Signals analysis & processing
第 2章 连续信号的时域分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
连续时域信号
自变量为时间的连续信号
数学意义上的精确信号
特点：简单、直观、物理概念清楚，易于理解
用于构成各种复杂信号
信号的分析方法
时域分析法 √其它分析方法的基础
频域分析法 √
复频域分析法 √
相关函数分析法 √
小波分析
X3
本章主要内容
2.1 概述
2.2 连续信号的时域描述
2.3 连续信号的时域运算
2.4 信号的分解
X4
2.1 概述
1、解析法
2、图象法
)s in ()( tAtx
x(t)
t
A
T
2
3、列表法时间（ h) 0 2 4 6 8 10 12 14
温度 (℃ ) 14 12 14 15 17 20 21 22
信号的表达方式
X5
2.1 概述
信号的时域描述
信号取值随时间的变化关系 ;
直观地反映信号的时间历程 ;
不能反映信号地频率结构 ;
用于简单信号的描述,
推广,信号取值随其它连续变量的关系：
如表面粗糙度随测量长度的变化 ;
导线电阻随导线长度的变化 ;
热变形大小随温度的变化
O
t
tx
X6
2.1 概述
信号的频域描述
信号幅值随频率的变化关系 ;
反映信号的频率结构 ;
不能反映信号的时间历程 ;
用于工程信号的频率分析,
其它描述方法
复频域描述法 —— 拉普拉斯变化
延时域描述法 —— 相关函数
时频域描述法 —— 小波变换
。。。。。
O
f
Xf
f1 f2 f3 f4
X7
2.2 连续信号的时域描述基本信号
普通时域信号 <连续、可导，用于构成复杂信号 >
正弦信号
指数信号
奇异信号 <本身或倒数不连续，抽象信号、工具 >
单位斜坡信号
单位阶跃信号
矩形脉冲
符号函数
单位冲激信号
冲激偶
X8
2.2.1 普通信号的时域描述
（ 1） 正弦信号
( ) sin( )
( ) sin( 2 )
x t A t
x t A ft
图形,x(t)
t
A
T
2
表达式：
振幅,A
周期：
频率,f
角频率：
初相位：
fT
12
π
fπ2
X9
正弦信号的性质
2）同频正弦信号合成仍同频正弦信号，
但幅值和相位改变。
1） 正弦信号的微、积分仍为正弦信号 。
4）频率比为有理整数的正弦信号的合成为非正弦周期信号，以低频（基频 f0）为基频，叠加一个高频 (频 nf0)分量。
5）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦信号的线性组合。
3）频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。
X10
（ 2）指数信号
( ) e,stx t A s j 为 复 数指数衰减2 0,0：
0
指数增长3 0,0：
0
直流 (常数 )1 0,0,0A
O
tx
t
参数不同时图像不同
()( ) e jtx t A
X11
为复数 jsAtx ts,e)(
复信号4 0,0：
( ) c o s s i n c o s s i ntx t A e t j t A t j A t
tt
O
txRe：
O
txIm：
（ 2）指数信号
X12
为复数 jsAtx ts,e)(
衰减的复信号5 0,0 ( 0 )：
tjtAetx t s i nc o s)(
O
t
O
t
txRe,txIm：
称为复指数信号
σ>0 时,发散复信号
（ 2）指数信号
X13
结论,
ω 表示信号频率,ω 越大，频率越高
σ 表示信号幅值衰减程度,|σ| 越大，变化越快
正弦信号与复指数信号的关系 (欧拉公式 ):
tjte tj s i nc o s
tjtjtj
tjtjtj
eee
j
t
eeet
Im
2
1
s i n
Re
2
1
c os
（ 2）指数信号
X14
2.2.2 奇异信号的描述
1,定义
0
00)(
tt
ttR
00
0
0
0)(
tttt
ttttR
2．有延迟的单位斜坡信号
0()
10
tRt
t
无定义 O t
R(t)
1
1
O t
R(t-t0)
t0+1
1
t0在 t-t
0=0处，导数不连续在 t=0处，导数不连续
（ 1）单位斜坡信号
X15
（ 2）单位阶跃信号
1,定义
)01 00)( 21(0 点无定义或
t
ttu
0,10)( 0
0
0
0?
t
tt
ttttu
0,1 0)( 0
0
0
0?
