信号分析与处理
Signals analysis & processing
第 3章 连续信号的频域分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X
本章主要内容
3.1 周期信号的频谱分析
3.2 非周期信号的频谱分析
3.3 傅里叶变换的性质及其应用
X
3.1 周期信号的频谱分析
信号时域描述直观简单，但难以研究复杂信号的特征。如：噪声源信号分析。
信号的频域描述反应信号的频率结构。
光线的颜色是由 光的频率 决定 ;
人耳对不同 频率声音的 敏感性；
机械噪声与各 部件的固有频率 有关 ;
……
因此，信号的频率结构更能反映信号的特征。
引言
X
3.1 周期信号的频谱分析
周期信号频谱分析的常用工具
傅里叶三角级数
傅里叶复指数级数
作用：
将复杂周期信号表示成一系列简谐信号的代数和
将信号化为幅值随频率的变化关系
反映信号的频率结构
X
其中,为周期；
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
0
1f
T
0
0
2
T
周期信号,
0x t x t m T
0T
可将周期信号分解成傅里叶三角级数形式为频率 (称为 基频 )；
为角频率；
m 为任意整数，通常可取 m = 1
若 x(t)满足狄里赫利 (Dirichlet)条件 DirichletDirichlet
条件
X
0 0 0
11
( ) c o s s i nnn
nn
x t a a n t b n t
00
22
0 0 00
TT
x t d t a d t a T
系数 an,bn待定,n=0,1,2,……
1) 展开式在一个周期 内积分，得：00,
22
TT
0
0
2
0
0 2
1 T
Ta x t d tT
— 信号的均值，直流分量
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
利用正余弦函数的正交性求待定系数
X
余弦分量的幅度
00
22
0 0 0c o s c o s c o s
TT
nx t n td t a n t n td t
2) 展开式两边同乘以,积分，得 余弦分量,
0co s nt?
0
2
2
0
2
1
2
2c o s10
0
Tadttna n
T
T n?
3,2,1c o s2 02
20
0
0
nt d tntx
T
a
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
00
22
0 0 0s in s in s in
TT
nx t n td t b n t n td t
3) 展开式两边同乘以,积分，得 正弦分量,
0s in nt?
正弦分量的幅度
02
1 Tb
n?
3,2,1s i n2 02
20
0
0
nt d tntx
T
b
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
0
0
0
0
0
0
2
0
0 2
2
0
0 2
2
0
0 2
1
2
c os
2
si n 1,2,3
T
T
T
Tn
T
Tn
a x t dt
T
a x t n t dt
T
b x t n t dt n
T
所以有：
是 的偶函数，当 x(t)是奇函数时
na 0?n 0?na
是 的奇函数，当 x(t)是偶函数时
0?n 0?nbnb
注
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
相频特性 (奇函数 )
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
将展开式中同频率分量合并，可得傅氏级数余弦形式：
00Aa?式中,直流分量
22 1,2,3
n n nA a b nn次谐波分量的幅值
a r c ta n nn
n
b
a?
n次谐波分量的相位幅频特性 (偶函数 )
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
傅里叶三角级数小结
an是偶函数,bn是奇函数；
An是偶函数,φn是奇函数
An与 φn总称为频谱 —— 反映信号的频率结构
An 称为幅频特性 —— 反映各谐波分量的幅值
φn称为相频特性 —— 反映谐波的相位
,n n n na a b b
,n n n nAA
周期信号由无穷多各谐波分量组成
an
-bn
φn A
n
X
利用完备正交集
3.1.2 周期信号傅里叶复指数级数展开式
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
00j j j j
0
1
1 ( e e e e )
2
nnn t n t
n
n
AA
00j ( ) j ( )
0
1c o s ( ) ( e e )
2
nnn t n t
nnt
00j( ) j( )
0
1
1( ) ( e e )
2
nnn t n t
n
n
x t A A
0{ } 0,1,2,j n ten
由欧拉公式,表示周期信号的频谱
X
00j j j j
0
11
11 e e e e
22
nnn t n t
nn
nn
A A A
0je ntnA?
000 j j0
0
11
11 ee
22
nj t n tj
n
nn
A e e A
00 00 jt jA e e 0j( ) j
1
1 ee
2
nnt
n
n
A
0jj
1
1 ee
2
nnt
n
n
A
je n?
0j
0( ) ( ) e
nt
n
x t X n
0
0
0
,0
()
,0
2
n
j
jn
A e n
Xn A
en?
令,得 00
0
| ( 0 ) |
1
| ( ) |,0
2 n
XA
X n A n
00j j j j
0
1
1( ) ( e e e e )
2
nnn t n t
n
n
x t A A
X
式中 称为傅里叶系数，计算：
000 j
0( ) [ ( ) e ]
nt
n
jm t jm txt ee Xn
0j
0( ) ( ) e
nt
n
x t X n
0()Xn?
00()T X m
0000 0j
0
/ 2 / 2
/ 2 / 2
( ) [ ( ) e ]jm t n t jm t
T
n
T
TT
xt d t dn te X e
00 0/ 2 / 2
0/ 2 / 2( ) ( )
TT jm tx t e d t X m d t
0 0
0
/2 j
0 /2
0
1( ) ( ) eT nt
T
X n x t d tT
正交以 n代 m
X
0
0
/2
0 0 0/2
0
1( ) [ ( ) c o s ( ) s in ]T
T
X n x t n t j x t n t d tT
傅里叶复指数小结
0 0
0
/2 j
0 /2
0
1( ) ( ) eT nt
T
X n x t d tT
为幅频特性，
为相频特性。
一般情况下 为复数 —— 周期信号的频谱
0()Xn?
0()Xn?
0()Xn
周期信号由无穷多各谐波分量组成
0( ) a r c t a n ( / )nnX n b a
0
1( ) ( )
2 nnX n a jb
22
0
11()
22n n nX n a b A
X
三角级数谱与复指数的比较三角级数谱 复指数谱 注单、双边 单边谱 双边谱 不同直流分量交流分量
A0 c0= A0 相等
An cn= An/2 对半相 位 -arctanbn/an -arctanbn/an 相等
1） Δ 级数谱为单边谱，复指数谱为双边谱
2）两种谱的直流分量相等 c0=A0
3）交流分量中,cn= An/2。 双边谱对折后相加幅度等于单边谱。
4）两种谱的相位相同体现能量守恒
0()nc X n?
X
3.1.3 周期信号的频谱
引例 (Page 27)
例题例题 2-5
例题例题 2-3 例题例题 2-4
例题例题 2-6
思考题：
2-5：求复指数信号 的频谱
2-6：求余弦,正弦信号的频谱
0jte?
0cos t? 0sin t?
