Signals analysis & processing
2009-7-29 1
第 5章 离散信号的分析信号分析与处理
5.1 离散信号的时域描述与分析
5.2 离散信号的频域分析
5.3 快速傅里叶变换 (FFT)
5.4 离散信号的 Z域分析
X2009-7-29 2
5.1 离散信号的时域描述与分析
模拟信号,时间和幅值均为连续的信号 。
数字信号,时间和幅值均为离散的信号 。
量化
采样信号,时间离散的的信号 。
采样
nf
n
O
)(nx
O
t
tf
)(tx
nf
n
O
)(nx
X2009-7-29 3
模拟信号数字化过程采样低通滤波器 保持 量化)(tx )(nx
A/D转换器关键步骤模拟信号采样信号数字信号
本节主要内容
采样定理与重构
离散信号的描述
离散信号的时域运算
X2009-7-29 4
连续信号 x(t),等间隔采样
采样周期 TS
t=nTs,
5.1.1信号采样
0,1,2,n
( / )2s
s
sT ra d
采样信号,( ) ( ) | ( ) ( )
S
d e f
s t n T Sx t x t x n T x n
(1) 采样
1()1,
s
s
sf T采样频率：
t
x(t)
0 1 2 3 … nTs
Ts
X2009-7-29 5
(2) 采样过程模型
()TS
n
t t n T
开关 S 每隔时间 TS 闭合一次，
闭合的持续时间采样信号 近似为一系列冲击函数：
强度 =连续函数在该时刻的抽样值 x(nTs),若
sT?
()sxt
S
x(t) x(n)
t
x(t)
t
x(t)
τ
Ts
0
X2009-7-29 6
( ) ( )sTx t x t t ( )() s
n
x t t nTd
￥
= -
=-?
() s s
n
t n Tx n T?
(2) 采样过程模型采样信号可表示为：
离散化的实质,
将连续信号分解为一系列脉冲函数的线性组合
脉冲函数只出现在采样点处；
脉冲函数的强度等于 x(t)在采样点的取值。
X2009-7-29 7
采样带来的问题
采样信号与连续信号频谱有何关系?
采样信号是否保留原连续信号的全部信息?
如何由采样信号恢复原连续信号?
X2009-7-29 8
(3) 采样信号与连续信号频谱的关系
若连续信号 x(t) 的频谱为 X(ω)
采样信号 xs(t) 的频谱为 Xs(ω),采样周期 Ts
采样序列 δT (t)的频谱为 P(ω)
则由,
( ) ( )sTx t x t t
()TS
n
t t n T
1( ) ( ) ( )
2sX X P
() ss
n
Pn
1 ()
s
ns
XnT
1 ()
s
ns
XnT
()2 s s
n
X n
X2009-7-29 9
1( ) ( )
ss
ns
X X nT
(3) 采样信号与连续信号频谱的关系
()sX?
s
()X?
0 m?
s? s
ω
1 ()
s
XT w
结论：
周期延拓，幅值变换
频谱的周期性
周期 ωs=2π/Ts
频谱的连续性
时域离散化，
频域周期化
频域离散化，
时域周期化
X2009-7-29 10
5.1.2 采样定理问题 2：采样信号是否完整保留原信号的全部信息?
xs(t)完整保留 x(t)特征的条件是：
时域,由 xs(t)可完全恢复 x(t)的时域波形
频域,由 Xs(ω)可完全恢复 X(ω)的频谱结构
决定因素：信号频宽与采样频率的关系
时域采样定理和频域采样定理
X2009-7-29 11
（ 1）时域采样定理考察信号最高频率 和采样角频率 的关系 m
s?
(1 ) 2sm
( 2 ) 2sm
( 3 ) 2sm
可恢复 X (ω)
理论上可恢复，实际上不行混叠，不可恢复
()sX?
0
()sX?
0
()sX?
0
m?
s?
m?
s?
m?
s?
ωs-ωm低通滤波
ωs-ωm
X2009-7-29 12
（ 1）时域采样定理
()sX?
0
()sX?
0
()sX?
0
m?
s?
m?
s?
m?
s?
ωs-ωm低通滤波
ωs-ωm
考察信号最高频率 和采样角频率 的关系 m
s?
(1 ) 2sm
( 2 ) 2sm
( 3 ) 2sm
可恢复 X (ω)
理论上可恢复实际上不行混叠，不可恢复
X2009-7-29 13
（ 1）时域采样定理
s m m2sm
注：采样不满足采样定理时会发生 频率混叠 ；
为了避免频谱混叠，采样之前，
必须用低通滤波器对信号限带处理。
结论,要从 xs (t)恢复 x(t) 必须满足 2个条件,
采样定理,采样频率必须大于信号最高频率的 2倍。
—— 又称为 奈奎斯特 (Nyquist) 定理 。
① 采样频率
② 信号 x(t)必须是限带的,时,。||
m ( ) 0X
采样频率的上限受硬件限制
X2009-7-29 14
（ 2）频域采样定理
根据时频信号的一一对应性：
2sm
2
s
sT
0
mt
s
m
T?
0
0
2
T
0 2 mTt?
t
x(t)
ω
-ωm ωm-tm tm
X(ω)
Ts,ωs
t
X(ω) x(t)
-ωm ωm tm-tm
ω0,T0
X2009-7-29 15
（ 2）频域采样定理
2omTt?
注：采样不满足采样定理时会发生 时间混叠 ；
工程信号处理中，信号的频宽和时宽都有限频域信号 X(ω)离散化后能够恢复的条件：
频域采样定理,采样间隔必须大于信号时宽的 2倍。
① 采样间隔
② 信号 x(t)必须是时限的,时,。||
mtt? ( ) 0xt?
X2009-7-29 16
重建原信号的必要条件：
5.1.3 信号的重构
sm22 smo r f f
1( ) ( )
ss
ns
X X nT
即可由 中恢复 x(t)的频谱()sX? )(?X
使 xs(t) 通过理想低通滤波器,()G?
,/ 2()
0,/ 2
ss
s
TG
( ) ( )2 sg t S a t
( ) ( ) ( )sX X G
( ) ( ) ( )sx t x t g t
()sX?T
s ()G?
2s?
()X?
0 m? s?
xs (t) x (t)
G(ω)()
sX? ()X?
g(t)
X2009-7-29 17
5.1.3 信号的重构
2sm若 取
(( ) ( ))sxtx t g t
[]() ss
n
x n T t n T?
sin
( ) ( ) mss
n ms
t n T
x t x n T
t n T
() 2 sss
n
x n T S a t n T?
()2 sSa t
( ) [ ]s m s
n
x n T S a t n T?
无失真恢复 ！
恢复连续时间信号的内插公式
t=nTs 时,x(t)＝ x(nTs ),精确恢复
t≠nTs 时,x(t)是 x(nTs )在 t 时刻的插值
X2009-7-29 18
* 量化及量化误差
时间连续信号时间离散化?离散信号
时间离散信号幅值离散化?数字信号
数字信号的时间与幅值都是离散的
方法,二进制编码
X2009-7-29 19
量化方法
用一定长度的二进制数表示一定电压范围内模拟信号的大小
满量程电压称为参考电压 Vf
参考电压 Vf一般有 5V,10V,± 5V,± 10V等
二进数字长 N一般有 8,10,12,14,16位等
在一定参考电压下，位数越多精度越高，成本越高
以 Vf＝ 5V、字长 N＝ 8 位为例，说明量化的方法
X2009-7-29 20
量化方法
将 0～ 5V分为 28＝ 256等分
等分线编码 00H～ 0FFH；
一个字代表电压
8
5,0 0 0 1 9,5 3 1 2 5
2
mVV m V
按四舍五入对模拟电压编码
实现幅值离散化 02H
01H
00H
FFH
04H
03H
FEH ΔV
量化后果：
引起量化误差
范围,± ΔV/2内均匀分布，不可修正
提高分辨率 N，可减小，速率降低，成本增加
X2009-7-29 21
5.1.4 离散信号的描述
离散信号的表述方法
基本离散信号
离散信号的时域运算
{ ( ) } {,0,1,2,3,,3,2,1,,4 0}xn?
{ ( ) }xn
采样得到的离散信号
客观给出的离散信号
n为函数值在序列仲的序号
n=0
2
()
n
W x n
离 散 信 号 的 能 量
X2009-7-29 22
基本离散信号
单位脉冲序列
单位阶跃序列
矩形序列
实指数序列
正弦序列
X2009-7-29 23
(1) 单位脉冲序列
1,0()
0,0
nn
n
＝
注意,
nO
)( n?
1
1()n?
o
t
)( t?
)1(
()t? t=0时面积为 1
在 n=0 时 取值 为 1
n≠0时 取值 为 0
X2009-7-29 24
1、时移性
2、抽样性?)()( nnx?
1,()
0,
njnj
nj?
n
)1(?n?
1
1O
单位脉冲序列的性质
)()()()( jnjxjnnx
)()0( nx?
0( ) ( )
m
x n n n?
0 0 0( ) ( ) ( )
n
x n n n x n?
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
任一序列可表示为
X2009-7-29 25
例题,利用单位脉冲序列表示任意序列
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
235.11 nnn
,,,,,.,0030511
0n
nf
)(nx
1
2
3 41? o n
nf
5.1
3?
)(nx例：
)1()1()()0( nxnx
X2009-7-29 26
(2) 单位阶跃序列
00
01)(
n
nnu
nO
)( nu
1
11? 2 3
)3()2()1()()( nnnnnu
)1()()( nunun?
nO
)( nu
1
11? 2 3
)1(?nu?
0
)(
k
kn?
()un 可看成无穷多个单位脉冲信号之和
X2009-7-29 27
(3) 矩形序列
1 0 1()
0 0,N
nNRn
n n N
no
)( nR
N
1
11? 2 3
1?N
()NRn ()NN R n是 的 长 度
( ) ( ) ( )NN n u n u n N与 u(n)的关系：
X2009-7-29 28
(4) 实指数序列
,( ) ( )nx n a u n?指 数 信 号
n
x(n)
0<a<1
1
1
n
x(n)
a>1
1
1n
an
-1<a<0
1
1
X2009-7-29 29
(5) 正弦型序列
,s i n ( )n正 弦 序 列
sT
1 5
O
n
1?
10
0
sin n ω
t
0
sin?
1
t?sin
n?sin
2?
为有理数时是周期的？
sin(ωt+α)在 t=nTs时的采样得,
数字角频率
s i n ( )sTn 正弦序列不一定都为周期序列
X2009-7-29 30
(6) 复指数序列
()() jnx n e
( c o s s i n )n j n ne e e n j n
特点,
由一对虚、实的正弦型序列叠加而成 ;
只有 2π/Ω为有理时,才为周期序列
离散信号有效频率范围 =2π,0≤Ω≤2π或 -π≤Ω≤π
信号离散化后,将无限频率 ω∈ (-∞∞)映射到有限频带
Ω∈ (0,2π)内
X2009-7-29 31
5.1.5 离散信号的时域运算
平移、翻转、尺度变换
＋、－,×,÷,累加
差分、卷积、相关等
与连续信号时域运算相对应
z(t)=x(t)+y(t)? z(n)=x(n)+y(n)
一般情况下，指对应点序列值的相运算两信号长度相等
X2009-7-29 32
（ 1） 平移
x(n)? x(n-m),序列右移 m位；
x(n)? x(n+m),序列左移 m位；
n
x[n+3]
0
n
x[n-3]
0
n
x[n]
0 3-3
X2009-7-29 33
（ 2）翻转
x(n)?x(-n):以纵轴为对称轴，左右翻转
若 x(n)=αn，则 x(-n)=α-n
n
x[-n]
0 3-3
n
x[n]
0 3-3
X2009-7-29 34
(3) 加减
若是两个离散信号，
它们的和（差）定义为：两信号对应点取值之和（差）
[ ] [ ]x n n、y
[ ] [ ] [ ]z n x n y n
n
x[n]
n
y[n]
n
x[n]+y[n]
+
=
维数须相等
X2009-7-29 35
（ 4）乘除
离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，
即内积。
[ ] [ ] [ ] [ ],[ ]z n x n y n x n y n
离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。
[ ] [ ] [ ]z n x n y n
X2009-7-29 36
例题,离散信号的加与乘
若 x = [ 1 3 5 7 ],y = [ 2 4 6 8],
则 z = x + y = [ 1 3 5 7 ] +……
[ 2 4 6 8 ]
= [ 3 7 11 15 ];
p = x * y = [ 1 3 5 7 ] *……
[ 2 4 6 8 ]
= [ 2 12 30 56 ]
X2009-7-29 37
（ 5）累加
离散序列 x(n)的累加定义为
y(n)时刻 n及其之前所有序列取值之和
如
( ) ( )
n
k
y n x k
2 0 0 1 1 3 4 5
( ) 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2
( ) 0 0 2 6 1 2 2 0 3 0 4 2
n
xn
yn
X2009-7-29 38
（ 6）差分
前向差分
( 1 ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
()
11x nn x x
x
n
n
n x n
x
--D - = + -
= - -
=
后向差分
推论：
( ) ( 1 ) ( )x n x n x nD = + -
( ) ( ) ( 1 )x n x n x n? - -
( ) ( 1 )x n x n? D -
( 1 ) ( ) ( 1 )x n x n x n
差分与微分的关系
X2009-7-29 39
n
x(n)
0 2 4 6 8 10 12
（七）时间尺度（比例）变换
以 m＝ 2为例，
n = 0,1,2,3,…
mn= 0,2,4,6,…
( ) ( )x n x m n
( ) ( )nx n x m
或其中 m为正整数抽取
( ) { (2 ),0,1,2,3,}x m n x n n
隔一点 抽取 一个点，采样频率降低一半
采样周期由 Ts?2Ts
x(mn)
X2009-7-29 40
（七）时间尺度（比例）变换
以 m＝ 2为例，
n =0,1,2,3,4,5,6,7,8,…
n/m=0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,…
m(n/m)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,…
( ) ( )x n x m n
( ) ( )nx n x m
或抽取插值
隔两点之间 插入 一个点，采样频率提高一倍
2
( ) { ( ),0,1,2,3,}
m
nnx x n
mm
n
x[n]
0 1 2 3 4 5 6
x(n/m)
nkm
m 0,1,2,3,
( ) |kxk?
x(k)
整数
0 2 4 6 8 10 12
X2009-7-29 41
（八）线性卷积 (和 )
有序列 x(n),h(n)，则其线性卷积为
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
( ) ( )
d e f
x n h n
( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n x n
线性卷积具有交换率
h(n)x(n) y(n)
线性时不变离散系统
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
x(n):系统输入
h(n):系统单位脉冲响应
y(n):系统输出
物理意义
X2009-7-29 42
线性卷积算法
变量代换,n?m
翻转,h(m)?h(-m)
平移,h(m)?h(n-m),n正右移,n负左移
相乘,h(n-m)*x(m),逐点对应相乘
累加：对应点乘积相加，得 y(n)
注,n＝ {…,-2,-1,0,1,2,…} 逐个取值
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
X2009-7-29 43
线性卷积算法
例题,设 x(n)={-1,2,4,0,5},h(n)={1,3,6,1,-1,4},求 x(n)*h(n).