t
tt
ttttu
在 处，信号发生跳变
0tt
2,有延迟的单位阶跃信号
u(t+ t0)
O t
1
t0
O t
u(t- t0)
t0
1
O t
u(t)
1
X16
（ 3）矩形窗信号用途：信号的截断
1,
2
()
0,
2
t
wt
t
，信号在 |t|=τ/2 处不连续
O t
w(t) 1
2
2
22
tututx
可用阶跃信号表示为：
X17
1
0
-1
2
1
0
-1
t
Sgn(t) u(-t)
（ 4） 符号函数 (Signum)
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( tututut
]1)[ s g n (21)( ttu
O t
sgn(t)
1
-1
u(t)
sgn(t)
2u(t)
X18
（ 5）单位冲激信号
( ) 0,0
( ) d 1
tt
tt
00 d)(d)( tttt
函数值只在 t = 0 时不为零；
积分面积为 1；
t =0 时，,为无界函数。t?
t
0
狄拉克 (Dirac)函数定义：
X19
极限定义：
t
)( tp
O
1
2
2
脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ； 则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积恒为 1
★ 宽度为 0
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点：
考虑：矩形 脉冲函数宽度?0时的极限窗高＝窗宽的倒数，面积 ≡ 1
当 τ?0时，窗高?∞
X20
0( ) l im ( )t p t
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0 极限，都可以构成冲激函数。
时移的冲激函数o t
)( t?
)1(
o t
)(
0
tt
)1(
0
t
强度定义：
极限定义：
t
)( tp
O
1
2
2
X21
冲激函数的性质
1）抽样性
2） 奇偶性
3） 卷积特性
4）冲激偶
δ(t) 函数是一纯数学函数但在信号分析中特殊性质：
X22
① 抽样性 (筛选性 )
对于移位情况：
)(d)()( 00 tfttftt?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
)0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
)0(f
o
t
)( tf
)0(f
t0
f (t0)
意义：用于对模拟信号采样。
X23
② 奇偶性
)()( tt
由图象可直观证明
X24
③ 卷积特性
)()()(
)()()(
00 ttftttf
tfttf
dtfttf )()()()(
))(()-(
dtf
t
令
dtf )()-(
)(|)-( 0 tftf
应用应用
X25
④ 冲激偶
O
t
)( t?
)1(
O
t
)( t
o
t
)( ts
t
)( ts?
O
2
1
2
1
1
t
)( t
t
)( ts?
2
1
2
1
1
0
)()(' tdtdt
X26
⑴
)0( d)()( fttft
⑵
tttt d)(
冲激偶的性质时移，则,)( d)()( 00 tfttftt
⑶
,)()( tt ()td￠
抽样特性奇偶性微积分特性 )()(' t
dt
dt
是奇函数
X27
冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf
)()0()()( tfttf
（ 2）奇偶性
)()( tt
（ 3）微积分性质
t
tut
d
)(d)(
)(d)( tut
（ 4）冲激偶
)()( tt
)0(d)()( ftttf
（ 5）卷积性质
)()()(
)()()(
00 ttftttf
tfttf
)()(' tdtdt
X28
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
)1(
小结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
d
dtd
dt
d
dt
t
)( tR
O
1
1
O
t
)( t
dt
dt?
dt
X29
2.3 连续信号的时域运算
对因变量进行的运算 —— 幅度变换
加、乘、微分、积分
对自变量进行的运算 —— 时间变换
尺度变换、翻转、平移、复合变换时域运算不涉及信号的描述方式
2.3.1 基本运算
X30
（ 1）尺度变换波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。
原信号 f(t)以 原点 (t＝ 0)为基准,沿 横坐标轴 展缩到原来的 1/a。
方法：将原信号 f (t)中自变量 t?at,得到 f (at)。
),0(,常数 ataftf1、幅度尺寸变换：
基本特性不变，幅度放大或缩小 a倍如线性放大器。
),0(,常数 aatftf2、时间尺寸变换：
基本特性发生变化，时间坐标压缩或扩展。
X31
（ 1）尺度变换
正弦信号的尺度变换
f(t/2)
a=1/2
f(2t)
a=2
t
f(t)
T 2TT/2
ω＝ π/T
ω＝ 4π/T
ω＝ 2π/T
结论,
a>1?时域压缩?频域（带）扩展
a<1?时域扩展?频域（带）压缩
( ) s i n ( ) ( ) s i n ( )f t t f a t a t
X32
时间尺度压缩或扩展取决于 a:
a>1?时间尺度压缩
频带增加
录音带快放
0<a<1?时间尺度扩展
频带减小
录音带慢放
x( 2t )
t
0 1-2
2 a>1
x(t)
t
0 1-2 2-4
2
t
2
4-8
x( 0.5 t )
0 1-2 2-4
a<1
（ 1）尺度变换
X33
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的,后进先出”。
（ 2）翻转：反褶
)()( tftf
例：
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调,
t=0点不动。 方法,t? -t
O 1-2
1
f (t)? f (-t)
t
21
X34
f(t)
t1-1 2-2 0
1
（ 3）平移将信号 f(t)沿时间轴 t移动一段距离，得 f ( t-τ）,
即,称为平移。 )()( tftf
例：
> 0，右移 (滞后 )
< 0，左移 (超前 )
左移 1
f(t+1)
右移 1
f(t-1)
复位
f(t)
X35
（ 4）复合变换
0f t f a t b f a t b a a 设
信号运算中，一般同时存在尺度变换、平移、翻转、以及幅度变换，变换准则：
尺度变换,t? at;
平移,t? ( t-t0 );
翻转,t? ( -t ).