X
周期信号的频谱的特点
离散性,谱线不连续
谐波性,谱线只出现在基频的整数倍处
收敛性,幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小
周期信号由无穷多个余弦分量组成
周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值
相频谱线大小表示谐波分量的相位
X
3.1.4 周期信号的功率谱
将信号 x(t)视为加在 1电阻上的电压，则电阻消耗的平均功率 P：
0
0
22
0 2
1 ()T
TP x t d tT
将 代入得,
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
0
0
22
00
10 2
1 [ c o s ( )]T
T nn
n
P A A n t d t
T
22
0
1
1
2 nnAA
X
结论
P—— 称为周期信号的功率谱
周期信号的平均功率谱等于其直流以及各谐波分量的平均功率之和 ;
功率谱反映周期信号各次谐波功率的分配关系；
周期信号在时域的平均功率等于其频域的平均功率。
0
0
2 2 22
0
10 2
11 ()
2
T
T n
n
P x t d t A A
T
X
3.2 非周期信号的频谱分析
思路
– 非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号
– 令 T?∞，对周期信号的傅里叶级数进行推广
– 非周期信号频谱必定有别于周期信号的频谱。
周期信号频谱非周期信号频谱
X
3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
离散谱 连续谱
当 时,x(t)转化为非周期信号，同时：
0T
周期信号频谱,0 0
0
j2
0
0 2
1( ) ( ) e dT nt
TX n x t tT
频谱 0，为无穷小，研究不便 !0()Xn?
`0
0
2 π 0
T
谱线间距：
但 为有限值
非周期信号的频谱可用 T0X(nω0)表示 —— 频谱密度函数 。
量纲：功率 /频率：单位频带上信号的功率
0
0
0
20 0 0
0 2
2( ) ( ) ( )T j n t
TT X n X n x t e d t
X
非周期信号的频谱为：
从傅里叶级数到傅里叶变换
0
1 () jtx t e d t
T
0,
2
T
0n
当 时，变量代换
0T
0,d谱线间距：
代入周期信号的频谱，得
0
0
0
2
0
0 2
1( ) ( )T j n t
TX n x t e d tT
0
0
1,
22
d
T
00( ) ( ) ( )
jtX T X n x t e d t
X
从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号 x(t)的傅里叶复指数级数为：
( ) ( ) jtX x t e d t
0
0
0( ) ( )l i m
j n t
T n
x t X n e
0
0
00
0
1 ()l i m j n t
T n
XnT eT
1( ) ( )
2
jtx t X e d
1 ()
2
jtX e d
可得 傅里叶变换对：
(12 ) jtXe d
2( ) ( ) j f tX f x t e d t
2( ) ( ) j f tx t X f e d f
X
非周期信号频谱的特点
【 结论 】,
非周期信号的频谱是连续的；
非周期信号是振幅为无穷小、频率为 0～ ∞的一切余弦分量的线性组合 —— 频谱密度函数
[ ( ) ]1 ()
2
jtX e d
1( ) ( )
2
jtx t X e d
()1 ()
2
j j tX e e d
1 ( ) c o s[ ( ) ] ( ) sin [ ( ) ]
22
jX t d X t d
0 c o s[ ( )
1 ]()X td
( ) ( ) jtX x t e d t
X
非周期信号频谱的表示方式
一般情况下,X(ω)为复数
()mR ( ) I ( ) ( ) je j X e
j( ) ( ) e ( ) [ c o s s i n ]tX x t d t x t t j t d t
幅频特性 (偶函数 )22
emX R I
相频特性 (奇函数 )
a r c ta n
m
e
I
R
02 ( ) c o s deR x t t t实频特性 (偶函数 )
02 ( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (奇函数 )
( ) c o s ( ) s i nx t t d t j x t t d t
X
3.2.2 常见非奇异信号的频谱
非奇异信号
– 1,矩形脉冲
– 2,单边指数信号
– 3,双边指数信号
– 4,双边奇指数信号
X
2SaE
Sin(ωτ/2)
① 矩形脉冲信号
2
2
j de
tEX t 2
2
je
j
tE
j2
ee
.
2
2
j
2
j
E
2
2
s in
E
E
O
tf
t
2?2
x(t)
2
|| 0
2
||
t
tE
tx
窗口面积实谱
X
频谱图
Sa 2XE
F
E
π2O?π4
π2?
X
F
E
π2O?π4?π2?
X
~X
幅频, ~X
( ) Sa 2XE
,脉冲越窄,频带越宽,
2
b
2b
X
频谱特点
最大值＝矩形窗面积 Eτ；
零点坐标＝ 2nπ÷ 窗宽；
带宽 (第一零点 )＝ 2π÷ 窗宽；
周期＝ 4π÷ 窗宽；
窗宽 × 脉冲宽度＝ 2π
X
矩形脉冲信号 频谱 &周期 矩形脉冲 信号频谱
)(
1
nF
O
0T
E?
π2
002
0?nX
F
E
π2O?π4
π2?
X
周期信号非周期信号
周期矩形脉冲信号的频谱是单脉冲频谱的采样 ;
采样周期 =2π/T0;幅度不同系数 1/T0.
X
)( txX F
0 0
00e
t
t
tx
t
② 单边指数信号
0
j d tt e
tf
O t
E
tx
ttx t de?j)( 0 j ttt dee
j
1
复谱
X
频谱图
22
1
X
0,
1
,0
X
X
a r c t a n
2
π
,
2
π
,
0,0
幅度频谱：
相位频谱：
O
2π?
2π?
F
O
E
X
1
1()
jX w aw= +
X
③ 双边指数信号
)( txX F
||e
0
txt?
tf
O t
E
tx
tet?e
0 j j
0e d e d
tttt
| | je e dtt t
22
2
a
ttx t de?j)(
0 j0 j tt tttt deedee
j
1
j
1
实谱
X
频谱图
22 2X
0,
2
,0
X
X
幅度频谱：
F
O
E
X
2
0
X
④ 双边奇指数信号
)( txX F
00e
00e-
t
t
tx
t
t
0
j0 j dd tt tt ee-
tf
O t
E
tx
te
t?e-
1
1?
22
2
j
ttx t de?j)(
0 j0 j tt tttt dee)de(-e
j
1
j
1?
虚谱
X
频谱图
22
2 | |X
0,
1
,
0,0
X
Xa
X
,0
2
,0
2
幅度频谱：
相位频谱：
F
O
E
X
1
a? a
O
2π?
2π
22
2()Xj
X
3.2.3 奇异信号的频谱
奇异信号的
– 1、单位冲激信号
– 2、单位直流信号
– 3、符号函数信号
– 4、单位阶跃信号
X
ttX t de)( j
① 单位冲激信号
)(10 抽样性 e
F
1
O
)(?X
tO
1
tf
)(t?
( ) ( )x t t
实谱
( ) 1FTt
X
tO
1
tf
)(t?
tO
1
tf
)(tg
1
时的极限。的矩形脉冲，看作 01 t
单位冲激信号频谱可由单矩形脉冲取极限得到,0
)]([)( tFX )2(lim
0
SaE
1?
1
F
E
π2O?π4
π2?
X?
2Sa)(
EX
频谱图
F
1
O
)(?X
bB
X
不满足绝对可积条件，
不能直接用定义求 。
( ) 1,x t t
② 单位直流信号
X
tO
tf
E
1 )(tx
0( ) l i m,0
at
ax t e a
但：
则：
00( ) l im { [ ] } |
at
aaX F e?
22|| 2 aeF t已知：
X
推导
X
d22
0
2l i m
π2?
