(τ)
τ
μxμy
ψx2
0
的一般图像
X22
6.3 相关定理
研究相关函数与卷积的关系
寻找相关函数的快速运算方法
( ) ( ) ( ) ( )x y x t y t d tt t t￥
-
* = -ò相关：
( ) ( ) ( )xyR x t y t d ttt ￥
-
=+ò卷积：
运算过程：都包含位移、乘积、积分卷积多一个翻转
X23
6.3.1 相关与卷积的关系
对于任意的 x(t),y(t)
( ) ( ) ( ) ( )x y x t y t d tt t t￥
-
* = -ò
结论,相关可以通过卷积予以计算
( ) ( ) ( )xyR x t y t d ttt ￥- =+ò
方法,将一个信号先翻转，再与另一信号卷积
( ) ( )x y dx t x x￥
-
=+ò
( ) ( )xytt-*
工具,FFT
()xyR t
,tx = - 令( ) ( )x t y t d tt￥
-
--ò=
=
X24
称 为函数 x与 y的 互能量 (功率 )谱密度
6.3.2 相关定理
( ) ( ) ( )xyR x yt t t= - *Q
R e a l( ) ( ) ( )
FTx t X Xww *- - =垐垎噲垐
( ) ( )XYww-
( ) ( ),( ) ( )x t X y t Yww
( ) ( ) ( ) ( )FTx t y t X Yww- * - 垐垎噲垐
() FTxyR t\ 垐垎噲垐若：
则,
( ) ( )XYww* ×
结论,互相关函数与两个信号的互能量谱密度是一傅里叶变换对
( ) ( )XYww* ×
X25
结论,信号的自相关函数和该信号的自能量谱密度互为傅里叶变换对。
6.3.2 相关定理
*( ) ( ) ( )FTxxR X Xt w w×垐垎噲垐
—— 相关定理
21( ) ( )
2
j
xxR X e d
wtt w w
p
￥
-
= ò即
2)(?X? )(?E?
对于自相关函数,( ) ( ) ( )FT
xyR X Yt w w* ×垐垎噲垐称 为函数 x的 自能量 (功率 )谱密度2| ( ) |X w
X26
6.3.2 相关定理
帕斯瓦尔公式
21( 0 ) ( )
2xxR X dwwp
￥
-
ò
2()x t d t￥
-
= ò
21( ) ( )
2
j
xxR X e d
wtt w w
p
￥
-
= ò
0
1( 0 ) ( ) ( ) |
2xxR x t x t d t ttp
￥
=- =+ò
22 1( ) ( )
2x t d t X dwwp
ゥ
-?
\=蝌连续信号的 帕斯瓦尔公式
——信号时域与频域的总能量 (功率 )相等
X27
6.3.3 相关函数的计算
根据相关函数和卷积的关系：
( ) ( ) ( )FTxyR X Yt w w* ×垐垎噲垐
（ 1）连续信号相关算法
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
FT
IFT
xyFT
x t X X Y R
y t Y
w w w t
w
*ü?揪? 井y
揪?t
（ 2）离散信号快速相关算法（ FFT）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
FFT
I F F TNN
N N x yFFT
NN
x n x n X k X k Y k R n
y n y n Y k
*ü?揪? 揪 y
揪?t
%% % % %
%%
取一个整周期N≥lx+ly-1
y(t)=x(t)?自相关函数
X28
6.4 相关分析的应用
除噪降噪
目标源识别
故障分析
相关测速
X29
6.4.1 除噪降噪
如图理想线性时不变系统 y(t) = x(t-t0),x(t)可测
系统输入输出噪声 ni(t)和 no(t)为零均值的随机信号
ni(t)和 no(t)以及它们与输入输出不相关
可以利用相关技术排除噪声。
若,x( t )?x’( t )= x( t-t0 ); ni( t )?ni’( t )= ni( t-t0 );
系 统
ni(t) no(t)
+
y(t)x(t) +
+
+
则：系统输出 y(t) = x’( t )+ni’( t )+no( t )
= x( t-t0 )+ ni( t-t0 )+no( t )
X30
6.4.1 除噪降噪
求输出和输入的相关函数
' ( ) ( ) ( )x x x n i x n oR R Rt t t= + +
' ()xxR t=
( ) { ( ) ( ) }xyR E x t y ttt=+
00{ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] }E x t x t t n i t t n o tt t t= + - + + - + +
00
可见相关函数只包含系统输入与真正输出的信息，
与输入输出噪声无关。
当 τ较大时可实现精确测量。
Rxx’(τ)
0 t0
τ
X31
有目标
6.4.2 目标源识别
雷达探测
0
1
2S v t?