变换顺序可任意,
X36
① 展缩－平移－翻转
0f t f a t b f a t b a a 设先展缩,f (t)? f (at)
再平移 b/a单位,f(at)?f[a(t＋ b/a)]
后翻转,f[a(t＋ b/a)]?f [a(-t + b/a)]=f(-at+b)
X37
② 平移－翻转－展缩
先平移单位 b,f(t)?f(t+b)
再翻转,f(t+b)?f(-t+b)
后展缩,f(-t+b)?f(-at+b)
0f t f a t b f a t b a a 设
X38
先展缩,f(t)?f(at)
再翻转,f(at)?f(-at)
后平移单位 b/a,f(-at)?f[-a(t-b/a)]
＝ f(-at+b)
③ 展缩－翻转－平移
0f t f a t b f a t b a a 设
X39
（ 1）叠加
若 是两个连续信号，其和定义为：
两信号瞬时值的和
12( ) ( )x t x t、
12( ) ( ) ( )y t x t x t
t
t?si n
t
t?8si n
t
tt 8si nsi n
+
=
2.3.2 叠加和相乘
X40
若 是两个连续信号，它们的积定义为：两信号瞬时值之积
（ 2）乘除
12( ) ( )x t x t、
12( ) ( ) ( )y t x t x t?
t
t?si n
t
t?8si n
t
tt 8si nsi n
*
=
X41
2.3.3 微分和积分
O
t
tf
2
2
O
t
1
2
tf?
1?
2
2
O
t
tf
2
2
O
t
1
t
f d
2
2
t tftf dd微分：
冲激信号
dt f积分：
X42
定义：信号 和 的卷积定义为
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d e ff x x x t d x t x t
2()xt
1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x t d x x t d
x t x t x t x t
性质：
运算：变量代换?翻转?平移?乘积?积分
2.3.4 卷积运算
1()xt
()ft1()xt
2()xt输入脉冲响应函数输出
X43
例 P.16：求两信号的卷积
12
3
2,2,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2
0,0 2
t t
x t x t
t
t o r t
12( ) ( )x t x t?
求：
解：变量代换 t?τ
12
32,2
,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2
0,0 / 2
xx
X44
0.75
4 -2 2 4
τ
-2 44 2
2X1(τ)
τ
变量代换,t?τ;
x2翻转?x2(-τ);
左移 t?x2(-τ－ t),t<0;
t<-2时,x(t)=0;
t=-2时,x(t)=0;
-2<t≤0时,x(t)直线增加 ;
t=0时,x(t)=3 (max);
0<t<2时,x(t)=3 (max);
2<t<4时,x(t)直线减小 ;
t>4时,x(t)=0.
x2(-τ) X2(τ)
t
3
4 -2 2 4
t
x(t)
12
32,2,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2 0,0 / 2
xx
X45
计算卷积的关键：
正确划分时间变量 t的取值区间
正确确定积分的上、下限
分段函数图解法具有的较效果好
12
0,2
3
( 2 ),2 0
2
( ) ( ) ( ) 3,0 2
3
( 4 ),2 4
2
0,4
t
tt
x t x t x t t
tt
t
卷积的结果
3
4 -2 2 4 t
x(t)
0
X46
2.4 信号的分解
把复杂信号分解成基本信号或简单信号
直流与交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
正交分量
简谐分量
……
X47
tf
t
f
O
,t当
,脉宽：
① 矩形脉冲序列
，此窄脉冲可表示为：
( ) ( )f u t u t
2.4.1 分解成冲激函数之和强度为f?
,+区间 上存在矩形脉冲 ( ) ( )u t u t
脉高f?