O
Eπ2
F
X
2
220
2lim
a
0,
0,0
是冲激函数，强度：?X
d2
0
1
2
l i m
)a r c t a n (2lim
0?
)(2 X
实谱
X
傅里叶变换对
1FT
12 πFT
时域无限宽，频带无限窄时域无限窄，频带无限宽
O
Eπ2
F
X
2 t
O
tf
E
1 )(tx
tO
1
tf
)(t?
F
1
O
)(?X
X
t
1
1?
)s gn ( t
O
0,1
0,0
0,1
s g n)(
t
t
t
ttx
③ 符号函数信号
0 j0 j1 deedee ttX tttt
22
2j
j
1
j
1
1 22
00
j 2 2l i m l i mX X j
处理方法：
。求极限得到
，，求
X
Xttx t 11 es g n
做一个双边函数不满足绝对可积条件
te
te
虚谱
X
s g n ( ) 222sg n e jtj
频谱图
是偶函数?X
是奇函数
O?
2
π
2
π
2?X
π2
,0
2
( ) a r c ta n
π0
,0
2
2
)(?F
O
X
X
π21j 1s gn21?t
④ 单位阶跃信号
O
t
1
tu
O
t
2
1
2
1
ts g n
2
1
O
π
O
j 1π)(tu
=
ttu s g n2121
O t
2
1
+
实谱 虚谱 实＋虚
O
F
π
U
X
频谱图解
Re
（ π）
ω
（ π）
|X(ω)|
ω
Im
ω
Φ(ω)
ω
π/2
-π/2
1() π jut
X
如何求取？
与傅里叶级数的关系？
3.2.4 周期信号的傅里叶变换非周期信号,无限区间绝对可积?傅里叶变换?连续谱周期信号,一个周期绝对可积?傅里叶级数?离散谱
0Xn?
问题,周期信号有无傅里叶变换，若有：
实际上,引入冲激函数后可得出周期信号傅里叶变换把 周期信号与非周期信号的频谱分析统一起来
X?
X
令：,其中
① 复指数信号 的傅里叶变换
( ) 1yt?
( ) ( ) 2 ( )jtY y t e d t
0()() jty t e d t
0jte?
0j( ) ( )e tx t y t
0jjj( ) e d e e dtttX x t t y t t
0()Y
0
02 ( )
FTje
02 ( )
则：
实谱
X
0?n
0Xn?
0 0?
1
X?
0 0?
2
tje 0? 的频谱傅里叶变换 傅里叶级数
00( ) 2 ( ) ( )X X n n
X
② 正弦 信号的傅里叶变换由 欧拉公式,
由复指数信号的傅里叶变换，有：
ttt 00 jj0 eej21s in
0
0
j
0
j
0
e2
e2
t
t
0( s i n )sX F t
t0sin?
0 0 0s i n π [ ]Ftj
001 [2 π 2 π ]2 j00π [ ]j
虚谱
X
0?n
0Xn?
0 0?
2
1
0
X?
0 0?0
t0sin? 的频谱傅里叶变换傅里叶级数
00( ) 2 ( ) ( )X X n n
X
③ 余弦 信号的傅里叶变换t
0c o s?
ttt 00 jj0
2
1c o s ee同理：
0 0 0c o s π []Ft
)( c o s 0 tFX c
001 [2 π 2 π ]2
00π []
X
t0c o s? 的频谱
0?n
0?nX c
0 0?
2
1
0
cX
0 0?0
傅里叶变换傅里叶级数
00[ ( ) ] 2 ( ) ( )X X n n
X
设有周期信号,周期
④ 一般周期信号的傅里叶变换
()Txt
傅里叶复指数级数：
傅里叶变换：
0T0 e jn t
n
x t X n
TTX F x t
0 02 π
n
Xn n
0 02 π
n
Xn n
0j0 e nt
n
F X n
0
0
2 πT
0j0{ e }nt
n
X n F
X
归纳
002 π()T
n
X n nX
周期信号的傅里叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合；
脉冲函数的位置,ω＝ nω0,n=0,± 1,± 3,…..
脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的 2π倍
周期信号的傅里叶变换也是离散的；
谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同。
X
单脉冲 FT、周期脉冲 FS、周期脉冲 FT之间的关系类型特点单脉冲傅里叶变换周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶变换连续 /离散 连续谱 离散谱 离散谱谱线位置 全频谱连续 基频 ω0整数倍处谱线大小 X(ω)
谱线形状 X(ω) 包络 包络谱线意义 频谱密度 分量幅值 频谱密度
0
1
T?
0
0
1 ()Xn
T? 00
2 ()Xn
T
0
2
T
X
tf
0
t
2
T
2
T
tf
T
T? T too
tx0txT
)()()( 00 TT XnXX
0
0
0
0
1
nXTnX T
002)( nnXX T
π
求周期信号的傅里叶变换思路：
0
0
0
j2
0
0 2
1( ) ( ) e dT nt
TTX n x t tT
采样 除 T0 乘 2π
X
例 2-8 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
)()()( 00 XnXX
2Sa)(0 EX?
00
00
1 X n X
nT
00π2)( nnXX
n
000Sa 2
n
nEn
0 0
0
2 π S a 2
n
nE n
T
tf
1
T to
1
T?
2
2
E
tx
0T0T?
2Sa 0
0
n
T
E
X
)(
1
nF
O
0T
E?
π2
002
0?nX
频谱比较相同点不同点
1、频率都是离散的
3、包络线相同下图表示幅度，有限值上图表示频谱密度，是冲激函数，原点强度为：
0
0 2 T
EE
000 2Sa nnE
n
2Sa 0
0
n
T
E
)(
1
nF
O
0E
π2
002
X傅里叶变换傅里叶级数
2、谱线间距相同
X
n
nTtt 0T
0jT0 e nt
n
t X n
例 2-9 周期 单位冲激序列的傅里叶变换
的傅氏级数谱系数tT?
2
20
0
0
0
0)(1
T
T
tjn
T dtetTnX
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
2
20
0
0
0)(1
T
T
tjn dtet
T
n
tn
T
0j
0
1?e
0
1
T? 复指数形式展开式
X
例 2-9 周期 单位冲激序列的傅里叶变换
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
0jT
0
1 e nt
n
t T
0T j
0
e1 nt
n
XF Ft T
n
nT 0
0
π2
0
0
1 2 π
n
nT
n
n 00
00
X
。强度和间隔都是激序列的频谱密度函数仍是冲
0
,
tT频谱
1
1
1
1
1
1
2?
1
1
1
2
F
o
002 00 2
00000?
X
0
0
1
TnX
0
0
2()
n
XnT
1
nF
1
1
T
1
1
2?