解,( ) ( ) ( ) ( )
m
x n h n x m h n m
￥
= -
* = -?
x(n),-1,2,4,0,5
-1,-3,-6,-1,1,-4
2,6,12,2,-2,8
4,12,24,4,-4,16
0,0,0,0,0,0
5,15,30,5,-5,20
x*h=[ -1,-1,4,23,32,17,34,21,-5,20 ]
m=0 x(0)h(n-0)
m=1 x(1)h(n-1)
m=2 x(2)h(n-2)
m=3 x(3)h(n-3)
m=4 x(3)h(n-4)
sum
n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,6,1,-1,4h(n),卷积长＝ l
x+lh-1
算法：
左对齐
竖相乘
列相加
X2009-7-29 44
有序列 x(n),y(n)，则其相关运算为
( ) ( ) ( )xy
n
R m x n y n m
( ) ( ) [ ( ) ]xy
n
R m x n y m n
( ) ( ) ( ) ( )
n
x m y m x n y m n
相关可用卷积来计算
将一个序列翻转后再卷积
结论：
（九）两序列得相关运算
( ) ( )x m y m
当 x(n)＝ y(n)时，有 自相关 运算为
( ) ( ) ( ) ( )x x x x
n
R m x n x n m R m
2(0 ) ( )
xx
n
R x n
X2009-7-29 45
5.2 离散信号的频域分析
连续信号离散化后频谱特点
连续性：不利于计算机处理
周期性：周期＝ 2π/Ts，与原信号包络相同，幅值 × 1/Ts
本节内容
离散信号的傅里叶变换
离散傅里叶变换
特别约定,
连续信号 的频率用 ω表示
离散信号 的频率用 Ω表示
X2009-7-29 46
5.2 离散信号的频域分析
信号时间特征与频谱分析工具
FS (Fourier Series)
DFS (Discrete Fourier Series)
FT (Fourier Transform)
DTFT (Discrete-Time Fourier Transform)
信号时间特征 周期信号 非周期信号连续 x(t) 傅里叶级数 FS 傅里叶变换 FT
离散 x(n) 离散傅里叶级数 DFS
离散傅里叶变换 DTFT
X2009-7-29 47
5.2.1 周期离散信号的频谱分析
DFS (Discrete Fourier Series)
思路,周期连续信号可展成傅里叶级数周期离散信号?离散傅里叶级数？
设：连续周期信号 x(t)的傅里叶级数为 X(kω0 )
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
1
( ) ( ) 0,1,2
j k t
k
T
j k t
x t X k e
X k x t e d t k
T
将 x(t)的时间变量 t 离散化?x(n)
离散的
0
0
2
T
X2009-7-29 48
（ 1）离散傅里叶级数 DFS的引入
对傅里叶级数离散化
00
2T
N
一个周期 T0内采样 N点：采样周期 T
则,T0=NT,角频率
得：离散周期序列：
m为任意整数
取
( ) ( )x n x n m N
n
x(t)
0 T0 2T0 3T0
Tx(n)
0
0
22
T T N
0
0 T?
X2009-7-29 49
01
0
0 1( ) ( )
N
Tj k n T
n
X k x n T eTT TN
1
0
1 () 0N j k n
n
x n T eN
0
00,,T NT d t T t n TTw
W
0[ 0,) [ 0,1 ],t T n N萎ò
0
1
0
0
1( ) ( )N j k n
n
X k x n eN
0 0
0 0
0
1( ) ( )T j k tX k x t e d t
T
注意到：
以 n表示 nT,以 kΩ0表示 kΩ0/T,得：
0
/2
/2
1 ()N j k n
nN
x n eN
X2009-7-29 50
01
0
0
( ) ( )
N j k n T
T
n
x n T X k eT
将 X(kΩ0)代入 x(t),并对 t离散化：
0( ) ( )
D F Sx n X k
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
n
X k x n e k NN
0
0( ) ( ),0,1,2,,1
j k t
n
x t X k e k N?
离散傅里叶级数变换对
X2009-7-29 51
离散傅里叶级数是 k的离散周期函数，周期 =N
只要有限个 (N)谐波分量 kΩ0—— 数字频率
谐波分量间距 —— 基本频率
x(n)是以 N为周期的离散周期函数
00
2T
N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
n
X k x n e k NN
结论：
0[ ( ) ]X k q N
00
1
0
1 ()N j k n j q N n
n
x n e e
N
0()Xk
0
1
()
0
1 ()N j k q N n
n
x n eN
0
1
0
1 ()N j k n
n
x n e
N
＝ 2π
X2009-7-29 52
例题
P109,例 3－ 8
P109,例 3－ 9
X2009-7-29 53
（ 2） DFS的主要性质
① 线性
00( ) ( ) ( ) ( )D F Sa x n b y n a X k b Y k则
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
② 复共轭
0( ) ( )D F Sx n X k若
0( ) ( )D F Sx n X k
0( ) ( )D F Sx n X k则 －
特例：当 x(n)为实序列时，
X2009-7-29 54
（ 2） DFS的主要性质
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
1
00
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN D F S
nn
x n y n X k Y kN
则
③ 线性
0( ) ( )D F Sx n X k若
0 0( ) ( )jD F S kmex n m X k则
④ 帕斯瓦尔定理意义：时域时移? 频域相移，幅频不变特例：当 x(n)＝ y(n)时，
1 22
0
00
1( ) ( )NN D F S
nn
x n X kN
时域总能量等于频域总能量
X2009-7-29 55
（ 2） DFS的主要性质
⑤ 周期卷积定理
00
1( ) ( ) ( ) ( )D F Sx n y n X k Y k
N
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
00( ) ( ) ( ) ( )D F Sx n y n X k Y k则时域卷积?频域乘积,时域 乘积?频域 卷积周期卷积定义：
( ) ( ) ( ) ( )x n y n y n x n1
0
( ) ( )
N
k
x k y n k
( ) ( )y m y N m注,
X2009-7-29 56
连续周期信号 x(t)?X(kω0 )
离散化后得离散周期信号 x(n)?X(kΩ0 )
X(kΩ0 )反映 x(n)谐波分量的复振幅称为周期序列的频谱是数字频率 kΩ0的函数
x(n)与 X(kΩ0 )一一对应
考察 X(kΩ0 ) 与 X(kω0 )的关系
（ 3）离散周期信号的频谱
X2009-7-29 57
（ 3）离散周期信号的频谱
例 3-10
连续信号,以采样间隔 T=0.25s对其采样，求采样周期序列的频谱，并与原始信号
x(t)的频谱进行比较。
( ) 6 c o sx t t
例 3-11
连续信号 周期为 1s，
以不同采样频率对其采样,① fs1=16点 /周期，②
fs2=8点 /周期，分别 求采样后周期序列的频谱，并与原始信号 x(t)的频谱进行比较。
( ) 2 c o s 6 4 s i n 1 0x t t t
X2009-7-29 58
结论
离散周期序列的频谱
离散行
周期性
有限谐波性（数字频率）
满足采样定理时
在一个周期内周期序列的频谱＝原始信号的离散频谱
主周期外周期序列频谱始原始离散频谱的周期延拓
不满足采样定理时
周期序列频谱出现混叠
连续周期信号的频谱
离散行
非周期性
无限谐波性
X2009-7-29 59
（四）混叠与泄漏
混叠,与连续信号采样类似
采样频率 <2× 信号最高频率时，频谱出现混叠
无法准确恢复原连续信号
对无限频谱分量的连续信号，必定不能用有限采样点准确求得连续信号的频谱
可通过增大采样点数减小混叠的影响
X2009-7-29 60
（四）混叠与泄漏
泄漏
例 3-10：截取长度 T0＝ 3s，采样间隔 T＝ 0.25s
采样点数 N＝ 3/0.25=12,基本频率 Ω0＝ π/6,
x(n)=6cos(πn/6)，
周期 2的正弦信号变成周期为 3的非正弦信号,频谱
后果：
谐波分量增加、仍周期
谱功率泄漏（分散）
原因：
非整周期截断
措施：
整周期截断、加窗
X2009-7-29 61
5.2.2 非周期离散信号的频谱分析
基本思想：
连续周期信号的 FS,周期?∞时，得非周期信号的 FT
离散周期序列的 DFS：周期?∞时，可得非周期序列的
DTFT (Discrete Time Fourier Transformation)
非周期序列可看成 周期＝ ∞的周期序列
主要内容
从 DFT到 DTFT
DTFT的性质
DTFT,DFS以及 CTFT之间的关系
X2009-7-29 62
（一） 从 DFS到 DTFT
设有非周期序列 x(n)
以 N为周期,将 x(n)延拓为周期序列 xN(n)
N?∞,N至 少要大于 x(n)的长度,则
( ) ( )N
m
x n x n m N
n2N 2NN0
x(n)?xN(n)
下标 N表示周期傅里叶级数变换对为：
0
/2
0
/2
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
nN
X k x n e k NN
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
X2009-7-29 63
（一） 从 DFS到 DTFT
对于 xN(n),当 N?∞时，
0
/2
0
/2
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
nN
X k x n e k NN
因此,用 X(Ω)=N·X(kΩ0 )表示非周期序列的频谱：
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
0
2,d
N
0,k 01,
22
d
N
1 2
00,
N
k
( ) ( )Nx n x n?
0
/2
0
/2
1( ) ( )N j k n
nN
X k x n e oN
010
0
( ) ( )N j k n
n
N X k x n e
有 限 值
0
/2
0
/2
( ) l i m ( ) l i m ( )N j k nNNN
nN
X N X k x n e
() jn
n
x n e
0
1
0
0
( ) l i m ( )1 N j k nN
n
x n X k eNN
2
0
1 ()
2
jnX e d?
( ) ( ) jn
n
X x n e
2
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1
2
jnx n X e d n N?
DTFT
X2009-7-29 64
（一） 从 DFS到 DTFT
小结：非周期序列的频谱有
连续谱,Ω∈ (0,2π)
周期性,周期＝ 2π：主值区间 (0,2π)
前提：收敛性
()
n
xn?
( ) ( )D T F Tx n X
( ) ( ) jn
n
X x n e
2
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1
2
jnx n X e d n N?
离散时间傅里叶变换 DTFT：
T
X2009-7-29 65
例题 3－ 12 求下列序列的 DTFT,
11 ( ) ( ),1nx n a u n a
22( ) ( )
jn
n
X x n e
[ ( 1 ) ]n j n
n
a u n e
小结：不同序列的 DTFT可能相同，但收敛域不同
11( ) ( )
jn
n
X x n e
1
11
j
j
ae
ae
解,(1)
0
()jn
n
ae
0
n j n
n
ae
1,
1 1jae a
(2)
1
n j n
n
ae
1
1
()jm
m
ae
1
n j n
n
ae
1,
1 1jae a
22 ( ) ( 1 ),1nx n a u n a
收敛域 |a|<1 收敛域 |a|>1
mn
X2009-7-29 66
例题 3－ 13 求有限长矩形序列的 DTFT,
12()
0
M n M Mxn
其 余
( 2 1 )1
1
jM
jM
jn
ee
e
11
(
1
( ) ()
2
2
)
22
22
[ ] /
[ ] /
j M j Mj
jj
M
jM
j
e j
j
e
e
e
ee e
( ) ( ) jn
n
X x n e
解,
2
()
0
M
j L M
L
e
1
M
jn
n
e
-M
2
0
M
j M j L
L
ee
sin ( 1 / 2 )
sin ( / 2 )
M
L n M
X2009-7-29 67
频谱图小结：
连续性，能量大部分集中在主瓣内
周期性，周期＝ 2π
M表示一个周期内的峰数
可用于提取 2π的倍频分量
X2009-7-29 68
例题 3－ 14 求 的 IDTFT,
01
2
jne
0( ( )X
0 02 ( )jn D T F Te
2
0
1( ) ( )
2
jnx n X e d?
解,利用离散时间逆傅里叶变换公式
000 1c os ( )
2
j n j nn e e
2
00
1 ()
2
jned
0 02 ( )jn D T F Te
0 0 0c o s [ ( ) ( ) ]D T F Tn
0 0 0s i n [ ( ) ( ) ]D T F Tnj
00
0
1s in ( )
2
j n j nn e e
j
00 1()
2
jnI D T F T e?
X2009-7-29 69
例题 3－ 15 求矩形周期连续谱的 IDTFT,
11
2
m
m
jne
jn?
1( ) ( )
2
jnx n X e d?
解,利用离散时间逆傅里叶变换公式
(1 1 )2 mmj n j nejn e
1 1
2
m
m
jned
00
0
1s in ( )
2
j n j nn e e
j
si1 n m nn sin mm
m
n
n?
()m mSa n
( ) 0
()
0
m
m
m
S a n n
xn
n
X ( Ω )
Ω
m
- Ω
m
2 π- 2 π - π π Ω
1
X2009-7-29 70
（二） DTFT的性质性质 序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
线性时移特性频移特性时间翻转共轭对称时域卷积
( ) ( )a x n b x n? ( ) ( )a X b X
0()x n n? 0 ()jneX
0 ()jne x n?
0()X
()X()xn?
()X()xn?
( ) ( )x n y n? ( ) ( )XY
X2009-7-29 71
（二） DTFT的性质性质 序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
频域卷积调制特性频域微分帕斯瓦尔公式
0( ) c o sx n n 001 [ ( ) ( ) ]2 XX
()dXj
d
()n x n?
22 1
( ) ( )2
n
x n X d?
2 ( ) ( )x n y n ( ) ( )XY
X2009-7-29 72
常见离散序列的 DTFT
序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
()n?
00[ ( ) ( ) ]
0()nn
0jne 1 2 ( )1
( ),1na u n a?
0cos n?
0jne? 02 ( )
1(1 )jae
( 1 ),1na u n a 1(1 )jae
序列 x(n) DTFT 序列 x(n) DTFT
X2009-7-29 73
例 3-16 用 DTFT解差分方程
假设 y(n)满足零初始条件，且 x(n)=δ(n)，求解差分方程 y(n)-0.25y(n-1)=x(n)-x(n-2).
思路,DTFT?Y(Ω)?IDTFT?y(n)
使用时域频移性质解：两边同时取 DTFT
( ) 1X
2( ) ( 0,2 5 ) ( ) ( 0,2 5 ) ( 2 )nny n u n u n
2( ) ( 1 0,2 5 ) 1jjY e e
2( ) 0,2 5 ( ) ( ) ( )jjY e Y X e X
21
() 1 0,2 5
j
j
eY
e
211
1 0,2 5 1 0,2 5j
j
j
e
ee
1
1()
1
D T F Tn
a ja u n ae
( ) ( )D T F T jmx n m e X
两边同时取 IDTFT
X2009-7-29 74
(三 ) DTFT,DFT以及 CTFT的关系
DFS
0
1
0
0
1( ) ( )N j k n
n
X k x n eN
( ) ( ) jn
n
X x n e
201( ) ( )2 jnx n X e d
DTFT
0
1
0
0
( ) ( )
N
j k n
n
x n X k e
0
1( ) ( )
s
ns
X X nT
1( ) ( )
2
jtx t X e dt
CTFT
( ) ( ) ss t n Tx n x t
( ) ( ) jtX x t e d t
采样信号
0
2
sT
X2009-7-29 75
(三 ) DTFT,DFT以及 CTFT的关系
DFS DTFT 采样信号 连续信号时域周期性 周期 N 非周期 非周期连续性 离散 1 离散 1 离散 Ts 连 续频域周期性 周期 2π 周期 2π 周期 ω0 非周期连续性 离散 非周期 非周期谐波性 有限谐波 无 无意义 复振幅 谱密度 谱密度
X2009-7-29 76
5.2.3 离散傅里叶变换 ( DFT )
离散时间信号傅里叶变换 DTFT的局限性
是 Ω的连续函数，不适用于计算机处理；
()XjW
时域信号 x(n)为无限长序列 n∈ (-∞,∞)，
实际信号 x(n)为有限长序列 n∈ ( 0,N-1 ),
本节对 离散化，得到频域离散、有限长度的傅里叶变换 —— 离散傅里叶变换 DFT()XjW
离散 傅里叶变换 DFT指 频率 是离散的
X2009-7-29 77
基本思路
将有限长非周期序列延拓成周期序列
再求周期序列的 DFS
周期序列长度＝ N
取 1个周期长度 N点取 1个周期周期谱离散谱DFS
非周期序列有限长度 N
以 N为周期周期延拓周期序列主值序列
x(n)
主值区间
0~N-1
X2009-7-29 78
(一 ) 从 DFS到 DFT
考虑有限长序列 x(n),n=0~(N-1)
以 N为周期对 x(n)周期延拓?周期序列 xp(n)
( ) ( )p
r
x n x n r N
,r 为任意整数
xp(n)是 以 N为周期的 周期序列 ;
定义 x(n)为 xp(n)的主值序列 ;
主值区间 k=0~N-1;
xp(n)可展成傅里叶级数 DFS.