x(t)
y(t)
S x(t) y(t)
S
τ
Rxy(τ)max
t0
()xyR t 0( ) | m a xx y tR tt =?
0tT
0 2v t S?
v ——电磁波速度
v ——声波在海水中的速度
水纳探测
X32
6.4.2 目标源识别
汽车噪声源分析 相 关分析仪
y(t)
拾音器
Rx1y(τ)
x1(t) x2(t)振动传感器器振动传感器器
τ
Rx1y(τ)
max
t1 τ
Rx2y(τ)max
t2
主噪声源
：
后轮前轮信道较短
X33
6.4.3 故障诊断
鉴别信号周期成分无周期成分，正常状态有周期成分，故障状态
τ
Rxy(τ)
τ
Rxy(τ)
检测量：振动、噪声
f
F[Rxy(τ)]
f3f2f1
第 6章 信号的相关分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
主要内容
6.1 相关系数及其性质
6.2 互相函数及其性质
6.3 相关定理
6.4 相关分析的应用
X3
6.1 相关系数及其性质
引言通信系统雷达系统控制系统等发送端 x(t) 接收端 y(t)
干扰信号 n(t)
+ +
现象,信号畸变,y(t)=x(t)+n(t)
问题,输出中有无输入？（信号检测）
输出与输入的依赖关系？（系统性能）
措施,延时域相关分析
X4
6.1 相关系数及其性质
引言
线性相关 —— 两个变量或函数之间的线性关系
非线性相关 —— 两变量之间的非线性关系可转化为线性相关来处理
推广：信号相关 —— 两信号之间的相关关系
用途：除噪、提高信噪比、相关检测等
x(t)
y(t)
线性相关
x(t)
y(t)
非线性相关
x(t)
y(t)
不相关
X5
6.1 相关系数及其性质
如果两个信号相似，可用一个信号 y(t) 去近似表示另一个信号 x(t)。
设 x(t),y(t)能量有限，
x(t)—— μx,σx
y(t)—— μy,σy
零均值化
( ) ~ ( 0,)xxxt ms-
( ) ~ ( 0,)yyyt ms-
t
x(t)
0
μx
t
y(t)
τ0
μy
( ) ( ) ( )x y ex t a y t x tt= + +
近似误差实系数 延时令,μx= μy=0
X6
6.1 相关系数及其性质
t
x(t)
0
μx
t
y(t)
τ0
μy
近似误差,( ) ( ) ( )
x y ex t a y t x tt= + +
( ) ( ) ( )e x yx t x t a y t t= - +
按最小均方差准则：
22 ( ) ( ) ( )
e x yx t x t a y t d tt
￥
-
轾= - +犏臌ò
2 ( ) m inext 求 axy，使
2 ()
e
xy
xt
a
2 ( ) ( ) ( )xyy t x t a y t d ttt￥
-
轾= - + - +犏臌ò
2( ) ( ) ( ) 0
xyy t x t d t a y t d ttt
ゥ
-?
+ - + =蝌
X7
2
( ) ( )
()
xy
y t x t dt
a
y t dt
t
t
￥
-
￥
-
+
+
ò
ò
6.1 相关系数及其性质
2( ) ( ) ( ) 0
xyy t x t d t a y t d ttt
ゥ
-?