1
1
2
o
002 00 2
0?nX
0
1
T
傅里叶变换傅里叶级数
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
冲激序列
X
3.3 傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有唯一性；
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
了解特性的内在联系；
简化傅里叶变换的求取过程。
意义
X
主要性质线性性质奇偶性对偶性质尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质帕斯瓦尔定理卷积定理
X
j 1πF
① 线性性质例：单位阶跃信号的频谱
)()(,)()( 2211 XtxXtx若为任意常数则 2122112211,)()()()( aaXaXatxatxa
tu ts g n2121
可直接用定义证明！
X
② 奇偶性 * ( ) * ( )x t X
由定义
ttxX t de)()( j
)(*)(*)()( XtxXtx,则若证明：
取共轭得,*j d)()(*
ttxX t e
ttxX t de)(*)(* )(j
)(*de)(* j txFttx t
代替以?
ttx t d)(* j?e
x(t)为实函数时共轭对称性,( ) ( )XXww
*=-
( ) ( )XXww* =-
X
② 奇偶性
由傅里叶变化的定义：
()mR ( ) I ( ) ( ) je j X e
j( ) ( ) e ( ) [ c o s s i n ]tX x t d t x t t j t d t
幅频特性 (ω的偶函数 )22
emX R I
相频特性 (ω的奇函数 )
a r c ta n
m
e
I
R
( ) c o s deR x t t t 实频特性 (ω的偶函数 )
( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (ω的奇函数 )
( ) c o s ( ) s i nx t t d t j x t t d t
X
② 奇偶性
|X(ω)|为偶函数
φ(ω)为奇函数
当 x(t)为实 偶 函数时：
– Im(ω)＝ 0；? X(ω)=Re(ω) 实 偶 ;
当 x(t)为虚 偶 函数时：
– Im(ω)＝ 0；? X(ω)=j·Re(ω) 虚 偶 ;
当 x(t)为实 奇 函数时：
– Re(ω)＝ 0；?X(ω)=j·Im(ω) 虚 奇 ;
当 x(t)为虚 奇 函数时：
– Re(ω)＝ 0；? X(ω)=Im(ω) 实 奇 ;
x(t) 偶 奇实 实偶 虚奇虚 虚偶 实奇
( ) c o s deR x t t t 实频特性 (ω的偶函数 )
( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (ω的奇函数 )
X
)()(?Xtx?若 xtX π2则
③ 对偶性质
1)(?t?
)(21π?
F
1
O
)(?X
tO
1
tf
)(tx
t
tf
π2
1
O
()Xt1
O
1
F
()x?
)2( π
信号连续进行 2次傅里叶变换,
相当于将其翻转后再乘以 2π
X
证明由傅里叶反变换 j1( ) d
2
tx t X e
以 -t 代替 t, j1( ) d
2
tx t X e
j1( ) d2 tx X t e t
j d 2 ( )tX t e t x即：
)(2 xtX ))((2 偶函数xx
以 ω 代替 t,
X
④ 尺度变换性质意义
为非零实数则若 aaXaatxXtx,1),()(?
(1) 0<a<1，
(2) a>1,
( 3 ) 1,a x t X
时域扩展，频带压缩。
时域压缩，频域扩展。
X
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩 。 (a=1/2)
时域持续时间增加 1/a倍 ;
频域频带压缩 1/a倍 ;高频分量减弱 ;
幅度上升 1/a倍 。
o t
E
2
2
tf
tx
o
E
π2
F
π2
X
o t
2
t
f
E
2tx
o
E
π
22 F
π
22X
X
（ 2） a>1 时域压缩，频域扩展 。 (a=2)
o
t
4
4
tf 2
E
tx 2
o?
2
E
π4
22
1?
F
π4
221?X
时域持续时间压缩 a倍；
频带展宽 a倍，频域高频分量加强；
幅度下降 a倍。
o t
E
2
2
tf
tx
o
E
π2
F
π2
X
X
,1)3( txtxa
信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转。
*XXX
信号的持续时间与信号占有频带成反比,有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则要以展开频带为代价 。 <举例 >
说明,
* x tX X 称为翻转特性
X
),()(?Xtx?若 ;e)()( 0j0 tXttx则
⑤ 时移特性
时域时移，频域只有相移，幅频不变
)()(?Xtx?若
a
b
aXabatx
je1
则
0,?aba 实常数，且时移加尺度变换
0j0( ) ( ) e tx t t X0 0t? 时域左移时域右移
X
)()(?Xtx?若
号为常数，注意则
0
0
j
0
j
e)(
e)(
0
0
Xtx
Xtx
t
t
证明：
性质
⑥ 频移特性
00jj j( ) e ( ) e eF tt tx t x t t
d
0j( ) e dtx t t
0 X
频域频移，时域只有相移，幅频不变
时域相移，只导致频域频移，相位不变频域右移频域左移
X
说明
0
j,)( 0
右移频域频谱乘时域
e ttx
0
j,)( 0
左移频域频谱乘时域
e ttx?
ttx 0je)(?时域
ttx 0je)(时域
)(?X
ω0-ω0 0
ω
)( 0X
ω0-ω0 0
ω
)( 0X
ω0-ω0 0
ω
x(t)
X
应用
频率搬移 —— 仪器分析；
细化分析 —— 频谱细节结构；
调制解调 —— 通讯领域
…… ……
X
若,则
⑦ 时域微分
( ) ( )x t X
() j ( )nnx t X
,)(j)(' XtxF?
90j,相位增加幅度乘?
:)( 2)(
jeX
'( ) j ( )x t X
推广：
微分使高频分量增强
X
积分使高频分量减弱
⑧ 时域积分性质
，则若?Xtx?
jd00 XxX t
时，
j0πd00 XXxX t
时，
也可以记作,?
)(π
j
1)(
X
X
⑨ 帕斯瓦尔 (Parseval)定理
，则若?Xtx?
( ) ( )221dd2x t t X wwpゥ
-?