X2009-7-29 79
(一 ) 从 DFS到 DFT
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
pp
k
x n X k e n N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
pp
n
X k x n e k NN
0 2/ N
Xp( kΩ0 )是以 N为周期的离散序列 —— 谱密度
取 xp(n)与 Xp( kΩ0 )的主值 x(n)与 X(k)
21
0
()
N j k n
N
n
x n e
()xn
,0,1,2,,1k n N()Xk
21
0
1 ()N j k nN
n
X k eN
0()N X k
0
1
0
0
1 ()N j k n
n
N X k eN
( ) ( )D F Tx n X k
X2009-7-29 80
小结
和 都以 N为周期,
2( ) ( ) | k
N
X k X
( ) ( )D FTI D FTx n X k
()Xk ()xn
( ) ( )X N k X k- = -( ) ( )X k q N X k?
和 的主值区间一般取 [ 0,N-1 ];()Xk ()xn
k的有效取值范围为,,是主值左半部分的映射 ; 0 ~ 12N - ~12
N N -
离散傅里叶变换 为离散时间 DTFT的抽样，
k=0,1,2,…,N -1
()Xk
对应频率范围,rad/s，
00 ~ ( 1)2
N -W
k~Ω的量纲变换：
0
2~
kk k k N
pW = W =
0
2
N
pW=
X2009-7-29 81
(二 ) DFT的性质
DFT由傅里叶变换派生出来的：
DFT与 FT有类似的性质；
DFT是傅里叶变换在时域、频域上的离散形式：
DFT有不同于 FT的特性。
如：圆周位移特性圆周卷积特性
研究 DFT的特性应从 x(n)与 X(k)的周期性入手。
( ) ( )D FTI D FTx n X k
DFT的性质 —— 表 3－ 4
X2009-7-29 82
（ 1） 线性特性
11( ) ( )
D F T
I D F Tx t X k
22( ) ( )D F TI D F Tx t X k 若
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
D F T
I D F Ta x t b x t a X k b X k
则
1()xt 2()xt
注,与 长度必须相同，否则短者补零
X2009-7-29 83
（ 2） 圆周位移特性
有限长序列 x(n)的位移
21
0
( ) ( )
N j k n
N
n
X k x n e
22( ) ( )D F TID F Tx t X k
x(n)
nm N-10
x(n-m)
nm N+m-10
求和范围 0～ N-1 求和范围 m～ N+m-1
求 DFT 计算不便 —— 引入“圆周位移,
X2009-7-29 84
（ 2） 圆周位移特性
将有限长序列 x(n)周期延拓成 xp(n)
21
0
( ) ( )
N j k n
N
n
X k x n e
x(n)
位移 m后，前出后补，主值区间仍为 0～ N-1；
DFT求和范围不变，计算简便了；
新主值 x(n-m)相当与 x(n)位移 m位；
DFT的计算结果只有相移。
2N-1 nm N-10－ N2N
xp(n)x(n-m)
0( ) ( )D F T jk mI D F Tx n m e X k
X2009-7-29 85
（ 2） 圆周位移特性
x
1
x
2
x
0
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
7
x
0
x
6
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
延拓周期序列 xp(n)的位移可以看成有限长序列
x(n) 的圆周循环位移 x(n) x(n-2) x((n-2))NRN(n)
x0 x6 6
主值序列
x1 x7 7
x2 x0 0
x3 x1 1
x4 x2 2
x5 x3 3
x6 x4 4
x7 x5 5RN(n):长度为 N的矩形序列((n-m))
N,(n-m)对 N取模值
X2009-7-29 86
（ 2） 圆周位移特性
则由时移特性：
( ) ( )D F Tx n X k
x((n-m))NRN(n)是 x(n) 右移 m位而成的周期序列
若有 DFT：
0( ( ) ) ( ) ( )D F T j m kNNx n m R n e X k
00 0( ) ( ( ) ) ( )D F Tj k n NNe x n X k k R n
由频移特性：
x(n)圆周位移 m位后,DFT仅有相位变化
DFT圆周位移 k0为后,x(n)仅有相位变化
X2009-7-29 87
（ 3） 圆周卷积特性
若 x(n),h(n)都 为长度为 N的有限长序列，且
11( ) ( )
D F T
I D F Tx t X k
22( ) ( )D F TI D F Tx t X k
则圆周卷积：
( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n h n X k H k
圆周卷积定义为：
1
0
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
x n h n x m h n m R m
1
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
h m x n m R m
长度也为 N
X2009-7-29 88
h(n-m)
nm N+m-10 N
x(n)
nm N+m-10 N
线性卷积与圆周卷积的关系
线性卷积
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
圆周卷积
1
0
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
y n h m x n m R m
h(n-m)
nm N0
x(n)
nm N+m-10 M
有效长度 M+N-1 有效长度 N
X2009-7-29 89
线性卷积与圆周卷积的关系
两种卷积长度不同；
两种卷积结果不同；
当 x(n),h(n)都补 0至 L≥N+M-1时，两种卷积结果相同
实质是圆周位移时回补 0，而非移出位；
等效于线性卷积。
L＜ N+M-1时，出现混叠 。
频域圆周卷积：
1( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n h n X k H k
N
X2009-7-29 90
5.3 快速傅里叶变换 ( FFT )
直接计算 DFT运算量大
一个 需 N次复乘法 21
0
( ) ( )
N j n k
N
n
X k x n e
()Xk
N个 需 N2次复乘法()Xk
2log2
N N
当 N＝ 1024时，乘法次数 N2＝ 1 048 576
提高效率的措施：
软件措施,FFT—— 减少复乘法次数
硬件措施,DSP
5120
省 200倍
FFT的基本思想：
长序列化为短序列
Fast Fourier Transformation
X2009-7-29 91
5.3.1 FFT的基本思路
为了书写以及后续处理简单，令 2 1j NNNwe
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
1
0
1( ) ( )N nk
N
k
x n X k w
N
加权因子 —— wN的性质：
只与采样点个数 N 有关；
wN0 = 1,wNN = 1,wNN/2 = -1;
周期 N,wNn(N-k) = wN-nk
wNk(N-n) = wN-nk
对称性,wN(nk+N/2) = -wNnk
离散傅里叶变换表示为：
2/2
2 1
NjNj
NNw e e
2 ( ) 22
()
n N kj j n j n k
n N k n kNN
NNw e e w
21
0
( ) ( )
N j n k
N
n
X k x n e
21
0
1( ) ( )N j n k N
k
x n X k e
N
2 ( / 2 ) 2()
2
n k NN j j n k jnk
nkNN
NNw e e w
X2009-7-29 92
x(n)的 DFT改写为：
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0
( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1
( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
N
N N N
N
N N N
N N N N
N N N
X W x W x W x N
X W x W x W x N
X N W x W x W x N
以 N＝ 4为例，并写为矩阵形式：
0 0 0 0
4 4 4 4
0 1 2 3
4 4 4 4
0 2 4 6
4 4 4 4
0 3 6 9
4 4 4 4
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
XxW W W W
W W W W
XxW W W W
W W W W
()nk
NW
5.3.1 FFT的基本思路
X2009-7-29 93
由 WN的性质：
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
以 N＝ 4为例，并写为矩阵形式：
0 0 0 0
4 4 4 4
02
44
0 3 6
44
0 1 2 3
4 4 4 4
46
44
44
9
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
W W W W
WW
W
XxW W W W
XxWW
W W W
()nk
NW
4 / 2 0441,WW04 1,W? 3 1 4 / 2 14 4 4,W W W 40441,WW
6 2 04 4 41,W W W 9 4 2 1 1
4 4 4,W W W
0 0 0 0
4 4 4 4
01
44
0 0 0 0
4 4 4 4
01
44
0 1 0 1
4 4 4 4
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
XxW W W W
WW
XxW W W W
W W W W
WW
只需计算 2个因子 W40,W41
而原来须计算 7个,
5.3.1 FFT的基本思路进一步的措施：
长序列?短序列
X2009-7-29 94
5.3.2 基 2— FFT算法
N点序列 {x(n)},N=2v,v— 正整数 ;
n=0,1,2,……,N -1;
0,1,2,,/ 2 1lN
/ 2 1
/
/ 2 1
2
00
2( ) ( ) ( 2 )
NN
l k l k
l
NN
l
G k g wwl x l
( ) ( 2 1 )h l x l
( ) ( 2 )g l x l?
2 2
2/2
2
2
/
j NN
N
j
Nwe ew
将 {x(n)}分成偶数序列 和奇数序列()gl ()hl
周期,N/2
偶、奇序列的 DFT为：
/ 2 1
/
/ 2 1
2
00
2( ) ( ) ( 2 1 )
NN
l k l k
l
NN
l
H wwk h l x l
0,1,2,,/ 2 1kN
X2009-7-29 95
考察以下两式：
/ 2 1 / 2 1
2 ( 2 )
00
1( 2 ) ( 2 1 )
NN
l k l k
NN
ll
x l w x l w
( ) ( )kNG wk H k
1
0
()
N
lk
N
l
x l w
()Xk
/ 2 1 / 2 1
/ 2 / 2
00
( ) ( )kN
NN
l k l k
NN
ll
g l w h lw w
5.3.2 基 2— FFT算法
0,1,2,,/ 2 1kN
( ) ( ) ( )kNwX k G k H k
X2009-7-29 96
( ) ( ) ( )2 kNNX k G k w H k
( ) ( ) ( )kNX k G k w H k0,1,2,,/ 2 1kN
( ) ( )kNwG k H k
()
2( ) ( ) ( )
2 2 2
Nk
Nw
N N NX k G k H k
结论：
复乘法次数 (N/2)2× 2=N2/2
kNw 事先列表
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 97
2
2
' ( 0 )
' ( 1 )
X
X
奇偶序列继续分下去,N/4,N/8,…,4,2,1 点
一点的傅里叶变换为其本身,X(1)=x(1)
方法：
将序列依次分为偶、奇子序列，直至子序列仅 1项；
由 组合 ；再由 组合 ….,
4 ()Xk1
(1)X 2()Xk 2()Xk
0
2 1 2 1
0
2 1 2 1
( 0 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 1 ) ( 0 ) ' ( 0 )
X X w X
X X w X
0
8 4 8 4
1
8 4 8 4
2
8 4 8 4
3
8 4 8 4
0
8 4 8 4
1
8 4 8 4
2
8 4 8 4
3
8 4 8 4
( 0) ( 0) ' ( 0)
( 1 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 2) ( 2) ' ( 2)
( 3 ) ( 3 ) ' ( 4)
( 4) ( 0) ' ( 0)
( 5 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 6) ( 2) ' ( 2)
( 7 ) ( 3 ) ' ( 4)
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
0
4 2 4 2
1
4 2 4 2
0
4 2 4 2
1
4 2 4 2
( 0 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 2 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 3 ) ( 1 ) ' ( 1 )
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
4
4
4
4
' ( 0 )
' ( 1 )
' ( 2 )
' ( 3 )
X
X
X
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 98
重新排序 逐级组合
x(n) 4 2 1 X(n’) N=2 N=4 N=8
0
1
2
3
4
5
6
7
0
2
4
6
1
3
5
7
0
4
2
6
1
5
3
7
0
4
2
6
1
5
3
7
X0
X4
X2
X6
X1
X5
X3
X7
0
4
2
6
1
5
3
7
0
2
4
6
1
3
5
7
0
1
2
3
4
5
6
7 28w
14w
02 1w?
18w
08w
04w
38w
图例,红箭头 — 偶序列； 黄箭头 — 奇序列
水平黄箭头?表示 (— )；其余为（ ＋ ）
02 1w?
02 1w?
02 1w? 14w
04w
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 99
5.3.3 FFT的应用
FFT是 DFT的一种快速算法
便于计算机运算
用于离散、连续信号的数据处理或频域分析
举例：
利用 FFT求线性卷积
利用 FFT求线性相关
利用 FFT作连续信号的频谱分析
……
X2009-7-29 100
(1) 利用 FFT求线性卷积
序列 x(n)长度为 N，序列 h(n)长度为 M
x(n)与 h(n)补 0至长度为 L=2v≥N+M-1,此时,
线性卷积＝圆周卷积
( ) ( ) ( ) ( )x n h n x n h n ( ) ( )FFT
I FF T X k H k?
x(n)*h(n)IFFTFFT
FFT H(k)
X(k)
乘法器 X(k)H(k)h(n)
x(n)
补 0扩展
X2009-7-29 101
(2) 利用 FFT求线性相关
序列 x(n)长度为 N，序列 h(n)长度为 M
x(n)与 h(n)补 0至长度为 L=2v≥N+M-1,此时,
线性相关＝圆周相关?翻转卷积
( ) ( ) ( ) ( )x n h n x n h n( ) ( )FFT
I F F T X k H k
x(n)⊙ h(n)IFFTX(k)H*(k)乘法器
h(n)
x(n)
H(k)
FFT
FFT
X(k)
共轭
H*(k)
补 0扩展
X2009-7-29 102
(3) 利用 FFT作连续信号的频谱分析
实际信号多为连续信号 x(t)
采样?序列 x(n)长度为 N=2v
FFT?x(n)频谱?逼近 x(t)的频谱 X(k)或 |X(k)|2
前提：满足采样定理,抗混叠
( ) { ( ) }X k F F T x n?
共轭
|X(k)|2乘法器X(k)FFTx(t) 采样量化
x(n)
X*(k)
X2009-7-29 103
连续信号 DFT分析误差
时限连续信号：
时宽有限?频带无限宽?采样前 抗混滤波
频域限带信号
频宽有限?时宽无限宽?采样前 加窗 (截断 )
泄漏，优化窗函数以减少泄漏
连续周期信号
遵循采样定理，可避免混叠；
非时限信号，必须截断
整周期截断?不会产生泄漏
非整周期截断?泄漏,通常情况！
X2009-7-29 104
附,数据采集参数确定
N及 Ts确定后，频率分辨率固定
0
22S
SN N T T
ppWW = = =
×
要提高分辨率，可采取信号增大记录时间 T:
↑Ts→T↑→ Ω0↓→ Ωs↓—— 可能引起混叠
↑N →T↑→ Ω0↓—— 数据量增加效率降低
信号最高频率 Ωm、分辨率 Ω0已知时,T,N,Ts极限值：
m i n m a x m i n
0 0 0 0 0
222 1 1,,
2 s m mS mm
fT T N
f f f
pp WW =
W W W W
2 2
Sm
sT
pW= 砏
0
2
T
p <W 0 2smN W = W > W
X2009-7-29 105
例 3-17
利用 FFT分析一最高频率 fm=1.25kHz的连续时间信号，要求频率分辨率 f0≤5Hz.试确定,
(1) 最小的信号采样记录长度 Tmin;
(2) 最大采样间隔 Tsmax;
(3) 最少采样点数 Nmin.
解：根据采样参数确定方法
(1)
(2)
(3)
3
m a x
11 0,4 1 0 0,4
2 2 1 2 5 0S mT s m sf
-? =?
′
m i n
0
11 0,2
5Tsf?=
m i n m a x m i n0 0 0 0 0
222 1 1,,
2 s m mS mm
fT T N
f f f
pp WW =
W W W W
9
m i n
0
2 2 1 2 5 0 5 0 0 5 1 2 5
5
mfN
f
′? = =@
X2009-7-29 106
5.4 离散信号的 Z域分析
信号分析方法对照时域分析 频域分析 复频域分析连续信号 时域变换 傅里叶变换 拉普拉斯变换离散信号 时域变换 DFT Z变换
Z变换,离散信号复频域分析的工具
X2009-7-29 107
5.4.1 离散信号的 z变换
主要内容
Z变换的定义
Z变换的 收敛域
Z变换的 性质
Z变换域其它变换的关系
X2009-7-29 108
（一） 从 DTFT到 Z变换
DTFT的前提,x(n)绝对可和，即
(( )) n jn
n
x n rXe
称 X(z)为 x(n)的 Z变换
()
n
xn?