+ - + =蝌
22 ( ) ( ) ( )
e x yx t x t a y t d tt
￥
-
轾= - +犏臌ò
2
22
m in
2
( ) ( )
( ) ( )
()
e
x t y t d t
x t x t d t
y t d t
t
￥
￥ -
￥
-
-
轾
+犏犏臌
=-
ò
ò
ò
代入误差公式，得最小近似误差
2
( ) ( )
()
x t y t dt
y t dt
t
￥
-
￥
-
+
=
ò
ò
X8
6.1 相关系数及其性质
用信号 x(t)的能量对最小误差归一化处理：
2
22
m in
2
( ) ( )
( ) ( )
()
e
x t y t d t
x t x t d t
y t d t
t
￥
￥ -
￥-
-
轾
+犏犏臌=- ò
ò
ò
2
m i n
m i n
2
()
()
ext
x t d t
e ￥
-
=
ò
2
22
( ) ( )
1
( ) ( )
x t y t dt
x t dt y t dt
t
￥
-
ゥ
-?
轾
+犏犏臌
=-
ò
蝌
令：
2
2
2
( ) ( )
1
xy
x t y t dt
s
t
s
￥
-
轾
+犏犏臌
=-
ò 平稳过程！
常数
( ) ( )
()xy
y
x t y t dtt
rt
ss
￥
-
+
=
ò
x
X9
6.1 相关系数及其性质
则,2m i n 1 ( )xye r t=-
( ) 1xyrt ￡? 可以证明：
xyr
称为相关系数
反映两信号的相关程度
是延时 τ的函数
01xyr< < 信号部分相关
0xyr = 信号完全不相关
1xyr = 信号完全相关
2 ()x y extr 信号相关程度越好相关系数正、
负号的意义？
X10
6.1 相关系数及其性质
对于功率有限信号
/2
/2
1
l im ( ) ( )
T
T T
xy
xy
x t y t dt
T
t
rt
ss
-
=
ò ＋
（ ）
推广到一般情况，将 代入，得
( ) ( ) yy t y t m?
( ) ( ) xx t x t m?
X11
周期信号时,T
取一个周期
6.1 相关系数及其性质
/2
/2
1l im ( ) ( )
()
T
T T
xy
y
x t y t dt
T
t
rt
ss
-
+
=
ò
x
/2
/2
1
l im [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
T
y x x yT
T
y
x t y t x t y t d t
T
t m m t m m
ss
-
+ - - + +
=
ò
x
/2
/2
1
l im [ ( ) ] [ ( ) ]
T
xyT
T
y
x t y t d t
T
m t m
ss
-
- + -
=
ò
x
/2
/2
1l im ( ) ( )
()
T
xyT T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
\=
ò
x
X12
小结 —— 相关系数计算式
能量有限信号
( ) ( )
()
xy
xy
y
x t y t d tt m m
rt
ss
￥
-
+-
=
ò
x
功率有限信号
/2
/2
1
l im ( ) ( )
()
T
xyT
T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
=
ò
x
X13
6.2 相关函数及其性质
相关系数只与 有关/2
/2
l im ( ) (1 )T
T T
x t y t tT dt
-
+ò
定义相关函数
/2
/2
( ) l im ( ) ( )Txy T
T
R x t y t d ttt
-
=+ò能量有限信号：
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ ò
功率有限信号：
相关函数也描述信号之间的相关关系，但有量纲；
相关系数为归一化参数，便于应用；
两个信号在不同延时 τ时相关关系可能不同。
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X14
相关系数与相关函数的比较
|ρxy| Rxy 相关性 近似误差
0 完全不相关 100％
1 完全相关 0％
（ 0,1） 部分相关 (0,1)
x y x ym m s s±
xymm
)x y x ym m s s+
(,x y x ym m s s-
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X15
互相关函数与自相关函数
Rxy(τ),ρxy(τ)描述不同延时 τ时两个信号的相关程度
称 Rxy(τ)为互相关函数 ;称 ρxy(τ)为互相关系数 /2
/2
1
l im ( ) ( )
()
T
xyT
T
xy
y
x t y t d t
T
t m m
rt
ss
-
+-
=
ò
x当 x(t)=y(t)时，相关函数描述同一信号不同时刻取值的依赖关系
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xx T TR x t x t d tTtt -=+ ò
（ 1）互相关函数与互相关系数
（ 2）自相关函数与自相关系数称 Rxx(τ)为自相关函数 ;称 ρxx(τ)为自相关系数
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ ò