=蝌意义,信号的 时域能量 =频域能量
~)(2 1)( 2 —双边能量谱密度，—XE b
—幅度谱—)(?X
~0)(1)( 2 —单边能量谱密度，—XE s
dEEdEE sb
0
)()( 或者信号的总能量表示为
( ) 2 dX f f￥- = ò
X
特点
（ 1）能谱密度反映各频率处，单位频带上信号能量的相对大小；
（ 2）能谱只反映信号的幅度信息，与相位无关，
故不能由 恢复原信号 ；)(?bEtx
（ 3）能量谱比幅值谱分析抗干扰能力强、分辨率高。
( ) 2( ) dbE f X f f￥- = ò
X
⑩ 卷积定理
卷积定理
卷积定理的应用卷积定理表达了两个函数在时域 (或频域 )的卷积积分，对应于频域 (或时城 )的运算关系卷积定理包含时域卷积和频域卷积。
X
时域乘积对应频域频谱密度函数的卷积 (除 )
⑩ 卷积定理
2211,XtxXtx若
2121 XXtxtx则
2211,XtxXtx若
2121 π2 1 XXtxtx则
12π
时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数的乘积。
频域卷积定理卷积定理揭示了 时间域 与 频率域 的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
X
用频域卷积定理求频谱密度函数。
求积分 的频谱密度函数 dt x
dt x
j 1d Xxt
卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。
dx u ttutx
j0 XX π
X
本章小结
周期信号频谱的求取方法
周期信号频谱的特点
非周期信号频谱的求取方法
非周期信号频谱的特点
单脉冲信号与周期脉冲信号频谱的关系
周期信号傅里叶变换与傅里叶级数的关系
典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的主要性质
X
本章作业
Signals analysis & processing
第 3章 连续信号的频域分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X
本章主要内容
3.1 周期信号的频谱分析
3.2 非周期信号的频谱分析
3.3 傅里叶变换的性质及其应用
X
3.1 周期信号的频谱分析
信号时域描述直观简单，但难以研究复杂信号的特征。如：噪声源信号分析。
信号的频域描述反应信号的频率结构。
光线的颜色是由 光的频率 决定 ;
人耳对不同 频率声音的 敏感性；
机械噪声与各 部件的固有频率 有关 ;
……
因此，信号的频率结构更能反映信号的特征。
引言
X
3.1 周期信号的频谱分析
周期信号频谱分析的常用工具
傅里叶三角级数
傅里叶复指数级数
作用：
将复杂周期信号表示成一系列简谐信号的代数和
将信号化为幅值随频率的变化关系
反映信号的频率结构
X
其中,为周期；
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
0
1f
T
0
0
2
T
周期信号,
0x t x t m T
0T
可将周期信号分解成傅里叶三角级数形式为频率 (称为 基频 )；
为角频率；
m 为任意整数，通常可取 m = 1
若 x(t)满足狄里赫利 (Dirichlet)条件 DirichletDirichlet
条件
X
0 0 0
11
( ) c o s s i nnn
nn
x t a a n t b n t
00
22
0 0 00
TT
x t d t a d t a T
系数 an,bn待定,n=0,1,2,……
1) 展开式在一个周期 内积分，得：00,
22
TT
0
0
2
0
0 2
1 T
Ta x t d tT
— 信号的均值，直流分量
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
利用正余弦函数的正交性求待定系数
X
余弦分量的幅度
00
22
0 0 0c o s c o s c o s
TT
nx t n td t a n t n td t
2) 展开式两边同乘以,积分，得 余弦分量,
0co s nt?
0
2
2
0
2
1
2
2c o s10
0
Tadttna n
T
T n?
3,2,1c o s2 02
20
0
0
nt d tntx
T
a
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
00
22
0 0 0s in s in s in
TT
nx t n td t b n t n td t
3) 展开式两边同乘以,积分，得 正弦分量,
0s in nt?
正弦分量的幅度
02
1 Tb
n?
3,2,1s i n2 02
20
0
0
nt d tntx
T
b
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
0
0
0
0
0
0
2
0
0 2
2
0
0 2
2
0
0 2
1
2
c os
2
si n 1,2,3
T
T
T
Tn
T
Tn
a x t dt
T
a x t n t dt
T
b x t n t dt n
T
所以有：
是 的偶函数，当 x(t)是奇函数时
na 0?n 0?na
是 的奇函数，当 x(t)是偶函数时
0?n 0?nbnb
注
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
相频特性 (奇函数 )
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
将展开式中同频率分量合并，可得傅氏级数余弦形式：
00Aa?式中,直流分量
22 1,2,3
n n nA a b nn次谐波分量的幅值
a r c ta n nn
n
b
a?
n次谐波分量的相位幅频特性 (偶函数 )
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
X
傅里叶三角级数小结
an是偶函数,bn是奇函数；
An是偶函数,φn是奇函数
An与 φn总称为频谱 —— 反映信号的频率结构
An 称为幅频特性 —— 反映各谐波分量的幅值
φn称为相频特性 —— 反映谐波的相位
,n n n na a b b
,n n n nAA
周期信号由无穷多各谐波分量组成
an
-bn
φn A
n
X
利用完备正交集
3.1.2 周期信号傅里叶复指数级数展开式
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
00j j j j
0
1
1 ( e e e e )
2
nnn t n t
n
n
AA
00j ( ) j ( )
0
1c o s ( ) ( e e )
2
nnn t n t
nnt
00j( ) j( )
0
1
1( ) ( e e )
2
nnn t n t
n
n
x t A A
0{ } 0,1,2,j n ten
由欧拉公式,表示周期信号的频谱
X
00j j j j
0
11
11 e e e e
22
nnn t n t
nn
nn
A A A
0je ntnA?
000 j j0
0
11
11 ee
22
nj t n tj
n
nn
A e e A
00 00 jt jA e e 0j( ) j
1
1 ee
2
nnt
n
n
A
0jj
1
1 ee
2
nnt
n
n
A
je n?
0j
0( ) ( ) e
nt
n
x t X n
0
0
0
,0
()
,0
2
n
j
jn
A e n
Xn A
en?
令,得 00
0
| ( 0 ) |
1
| ( ) |,0
2 n
XA
X n A n
00j j j j
0
1
1( ) ( e e e e )
2
nnn t n t
n
n
x t A A
X
式中 称为傅里叶系数，计算：
000 j
0( ) [ ( ) e ]
nt
n
jm t jm txt ee Xn
0j
0( ) ( ) e
nt
n
x t X n
0()Xn?
00()T X m
0000 0j
0
/ 2 / 2
/ 2 / 2
( ) [ ( ) e ]jm t n t jm t
T
n
T
TT
xt d t dn te X e
00 0/ 2 / 2
0/ 2 / 2( ) ( )
TT jm tx t e d t X m d t
0 0
0
/2 j
0 /2
0
1( ) ( ) eT nt
T
X n x t d tT
正交以 n代 m
X
0
0
/2
0 0 0/2
0
1( ) [ ( ) c o s ( ) s in ]T
T
X n x t n t j x t n t d tT
傅里叶复指数小结
0 0
0
/2 j
0 /2
0
1( ) ( ) eT nt
T
X n x t d tT
为幅频特性，
为相频特性。
一般情况下 为复数 —— 周期信号的频谱
0()Xn?
0()Xn?
0()Xn
周期信号由无穷多各谐波分量组成
0( ) a r c t a n ( / )nnX n b a
0
1( ) ( )
2 nnX n a jb
22
0
11()
22n n nX n a b A
X
三角级数谱与复指数的比较三角级数谱 复指数谱 注单、双边 单边谱 双边谱 不同直流分量交流分量
A0 c0= A0 相等
An cn= An/2 对半相 位 -arctanbn/an -arctanbn/an 相等
1） Δ 级数谱为单边谱，复指数谱为双边谱
2）两种谱的直流分量相等 c0=A0
3）交流分量中,cn= An/2。 双边谱对折后相加幅度等于单边谱。
4）两种谱的相位相同体现能量守恒
0()nc X n?
X
3.1.3 周期信号的频谱
引例 (Page 27)
例题例题 2-5
例题例题 2-3 例题例题 2-4
例题例题 2-6
思考题：
2-5：求复指数信号 的频谱
2-6：求余弦,正弦信号的频谱
0jte?
0cos t? 0sin t?