若 x(n)不满足绝对可和条件，只要 () n
n
x n r
可对 x(n)r-n求 DTFT,(r>1实数 )
( ) ( )jn
n
x n r e
令,z=rejΩ＝ σ+jω(复数 ),得：
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r r
X2009-7-29 109
z=σ+jω
（一） 从 DTFT到 Z变换
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
可以证明,x(n)为 X(z)的反 Z变换
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z dz
C为收敛域 (r1,r2) 内绕圆点的反时针单围线
12r z r
为 Z变换的收敛域 ROC
记为 Z变换对,( ) ( )Zx n X z
Z变换是 DTFT的扩展
Z变换必须注明收敛域
X2009-7-29 110
（二） Z变换的收敛域
Re(z)
Im(z)
r1
r2
C
左收敛边界左收敛边界
|z|
0 |r
1| |r2|
收敛域 ROC图示,圆环
∵ n= -∞~∞,
∴ X(z)也称 为双边 z变换
对于因果信号当 n<0时 x(n)=0
单边 z变换＝双边 z变换
1
0
( ) ( ),n
n
X z x n z z r
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
z=σ+jω
为 单边 z变换：
X2009-7-29 111
1
1
1 1
1
az
az
存在例题 3-19/20,分别求以下两信号的 Z变换
解,由 Z变换的定义：
( 1 ) ( ) ( )
( 2 ) ( ) ( 1 )
n
n
x n a u n
y n a u n
x(n)
n
u(n) y(n)
n
-u(-n-1)
-1
( ) ( ) n
n
X z x n z
1
00
()n n n
nn
a z a z
收敛域,|z|>|a|
( ) ( ) n
n
Y z y n z
1
nn
n
az
1 1 1
11
az az
az
存在
1
1
1
()n n n
nn
a z a z
1
1
1 az
收敛域,|z|<|a|
不同的信号可能有相同的 Z
变换形式,但收敛域不同 !
|z|0
∞
|a|
r
|z|0 |a|
r
X2009-7-29 112
（二） Z变换的收敛域
根据 x(n)中 n的取值范围,离散信号可分为 4
中,每一种都有不同形式的收敛域：
时限长序列 (有始有终序列 ) —— 工程应用信号
右边序列 (有始序列 ) —— 工程实际信号
左边序列 (有终序列 )
双边序列 (无始无终序列 )
本小节分析收敛域与信号类型之间的关系
X2009-7-29 113
(1) 有限长序列
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
x(n)
0 nn
2n1
0 z
n1,n2在特殊情况下，收敛域可能扩展到 0 或 ∞
当 n1<n2≤0时,|Z|可包括 0
当 n2>n1≥0时,|Z|可包括 ∞
收敛域整个复平面：
当 n≤n1和 n≤n2时,x(n) ≡0
为有限值2
1
()
n
n
nn
x n z?
|z|0
∞
r
X2009-7-29 114
0
( ) ( ) n
nn
X z x n z
若 X(z)在 |z|＝ |z0| 时收敛，则当 时， ||||
0 zz
右边序列有左收敛域边界
1 ||rz
n
x(n)
0n1
…
1
1 0
( () ) n
n
n
nn
x nzz xn
（ 2）右边序列（有始序列）
当 n<n1时,x(n) ≡0,因此
|z|0
∞
r1
r
1 0nn
的 z 正指数幂的项数有限个。
的 z 负指数幂的项数有无穷多个。0n>
0
00
| ( ) | | ( ) |
n
n
n
nx n x nzz
若取 r1=z0|min 示例
X2009-7-29 115
（ 3）左边序列（有终序列）
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z?
左边序列有右收敛域有边界
20 | |zr若 X(z) 在 |z|=| z0|时收敛，则当 时00 | | | |zz
20
1
( ) ( )
n
nn
nn
x n z x n z
n
x(n)
0 n2
…
|z|0 r2
r
当 n>n2时,x(n) ≡0,因此
20 nn z负指数幂的项数有限个。
z正指数幂的项数有无穷多个。0?n
若 r2= z0|max
0
00
| ( ) | | ( ) |
n
n
n
nx n x znz
示例
X2009-7-29 116
(4) 双边序列 (无始无终序列 )
n
nznxzX )()(
0 n
x(n)
… …
1
0
( ) ( )nn
nn
x n z x n z
右边序列左收敛域
r1
左边序列右收敛域 r2
当 r2>r1 时，则双边序列有双收敛边界 r1<|z|<r2
当 r2<r1时，则不收敛。
|z|0 r2
r
r1
当 n＝ -∞~∞时,x(n) 不恒为 0
双边序列有左右两个收敛域边界
X2009-7-29 117
例 3-21:
求双边序列 x(n)=b|n| 的 Z变换,b>0,-∞<n<∞.
解,x(n)可表示为一个右边序列和左边序列之和
,zb?
1
()mn m
m
bz
01
( ) ( ) ( 1 )nn
nn
x n b u n b u n?
1
[ ( 1 ) ]n n n
n
Z b u n b z
右边序列：
1
0
1[ ( ) ]
1
n n n
n
Z b u n b z bz
左边序列：
11
1
11
bz
b z b z
1,zb
1 1bz
1bz?
1 1 1
11[ ( ) ]
11z x n bz b z 1,b z b
|z|0 b-1
r
b
显然 0 < b < 1
X2009-7-29 118
(三 ) z变换的性质
1、位移性质
2、卷积定理
3、初值定理
5、微分定理
6、复共轭性质
7、时间反向性质
4、终值定理
了解 Z变换的性质：
简化信号的 z变化
了解 z变换的本质
Z变换是 DTFT的推广
Z变换的性质与 DTFT的性质相似
详见表 3-8
X2009-7-29 119
常用的 z变换
性质 时域 Z变换域 ROC
时移定理 X(n-m) Z-mX(z) (R-,R+)
尺度变换 anx(n) X(a-1z) (|a|R-,|a|R+)
初值定理 因果 (R-,∞)
终值定理 因果 [1,∞)
δ(n) 1 [0,∞]
u(n) 1/(1-z-1) (1,∞]
-u(-n-1) 1/(1-z-1) [0,1)
anu(n) 1/(1-az-1) (|a|,∞]
( 0 ) l i m ( )zx X z
1( ) l i m ( 1 ) ( )zx z X z
X2009-7-29 120
（ 1） z变换的位移定理（双边）
若,双边 z变换 x(n)?X(z),
则 ( ) ( )Z mx n m z X z
注,控制工程中，称 z-1为延迟因子，表示右移一位；
序列位移后,z变换只产生相位延迟。
n
x[n]
0 2-2
X2009-7-29 121
1() Z m m k
km
x n m z X z z x k z
（ 1） z变换的位移定理（单边）
单边 z变换
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
当 m > 0 时当 k<0时,x(k)可看成系统的初始条件,用于差分方程求解
1
0
()
mZ
m m k
k
x n m z X z z x k z
X2009-7-29 122
（ 2）初值定理若,因果信号 x(n)? X(z),则
( 0 ) l i m ( )
z
x X z
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
0 1 2( 0 ) ( 1 ) (2 ) ( ) nx z x z x z x n z
( 0 ) l i m ( )zx X z
l i m ( ) ( 0 )z X z x
X2009-7-29 123
（ 3）终值定理若,因果信号 x(n)? X(z),
1l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z
则：
终值定理只有当 n?∞时 x(n)收敛才可应用
X2009-7-29 124
（ 4）卷积定理 (1) -时域卷积定理
)()()(*)(
)()(
)()(
21
21
zHzXnhnxZ
RzRnhZzH
RzRnxZzX
hh
xx
则已知
),m i n (),m a x ( 2211 hxhx RRzRR
收敛域,一般情况下，取二者的重叠部分，即：
描述,时域卷积对应于 z域乘积。
注意,如果在某些 线性组合 中某些 零点与极点相抵消,
则收敛域 可能扩大 。
X2009-7-29 125
（ 4）卷积定理 (2) -Z域卷积定理
1
d)(j2 1)()( 1
c
vvvHvzXπnhnxZ
1
dj2 1)()( 1
c
vvvzHvXπnhnxZ或
X2009-7-29 126
（ 5） 微分定理
zXnx Z?)(若
dz
zdXznnx Z )(则
X2009-7-29 127
（ 6）复共轭性质
**[ ( ) ] ( ) n
n
z x n x n z
，若 zXnx Z?)( *)(** zXnx Z?则
* * *[ ( ) ( ) ] ( )n
n
x n z X z
X2009-7-29 128
(7) 时间反向性质
01( ) ( ),,Zx n X z r z r
若：
1
10
11( ) ( ),Zx n X z z
rr
则：
X2009-7-29 129
例题,Z变换性质的应用
例 3-22
例 3-23
例 3-24
例 3-25
X2009-7-29 130
例 3-22,求序列 的 z变换( ) ( ) ( 1 )nnx n a u n a u n
1
1
1
( 1 ) 1zn n n
n
aza u n a z
az
1
0
1()
1
zn n n
n
a u n a z az
11
1 1 1
11[ ( ) ] 1
1 1 1
a z a zz x n
a z a z a z
( ) ( ) ( 1 )nnx n a u n a u n
1| | 1az
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )n n na n a u n a u n n
[ ( )] 1zn
||za?
||za?
[0,]z
实际上：
[0,]z
解：
极点 对消,ROC扩展
X2009-7-29 131
例 3-23 求 的 z变换
解：由
1
1[ ( ) ],
1
nz a u n
az za
0( ) c o s ( ) ( )x n n u n
0011
1 1 1[ ( ) ] [ ]
2 1 1jjz x n e z e z
001 [ ( ) ( ) ]
2
j n j ne u n e u n
0( ) c o s ( ) ( )x n n u n
0
0 1
1[ ( ) ]
1
jn
jz e u n ez
当 时，0jae
0 1jze
001 [ ] ( )
2
j n j ne e u n
1
0
12
0
1 c o s
1 2 c o s
z
zz
1z?
X2009-7-29 132
例 3-24 设,求它们的卷积
解：由
1
1( ) [ ( ) ],
1
nX z Z a u n
az za
( ) ( )nx n a u n?
得
( ) ( ) ( ) ( )ZTI Z Tx n y n X Z Y Z?
zb?
1( ) ( ) ( 1 )nny n b u n a b u n
1
1[ ( ) ],
1
nZ b u n
bz zb
11[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnZ a b u n a Z b u n
1
1
1
1
,1nn
n
za b z a
bz
1( ) [ ( ) ] [ ( 1 ) ]nnY z Z b u n Z a b u n
1
11
1
11
za
b z b z
1
1
1
1
az
bz
,zb?
位移
X2009-7-29 133
1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x n y n Z X Z Y Z
1
11
1 1 1
1 1 1[ ] [ ]
1 1 1
azZZ
a z b z b z
( ) ( ) ( )nx n y n b u n
由
1
1[ ( ) ],
1
nZ b u n
bz zb
,m a x {,}z a b?
1
1( ) [ ( ) ],
1
nX z z a u n
az za
1
1
1()
1
azYz
bz
,zb?
,m a x {,}z a b?
( ) ( ) ( ) ( )ZTI Z Tx n y n X Z Y Z?
X2009-7-29 134
例 3-25 求斜变序列 的 z变换
解：
()n u n?
,za?
1
1[ ( ) ]
11 1,
zz u n
z zz
2( 1 )
z
z
()1dzz dz z{ [ ( ) ] }[ ( ) ] d Z u nz n u n z dz
()[ ( ) ] d X zz n x n z
dz
X2009-7-29 135
（四） Z反变换
是复变函数的线积分
求 z反变换的方法：
留数定理法
部分分式展开法 √
幂级数展开法
强调：
收敛域的影响
表达式＋收敛域
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z dz
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
例 3-27
例 3-28
例 3-29
例 3-30
例 3-31
例 3-32
例 3-33
例 3-35
例 3-34
例 3-36
例 3-26
X2009-7-29 136
例题 3-27 用部分分式展开法求 z反变换
解：将 X(z)/z展成分式
2
24( ),2
( 1 ) ( 2 )
zX z z
zz
[ ( )],n zz a u n z aza
( ) 1 ()X z zXz
z z a z a2
( ) 2 4
( 1 ) ( 2 )
X z z
z z z z
21 2 ( 2 )
A B C D
z z z z
2
0 0
( ) 2 4[ ] 1
( 1 ) ( 2 )z Z
X z zAz
z z z
2
1 1
( ) 2 4[ ( 1 ) ] 6
( 2 )z Z
X z zBz
z z z
2
2 2
( ) 2 4[ ( 2 ) ] [ ] 5
( 1 )z Z
d X z d zCz
d z z d z z z
X2009-7-29 137
2
( ) 2 4
( 1 ) ( 2 )
X z z
z z z z
2
2 2
( ) 2 4[ ( 2 ) ] 4
( 1 )z Z
X z zDz
z z z
2
( ) 1 6 5 4
1 2 ( 2 )
Xz
z z z z z
21 2 ( 2 )
A B C D
z z z z
2( ) 1 6 5 41 2 ( 2 )
z z zXz
z z z
( ) ( ) 6 ( ) 5 2 ( ) 2 2 ( )nnx n n u n u n n u n
2() ()
ZTn
I Z T
azn a u n
za?
[ ( )],n zz zan z au a
2
2
( 2 )2
z
z?
( ) 1ZTI Z Tn?
X2009-7-29 138
2 21z z z
例题 3-29 利用幂级数展开法求 z反变换
解,X(z)有左收敛边界,x(n)必为右边序列、降幂排列。用长除法：
2( ),121
zX z z
zz
()Xz?
12 z
1z?
12zz
0
( ),2n
n
X z n z z
1232zz
122 4 2zz
1 2 33 6 3z z z
33z
2343zz
22z
( ) ( )x n n u n
X2009-7-29 139
例题 3-35 求 的单边 z变换
解,x(n)为因果序列
0
( ) ( 2 )
k
x n n k?
( ) ( )ZTI Z Tx n X z
( ) 1ZTI Z Tn?
2
1()
1 kXz z
0
( ) [ ( 2 )]
k
X z Z n k?
( ) ( )ZT mI Z Tx n m z X z
0
[ ( 2 ) ]
k
Z n k?
2
0
[1 ]k
k
z
2
0
k
k
z
,,1R O C z?
X2009-7-29 140
5.4.2 Z变换与其它变换的关系
Z变换与拉氏变换的关系？
Z—— 变换：离散信号的复频域分析方法
拉氏 变 换：连续信号的复频域分析方法
Z变换与 DTFT拉氏变换的关系？
Z －变换是离散信号复频域的分析方法
拉氏变换是离散信号复频域的分析方法
Z变换与 DFT拉氏变换的关系？
X2009-7-29 141
（ 1） Z变换与拉氏变换的关系
连续信号 x(t)以采样周期 T离散化
1 lnsTz e s z
T
两边进行拉普拉斯变换：
(
) 1
) 1
(
LT
LT snT
t
t nT e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s
nn
x t x t t n T x n T t n T
( ) ( ) ns
n
X s x n z
( ) ( ) snTs
n
X s x n T e
令：
()Xz?
( ) ( ) | sTs zeX z X s
Z变换是理想抽样信号的拉氏变换由 S域到 Z
域的映射
sTze?
sj
X2009-7-29 142
Z变换与拉氏变换的映射关系
由
()s T j Tz e e
图示
,Tz e Tjze
0,1z
当 0,1z
0,1z
左半 s平面?z 平面单位圆内右半 s平面?z 平面单位圆外
s平面虚轴?z 平面单位圆上
S
j?
0
Z
1
当 时1Te 2Tk 1z?