X48
信号可分解成无穷多个冲激函数之和
冲激函数的强度等于信号在冲激点的取值
0
()m (()li u t u tf
）
0
( ) ( )l im ( ) (f t f u t u t
）
( ) ( ) ( ) df t f t
() t df
② 冲激函数序列当 τ ＝－ ∞?∞ 时，得到一系列矩形脉冲
X49
2.4.2 正交分解
目的：
简化信号的描述形式
建立统一的信号分析工具
主要内容：
正交矢量集
正交函数集
信号的正交分解
X50
① 正交矢量集
【 引例 1】
平面矢量可以表示为相互垂直的两个单位矢量和的线性组合
R ai bj
R ai bj
R a i b j
a,b为实数，分别表示矢量在 i,j方向上的投影
称 {i,j}为二维正交矢量集
0
1
1
ij
ii
jj
i,j满足
R
x
y
i
j
0
b
a
X51
【 引例 2】
三维空间的矢量可以表示为相互垂直的三个单位矢量的线性组合
I,j,k满足
a,b,c为实数，分别表示矢量在单位向量方向上的投影
称 {i,j,k}为三维正交矢量集
R a i b j c k
0
0
0
ij
ik
jk
1
1
1
ii
jj
kk
R
k
i
j A
c
a
b
0
① 正交矢量集
X52
称 为 n维正交矢量集
为常数向量，分别表示矢量在单位矢量 V 各方向上的投影
单位矢量 满足
【 推广 】
n维空间中的矢量可以表示为相互垂直的 n个单位矢量的线性组合
12{,,,}nV v v v?
1
n
ii
i
R a v
0,
,ij i
ijvv
k i j
12{,,,}na a a
12{,,,}nV v v v?
① 正交矢量集
X53
矢量空间中任意一个矢量都可以表示成完备正交集的线性组合
推广,信号空间中任意一个信号也可以表示为完备正交函数集的线性组合
正交函数
正交函数集
完备正交函数集
信号的正交变换
② 正交函数集
X54
(1) 正交函数
定义：
在信号空间的区间 内，如果存在非零函数 和,满足,12[,]tt1()ft
2()ft
2
1
12
12
12
0,( ) ( )( ) ( )
,( ) ( )
t
t
f t f tf t f t d t
k f t f t
2
1
12
12
1221
0,( ) ( )1 ( ) ( )
,( ) ( )
t
t
f t f tf t f t d t
k f t f ttt
当能量有限时：
√
当功率有限时：
其中 k为常数，称函数在该区间上正交。
例如 与 在任意对称区间上正交。
1sin( )t? 1cos( )t?
X55
称函数集 F是区间 内的正交函数集 ;
当 ki=1时，函数集 F称为规范化正交函数集。
(2)正交函数集
定义：
在信号空间的区间 内，如果存在 n个非零函数,对于任意的 i,j
12[,]tt
如
满足：,i,j=1,2,…,n
12( ),( ),,( )nF f t f t f t?
2
1
0,( ) ( )
,
t
ijt
i
ijf t f t d t
k i j
12[,]tt
1 { s i n,s i n 2,s i n 3 }F t t t?
2 { s i n,s i n 2,s i n 3,,s i n,}F t t t n t?
X56
除正交集 中的正交函数外，
不存在任何非零函数,使
(3)完备正交函数集
定义,
在信号空间的区间 内，
12[,]tt
则称正交集 F是区间 上的完备正交函数集成立,i=1,2,…,n
如前面讨论的 F1和 F2都是正交函数集，但都是 不完备的 ；
完备正交函数集中的正交函数一般有无数个 。
12( ),( ),,( )nF f t f t f t?
2
1
( ) ( ) 0t it f t t d t
()t?
12[,]tt
X57
(3)完备正交函数集
举例：
00
00
00
{ 1,s i n ( ),c o s ( ),
s i n ( 2 ),c o s ( 2 ),,
s i n ( ),c o s ( ),}
t
F t t
tt
n t n t
0 0 0
0
23{ 1,,,,,
,}
j t j t j t
c
j n t
F e e e
e
X58
③ 信号的正交分解
设信号空间内，存在完备的正交函数集 F
ci为待定系数
xe(t) 是引入的误差项，两种情况下会产生：
正交函数集 F不完备时；
正交函数集 F是完备的，但只使用有限个正交函数。
则任意信号 X(t)可以用各正交函数的线性组合表示为：
12( ),( ),,( ),nF f t f t f t?