X
周期信号的频谱的特点
离散性,谱线不连续
谐波性,谱线只出现在基频的整数倍处
收敛性,幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小
周期信号由无穷多个余弦分量组成
周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值
相频谱线大小表示谐波分量的相位
X
3.1.4 周期信号的功率谱
将信号 x(t)视为加在 1电阻上的电压，则电阻消耗的平均功率 P：
0
0
22
0 2
1 ()T
TP x t d tT
将 代入得,
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t
0
0
22
00
10 2
1 [ c o s ( )]T
T nn
n
P A A n t d t
T
22
0
1
1
2 nnAA
X
结论
P—— 称为周期信号的功率谱
周期信号的平均功率谱等于其直流以及各谐波分量的平均功率之和 ;
功率谱反映周期信号各次谐波功率的分配关系；
周期信号在时域的平均功率等于其频域的平均功率。
0
0
2 2 22
0
10 2
11 ()
2
T
T n
n
P x t d t A A
T
X
3.2 非周期信号的频谱分析
思路
– 非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号
– 令 T?∞，对周期信号的傅里叶级数进行推广
– 非周期信号频谱必定有别于周期信号的频谱。
周期信号频谱非周期信号频谱
X
3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
离散谱 连续谱
当 时,x(t)转化为非周期信号，同时：
0T
周期信号频谱,0 0
0
j2
0
0 2
1( ) ( ) e dT nt
TX n x t tT
频谱 0，为无穷小，研究不便 !0()Xn?
`0
0
2 π 0
T
谱线间距：
但 为有限值
非周期信号的频谱可用 T0X(nω0)表示 —— 频谱密度函数 。
量纲：功率 /频率：单位频带上信号的功率
0
0
0
20 0 0
0 2
2( ) ( ) ( )T j n t
TT X n X n x t e d t
X
非周期信号的频谱为：
从傅里叶级数到傅里叶变换
0
1 () jtx t e d t
T
0,
2
T
0n
当 时，变量代换
0T
0,d谱线间距：
代入周期信号的频谱，得
0
0
0
2
0
0 2
1( ) ( )T j n t
TX n x t e d tT
0
0
1,
22
d
T
00( ) ( ) ( )
jtX T X n x t e d t
X
从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号 x(t)的傅里叶复指数级数为：
( ) ( ) jtX x t e d t
0
0
0( ) ( )l i m
j n t
T n
x t X n e
0
0
00
0
1 ()l i m j n t
T n
XnT eT
1( ) ( )
2
jtx t X e d
1 ()
2
jtX e d
可得 傅里叶变换对：
(12 ) jtXe d
2( ) ( ) j f tX f x t e d t
2( ) ( ) j f tx t X f e d f
X
非周期信号频谱的特点
【 结论 】,
非周期信号的频谱是连续的；
非周期信号是振幅为无穷小、频率为 0～ ∞的一切余弦分量的线性组合 —— 频谱密度函数
[ ( ) ]1 ()
2
jtX e d
1( ) ( )
2
jtx t X e d
()1 ()
2
j j tX e e d
1 ( ) c o s[ ( ) ] ( ) sin [ ( ) ]
22
jX t d X t d
0 c o s[ ( )
1 ]()X td
( ) ( ) jtX x t e d t
X
非周期信号频谱的表示方式
一般情况下,X(ω)为复数
()mR ( ) I ( ) ( ) je j X e
j( ) ( ) e ( ) [ c o s s i n ]tX x t d t x t t j t d t
幅频特性 (偶函数 )22
emX R I
相频特性 (奇函数 )
a r c ta n
m
e
I
R
02 ( ) c o s deR x t t t实频特性 (偶函数 )
02 ( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (奇函数 )
( ) c o s ( ) s i nx t t d t j x t t d t
X
3.2.2 常见非奇异信号的频谱
非奇异信号
– 1,矩形脉冲
– 2,单边指数信号
– 3,双边指数信号
– 4,双边奇指数信号
X
2SaE
Sin(ωτ/2)
① 矩形脉冲信号
2
2
j de
tEX t 2
2
je
j
tE
j2
ee
.
2
2
j
2
j
E
2
2
s in
E
E
O
tf
t
2?2
x(t)
2
|| 0
2
||
t
tE
tx
窗口面积实谱
X
频谱图
Sa 2XE
F
E
π2O?π4
π2?
X
F
E
π2O?π4?π2?
X
~X
幅频, ~X
( ) Sa 2XE
,脉冲越窄,频带越宽,
2
b
2b
X
频谱特点
最大值＝矩形窗面积 Eτ；
零点坐标＝ 2nπ÷ 窗宽；
带宽 (第一零点 )＝ 2π÷ 窗宽；
周期＝ 4π÷ 窗宽；
窗宽 × 脉冲宽度＝ 2π
X
矩形脉冲信号 频谱 &周期 矩形脉冲 信号频谱
)(
1
nF
O
0T
E?
π2
002
0?nX
F
E
π2O?π4
π2?
X
周期信号非周期信号
周期矩形脉冲信号的频谱是单脉冲频谱的采样 ;
采样周期 =2π/T0;幅度不同系数 1/T0.
X
)( txX F
0 0
00e
t
t
tx
t
② 单边指数信号
0
j d tt e
tf
O t
E
tx
ttx t de?j)( 0 j ttt dee
j
1
复谱
X
频谱图
22
1
X
0,
1
,0
X
X
a r c t a n
2
π
,
2
π
,
0,0
幅度频谱：
相位频谱：
O
2π?
2π?
F
O
E
X
1
1()
jX w aw= +
X
③ 双边指数信号
)( txX F
||e
0
txt?
tf
O t
E
tx
tet?e
0 j j
0e d e d
tttt
| | je e dtt t
22
2
a
ttx t de?j)(
0 j0 j tt tttt deedee
j
1
j
1
实谱
X
频谱图
22 2X
0,
2
,0
X
X
幅度频谱：
F
O
E
X
2
0
X
④ 双边奇指数信号
)( txX F
00e
00e-
t
t
tx
t
t
0
j0 j dd tt tt ee-
tf
O t
E
tx
te
t?e-
1
1?
22
2
j
ttx t de?j)(
0 j0 j tt tttt dee)de(-e
j
1
j
1?
虚谱
X
频谱图
22
2 | |X
0,
1
,
0,0
X
Xa
X
,0
2
,0
2
幅度频谱：
相位频谱：
F
O
E
X
1
a? a
O
2π?
2π
22
2()Xj
X
3.2.3 奇异信号的频谱
奇异信号的
– 1、单位冲激信号
– 2、单位直流信号
– 3、符号函数信号
– 4、单位阶跃信号
X
ttX t de)( j
① 单位冲激信号
)(10 抽样性 e
F
1
O
)(?X
tO
1
tf
)(t?
( ) ( )x t t
实谱
( ) 1FTt
X
tO
1
tf
)(t?
tO
1
tf
)(tg
1
时的极限。的矩形脉冲，看作 01 t
单位冲激信号频谱可由单矩形脉冲取极限得到,0
)]([)( tFX )2(lim
0
SaE
1?
1
F
E
π2O?π4
π2?
X?
2Sa)(
EX
频谱图
F
1
O
)(?X
bB
X
不满足绝对可积条件，
不能直接用定义求 。
( ) 1,x t t
② 单位直流信号
X
tO
tf
E
1 )(tx
0( ) l i m,0
at
ax t e a
但：
则：
00( ) l im { [ ] } |
at
aaX F e?
22|| 2 aeF t已知：
X
推导
X
d22
0
2l i m
π2?