满足
2009-7-29 1
第 5章 离散信号的分析信号分析与处理
5.1 离散信号的时域描述与分析
5.2 离散信号的频域分析
5.3 快速傅里叶变换 (FFT)
5.4 离散信号的 Z域分析
X2009-7-29 2
5.1 离散信号的时域描述与分析
模拟信号,时间和幅值均为连续的信号 。
数字信号,时间和幅值均为离散的信号 。
量化
采样信号,时间离散的的信号 。
采样
nf
n
O
)(nx
O
t
tf
)(tx
nf
n
O
)(nx
X2009-7-29 3
模拟信号数字化过程采样低通滤波器 保持 量化)(tx )(nx
A/D转换器关键步骤模拟信号采样信号数字信号
本节主要内容
采样定理与重构
离散信号的描述
离散信号的时域运算
X2009-7-29 4
连续信号 x(t),等间隔采样
采样周期 TS
t=nTs,
5.1.1信号采样
0,1,2,n
( / )2s
s
sT ra d
采样信号,( ) ( ) | ( ) ( )
S
d e f
s t n T Sx t x t x n T x n
(1) 采样
1()1,
s
s
sf T采样频率：
t
x(t)
0 1 2 3 … nTs
Ts
X2009-7-29 5
(2) 采样过程模型
()TS
n
t t n T
开关 S 每隔时间 TS 闭合一次，
闭合的持续时间采样信号 近似为一系列冲击函数：
强度 =连续函数在该时刻的抽样值 x(nTs),若
sT?
()sxt
S
x(t) x(n)
t
x(t)
t
x(t)
τ
Ts
0
X2009-7-29 6
( ) ( )sTx t x t t ( )() s
n
x t t nTd
￥
= -
=-?
() s s
n
t n Tx n T?
(2) 采样过程模型采样信号可表示为：
离散化的实质,
将连续信号分解为一系列脉冲函数的线性组合
脉冲函数只出现在采样点处；
脉冲函数的强度等于 x(t)在采样点的取值。
X2009-7-29 7
采样带来的问题
采样信号与连续信号频谱有何关系?
采样信号是否保留原连续信号的全部信息?
如何由采样信号恢复原连续信号?
X2009-7-29 8
(3) 采样信号与连续信号频谱的关系
若连续信号 x(t) 的频谱为 X(ω)
采样信号 xs(t) 的频谱为 Xs(ω),采样周期 Ts
采样序列 δT (t)的频谱为 P(ω)
则由,
( ) ( )sTx t x t t
()TS
n
t t n T
1( ) ( ) ( )
2sX X P
() ss
n
Pn
1 ()
s
ns
XnT
1 ()
s
ns
XnT
()2 s s
n
X n
X2009-7-29 9
1( ) ( )
ss
ns
X X nT
(3) 采样信号与连续信号频谱的关系
()sX?
s
()X?
0 m?
s? s
ω
1 ()
s
XT w
结论：
周期延拓，幅值变换
频谱的周期性
周期 ωs=2π/Ts
频谱的连续性
时域离散化，
频域周期化
频域离散化，
时域周期化
X2009-7-29 10
5.1.2 采样定理问题 2：采样信号是否完整保留原信号的全部信息?
xs(t)完整保留 x(t)特征的条件是：
时域,由 xs(t)可完全恢复 x(t)的时域波形
频域,由 Xs(ω)可完全恢复 X(ω)的频谱结构
决定因素：信号频宽与采样频率的关系
时域采样定理和频域采样定理
X2009-7-29 11
（ 1）时域采样定理考察信号最高频率 和采样角频率 的关系 m
s?
(1 ) 2sm
( 2 ) 2sm
( 3 ) 2sm
可恢复 X (ω)
理论上可恢复，实际上不行混叠，不可恢复
()sX?
0
()sX?
0
()sX?
0
m?
s?
m?
s?
m?
s?
ωs-ωm低通滤波
ωs-ωm
X2009-7-29 12
（ 1）时域采样定理
()sX?
0
()sX?
0
()sX?
0
m?
s?
m?
s?
m?
s?
ωs-ωm低通滤波
ωs-ωm
考察信号最高频率 和采样角频率 的关系 m
s?
(1 ) 2sm
( 2 ) 2sm
( 3 ) 2sm
可恢复 X (ω)
理论上可恢复实际上不行混叠，不可恢复
X2009-7-29 13
（ 1）时域采样定理
s m m2sm
注：采样不满足采样定理时会发生 频率混叠 ；
为了避免频谱混叠，采样之前，
必须用低通滤波器对信号限带处理。
结论,要从 xs (t)恢复 x(t) 必须满足 2个条件,
采样定理,采样频率必须大于信号最高频率的 2倍。
—— 又称为 奈奎斯特 (Nyquist) 定理 。
① 采样频率
② 信号 x(t)必须是限带的,时,。||
m ( ) 0X
采样频率的上限受硬件限制
X2009-7-29 14
（ 2）频域采样定理
根据时频信号的一一对应性：
2sm
2
s
sT
0
mt
s
m
T?
0
0
2
T
0 2 mTt?
t
x(t)
ω
-ωm ωm-tm tm
X(ω)
Ts,ωs
t
X(ω) x(t)
-ωm ωm tm-tm
ω0,T0
X2009-7-29 15
（ 2）频域采样定理
2omTt?
注：采样不满足采样定理时会发生 时间混叠 ；
工程信号处理中，信号的频宽和时宽都有限频域信号 X(ω)离散化后能够恢复的条件：
频域采样定理,采样间隔必须大于信号时宽的 2倍。
① 采样间隔
② 信号 x(t)必须是时限的,时,。||
mtt? ( ) 0xt?
X2009-7-29 16
重建原信号的必要条件：
5.1.3 信号的重构
sm22 smo r f f
1( ) ( )
ss
ns
X X nT
即可由 中恢复 x(t)的频谱()sX? )(?X
使 xs(t) 通过理想低通滤波器,()G?
,/ 2()
0,/ 2
ss
s
TG
( ) ( )2 sg t S a t
( ) ( ) ( )sX X G
( ) ( ) ( )sx t x t g t
()sX?T
s ()G?
2s?
()X?
0 m? s?
xs (t) x (t)
G(ω)()
sX? ()X?
g(t)
X2009-7-29 17
5.1.3 信号的重构
2sm若 取
(( ) ( ))sxtx t g t
[]() ss
n
x n T t n T?
sin
( ) ( ) mss
n ms
t n T
x t x n T
t n T
() 2 sss
n
x n T S a t n T?
()2 sSa t
( ) [ ]s m s
n
x n T S a t n T?
无失真恢复 ！
恢复连续时间信号的内插公式
t=nTs 时,x(t)＝ x(nTs ),精确恢复
t≠nTs 时,x(t)是 x(nTs )在 t 时刻的插值
X2009-7-29 18
* 量化及量化误差
时间连续信号时间离散化?离散信号
时间离散信号幅值离散化?数字信号
数字信号的时间与幅值都是离散的
方法,二进制编码
X2009-7-29 19
量化方法
用一定长度的二进制数表示一定电压范围内模拟信号的大小
满量程电压称为参考电压 Vf
参考电压 Vf一般有 5V,10V,± 5V,± 10V等
二进数字长 N一般有 8,10,12,14,16位等
在一定参考电压下，位数越多精度越高，成本越高
以 Vf＝ 5V、字长 N＝ 8 位为例，说明量化的方法
X2009-7-29 20
量化方法
将 0～ 5V分为 28＝ 256等分
等分线编码 00H～ 0FFH；
一个字代表电压
8
5,0 0 0 1 9,5 3 1 2 5
2
mVV m V
按四舍五入对模拟电压编码
实现幅值离散化 02H
01H
00H
FFH
04H
03H
FEH ΔV
量化后果：
引起量化误差
范围,± ΔV/2内均匀分布，不可修正
提高分辨率 N，可减小，速率降低，成本增加
X2009-7-29 21
5.1.4 离散信号的描述
离散信号的表述方法
基本离散信号
离散信号的时域运算
{ ( ) } {,0,1,2,3,,3,2,1,,4 0}xn?
{ ( ) }xn
采样得到的离散信号
客观给出的离散信号
n为函数值在序列仲的序号
n=0
2
()
n
W x n
离 散 信 号 的 能 量
X2009-7-29 22
基本离散信号
单位脉冲序列
单位阶跃序列
矩形序列
实指数序列
正弦序列
X2009-7-29 23
(1) 单位脉冲序列
1,0()
0,0
nn
n
＝
注意,
nO
)( n?
1
1()n?
o
t
)( t?
)1(
()t? t=0时面积为 1
在 n=0 时 取值 为 1
n≠0时 取值 为 0
X2009-7-29 24
1、时移性
2、抽样性?)()( nnx?
1,()
0,
njnj
nj?
n
)1(?n?
1
1O
单位脉冲序列的性质
)()()()( jnjxjnnx
)()0( nx?
0( ) ( )
m
x n n n?
0 0 0( ) ( ) ( )
n
x n n n x n?
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
任一序列可表示为
X2009-7-29 25
例题,利用单位脉冲序列表示任意序列
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k?
235.11 nnn
,,,,,.,0030511
0n
nf
)(nx
1
2
3 41? o n
nf
5.1
3?
)(nx例：
)1()1()()0( nxnx
X2009-7-29 26
(2) 单位阶跃序列
00
01)(
n
nnu
nO
)( nu
1
11? 2 3
)3()2()1()()( nnnnnu
)1()()( nunun?
nO
)( nu
1
11? 2 3
)1(?nu?
0
)(
k
kn?
()un 可看成无穷多个单位脉冲信号之和
X2009-7-29 27
(3) 矩形序列
1 0 1()
0 0,N
nNRn
n n N
no
)( nR
N
1
11? 2 3
1?N
()NRn ()NN R n是 的 长 度
( ) ( ) ( )NN n u n u n N与 u(n)的关系：
X2009-7-29 28
(4) 实指数序列
,( ) ( )nx n a u n?指 数 信 号
n
x(n)
0<a<1
1
1
n
x(n)
a>1
1
1n
an
-1<a<0
1
1
X2009-7-29 29
(5) 正弦型序列
,s i n ( )n正 弦 序 列
sT
1 5
O
n
1?
10
0
sin n ω
t
0
sin?
1
t?sin
n?sin
2?
为有理数时是周期的？
sin(ωt+α)在 t=nTs时的采样得,
数字角频率
s i n ( )sTn 正弦序列不一定都为周期序列
X2009-7-29 30
(6) 复指数序列
()() jnx n e
( c o s s i n )n j n ne e e n j n
特点,
由一对虚、实的正弦型序列叠加而成 ;
只有 2π/Ω为有理时,才为周期序列
离散信号有效频率范围 =2π,0≤Ω≤2π或 -π≤Ω≤π
信号离散化后,将无限频率 ω∈ (-∞∞)映射到有限频带
Ω∈ (0,2π)内
X2009-7-29 31
5.1.5 离散信号的时域运算
平移、翻转、尺度变换
＋、－,×,÷,累加
差分、卷积、相关等
与连续信号时域运算相对应
z(t)=x(t)+y(t)? z(n)=x(n)+y(n)
一般情况下，指对应点序列值的相运算两信号长度相等
X2009-7-29 32
（ 1） 平移
x(n)? x(n-m),序列右移 m位；
x(n)? x(n+m),序列左移 m位；
n
x[n+3]
0
n
x[n-3]
0
n
x[n]
0 3-3
X2009-7-29 33
（ 2）翻转
x(n)?x(-n):以纵轴为对称轴，左右翻转
若 x(n)=αn，则 x(-n)=α-n
n
x[-n]
0 3-3
n
x[n]
0 3-3
X2009-7-29 34
(3) 加减
若是两个离散信号，
它们的和（差）定义为：两信号对应点取值之和（差）
[ ] [ ]x n n、y
[ ] [ ] [ ]z n x n y n
n
x[n]
n
y[n]
n
x[n]+y[n]
+
=
维数须相等
X2009-7-29 35
（ 4）乘除
离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，
即内积。
[ ] [ ] [ ] [ ],[ ]z n x n y n x n y n
离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。
[ ] [ ] [ ]z n x n y n
X2009-7-29 36
例题,离散信号的加与乘
若 x = [ 1 3 5 7 ],y = [ 2 4 6 8],
则 z = x + y = [ 1 3 5 7 ] +……
[ 2 4 6 8 ]
= [ 3 7 11 15 ];
p = x * y = [ 1 3 5 7 ] *……
[ 2 4 6 8 ]
= [ 2 12 30 56 ]
X2009-7-29 37
（ 5）累加
离散序列 x(n)的累加定义为
y(n)时刻 n及其之前所有序列取值之和
如
( ) ( )
n
k
y n x k
2 0 0 1 1 3 4 5
( ) 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2
( ) 0 0 2 6 1 2 2 0 3 0 4 2
n
xn
yn
X2009-7-29 38
（ 6）差分
前向差分
( 1 ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 )
()
11x nn x x
x
n
n
n x n
x
--D - = + -
= - -
=
后向差分
推论：
( ) ( 1 ) ( )x n x n x nD = + -
( ) ( ) ( 1 )x n x n x n? - -
( ) ( 1 )x n x n? D -
( 1 ) ( ) ( 1 )x n x n x n
差分与微分的关系
X2009-7-29 39
n
x(n)
0 2 4 6 8 10 12
（七）时间尺度（比例）变换
以 m＝ 2为例，
n = 0,1,2,3,…
mn= 0,2,4,6,…
( ) ( )x n x m n
( ) ( )nx n x m
或其中 m为正整数抽取
( ) { (2 ),0,1,2,3,}x m n x n n
隔一点 抽取 一个点，采样频率降低一半
采样周期由 Ts?2Ts
x(mn)
X2009-7-29 40
（七）时间尺度（比例）变换
以 m＝ 2为例，
n =0,1,2,3,4,5,6,7,8,…
n/m=0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,…
m(n/m)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,…
( ) ( )x n x m n
( ) ( )nx n x m
或抽取插值
隔两点之间 插入 一个点，采样频率提高一倍
2
( ) { ( ),0,1,2,3,}
m
nnx x n
mm
n
x[n]
0 1 2 3 4 5 6
x(n/m)
nkm
m 0,1,2,3,
( ) |kxk?
x(k)
整数
0 2 4 6 8 10 12
X2009-7-29 41
（八）线性卷积 (和 )
有序列 x(n),h(n)，则其线性卷积为
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
( ) ( )
d e f
x n h n
( ) ( ) ( ) ( )x n h n h n x n
线性卷积具有交换率
h(n)x(n) y(n)
线性时不变离散系统
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
x(n):系统输入
h(n):系统单位脉冲响应
y(n):系统输出
物理意义
X2009-7-29 42
线性卷积算法
变量代换,n?m
翻转,h(m)?h(-m)
平移,h(m)?h(n-m),n正右移,n负左移
相乘,h(n-m)*x(m),逐点对应相乘
累加：对应点乘积相加，得 y(n)
注,n＝ {…,-2,-1,0,1,2,…} 逐个取值
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
X2009-7-29 43
线性卷积算法
例题,设 x(n)={-1,2,4,0,5},h(n)={1,3,6,1,-1,4},求 x(n)*h(n).