/2
2
/2
2
1
l im ( ) ( )
()
T
xT
T
xx
x t x t d t
T
tm
rt
s
-
+-
=
ò
x
X16
6.2 相关函数的性质
6.2.1互相关函数的性质
0 1 1 0 2 2( ) s i n ( ),( ) s i n ( )x t x t y t y tw j w j= + = +
引例 （ 2－ 30）：
求信号 x(t)与 y(t)的互相关函数 Rxy(τ),已知
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xy T TR x t y t d tTtt -=+ò
解,功率有限信号,T取两信号的周期的最小公倍数
/2
0 0 1 1 2 2/2
1( ) sin ( ) sin [ ( ) ]T
xy TR x y t t d tTt w j w t j-= + + +ò
分两种情况,
X17
6.2.1 互相关函数的性质
(1) 当 时，由正弦信号的正交性：
/2
0 0 1 1 2 2/2
1( ) sin ( ) sin [ ( ) ]T
xy TR x y t t d tTt w j w t j-= + + +ò
12ww1
0 0 0 2 1
1( ) c o s[ ( ) ]
2xyR x yt w t j j= + -
( ) 0xyR t =
1 2 0w w w==? (2) 当 时：
结论：
X18
6.2.1 互相关函数的性质
结论：
同频相关，不同频不相关
Rxy保留两信号的幅值、同频频率、相位差
丢失两信号的初相位
当 τ?∞时：
无同频分量,Rxy(τ）?μxμy
有同频分量,Rxy(τ)以共同频率作恒幅振荡
Rxy(τ)|τ＝ τo＝ max。 一般 τ0≠0，描述信号通道时差，
用于相关检测
Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
( ) 0xyR t =
0 0 0 2 1
1( ) c o s[ ( ) ]
2xyR x yt w t j j= + -
()() x y x y
xy
y
R t m mrt
ss
-=
x
X19
6.2.1 互相关函数的性质
互相关函数可能的图像
Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
()yxR t
t
T-
T
2T-
()xyR t
t
T
T
2T
Rxy(τ)≠ Ryx (-τ)
Rxy(τ)
ττo
μxμy
Rmax
0
X20
6.2.2 自相关函数的性质
性质
( ) ( )x x x xRRtt-=
/2
/2
1( ) l im ( ) ( )T
xx T TR x t x t d tTtt -=+ ò
2
2
()( ),( 0 ) 1x x x
x x x x
R tmr t r
s
-==
x
对称性,Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
最大值：
2 2 2( 0 )x x x x xR m s y= + =
无周期分量时 Rx x(∞)?μx2
有周期分量时 Rx x(∞)周期振荡
保留信号的幅值、频率，丢失初相位
0 0 0 2 1
2
00
1
( ) c os[ ( ) ]
2
1
( ) c os( )
2
xx
xx
R x y
R x t
t w t j j
tw
= + -
=
X21
6.2.2 自相关函数的性质
()xyR t
Rxy(τ)
τ
μxμy
ψx2
0
的一般图像
X22
6.3 相关定理
研究相关函数与卷积的关系
寻找相关函数的快速运算方法
( ) ( ) ( ) ( )x y x t y t d tt t t￥
-
* = -ò相关：
( ) ( ) ( )xyR x t y t d ttt ￥
-
=+ò卷积：
运算过程：都包含位移、乘积、积分卷积多一个翻转
X23
6.3.1 相关与卷积的关系
对于任意的 x(t),y(t)
( ) ( ) ( ) ( )x y x t y t d tt t t￥
-
* = -ò
结论,相关可以通过卷积予以计算
( ) ( ) ( )xyR x t y t d ttt ￥- =+ò
方法,将一个信号先翻转，再与另一信号卷积
( ) ( )x y dx t x x￥
-
=+ò
( ) ( )xytt-*
工具,FFT
()xyR t
,tx = - 令( ) ( )x t y t d tt￥
-
--ò=
=
X24
称 为函数 x与 y的 互能量 (功率 )谱密度
6.3.2 相关定理
( ) ( ) ( )xyR x yt t t= - *Q
R e a l( ) ( ) ( )
FTx t X Xww *- - =垐垎噲垐
( ) ( )XYww-
( ) ( ),( ) ( )x t X y t Yww
( ) ( ) ( ) ( )FTx t y t X Yww- * - 垐垎噲垐
() FTxyR t\ 垐垎噲垐若：
则,
( ) ( )XYww* ×
结论,互相关函数与两个信号的互能量谱密度是一傅里叶变换对
( ) ( )XYww* ×
X25
结论,信号的自相关函数和该信号的自能量谱密度互为傅里叶变换对。
6.3.2 相关定理
*( ) ( ) ( )FTxxR X Xt w w×垐垎噲垐
—— 相关定理
21( ) ( )
2
j
xxR X e d
wtt w w
p
￥
-
= ò即
2)(?X? )(?E?