O
Eπ2
F
X
2
220
2lim
a
0,
0,0
是冲激函数，强度：?X
d2
0
1
2
l i m
)a r c t a n (2lim
0?
)(2 X
实谱
X
傅里叶变换对
1FT
12 πFT
时域无限宽，频带无限窄时域无限窄，频带无限宽
O
Eπ2
F
X
2 t
O
tf
E
1 )(tx
tO
1
tf
)(t?
F
1
O
)(?X
X
t
1
1?
)s gn ( t
O
0,1
0,0
0,1
s g n)(
t
t
t
ttx
③ 符号函数信号
0 j0 j1 deedee ttX tttt
22
2j
j
1
j
1
1 22
00
j 2 2l i m l i mX X j
处理方法：
。求极限得到
，，求
X
Xttx t 11 es g n
做一个双边函数不满足绝对可积条件
te
te
虚谱
X
s g n ( ) 222sg n e jtj
频谱图
是偶函数?X
是奇函数
O?
2
π
2
π
2?X
π2
,0
2
( ) a r c ta n
π0
,0
2
2
)(?F
O
X
X
π21j 1s gn21?t
④ 单位阶跃信号
O
t
1
tu
O
t
2
1
2
1
ts g n
2
1
O
π
O
j 1π)(tu
=
ttu s g n2121
O t
2
1
+
实谱 虚谱 实＋虚
O
F
π
U
X
频谱图解
Re
（ π）
ω
（ π）
|X(ω)|
ω
Im
ω
Φ(ω)
ω
π/2
-π/2
1() π jut
X
如何求取？
与傅里叶级数的关系？
3.2.4 周期信号的傅里叶变换非周期信号,无限区间绝对可积?傅里叶变换?连续谱周期信号,一个周期绝对可积?傅里叶级数?离散谱
0Xn?
问题,周期信号有无傅里叶变换，若有：
实际上,引入冲激函数后可得出周期信号傅里叶变换把 周期信号与非周期信号的频谱分析统一起来
X?
X
令：,其中
① 复指数信号 的傅里叶变换
( ) 1yt?
( ) ( ) 2 ( )jtY y t e d t
0()() jty t e d t
0jte?
0j( ) ( )e tx t y t
0jjj( ) e d e e dtttX x t t y t t
0()Y
0
02 ( )
FTje
02 ( )
则：
实谱
X
0?n
0Xn?
0 0?
1
X?
0 0?
2
tje 0? 的频谱傅里叶变换 傅里叶级数
00( ) 2 ( ) ( )X X n n
X
② 正弦 信号的傅里叶变换由 欧拉公式,
由复指数信号的傅里叶变换，有：
ttt 00 jj0 eej21s in
0
0
j
0
j
0
e2
e2
t
t
0( s i n )sX F t
t0sin?
0 0 0s i n π [ ]Ftj
001 [2 π 2 π ]2 j00π [ ]j
虚谱
X
0?n
0Xn?
0 0?
2
1
0
X?
0 0?0
t0sin? 的频谱傅里叶变换傅里叶级数
00( ) 2 ( ) ( )X X n n
X
③ 余弦 信号的傅里叶变换t
0c o s?
ttt 00 jj0
2
1c o s ee同理：
0 0 0c o s π []Ft
)( c o s 0 tFX c
001 [2 π 2 π ]2
00π []
X
t0c o s? 的频谱
0?n
0?nX c
0 0?
2
1
0
cX
0 0?0
傅里叶变换傅里叶级数
00[ ( ) ] 2 ( ) ( )X X n n
X
设有周期信号,周期
④ 一般周期信号的傅里叶变换
()Txt
傅里叶复指数级数：
傅里叶变换：
0T0 e jn t
n
x t X n
TTX F x t
0 02 π
n
Xn n
0 02 π
n
Xn n
0j0 e nt
n
F X n
0
0
2 πT
0j0{ e }nt
n
X n F
X
归纳
002 π()T
n
X n nX
周期信号的傅里叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合；
脉冲函数的位置,ω＝ nω0,n=0,± 1,± 3,…..
脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的 2π倍
周期信号的傅里叶变换也是离散的；
谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同。
X
单脉冲 FT、周期脉冲 FS、周期脉冲 FT之间的关系类型特点单脉冲傅里叶变换周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶变换连续 /离散 连续谱 离散谱 离散谱谱线位置 全频谱连续 基频 ω0整数倍处谱线大小 X(ω)
谱线形状 X(ω) 包络 包络谱线意义 频谱密度 分量幅值 频谱密度
0
1
T?
0
0
1 ()Xn
T? 00
2 ()Xn
T
0
2
T
X
tf
0
t
2
T
2
T
tf
T
T? T too
tx0txT
)()()( 00 TT XnXX
0
0
0
0
1
nXTnX T
002)( nnXX T
π
求周期信号的傅里叶变换思路：
0
0
0
j2
0
0 2
1( ) ( ) e dT nt
TTX n x t tT
采样 除 T0 乘 2π
X
例 2-8 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
)()()( 00 XnXX
2Sa)(0 EX?
00
00
1 X n X
nT
00π2)( nnXX
n
000Sa 2
n
nEn
0 0
0
2 π S a 2
n
nE n
T
tf
1
T to
1
T?
2
2
E
tx
0T0T?
2Sa 0
0
n
T
E
X
)(
1
nF
O
0T
E?
π2
002
0?nX
频谱比较相同点不同点
1、频率都是离散的
3、包络线相同下图表示幅度，有限值上图表示频谱密度，是冲激函数，原点强度为：
0
0 2 T
EE
000 2Sa nnE
n
2Sa 0
0
n
T
E
)(
1
nF
O
0E
π2
002
X傅里叶变换傅里叶级数
2、谱线间距相同
X
n
nTtt 0T
0jT0 e nt
n
t X n
例 2-9 周期 单位冲激序列的傅里叶变换
的傅氏级数谱系数tT?
2
20
0
0
0
0)(1
T
T
tjn
T dtetTnX
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
2
20
0
0
0)(1
T
T
tjn dtet
T
n
tn
T
0j
0
1?e
0
1
T? 复指数形式展开式
X
例 2-9 周期 单位冲激序列的傅里叶变换
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
0jT
0
1 e nt
n
t T
0T j
0
e1 nt
n
XF Ft T
n
nT 0
0
π2
0
0
1 2 π
n
nT
n
n 00
00
X
。强度和间隔都是激序列的频谱密度函数仍是冲
0
,
tT频谱
1
1
1
1
1
1
2?
1
1
1
2
F
o
002 00 2
00000?
X
0
0
1
TnX
0
0
2()
n
XnT
1
nF
1
1
T
1
1
2?