解,( ) ( ) ( ) ( )
m
x n h n x m h n m
￥
= -
* = -?
x(n),-1,2,4,0,5
-1,-3,-6,-1,1,-4
2,6,12,2,-2,8
4,12,24,4,-4,16
0,0,0,0,0,0
5,15,30,5,-5,20
x*h=[ -1,-1,4,23,32,17,34,21,-5,20 ]
m=0 x(0)h(n-0)
m=1 x(1)h(n-1)
m=2 x(2)h(n-2)
m=3 x(3)h(n-3)
m=4 x(3)h(n-4)
sum
n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,6,1,-1,4h(n),卷积长＝ l
x+lh-1
算法：
左对齐
竖相乘
列相加
X2009-7-29 44
有序列 x(n),y(n)，则其相关运算为
( ) ( ) ( )xy
n
R m x n y n m
( ) ( ) [ ( ) ]xy
n
R m x n y m n
( ) ( ) ( ) ( )
n
x m y m x n y m n
相关可用卷积来计算
将一个序列翻转后再卷积
结论：
（九）两序列得相关运算
( ) ( )x m y m
当 x(n)＝ y(n)时，有 自相关 运算为
( ) ( ) ( ) ( )x x x x
n
R m x n x n m R m
2(0 ) ( )
xx
n
R x n
X2009-7-29 45
5.2 离散信号的频域分析
连续信号离散化后频谱特点
连续性：不利于计算机处理
周期性：周期＝ 2π/Ts，与原信号包络相同，幅值 × 1/Ts
本节内容
离散信号的傅里叶变换
离散傅里叶变换
特别约定,
连续信号 的频率用 ω表示
离散信号 的频率用 Ω表示
X2009-7-29 46
5.2 离散信号的频域分析
信号时间特征与频谱分析工具
FS (Fourier Series)
DFS (Discrete Fourier Series)
FT (Fourier Transform)
DTFT (Discrete-Time Fourier Transform)
信号时间特征 周期信号 非周期信号连续 x(t) 傅里叶级数 FS 傅里叶变换 FT
离散 x(n) 离散傅里叶级数 DFS
离散傅里叶变换 DTFT
X2009-7-29 47
5.2.1 周期离散信号的频谱分析
DFS (Discrete Fourier Series)
思路,周期连续信号可展成傅里叶级数周期离散信号?离散傅里叶级数？
设：连续周期信号 x(t)的傅里叶级数为 X(kω0 )
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
1
( ) ( ) 0,1,2
j k t
k
T
j k t
x t X k e
X k x t e d t k
T
将 x(t)的时间变量 t 离散化?x(n)
离散的
0
0
2
T
X2009-7-29 48
（ 1）离散傅里叶级数 DFS的引入
对傅里叶级数离散化
00
2T
N
一个周期 T0内采样 N点：采样周期 T
则,T0=NT,角频率
得：离散周期序列：
m为任意整数
取
( ) ( )x n x n m N
n
x(t)
0 T0 2T0 3T0
Tx(n)
0
0
22
T T N
0
0 T?
X2009-7-29 49
01
0
0 1( ) ( )
N
Tj k n T
n
X k x n T eTT TN
1
0
1 () 0N j k n
n
x n T eN
0
00,,T NT d t T t n TTw
W
0[ 0,) [ 0,1 ],t T n N萎ò
0
1
0
0
1( ) ( )N j k n
n
X k x n eN
0 0
0 0
0
1( ) ( )T j k tX k x t e d t
T
注意到：
以 n表示 nT,以 kΩ0表示 kΩ0/T,得：
0
/2
/2
1 ()N j k n
nN
x n eN
X2009-7-29 50
01
0
0
( ) ( )
N j k n T
T
n
x n T X k eT
将 X(kΩ0)代入 x(t),并对 t离散化：
0( ) ( )
D F Sx n X k
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
n
X k x n e k NN
0
0( ) ( ),0,1,2,,1
j k t
n
x t X k e k N?
离散傅里叶级数变换对
X2009-7-29 51
离散傅里叶级数是 k的离散周期函数，周期 =N
只要有限个 (N)谐波分量 kΩ0—— 数字频率
谐波分量间距 —— 基本频率
x(n)是以 N为周期的离散周期函数
00
2T
N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
n
X k x n e k NN
结论：
0[ ( ) ]X k q N
00
1
0
1 ()N j k n j q N n
n
x n e e
N
0()Xk
0
1
()
0
1 ()N j k q N n
n
x n eN
0
1
0
1 ()N j k n
n
x n e
N
＝ 2π
X2009-7-29 52
例题
P109,例 3－ 8
P109,例 3－ 9
X2009-7-29 53
（ 2） DFS的主要性质
① 线性
00( ) ( ) ( ) ( )D F Sa x n b y n a X k b Y k则
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
② 复共轭
0( ) ( )D F Sx n X k若
0( ) ( )D F Sx n X k
0( ) ( )D F Sx n X k则 －
特例：当 x(n)为实序列时，
X2009-7-29 54
（ 2） DFS的主要性质
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
1
00
00
1( ) ( ) ( ) ( )NN D F S
nn
x n y n X k Y kN
则
③ 线性
0( ) ( )D F Sx n X k若
0 0( ) ( )jD F S kmex n m X k则
④ 帕斯瓦尔定理意义：时域时移? 频域相移，幅频不变特例：当 x(n)＝ y(n)时，
1 22
0
00
1( ) ( )NN D F S
nn
x n X kN
时域总能量等于频域总能量
X2009-7-29 55
（ 2） DFS的主要性质
⑤ 周期卷积定理
00
1( ) ( ) ( ) ( )D F Sx n y n X k Y k
N
00( ) ( ),( ) ( )D F S D F Sx n X k y n Y k若
00( ) ( ) ( ) ( )D F Sx n y n X k Y k则时域卷积?频域乘积,时域 乘积?频域 卷积周期卷积定义：
( ) ( ) ( ) ( )x n y n y n x n1
0
( ) ( )
N
k
x k y n k
( ) ( )y m y N m注,
X2009-7-29 56
连续周期信号 x(t)?X(kω0 )
离散化后得离散周期信号 x(n)?X(kΩ0 )
X(kΩ0 )反映 x(n)谐波分量的复振幅称为周期序列的频谱是数字频率 kΩ0的函数
x(n)与 X(kΩ0 )一一对应
考察 X(kΩ0 ) 与 X(kω0 )的关系
（ 3）离散周期信号的频谱
X2009-7-29 57
（ 3）离散周期信号的频谱
例 3-10
连续信号,以采样间隔 T=0.25s对其采样，求采样周期序列的频谱，并与原始信号
x(t)的频谱进行比较。
( ) 6 c o sx t t
例 3-11
连续信号 周期为 1s，
以不同采样频率对其采样,① fs1=16点 /周期，②
fs2=8点 /周期，分别 求采样后周期序列的频谱，并与原始信号 x(t)的频谱进行比较。
( ) 2 c o s 6 4 s i n 1 0x t t t
X2009-7-29 58
结论
离散周期序列的频谱
离散行
周期性
有限谐波性（数字频率）
满足采样定理时
在一个周期内周期序列的频谱＝原始信号的离散频谱
主周期外周期序列频谱始原始离散频谱的周期延拓
不满足采样定理时
周期序列频谱出现混叠
连续周期信号的频谱
离散行
非周期性
无限谐波性
X2009-7-29 59
（四）混叠与泄漏
混叠,与连续信号采样类似
采样频率 <2× 信号最高频率时，频谱出现混叠
无法准确恢复原连续信号
对无限频谱分量的连续信号，必定不能用有限采样点准确求得连续信号的频谱
可通过增大采样点数减小混叠的影响
X2009-7-29 60
（四）混叠与泄漏
泄漏
例 3-10：截取长度 T0＝ 3s，采样间隔 T＝ 0.25s
采样点数 N＝ 3/0.25=12,基本频率 Ω0＝ π/6,
x(n)=6cos(πn/6)，
周期 2的正弦信号变成周期为 3的非正弦信号,频谱
后果：
谐波分量增加、仍周期
谱功率泄漏（分散）
原因：
非整周期截断
措施：
整周期截断、加窗
X2009-7-29 61
5.2.2 非周期离散信号的频谱分析
基本思想：
连续周期信号的 FS,周期?∞时，得非周期信号的 FT
离散周期序列的 DFS：周期?∞时，可得非周期序列的
DTFT (Discrete Time Fourier Transformation)
非周期序列可看成 周期＝ ∞的周期序列
主要内容
从 DFT到 DTFT
DTFT的性质
DTFT,DFS以及 CTFT之间的关系
X2009-7-29 62
（一） 从 DFS到 DTFT
设有非周期序列 x(n)
以 N为周期,将 x(n)延拓为周期序列 xN(n)
N?∞,N至 少要大于 x(n)的长度,则
( ) ( )N
m
x n x n m N
n2N 2NN0
x(n)?xN(n)
下标 N表示周期傅里叶级数变换对为：
0
/2
0
/2
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
nN
X k x n e k NN
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
X2009-7-29 63
（一） 从 DFS到 DTFT
对于 xN(n),当 N?∞时，
0
/2
0
/2
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
nN
X k x n e k NN
因此,用 X(Ω)=N·X(kΩ0 )表示非周期序列的频谱：
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
n
x n X k e n N
0
2,d
N
0,k 01,
22
d
N
1 2
00,
N
k
( ) ( )Nx n x n?
0
/2
0
/2
1( ) ( )N j k n
nN
X k x n e oN
010
0
( ) ( )N j k n
n
N X k x n e
有 限 值
0
/2
0
/2
( ) l i m ( ) l i m ( )N j k nNNN
nN
X N X k x n e
() jn
n
x n e
0
1
0
0
( ) l i m ( )1 N j k nN
n
x n X k eNN
2
0
1 ()
2
jnX e d?
( ) ( ) jn
n
X x n e
2
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1
2
jnx n X e d n N?
DTFT
X2009-7-29 64
（一） 从 DFS到 DTFT
小结：非周期序列的频谱有
连续谱,Ω∈ (0,2π)
周期性,周期＝ 2π：主值区间 (0,2π)
前提：收敛性
()
n
xn?
( ) ( )D T F Tx n X
( ) ( ) jn
n
X x n e
2
0
1( ) ( ) 0,1,2,,1
2
jnx n X e d n N?
离散时间傅里叶变换 DTFT：
T
X2009-7-29 65
例题 3－ 12 求下列序列的 DTFT,
11 ( ) ( ),1nx n a u n a
22( ) ( )
jn
n
X x n e
[ ( 1 ) ]n j n
n
a u n e
小结：不同序列的 DTFT可能相同，但收敛域不同
11( ) ( )
jn
n
X x n e
1
11
j
j
ae
ae
解,(1)
0
()jn
n
ae
0
n j n
n
ae
1,
1 1jae a
(2)
1
n j n
n
ae
1
1
()jm
m
ae
1
n j n
n
ae
1,
1 1jae a
22 ( ) ( 1 ),1nx n a u n a
收敛域 |a|<1 收敛域 |a|>1
mn
X2009-7-29 66
例题 3－ 13 求有限长矩形序列的 DTFT,
12()
0
M n M Mxn
其 余
( 2 1 )1
1
jM
jM
jn
ee
e
11
(
1
( ) ()
2
2
)
22
22
[ ] /
[ ] /
j M j Mj
jj
M
jM
j
e j
j
e
e
e
ee e
( ) ( ) jn
n
X x n e
解,
2
()
0
M
j L M
L
e
1
M
jn
n
e
-M
2
0
M
j M j L
L
ee
sin ( 1 / 2 )
sin ( / 2 )
M
L n M
X2009-7-29 67
频谱图小结：
连续性，能量大部分集中在主瓣内
周期性，周期＝ 2π
M表示一个周期内的峰数
可用于提取 2π的倍频分量
X2009-7-29 68
例题 3－ 14 求 的 IDTFT,
01
2
jne
0( ( )X
0 02 ( )jn D T F Te
2
0
1( ) ( )
2
jnx n X e d?
解,利用离散时间逆傅里叶变换公式
000 1c os ( )
2
j n j nn e e
2
00
1 ()
2
jned
0 02 ( )jn D T F Te
0 0 0c o s [ ( ) ( ) ]D T F Tn
0 0 0s i n [ ( ) ( ) ]D T F Tnj
00
0
1s in ( )
2
j n j nn e e
j
00 1()
2
jnI D T F T e?
X2009-7-29 69
例题 3－ 15 求矩形周期连续谱的 IDTFT,
11
2
m
m
jne
jn?
1( ) ( )
2
jnx n X e d?
解,利用离散时间逆傅里叶变换公式
(1 1 )2 mmj n j nejn e
1 1
2
m
m
jned
00
0
1s in ( )
2
j n j nn e e
j
si1 n m nn sin mm
m
n
n?
()m mSa n
( ) 0
()
0
m
m
m
S a n n
xn
n
X ( Ω )
Ω
m
- Ω
m
2 π- 2 π - π π Ω
1
X2009-7-29 70
（二） DTFT的性质性质 序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
线性时移特性频移特性时间翻转共轭对称时域卷积
( ) ( )a x n b x n? ( ) ( )a X b X
0()x n n? 0 ()jneX
0 ()jne x n?
0()X
()X()xn?
()X()xn?
( ) ( )x n y n? ( ) ( )XY
X2009-7-29 71
（二） DTFT的性质性质 序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
频域卷积调制特性频域微分帕斯瓦尔公式
0( ) c o sx n n 001 [ ( ) ( ) ]2 XX
()dXj
d
()n x n?
22 1
( ) ( )2
n
x n X d?
2 ( ) ( )x n y n ( ) ( )XY
X2009-7-29 72
常见离散序列的 DTFT
序列 x(n) 离散时间傅立叶变换 DTFT
()n?
00[ ( ) ( ) ]
0()nn
0jne 1 2 ( )1
( ),1na u n a?
0cos n?
0jne? 02 ( )
1(1 )jae
( 1 ),1na u n a 1(1 )jae
序列 x(n) DTFT 序列 x(n) DTFT
X2009-7-29 73
例 3-16 用 DTFT解差分方程
假设 y(n)满足零初始条件，且 x(n)=δ(n)，求解差分方程 y(n)-0.25y(n-1)=x(n)-x(n-2).
思路,DTFT?Y(Ω)?IDTFT?y(n)
使用时域频移性质解：两边同时取 DTFT
( ) 1X
2( ) ( 0,2 5 ) ( ) ( 0,2 5 ) ( 2 )nny n u n u n
2( ) ( 1 0,2 5 ) 1jjY e e
2( ) 0,2 5 ( ) ( ) ( )jjY e Y X e X
21
() 1 0,2 5
j
j
eY
e
211
1 0,2 5 1 0,2 5j
j
j
e
ee
1
1()
1
D T F Tn
a ja u n ae
( ) ( )D T F T jmx n m e X
两边同时取 IDTFT
X2009-7-29 74
(三 ) DTFT,DFT以及 CTFT的关系
DFS
0
1
0
0
1( ) ( )N j k n
n
X k x n eN
( ) ( ) jn
n
X x n e
201( ) ( )2 jnx n X e d
DTFT
0
1
0
0
( ) ( )
N
j k n
n
x n X k e
0
1( ) ( )
s
ns
X X nT
1( ) ( )
2
jtx t X e dt
CTFT
( ) ( ) ss t n Tx n x t
( ) ( ) jtX x t e d t
采样信号
0
2
sT
X2009-7-29 75
(三 ) DTFT,DFT以及 CTFT的关系
DFS DTFT 采样信号 连续信号时域周期性 周期 N 非周期 非周期连续性 离散 1 离散 1 离散 Ts 连 续频域周期性 周期 2π 周期 2π 周期 ω0 非周期连续性 离散 非周期 非周期谐波性 有限谐波 无 无意义 复振幅 谱密度 谱密度
X2009-7-29 76
5.2.3 离散傅里叶变换 ( DFT )
离散时间信号傅里叶变换 DTFT的局限性
是 Ω的连续函数，不适用于计算机处理；
()XjW
时域信号 x(n)为无限长序列 n∈ (-∞,∞)，
实际信号 x(n)为有限长序列 n∈ ( 0,N-1 ),
本节对 离散化，得到频域离散、有限长度的傅里叶变换 —— 离散傅里叶变换 DFT()XjW
离散 傅里叶变换 DFT指 频率 是离散的
X2009-7-29 77
基本思路
将有限长非周期序列延拓成周期序列
再求周期序列的 DFS
周期序列长度＝ N
取 1个周期长度 N点取 1个周期周期谱离散谱DFS
非周期序列有限长度 N
以 N为周期周期延拓周期序列主值序列
x(n)
主值区间
0~N-1
X2009-7-29 78
(一 ) 从 DFS到 DFT
考虑有限长序列 x(n),n=0~(N-1)
以 N为周期对 x(n)周期延拓?周期序列 xp(n)
( ) ( )p
r
x n x n r N
,r 为任意整数
xp(n)是 以 N为周期的 周期序列 ;
定义 x(n)为 xp(n)的主值序列 ;
主值区间 k=0~N-1;
xp(n)可展成傅里叶级数 DFS.