对于自相关函数,( ) ( ) ( )FT
xyR X Yt w w* ×垐垎噲垐称 为函数 x的 自能量 (功率 )谱密度2| ( ) |X w
X26
6.3.2 相关定理
帕斯瓦尔公式
21( 0 ) ( )
2xxR X dwwp
￥
-
ò
2()x t d t￥
-
= ò
21( ) ( )
2
j
xxR X e d
wtt w w
p
￥
-
= ò
0
1( 0 ) ( ) ( ) |
2xxR x t x t d t ttp
￥
=- =+ò
22 1( ) ( )
2x t d t X dwwp
ゥ
-?
\=蝌连续信号的 帕斯瓦尔公式
——信号时域与频域的总能量 (功率 )相等
X27
6.3.3 相关函数的计算
根据相关函数和卷积的关系：
( ) ( ) ( )FTxyR X Yt w w* ×垐垎噲垐
（ 1）连续信号相关算法
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
FT
IFT
xyFT
x t X X Y R
y t Y
w w w t
w
*ü?揪? 井y
揪?t
（ 2）离散信号快速相关算法（ FFT）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
FFT
I F F TNN
N N x yFFT
NN
x n x n X k X k Y k R n
y n y n Y k
*ü?揪? 揪 y
揪?t
%% % % %
%%
取一个整周期N≥lx+ly-1
y(t)=x(t)?自相关函数
X28
6.4 相关分析的应用
除噪降噪
目标源识别
故障分析
相关测速
X29
6.4.1 除噪降噪
如图理想线性时不变系统 y(t) = x(t-t0),x(t)可测
系统输入输出噪声 ni(t)和 no(t)为零均值的随机信号
ni(t)和 no(t)以及它们与输入输出不相关
可以利用相关技术排除噪声。
若,x( t )?x’( t )= x( t-t0 ); ni( t )?ni’( t )= ni( t-t0 );
系 统
ni(t) no(t)
+
y(t)x(t) +
+
+
则：系统输出 y(t) = x’( t )+ni’( t )+no( t )
= x( t-t0 )+ ni( t-t0 )+no( t )
X30
6.4.1 除噪降噪
求输出和输入的相关函数
' ( ) ( ) ( )x x x n i x n oR R Rt t t= + +
' ()xxR t=
( ) { ( ) ( ) }xyR E x t y ttt=+
00{ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] }E x t x t t n i t t n o tt t t= + - + + - + +
00
可见相关函数只包含系统输入与真正输出的信息，
与输入输出噪声无关。
当 τ较大时可实现精确测量。
Rxx’(τ)
0 t0
τ
X31
有目标
6.4.2 目标源识别
雷达探测
0
1
2S v t?
x(t)
y(t)
S x(t) y(t)
S
τ
Rxy(τ)max
t0
()xyR t 0( ) | m a xx y tR tt =?
0tT
0 2v t S?
v ——电磁波速度
v ——声波在海水中的速度
水纳探测
X32
6.4.2 目标源识别
汽车噪声源分析 相 关分析仪
y(t)
拾音器
Rx1y(τ)
x1(t) x2(t)振动传感器器振动传感器器
τ
Rx1y(τ)
max
t1 τ
Rx2y(τ)max
t2
主噪声源
：
后轮前轮信道较短
X33
6.4.3 故障诊断
鉴别信号周期成分无周期成分，正常状态有周期成分，故障状态
τ
Rxy(τ)
τ
Rxy(τ)
检测量：振动、噪声
f
F[Rxy(τ)]
f3f2f1