1
( ) ( ) ( )
n
i i e
i
x t c f t x t
理论值
∞
X59
(1) 正交分解系数的选用原则
工程应用上，一个信号分解成正交函数的线性组合时，必然会引入误差；
误差越小，线性组合越准确；
在正交函数项数 n一定时，减小信号正交分解误差的关键是 {ci}系数的选取。
系数的选取原则是：
系数 {ci}应使误差 xe(t)的方差 Q为最小，即
2
1
2
1 11
( ) ( )
{[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] } m in
t
ee
t
nnt
j j j j
t
jj
Q x t x t dt
x t c f t x t c f t dt
X60
22
11 11
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0
nntt
j j i j j i
jj
x t c f t f t d t x t c f t f t d t
i≠j时为 0
22
11
22
11
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ntt
i j j i
tt
j
tt
i i i i i
x t f t dt c f t f t dt
c f t f t dt c f t dt
(2) 正交分解系数的确定
令,得
0,1,2,,
i
Q in
c
22
11 11
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0
nntt
j j i j j i
jj
x t c f t f t d t x t c f t f t d t
2
1 1
[ ( ) ( )] ( ) 0
nt
j j it
j
x t c f t f t d t
2
1
2
1 11
( ) ( )
{[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] } m in
t
ee
t
nnt
j j j j
t
jj
Q x t x t dt
x t c f t x t c f t dt
X61
其中,为正交函数的能量；
(2) 正交分解系数的确定
故,21
2
1
2
( ) ( )
()
t
it
i
i t
ii
t
x t f t d t p
c
kf t d t
1,2,,in?
2
1
2()t
iitk f t d t
2
1
( ) ( )tiitp x t f t d t 为信号 x(t)与正交函数的内积
规范正交函数集时,ki=1? ci = pi
选取不同的完备正交集时，信号分解的形式也不同，但信号的信息量不变。
X62
(3) 帕斯瓦尔 (Parseral)方程当 n?∞? xe(t)=0;
由正交函数集的性质得 1
( ) ( )ii
i
x t c f t
22 2 2
11
( ) ( )i i i i
ii
x t d t c f t c k
此式称为帕斯瓦尔方程
表明信号的能量等于其在完备正交集中各分量能量之和；
不完备正交集时，信号能量小于各分量能量之和 。
X63
本章小结
信号的描述方法及其特点
典型信号的性质
正弦信号、指数信号
单位斜坡、单位阶跃、单位冲激、冲激偶、矩形脉冲
时域信号的基本运算
尺度变换、翻转、平移、复合变换
叠加与乘积、微分与积分、卷积运算
信号的正交分解、帕斯瓦尔方程
X64
本章练习与作业
Page 6~7:
1; 2; 3; 4 (1,2,4 )
Page 23~24:
1; 2; 11
练习作业
第 2章 连续信号的时域分析华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理
X2
连续时域信号
自变量为时间的连续信号
数学意义上的精确信号
特点：简单、直观、物理概念清楚，易于理解
用于构成各种复杂信号
信号的分析方法
时域分析法 √其它分析方法的基础
频域分析法 √
复频域分析法 √
相关函数分析法 √
小波分析
X3
本章主要内容
2.1 概述
2.2 连续信号的时域描述
2.3 连续信号的时域运算
2.4 信号的分解
X4
2.1 概述
1、解析法
2、图象法
)s in ()( tAtx
x(t)
t
A
T
2
3、列表法时间（ h) 0 2 4 6 8 10 12 14
温度 (℃ ) 14 12 14 15 17 20 21 22
信号的表达方式
X5
2.1 概述
信号的时域描述
信号取值随时间的变化关系 ;
直观地反映信号的时间历程 ;
不能反映信号地频率结构 ;
用于简单信号的描述,
推广,信号取值随其它连续变量的关系：
如表面粗糙度随测量长度的变化 ;
导线电阻随导线长度的变化 ;
热变形大小随温度的变化
O
t
tx
X6
2.1 概述
信号的频域描述
信号幅值随频率的变化关系 ;
反映信号的频率结构 ;
不能反映信号的时间历程 ;
用于工程信号的频率分析,
其它描述方法
复频域描述法 —— 拉普拉斯变化
延时域描述法 —— 相关函数
时频域描述法 —— 小波变换
。。。。。
O
f
Xf
f1 f2 f3 f4
X7
2.2 连续信号的时域描述基本信号
普通时域信号 <连续、可导，用于构成复杂信号 >
正弦信号
指数信号
奇异信号 <本身或倒数不连续，抽象信号、工具 >
单位斜坡信号
单位阶跃信号
矩形脉冲
符号函数
单位冲激信号
冲激偶
X8
2.2.1 普通信号的时域描述
（ 1） 正弦信号
( ) sin( )