1
1
2
o
002 00 2
0?nX
0
1
T
傅里叶变换傅里叶级数
t
t
T
11111
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
o
002 TT 002TT
冲激序列
X
3.3 傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有唯一性；
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
了解特性的内在联系；
简化傅里叶变换的求取过程。
意义
X
主要性质线性性质奇偶性对偶性质尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质帕斯瓦尔定理卷积定理
X
j 1πF
① 线性性质例：单位阶跃信号的频谱
)()(,)()( 2211 XtxXtx若为任意常数则 2122112211,)()()()( aaXaXatxatxa
tu ts g n2121
可直接用定义证明！
X
② 奇偶性 * ( ) * ( )x t X
由定义
ttxX t de)()( j
)(*)(*)()( XtxXtx,则若证明：
取共轭得,*j d)()(*
ttxX t e
ttxX t de)(*)(* )(j
)(*de)(* j txFttx t
代替以?
ttx t d)(* j?e
x(t)为实函数时共轭对称性,( ) ( )XXww
*=-
( ) ( )XXww* =-
X
② 奇偶性
由傅里叶变化的定义：
()mR ( ) I ( ) ( ) je j X e
j( ) ( ) e ( ) [ c o s s i n ]tX x t d t x t t j t d t
幅频特性 (ω的偶函数 )22
emX R I
相频特性 (ω的奇函数 )
a r c ta n
m
e
I
R
( ) c o s deR x t t t 实频特性 (ω的偶函数 )
( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (ω的奇函数 )
( ) c o s ( ) s i nx t t d t j x t t d t
X
② 奇偶性
|X(ω)|为偶函数
φ(ω)为奇函数
当 x(t)为实 偶 函数时：
– Im(ω)＝ 0；? X(ω)=Re(ω) 实 偶 ;
当 x(t)为虚 偶 函数时：
– Im(ω)＝ 0；? X(ω)=j·Re(ω) 虚 偶 ;
当 x(t)为实 奇 函数时：
– Re(ω)＝ 0；?X(ω)=j·Im(ω) 虚 奇 ;
当 x(t)为虚 奇 函数时：
– Re(ω)＝ 0；? X(ω)=Im(ω) 实 奇 ;
x(t) 偶 奇实 实偶 虚奇虚 虚偶 实奇
( ) c o s deR x t t t 实频特性 (ω的偶函数 )
( ) s i n dmI x t t t虚频特性 (ω的奇函数 )
X
)()(?Xtx?若 xtX π2则
③ 对偶性质
1)(?t?
)(21π?
F
1
O
)(?X
tO
1
tf
)(tx
t
tf
π2
1
O
()Xt1
O
1
F
()x?
)2( π
信号连续进行 2次傅里叶变换,
相当于将其翻转后再乘以 2π
X
证明由傅里叶反变换 j1( ) d
2
tx t X e
以 -t 代替 t, j1( ) d
2
tx t X e
j1( ) d2 tx X t e t
j d 2 ( )tX t e t x即：
)(2 xtX ))((2 偶函数xx
以 ω 代替 t,
X
④ 尺度变换性质意义
为非零实数则若 aaXaatxXtx,1),()(?
(1) 0<a<1，
(2) a>1,
( 3 ) 1,a x t X
时域扩展，频带压缩。
时域压缩，频域扩展。
X
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩 。 (a=1/2)
时域持续时间增加 1/a倍 ;
频域频带压缩 1/a倍 ;高频分量减弱 ;
幅度上升 1/a倍 。
o t
E
2
2
tf
tx
o
E
π2
F
π2
X
o t
2
t
f
E
2tx
o
E
π
22 F
π
22X
X
（ 2） a>1 时域压缩，频域扩展 。 (a=2)
o
t
4
4
tf 2
E
tx 2
o?
2
E
π4
22
1?
F
π4
221?X
时域持续时间压缩 a倍；
频带展宽 a倍，频域高频分量加强；
幅度下降 a倍。
o t
E
2
2
tf
tx
o
E
π2
F
π2
X
X
,1)3( txtxa
信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转。
*XXX
信号的持续时间与信号占有频带成反比,有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则要以展开频带为代价 。 <举例 >
说明,
* x tX X 称为翻转特性
X
),()(?Xtx?若 ;e)()( 0j0 tXttx则
⑤ 时移特性
时域时移，频域只有相移，幅频不变
)()(?Xtx?若
a
b
aXabatx
je1
则
0,?aba 实常数，且时移加尺度变换
0j0( ) ( ) e tx t t X0 0t? 时域左移时域右移
X
)()(?Xtx?若
号为常数，注意则
0
0
j
0
j
e)(
e)(
0
0
Xtx
Xtx
t
t
证明：
性质
⑥ 频移特性
00jj j( ) e ( ) e eF tt tx t x t t
d
0j( ) e dtx t t
0 X
频域频移，时域只有相移，幅频不变
时域相移，只导致频域频移，相位不变频域右移频域左移
X
说明
0
j,)( 0
右移频域频谱乘时域
e ttx
0
j,)( 0
左移频域频谱乘时域
e ttx?
ttx 0je)(?时域
ttx 0je)(时域
)(?X
ω0-ω0 0
ω
)( 0X
ω0-ω0 0
ω
)( 0X
ω0-ω0 0
ω
x(t)
X
应用
频率搬移 —— 仪器分析；
细化分析 —— 频谱细节结构；
调制解调 —— 通讯领域
…… ……
X
若,则
⑦ 时域微分
( ) ( )x t X
() j ( )nnx t X
,)(j)(' XtxF?
90j,相位增加幅度乘?
:)( 2)(
jeX
'( ) j ( )x t X
推广：
微分使高频分量增强
X
积分使高频分量减弱
⑧ 时域积分性质
，则若?Xtx?
jd00 XxX t
时，
j0πd00 XXxX t
时，
也可以记作,?
)(π
j
1)(
X
X
⑨ 帕斯瓦尔 (Parseval)定理
，则若?Xtx?
( ) ( )221dd2x t t X wwpゥ
-?
=蝌意义,信号的 时域能量 =频域能量
~)(2 1)( 2 —双边能量谱密度，—XE b
—幅度谱—)(?X
~0)(1)( 2 —单边能量谱密度，—XE s
dEEdEE sb
0
)()( 或者信号的总能量表示为
( ) 2 dX f f￥- = ò
X
特点
（ 1）能谱密度反映各频率处，单位频带上信号能量的相对大小；
（ 2）能谱只反映信号的幅度信息，与相位无关，
故不能由 恢复原信号 ；)(?bEtx
（ 3）能量谱比幅值谱分析抗干扰能力强、分辨率高。
( ) 2( ) dbE f X f f￥- = ò
X
⑩ 卷积定理
卷积定理
卷积定理的应用卷积定理表达了两个函数在时域 (或频域 )的卷积积分，对应于频域 (或时城 )的运算关系卷积定理包含时域卷积和频域卷积。
X
时域乘积对应频域频谱密度函数的卷积 (除 )
⑩ 卷积定理
2211,XtxXtx若
2121 XXtxtx则
2211,XtxXtx若
2121 π2 1 XXtxtx则
12π
时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数的乘积。
频域卷积定理卷积定理揭示了 时间域 与 频率域 的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
X
用频域卷积定理求频谱密度函数。
求积分 的频谱密度函数 dt x
dt x
j 1d Xxt
卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。
dx u ttutx
j0 XX π
X
本章小结
周期信号频谱的求取方法
周期信号频谱的特点
非周期信号频谱的求取方法
非周期信号频谱的特点
单脉冲信号与周期脉冲信号频谱的关系
周期信号傅里叶变换与傅里叶级数的关系
典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的主要性质
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