X2009-7-29 79
(一 ) 从 DFS到 DFT
0
1
0
0
( ) ( ),0,1,2,,1
N
j k n
pp
k
x n X k e n N
0
1
0
0
1( ) ( ),0,1,2,,1N j k n
pp
n
X k x n e k NN
0 2/ N
Xp( kΩ0 )是以 N为周期的离散序列 —— 谱密度
取 xp(n)与 Xp( kΩ0 )的主值 x(n)与 X(k)
21
0
()
N j k n
N
n
x n e
()xn
,0,1,2,,1k n N()Xk
21
0
1 ()N j k nN
n
X k eN
0()N X k
0
1
0
0
1 ()N j k n
n
N X k eN
( ) ( )D F Tx n X k
X2009-7-29 80
小结
和 都以 N为周期,
2( ) ( ) | k
N
X k X
( ) ( )D FTI D FTx n X k
()Xk ()xn
( ) ( )X N k X k- = -( ) ( )X k q N X k?
和 的主值区间一般取 [ 0,N-1 ];()Xk ()xn
k的有效取值范围为,,是主值左半部分的映射 ; 0 ~ 12N - ~12
N N -
离散傅里叶变换 为离散时间 DTFT的抽样，
k=0,1,2,…,N -1
()Xk
对应频率范围,rad/s，
00 ~ ( 1)2
N -W
k~Ω的量纲变换：
0
2~
kk k k N
pW = W =
0
2
N
pW=
X2009-7-29 81
(二 ) DFT的性质
DFT由傅里叶变换派生出来的：
DFT与 FT有类似的性质；
DFT是傅里叶变换在时域、频域上的离散形式：
DFT有不同于 FT的特性。
如：圆周位移特性圆周卷积特性
研究 DFT的特性应从 x(n)与 X(k)的周期性入手。
( ) ( )D FTI D FTx n X k
DFT的性质 —— 表 3－ 4
X2009-7-29 82
（ 1） 线性特性
11( ) ( )
D F T
I D F Tx t X k
22( ) ( )D F TI D F Tx t X k 若
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
D F T
I D F Ta x t b x t a X k b X k
则
1()xt 2()xt
注,与 长度必须相同，否则短者补零
X2009-7-29 83
（ 2） 圆周位移特性
有限长序列 x(n)的位移
21
0
( ) ( )
N j k n
N
n
X k x n e
22( ) ( )D F TID F Tx t X k
x(n)
nm N-10
x(n-m)
nm N+m-10
求和范围 0～ N-1 求和范围 m～ N+m-1
求 DFT 计算不便 —— 引入“圆周位移,
X2009-7-29 84
（ 2） 圆周位移特性
将有限长序列 x(n)周期延拓成 xp(n)
21
0
( ) ( )
N j k n
N
n
X k x n e
x(n)
位移 m后，前出后补，主值区间仍为 0～ N-1；
DFT求和范围不变，计算简便了；
新主值 x(n-m)相当与 x(n)位移 m位；
DFT的计算结果只有相移。
2N-1 nm N-10－ N2N
xp(n)x(n-m)
0( ) ( )D F T jk mI D F Tx n m e X k
X2009-7-29 85
（ 2） 圆周位移特性
x
1
x
2
x
0
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
7
x
0
x
6
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
延拓周期序列 xp(n)的位移可以看成有限长序列
x(n) 的圆周循环位移 x(n) x(n-2) x((n-2))NRN(n)
x0 x6 6
主值序列
x1 x7 7
x2 x0 0
x3 x1 1
x4 x2 2
x5 x3 3
x6 x4 4
x7 x5 5RN(n):长度为 N的矩形序列((n-m))
N,(n-m)对 N取模值
X2009-7-29 86
（ 2） 圆周位移特性
则由时移特性：
( ) ( )D F Tx n X k
x((n-m))NRN(n)是 x(n) 右移 m位而成的周期序列
若有 DFT：
0( ( ) ) ( ) ( )D F T j m kNNx n m R n e X k
00 0( ) ( ( ) ) ( )D F Tj k n NNe x n X k k R n
由频移特性：
x(n)圆周位移 m位后,DFT仅有相位变化
DFT圆周位移 k0为后,x(n)仅有相位变化
X2009-7-29 87
（ 3） 圆周卷积特性
若 x(n),h(n)都 为长度为 N的有限长序列，且
11( ) ( )
D F T
I D F Tx t X k
22( ) ( )D F TI D F Tx t X k
则圆周卷积：
( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n h n X k H k
圆周卷积定义为：
1
0
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
x n h n x m h n m R m
1
0
( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
h m x n m R m
长度也为 N
X2009-7-29 88
h(n-m)
nm N+m-10 N
x(n)
nm N+m-10 N
线性卷积与圆周卷积的关系
线性卷积
( ) ( ) ( )
n
y n x m h n m
圆周卷积
1
0
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
N
NN
m
y n h m x n m R m
h(n-m)
nm N0
x(n)
nm N+m-10 M
有效长度 M+N-1 有效长度 N
X2009-7-29 89
线性卷积与圆周卷积的关系
两种卷积长度不同；
两种卷积结果不同；
当 x(n),h(n)都补 0至 L≥N+M-1时，两种卷积结果相同
实质是圆周位移时回补 0，而非移出位；
等效于线性卷积。
L＜ N+M-1时，出现混叠 。
频域圆周卷积：
1( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n h n X k H k
N
X2009-7-29 90
5.3 快速傅里叶变换 ( FFT )
直接计算 DFT运算量大
一个 需 N次复乘法 21
0
( ) ( )
N j n k
N
n
X k x n e
()Xk
N个 需 N2次复乘法()Xk
2log2
N N
当 N＝ 1024时，乘法次数 N2＝ 1 048 576
提高效率的措施：
软件措施,FFT—— 减少复乘法次数
硬件措施,DSP
5120
省 200倍
FFT的基本思想：
长序列化为短序列
Fast Fourier Transformation
X2009-7-29 91
5.3.1 FFT的基本思路
为了书写以及后续处理简单，令 2 1j NNNwe
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
1
0
1( ) ( )N nk
N
k
x n X k w
N
加权因子 —— wN的性质：
只与采样点个数 N 有关；
wN0 = 1,wNN = 1,wNN/2 = -1;
周期 N,wNn(N-k) = wN-nk
wNk(N-n) = wN-nk
对称性,wN(nk+N/2) = -wNnk
离散傅里叶变换表示为：
2/2
2 1
NjNj
NNw e e
2 ( ) 22
()
n N kj j n j n k
n N k n kNN
NNw e e w
21
0
( ) ( )
N j n k
N
n
X k x n e
21
0
1( ) ( )N j n k N
k
x n X k e
N
2 ( / 2 ) 2()
2
n k NN j j n k jnk
nkNN
NNw e e w
X2009-7-29 92
x(n)的 DFT改写为：
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0
( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1
( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 1 )
N
N N N
N
N N N
N N N N
N N N
X W x W x W x N
X W x W x W x N
X N W x W x W x N
以 N＝ 4为例，并写为矩阵形式：
0 0 0 0
4 4 4 4
0 1 2 3
4 4 4 4
0 2 4 6
4 4 4 4
0 3 6 9
4 4 4 4
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
XxW W W W
W W W W
XxW W W W
W W W W
()nk
NW
5.3.1 FFT的基本思路
X2009-7-29 93
由 WN的性质：
1
0
( ) ( )
N
nk
N
n
X k x n w
以 N＝ 4为例，并写为矩阵形式：
0 0 0 0
4 4 4 4
02
44
0 3 6
44
0 1 2 3
4 4 4 4
46
44
44
9
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
W W W W
WW
W
XxW W W W
XxWW
W W W
()nk
NW
4 / 2 0441,WW04 1,W? 3 1 4 / 2 14 4 4,W W W 40441,WW
6 2 04 4 41,W W W 9 4 2 1 1
4 4 4,W W W
0 0 0 0
4 4 4 4
01
44
0 0 0 0
4 4 4 4
01
44
0 1 0 1
4 4 4 4
( 0) ( 0)
( 1 ) ( 1 )
( 2) ( 2)
( 3 ) ( 3 )
XxW W W W
WW
XxW W W W
W W W W
WW
只需计算 2个因子 W40,W41
而原来须计算 7个,
5.3.1 FFT的基本思路进一步的措施：
长序列?短序列
X2009-7-29 94
5.3.2 基 2— FFT算法
N点序列 {x(n)},N=2v,v— 正整数 ;
n=0,1,2,……,N -1;
0,1,2,,/ 2 1lN
/ 2 1
/
/ 2 1
2
00
2( ) ( ) ( 2 )
NN
l k l k
l
NN
l
G k g wwl x l
( ) ( 2 1 )h l x l
( ) ( 2 )g l x l?
2 2
2/2
2
2
/
j NN
N
j
Nwe ew
将 {x(n)}分成偶数序列 和奇数序列()gl ()hl
周期,N/2
偶、奇序列的 DFT为：
/ 2 1
/
/ 2 1
2
00
2( ) ( ) ( 2 1 )
NN
l k l k
l
NN
l
H wwk h l x l
0,1,2,,/ 2 1kN
X2009-7-29 95
考察以下两式：
/ 2 1 / 2 1
2 ( 2 )
00
1( 2 ) ( 2 1 )
NN
l k l k
NN
ll
x l w x l w
( ) ( )kNG wk H k
1
0
()
N
lk
N
l
x l w
()Xk
/ 2 1 / 2 1
/ 2 / 2
00
( ) ( )kN
NN
l k l k
NN
ll
g l w h lw w
5.3.2 基 2— FFT算法
0,1,2,,/ 2 1kN
( ) ( ) ( )kNwX k G k H k
X2009-7-29 96
( ) ( ) ( )2 kNNX k G k w H k
( ) ( ) ( )kNX k G k w H k0,1,2,,/ 2 1kN
( ) ( )kNwG k H k
()
2( ) ( ) ( )
2 2 2
Nk
Nw
N N NX k G k H k
结论：
复乘法次数 (N/2)2× 2=N2/2
kNw 事先列表
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 97
2
2
' ( 0 )
' ( 1 )
X
X
奇偶序列继续分下去,N/4,N/8,…,4,2,1 点
一点的傅里叶变换为其本身,X(1)=x(1)
方法：
将序列依次分为偶、奇子序列，直至子序列仅 1项；
由 组合 ；再由 组合 ….,
4 ()Xk1
(1)X 2()Xk 2()Xk
0
2 1 2 1
0
2 1 2 1
( 0 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 1 ) ( 0 ) ' ( 0 )
X X w X
X X w X
0
8 4 8 4
1
8 4 8 4
2
8 4 8 4
3
8 4 8 4
0
8 4 8 4
1
8 4 8 4
2
8 4 8 4
3
8 4 8 4
( 0) ( 0) ' ( 0)
( 1 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 2) ( 2) ' ( 2)
( 3 ) ( 3 ) ' ( 4)
( 4) ( 0) ' ( 0)
( 5 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 6) ( 2) ' ( 2)
( 7 ) ( 3 ) ' ( 4)
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
0
4 2 4 2
1
4 2 4 2
0
4 2 4 2
1
4 2 4 2
( 0 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 1 ) ( 1 ) ' ( 1 )
( 2 ) ( 0 ) ' ( 0 )
( 3 ) ( 1 ) ' ( 1 )
X X w X
X X w X
X X w X
X X w X
4
4
4
4
' ( 0 )
' ( 1 )
' ( 2 )
' ( 3 )
X
X
X
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 98
重新排序 逐级组合
x(n) 4 2 1 X(n’) N=2 N=4 N=8
0
1
2
3
4
5
6
7
0
2
4
6
1
3
5
7
0
4
2
6
1
5
3
7
0
4
2
6
1
5
3
7
X0
X4
X2
X6
X1
X5
X3
X7
0
4
2
6
1
5
3
7
0
2
4
6
1
3
5
7
0
1
2
3
4
5
6
7 28w
14w
02 1w?
18w
08w
04w
38w
图例,红箭头 — 偶序列； 黄箭头 — 奇序列
水平黄箭头?表示 (— )；其余为（ ＋ ）
02 1w?
02 1w?
02 1w? 14w
04w
5.3.2 基 2— FFT算法
X2009-7-29 99
5.3.3 FFT的应用
FFT是 DFT的一种快速算法
便于计算机运算
用于离散、连续信号的数据处理或频域分析
举例：
利用 FFT求线性卷积
利用 FFT求线性相关
利用 FFT作连续信号的频谱分析
……
X2009-7-29 100
(1) 利用 FFT求线性卷积
序列 x(n)长度为 N，序列 h(n)长度为 M
x(n)与 h(n)补 0至长度为 L=2v≥N+M-1,此时,
线性卷积＝圆周卷积
( ) ( ) ( ) ( )x n h n x n h n ( ) ( )FFT
I FF T X k H k?
x(n)*h(n)IFFTFFT
FFT H(k)
X(k)
乘法器 X(k)H(k)h(n)
x(n)
补 0扩展
X2009-7-29 101
(2) 利用 FFT求线性相关
序列 x(n)长度为 N，序列 h(n)长度为 M
x(n)与 h(n)补 0至长度为 L=2v≥N+M-1,此时,
线性相关＝圆周相关?翻转卷积
( ) ( ) ( ) ( )x n h n x n h n( ) ( )FFT
I F F T X k H k
x(n)⊙ h(n)IFFTX(k)H*(k)乘法器
h(n)
x(n)
H(k)
FFT
FFT
X(k)
共轭
H*(k)
补 0扩展
X2009-7-29 102
(3) 利用 FFT作连续信号的频谱分析
实际信号多为连续信号 x(t)
采样?序列 x(n)长度为 N=2v
FFT?x(n)频谱?逼近 x(t)的频谱 X(k)或 |X(k)|2
前提：满足采样定理,抗混叠
( ) { ( ) }X k F F T x n?
共轭
|X(k)|2乘法器X(k)FFTx(t) 采样量化
x(n)
X*(k)
X2009-7-29 103
连续信号 DFT分析误差
时限连续信号：
时宽有限?频带无限宽?采样前 抗混滤波
频域限带信号
频宽有限?时宽无限宽?采样前 加窗 (截断 )
泄漏，优化窗函数以减少泄漏
连续周期信号
遵循采样定理，可避免混叠；
非时限信号，必须截断
整周期截断?不会产生泄漏
非整周期截断?泄漏,通常情况！
X2009-7-29 104
附,数据采集参数确定
N及 Ts确定后，频率分辨率固定
0
22S
SN N T T
ppWW = = =
×
要提高分辨率，可采取信号增大记录时间 T:
↑Ts→T↑→ Ω0↓→ Ωs↓—— 可能引起混叠
↑N →T↑→ Ω0↓—— 数据量增加效率降低
信号最高频率 Ωm、分辨率 Ω0已知时,T,N,Ts极限值：
m i n m a x m i n
0 0 0 0 0
222 1 1,,
2 s m mS mm
fT T N
f f f
pp WW =
W W W W
2 2
Sm
sT
pW= 砏
0
2
T
p <W 0 2smN W = W > W
X2009-7-29 105
例 3-17
利用 FFT分析一最高频率 fm=1.25kHz的连续时间信号，要求频率分辨率 f0≤5Hz.试确定,
(1) 最小的信号采样记录长度 Tmin;
(2) 最大采样间隔 Tsmax;
(3) 最少采样点数 Nmin.
解：根据采样参数确定方法
(1)
(2)
(3)
3
m a x
11 0,4 1 0 0,4
2 2 1 2 5 0S mT s m sf
-? =?
′
m i n
0
11 0,2
5Tsf?=
m i n m a x m i n0 0 0 0 0
222 1 1,,
2 s m mS mm
fT T N
f f f
pp WW =
W W W W
9
m i n
0
2 2 1 2 5 0 5 0 0 5 1 2 5
5
mfN
f
′? = =@
X2009-7-29 106
5.4 离散信号的 Z域分析
信号分析方法对照时域分析 频域分析 复频域分析连续信号 时域变换 傅里叶变换 拉普拉斯变换离散信号 时域变换 DFT Z变换
Z变换,离散信号复频域分析的工具
X2009-7-29 107
5.4.1 离散信号的 z变换
主要内容
Z变换的定义
Z变换的 收敛域
Z变换的 性质
Z变换域其它变换的关系
X2009-7-29 108
（一） 从 DTFT到 Z变换
DTFT的前提,x(n)绝对可和，即
(( )) n jn
n
x n rXe
称 X(z)为 x(n)的 Z变换
()
n
xn?