( ) sin( 2 )
x t A t
x t A ft
图形,x(t)
t
A
T
2
表达式：
振幅,A
周期：
频率,f
角频率：
初相位：
fT
12
π
fπ2
X9
正弦信号的性质
2）同频正弦信号合成仍同频正弦信号，
但幅值和相位改变。
1） 正弦信号的微、积分仍为正弦信号 。
4）频率比为有理整数的正弦信号的合成为非正弦周期信号，以低频（基频 f0）为基频，叠加一个高频 (频 nf0)分量。
5）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦信号的线性组合。
3）频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。
X10
（ 2）指数信号
( ) e,stx t A s j 为 复 数指数衰减2 0,0：
0
指数增长3 0,0：
0
直流 (常数 )1 0,0,0A
O
tx
t
参数不同时图像不同
()( ) e jtx t A
X11
为复数 jsAtx ts,e)(
复信号4 0,0：
( ) c o s s i n c o s s i ntx t A e t j t A t j A t
tt
O
txRe：
O
txIm：
（ 2）指数信号
X12
为复数 jsAtx ts,e)(
衰减的复信号5 0,0 ( 0 )：
tjtAetx t s i nc o s)(
O
t
O
t
txRe,txIm：
称为复指数信号
σ>0 时,发散复信号
（ 2）指数信号
X13
结论,
ω 表示信号频率,ω 越大，频率越高
σ 表示信号幅值衰减程度,|σ| 越大，变化越快
正弦信号与复指数信号的关系 (欧拉公式 ):
tjte tj s i nc o s
tjtjtj
tjtjtj
eee
j
t
eeet
Im
2
1
s i n
Re
2
1
c os
（ 2）指数信号
X14
2.2.2 奇异信号的描述
1,定义
0
00)(
tt
ttR
00
0
0
0)(
tttt
ttttR
2．有延迟的单位斜坡信号
0()
10
tRt
t
无定义 O t
R(t)
1
1
O t
R(t-t0)
t0+1
1
t0在 t-t
0=0处，导数不连续在 t=0处，导数不连续
（ 1）单位斜坡信号
X15
（ 2）单位阶跃信号
1,定义
)01 00)( 21(0 点无定义或
t
ttu
0,10)( 0
0
0
0?
t
tt
ttttu
0,1 0)( 0
0
0
0?
t
tt
ttttu
在 处，信号发生跳变
0tt
2,有延迟的单位阶跃信号
u(t+ t0)
O t
1
t0
O t
u(t- t0)
t0
1
O t
u(t)
1
X16
（ 3）矩形窗信号用途：信号的截断
1,
2
()
0,
2
t
wt
t
，信号在 |t|=τ/2 处不连续
O t
w(t) 1
2
2
22
tututx
可用阶跃信号表示为：
X17
1
0
-1
2
1
0
-1
t
Sgn(t) u(-t)
（ 4） 符号函数 (Signum)
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( tututut
]1)[ s g n (21)( ttu
O t
sgn(t)
1
-1
u(t)
sgn(t)
2u(t)
X18
（ 5）单位冲激信号
( ) 0,0
( ) d 1
tt
tt
00 d)(d)( tttt
函数值只在 t = 0 时不为零；
积分面积为 1；
t =0 时，,为无界函数。t?
t
0
狄拉克 (Dirac)函数定义：
X19
极限定义：
t
)( tp
O
1
2
2
脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ； 则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积恒为 1
★ 宽度为 0
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点：
考虑：矩形 脉冲函数宽度?0时的极限窗高＝窗宽的倒数，面积 ≡ 1
当 τ?0时，窗高?∞
X20
0( ) l im ( )t p t
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0 极限，都可以构成冲激函数。
时移的冲激函数o t
)( t?
)1(
o t
)(
0
tt
)1(
0
t
强度定义：
极限定义：
t
)( tp
O
1
2
2
X21
冲激函数的性质
1）抽样性
2） 奇偶性
3） 卷积特性
4）冲激偶
δ(t) 函数是一纯数学函数但在信号分析中特殊性质：
X22
① 抽样性 (筛选性 )
对于移位情况：
)(d)()( 00 tfttftt?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
)0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
)0(f
o
t
)( tf
)0(f
t0
f (t0)
意义：用于对模拟信号采样。
X23
② 奇偶性
)()( tt
由图象可直观证明
X24
③ 卷积特性
)()()(
)()()(
00 ttftttf
tfttf
dtfttf )()()()(
))(()-(
dtf
t
令
dtf )()-(
)(|)-( 0 tftf
应用应用
X25
④ 冲激偶
O
t
)( t?
)1(
O
t
)( t
o
t
)( ts
t
)( ts?
O
2
1
2
1
1
t
)( t
t
)( ts?
2
1
2
1
1
0
)()(' tdtdt
X26
⑴
)0( d)()( fttft
⑵
tttt d)(
冲激偶的性质时移，则,)( d)()( 00 tfttftt
⑶
,)()( tt ()td￠
抽样特性奇偶性微积分特性 )()(' t
dt
dt
是奇函数
X27
冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf
)()0()()( tfttf
（ 2）奇偶性
)()( tt
（ 3）微积分性质
t
tut
d
)(d)(
)(d)( tut
（ 4）冲激偶
)()( tt
)0(d)()( ftttf
（ 5）卷积性质
)()()(
)()()(
00 ttftttf
tfttf
)()(' tdtdt
X28
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
)1(
小结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
d
dtd
dt
d
dt
t
)( tR
O
1
1
O
t
)( t
dt
dt?
dt
X29
2.3 连续信号的时域运算
对因变量进行的运算 —— 幅度变换
加、乘、微分、积分
对自变量进行的运算 —— 时间变换
尺度变换、翻转、平移、复合变换时域运算不涉及信号的描述方式
2.3.1 基本运算
X30
（ 1）尺度变换波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。
原信号 f(t)以 原点 (t＝ 0)为基准,沿 横坐标轴 展缩到原来的 1/a。
方法：将原信号 f (t)中自变量 t?at,得到 f (at)。
),0(,常数 ataftf1、幅度尺寸变换：
基本特性不变，幅度放大或缩小 a倍如线性放大器。
),0(,常数 aatftf2、时间尺寸变换：
基本特性发生变化，时间坐标压缩或扩展。
X31
（ 1）尺度变换
正弦信号的尺度变换
f(t/2)
a=1/2
f(2t)
a=2
t
f(t)
T 2TT/2
ω＝ π/T
ω＝ 4π/T
ω＝ 2π/T
结论,
a>1?时域压缩?频域（带）扩展
a<1?时域扩展?频域（带）压缩
( ) s i n ( ) ( ) s i n ( )f t t f a t a t
X32
时间尺度压缩或扩展取决于 a:
a>1?时间尺度压缩
频带增加
录音带快放
0<a<1?时间尺度扩展
频带减小
录音带慢放
x( 2t )
t
0 1-2
2 a>1
x(t)
t
0 1-2 2-4
2
t
2
4-8
x( 0.5 t )
0 1-2 2-4
a<1
（ 1）尺度变换
X33
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的,后进先出”。
（ 2）翻转：反褶
)()( tftf
例：
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调,
t=0点不动。 方法,t? -t
O 1-2
1
f (t)? f (-t)
t
21
X34
f(t)
t1-1 2-2 0
1
（ 3）平移将信号 f(t)沿时间轴 t移动一段距离，得 f ( t-τ）,
即,称为平移。 )()( tftf
例：
> 0，右移 (滞后 )
< 0，左移 (超前 )
左移 1
f(t+1)
右移 1
f(t-1)
复位
f(t)
X35
（ 4）复合变换
0f t f a t b f a t b a a 设
信号运算中，一般同时存在尺度变换、平移、翻转、以及幅度变换，变换准则：
尺度变换,t? at;
平移,t? ( t-t0 );
翻转,t? ( -t ).
变换顺序可任意,
X36
① 展缩－平移－翻转
0f t f a t b f a t b a a 设先展缩,f (t)? f (at)
再平移 b/a单位,f(at)?f[a(t＋ b/a)]
后翻转,f[a(t＋ b/a)]?f [a(-t + b/a)]=f(-at+b)
X37
② 平移－翻转－展缩
先平移单位 b,f(t)?f(t+b)
再翻转,f(t+b)?f(-t+b)
后展缩,f(-t+b)?f(-at+b)
0f t f a t b f a t b a a 设
X38
先展缩,f(t)?f(at)
再翻转,f(at)?f(-at)
后平移单位 b/a,f(-at)?f[-a(t-b/a)]
＝ f(-at+b)
③ 展缩－翻转－平移
0f t f a t b f a t b a a 设
X39
（ 1）叠加
若 是两个连续信号，其和定义为：
两信号瞬时值的和
12( ) ( )x t x t、
12( ) ( ) ( )y t x t x t
t
t?si n
t
t?8si n
t
tt 8si nsi n
+
=
2.3.2 叠加和相乘
X40
若 是两个连续信号，它们的积定义为：两信号瞬时值之积
（ 2）乘除
12( ) ( )x t x t、
12( ) ( ) ( )y t x t x t?
t
t?si n
t
t?8si n
t
tt 8si nsi n
*
=
X41
2.3.3 微分和积分
O
t
tf
2
2
O
t
1
2
tf?