若 x(n)不满足绝对可和条件，只要 () n
n
x n r
可对 x(n)r-n求 DTFT,(r>1实数 )
( ) ( )jn
n
x n r e
令,z=rejΩ＝ σ+jω(复数 ),得：
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r r
X2009-7-29 109
z=σ+jω
（一） 从 DTFT到 Z变换
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
可以证明,x(n)为 X(z)的反 Z变换
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z dz
C为收敛域 (r1,r2) 内绕圆点的反时针单围线
12r z r
为 Z变换的收敛域 ROC
记为 Z变换对,( ) ( )Zx n X z
Z变换是 DTFT的扩展
Z变换必须注明收敛域
X2009-7-29 110
（二） Z变换的收敛域
Re(z)
Im(z)
r1
r2
C
左收敛边界左收敛边界
|z|
0 |r
1| |r2|
收敛域 ROC图示,圆环
∵ n= -∞~∞,
∴ X(z)也称 为双边 z变换
对于因果信号当 n<0时 x(n)=0
单边 z变换＝双边 z变换
1
0
( ) ( ),n
n
X z x n z z r
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
z=σ+jω
为 单边 z变换：
X2009-7-29 111
1
1
1 1
1
az
az
存在例题 3-19/20,分别求以下两信号的 Z变换
解,由 Z变换的定义：
( 1 ) ( ) ( )
( 2 ) ( ) ( 1 )
n
n
x n a u n
y n a u n
x(n)
n
u(n) y(n)
n
-u(-n-1)
-1
( ) ( ) n
n
X z x n z
1
00
()n n n
nn
a z a z
收敛域,|z|>|a|
( ) ( ) n
n
Y z y n z
1
nn
n
az
1 1 1
11
az az
az
存在
1
1
1
()n n n
nn
a z a z
1
1
1 az
收敛域,|z|<|a|
不同的信号可能有相同的 Z
变换形式,但收敛域不同 !
|z|0
∞
|a|
r
|z|0 |a|
r
X2009-7-29 112
（二） Z变换的收敛域
根据 x(n)中 n的取值范围,离散信号可分为 4
中,每一种都有不同形式的收敛域：
时限长序列 (有始有终序列 ) —— 工程应用信号
右边序列 (有始序列 ) —— 工程实际信号
左边序列 (有终序列 )
双边序列 (无始无终序列 )
本小节分析收敛域与信号类型之间的关系
X2009-7-29 113
(1) 有限长序列
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
x(n)
0 nn
2n1
0 z
n1,n2在特殊情况下，收敛域可能扩展到 0 或 ∞
当 n1<n2≤0时,|Z|可包括 0
当 n2>n1≥0时,|Z|可包括 ∞
收敛域整个复平面：
当 n≤n1和 n≤n2时,x(n) ≡0
为有限值2
1
()
n
n
nn
x n z?
|z|0
∞
r
X2009-7-29 114
0
( ) ( ) n
nn
X z x n z
若 X(z)在 |z|＝ |z0| 时收敛，则当 时， ||||
0 zz
右边序列有左收敛域边界
1 ||rz
n
x(n)
0n1
…
1
1 0
( () ) n
n
n
nn
x nzz xn
（ 2）右边序列（有始序列）
当 n<n1时,x(n) ≡0,因此
|z|0
∞
r1
r
1 0nn
的 z 正指数幂的项数有限个。
的 z 负指数幂的项数有无穷多个。0n>
0
00
| ( ) | | ( ) |
n
n
n
nx n x nzz
若取 r1=z0|min 示例
X2009-7-29 115
（ 3）左边序列（有终序列）
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z?
左边序列有右收敛域有边界
20 | |zr若 X(z) 在 |z|=| z0|时收敛，则当 时00 | | | |zz
20
1
( ) ( )
n
nn
nn
x n z x n z
n
x(n)
0 n2
…
|z|0 r2
r
当 n>n2时,x(n) ≡0,因此
20 nn z负指数幂的项数有限个。
z正指数幂的项数有无穷多个。0?n
若 r2= z0|max
0
00
| ( ) | | ( ) |
n
n
n
nx n x znz
示例
X2009-7-29 116
(4) 双边序列 (无始无终序列 )
n
nznxzX )()(
0 n
x(n)
… …
1
0
( ) ( )nn
nn
x n z x n z
右边序列左收敛域
r1
左边序列右收敛域 r2
当 r2>r1 时，则双边序列有双收敛边界 r1<|z|<r2
当 r2<r1时，则不收敛。
|z|0 r2
r
r1
当 n＝ -∞~∞时,x(n) 不恒为 0
双边序列有左右两个收敛域边界
X2009-7-29 117
例 3-21:
求双边序列 x(n)=b|n| 的 Z变换,b>0,-∞<n<∞.
解,x(n)可表示为一个右边序列和左边序列之和
,zb?
1
()mn m
m
bz
01
( ) ( ) ( 1 )nn
nn
x n b u n b u n?
1
[ ( 1 ) ]n n n
n
Z b u n b z
右边序列：
1
0
1[ ( ) ]
1
n n n
n
Z b u n b z bz
左边序列：
11
1
11
bz
b z b z
1,zb
1 1bz
1bz?
1 1 1
11[ ( ) ]
11z x n bz b z 1,b z b
|z|0 b-1
r
b
显然 0 < b < 1
X2009-7-29 118
(三 ) z变换的性质
1、位移性质
2、卷积定理
3、初值定理
5、微分定理
6、复共轭性质
7、时间反向性质
4、终值定理
了解 Z变换的性质：
简化信号的 z变化
了解 z变换的本质
Z变换是 DTFT的推广
Z变换的性质与 DTFT的性质相似
详见表 3-8
X2009-7-29 119
常用的 z变换
性质 时域 Z变换域 ROC
时移定理 X(n-m) Z-mX(z) (R-,R+)
尺度变换 anx(n) X(a-1z) (|a|R-,|a|R+)
初值定理 因果 (R-,∞)
终值定理 因果 [1,∞)
δ(n) 1 [0,∞]
u(n) 1/(1-z-1) (1,∞]
-u(-n-1) 1/(1-z-1) [0,1)
anu(n) 1/(1-az-1) (|a|,∞]
( 0 ) l i m ( )zx X z
1( ) l i m ( 1 ) ( )zx z X z
X2009-7-29 120
（ 1） z变换的位移定理（双边）
若,双边 z变换 x(n)?X(z),
则 ( ) ( )Z mx n m z X z
注,控制工程中，称 z-1为延迟因子，表示右移一位；
序列位移后,z变换只产生相位延迟。
n
x[n]
0 2-2
X2009-7-29 121
1() Z m m k
km
x n m z X z z x k z
（ 1） z变换的位移定理（单边）
单边 z变换
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
当 m > 0 时当 k<0时,x(k)可看成系统的初始条件,用于差分方程求解
1
0
()
mZ
m m k
k
x n m z X z z x k z
X2009-7-29 122
（ 2）初值定理若,因果信号 x(n)? X(z),则
( 0 ) l i m ( )
z
x X z
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
0 1 2( 0 ) ( 1 ) (2 ) ( ) nx z x z x z x n z
( 0 ) l i m ( )zx X z
l i m ( ) ( 0 )z X z x
X2009-7-29 123
（ 3）终值定理若,因果信号 x(n)? X(z),
1l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z
则：
终值定理只有当 n?∞时 x(n)收敛才可应用
X2009-7-29 124
（ 4）卷积定理 (1) -时域卷积定理
)()()(*)(
)()(
)()(
21
21
zHzXnhnxZ
RzRnhZzH
RzRnxZzX
hh
xx
则已知
),m i n (),m a x ( 2211 hxhx RRzRR
收敛域,一般情况下，取二者的重叠部分，即：
描述,时域卷积对应于 z域乘积。
注意,如果在某些 线性组合 中某些 零点与极点相抵消,
则收敛域 可能扩大 。
X2009-7-29 125
（ 4）卷积定理 (2) -Z域卷积定理
1
d)(j2 1)()( 1
c
vvvHvzXπnhnxZ
1
dj2 1)()( 1
c
vvvzHvXπnhnxZ或
X2009-7-29 126
（ 5） 微分定理
zXnx Z?)(若
dz
zdXznnx Z )(则
X2009-7-29 127
（ 6）复共轭性质
**[ ( ) ] ( ) n
n
z x n x n z
，若 zXnx Z?)( *)(** zXnx Z?则
* * *[ ( ) ( ) ] ( )n
n
x n z X z
X2009-7-29 128
(7) 时间反向性质
01( ) ( ),,Zx n X z r z r
若：
1
10
11( ) ( ),Zx n X z z
rr
则：
X2009-7-29 129
例题,Z变换性质的应用
例 3-22
例 3-23
例 3-24
例 3-25
X2009-7-29 130
例 3-22,求序列 的 z变换( ) ( ) ( 1 )nnx n a u n a u n
1
1
1
( 1 ) 1zn n n
n
aza u n a z
az
1
0
1()
1
zn n n
n
a u n a z az
11
1 1 1
11[ ( ) ] 1
1 1 1
a z a zz x n
a z a z a z
( ) ( ) ( 1 )nnx n a u n a u n
1| | 1az
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )n n na n a u n a u n n
[ ( )] 1zn
||za?
||za?
[0,]z
实际上：
[0,]z
解：
极点 对消,ROC扩展
X2009-7-29 131
例 3-23 求 的 z变换
解：由
1
1[ ( ) ],
1
nz a u n
az za
0( ) c o s ( ) ( )x n n u n
0011
1 1 1[ ( ) ] [ ]
2 1 1jjz x n e z e z
001 [ ( ) ( ) ]
2
j n j ne u n e u n
0( ) c o s ( ) ( )x n n u n
0
0 1
1[ ( ) ]
1
jn
jz e u n ez
当 时，0jae
0 1jze
001 [ ] ( )
2
j n j ne e u n
1
0
12
0
1 c o s
1 2 c o s
z
zz
1z?
X2009-7-29 132
例 3-24 设,求它们的卷积
解：由
1
1( ) [ ( ) ],
1
nX z Z a u n
az za
( ) ( )nx n a u n?
得
( ) ( ) ( ) ( )ZTI Z Tx n y n X Z Y Z?
zb?
1( ) ( ) ( 1 )nny n b u n a b u n
1
1[ ( ) ],
1
nZ b u n
bz zb
11[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]nnZ a b u n a Z b u n
1
1
1
1
,1nn
n
za b z a
bz
1( ) [ ( ) ] [ ( 1 ) ]nnY z Z b u n Z a b u n
1
11
1
11
za
b z b z
1
1
1
1
az
bz
,zb?
位移
X2009-7-29 133
1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x n y n Z X Z Y Z
1
11
1 1 1
1 1 1[ ] [ ]
1 1 1
azZZ
a z b z b z
( ) ( ) ( )nx n y n b u n
由
1
1[ ( ) ],
1
nZ b u n
bz zb
,m a x {,}z a b?
1
1( ) [ ( ) ],
1
nX z z a u n
az za
1
1
1()
1
azYz
bz
,zb?
,m a x {,}z a b?
( ) ( ) ( ) ( )ZTI Z Tx n y n X Z Y Z?
X2009-7-29 134
例 3-25 求斜变序列 的 z变换
解：
()n u n?
,za?
1
1[ ( ) ]
11 1,
zz u n
z zz
2( 1 )
z
z
()1dzz dz z{ [ ( ) ] }[ ( ) ] d Z u nz n u n z dz
()[ ( ) ] d X zz n x n z
dz
X2009-7-29 135
（四） Z反变换
是复变函数的线积分
求 z反变换的方法：
留数定理法
部分分式展开法 √
幂级数展开法
强调：
收敛域的影响
表达式＋收敛域
11( ) ( )
2
n
c
x n X z z dz
12( ) ( ),
n
n
X z x n z r z r
例 3-27
例 3-28
例 3-29
例 3-30
例 3-31
例 3-32
例 3-33
例 3-35
例 3-34
例 3-36
例 3-26
X2009-7-29 136
例题 3-27 用部分分式展开法求 z反变换
解：将 X(z)/z展成分式
2
24( ),2
( 1 ) ( 2 )
zX z z
zz
[ ( )],n zz a u n z aza
( ) 1 ()X z zXz
z z a z a2
( ) 2 4
( 1 ) ( 2 )
X z z
z z z z
21 2 ( 2 )
A B C D
z z z z
2
0 0
( ) 2 4[ ] 1
( 1 ) ( 2 )z Z
X z zAz
z z z
2
1 1
( ) 2 4[ ( 1 ) ] 6
( 2 )z Z
X z zBz
z z z
2
2 2
( ) 2 4[ ( 2 ) ] [ ] 5
( 1 )z Z
d X z d zCz
d z z d z z z
X2009-7-29 137
2
( ) 2 4
( 1 ) ( 2 )
X z z
z z z z
2
2 2
( ) 2 4[ ( 2 ) ] 4
( 1 )z Z
X z zDz
z z z
2
( ) 1 6 5 4
1 2 ( 2 )
Xz
z z z z z
21 2 ( 2 )
A B C D
z z z z
2( ) 1 6 5 41 2 ( 2 )
z z zXz
z z z
( ) ( ) 6 ( ) 5 2 ( ) 2 2 ( )nnx n n u n u n n u n
2() ()
ZTn
I Z T
azn a u n
za?
[ ( )],n zz zan z au a
2
2
( 2 )2
z
z?
( ) 1ZTI Z Tn?
X2009-7-29 138
2 21z z z
例题 3-29 利用幂级数展开法求 z反变换
解,X(z)有左收敛边界,x(n)必为右边序列、降幂排列。用长除法：
2( ),121
zX z z
zz
()Xz?
12 z
1z?
12zz
0
( ),2n
n
X z n z z
1232zz
122 4 2zz
1 2 33 6 3z z z
33z
2343zz
22z
( ) ( )x n n u n
X2009-7-29 139
例题 3-35 求 的单边 z变换
解,x(n)为因果序列
0
( ) ( 2 )
k
x n n k?
( ) ( )ZTI Z Tx n X z
( ) 1ZTI Z Tn?
2
1()
1 kXz z
0
( ) [ ( 2 )]
k
X z Z n k?
( ) ( )ZT mI Z Tx n m z X z
0
[ ( 2 ) ]
k
Z n k?
2
0
[1 ]k
k
z
2
0
k
k
z
,,1R O C z?
X2009-7-29 140
5.4.2 Z变换与其它变换的关系
Z变换与拉氏变换的关系？
Z—— 变换：离散信号的复频域分析方法
拉氏 变 换：连续信号的复频域分析方法
Z变换与 DTFT拉氏变换的关系？
Z －变换是离散信号复频域的分析方法
拉氏变换是离散信号复频域的分析方法
Z变换与 DFT拉氏变换的关系？
X2009-7-29 141
（ 1） Z变换与拉氏变换的关系
连续信号 x(t)以采样周期 T离散化
1 lnsTz e s z
T
两边进行拉普拉斯变换：
(
) 1
) 1
(
LT
LT snT
t
t nT e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s
nn
x t x t t n T x n T t n T
( ) ( ) ns
n
X s x n z
( ) ( ) snTs
n
X s x n T e
令：
()Xz?
( ) ( ) | sTs zeX z X s
Z变换是理想抽样信号的拉氏变换由 S域到 Z
域的映射
sTze?
sj
X2009-7-29 142
Z变换与拉氏变换的映射关系
由
()s T j Tz e e
图示
,Tz e Tjze
0,1z
当 0,1z
0,1z
左半 s平面?z 平面单位圆内右半 s平面?z 平面单位圆外
s平面虚轴?z 平面单位圆上
S
j?
0
Z
1
当 时1Te 2Tk 1z?
满足