1?
2
2
O
t
tf
2
2
O
t
1
t
f d
2
2
t tftf dd微分：
冲激信号
dt f积分：
X42
定义：信号 和 的卷积定义为
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d e ff x x x t d x t x t
2()xt
1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x t d x x t d
x t x t x t x t
性质：
运算：变量代换?翻转?平移?乘积?积分
2.3.4 卷积运算
1()xt
()ft1()xt
2()xt输入脉冲响应函数输出
X43
例 P.16：求两信号的卷积
12
3
2,2,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2
0,0 2
t t
x t x t
t
t o r t
12( ) ( )x t x t?
求：
解：变量代换 t?τ
12
32,2
,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2
0,0 / 2
xx
X44
0.75
4 -2 2 4
τ
-2 44 2
2X1(τ)
τ
变量代换,t?τ;
x2翻转?x2(-τ);
左移 t?x2(-τ－ t),t<0;
t<-2时,x(t)=0;
t=-2时,x(t)=0;
-2<t≤0时,x(t)直线增加 ;
t=0时,x(t)=3 (max);
0<t<2时,x(t)=3 (max);
2<t<4时,x(t)直线减小 ;
t>4时,x(t)=0.
x2(-τ) X2(τ)
t
3
4 -2 2 4
t
x(t)
12
32,2,0 2
( ) ; ( ) 4
0,2 0,0 / 2
xx
X45
计算卷积的关键：
正确划分时间变量 t的取值区间
正确确定积分的上、下限
分段函数图解法具有的较效果好
12
0,2
3
( 2 ),2 0
2
( ) ( ) ( ) 3,0 2
3
( 4 ),2 4
2
0,4
t
tt
x t x t x t t
tt
t
卷积的结果
3
4 -2 2 4 t
x(t)
0
X46
2.4 信号的分解
把复杂信号分解成基本信号或简单信号
直流与交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
正交分量
简谐分量
……
X47
tf
t
f
O
,t当
,脉宽：
① 矩形脉冲序列
，此窄脉冲可表示为：
( ) ( )f u t u t
2.4.1 分解成冲激函数之和强度为f?
,+区间 上存在矩形脉冲 ( ) ( )u t u t
脉高f?
X48
信号可分解成无穷多个冲激函数之和
冲激函数的强度等于信号在冲激点的取值
0
()m (()li u t u tf
）
0
( ) ( )l im ( ) (f t f u t u t
）
( ) ( ) ( ) df t f t
() t df
② 冲激函数序列当 τ ＝－ ∞?∞ 时，得到一系列矩形脉冲
X49
2.4.2 正交分解
目的：
简化信号的描述形式
建立统一的信号分析工具
主要内容：
正交矢量集
正交函数集
信号的正交分解
X50
① 正交矢量集
【 引例 1】
平面矢量可以表示为相互垂直的两个单位矢量和的线性组合
R ai bj
R ai bj
R a i b j
a,b为实数，分别表示矢量在 i,j方向上的投影
称 {i,j}为二维正交矢量集
0
1
1
ij
ii
jj
i,j满足
R
x
y
i
j
0
b
a
X51
【 引例 2】
三维空间的矢量可以表示为相互垂直的三个单位矢量的线性组合
I,j,k满足
a,b,c为实数，分别表示矢量在单位向量方向上的投影
称 {i,j,k}为三维正交矢量集
R a i b j c k
0
0
0
ij
ik
jk
1
1
1
ii
jj
kk
R
k
i
j A
c
a
b
0
① 正交矢量集
X52
称 为 n维正交矢量集
为常数向量，分别表示矢量在单位矢量 V 各方向上的投影
单位矢量 满足
【 推广 】
n维空间中的矢量可以表示为相互垂直的 n个单位矢量的线性组合
12{,,,}nV v v v?
1
n
ii
i
R a v
0,
,ij i
ijvv
k i j
12{,,,}na a a
12{,,,}nV v v v?
① 正交矢量集
X53
矢量空间中任意一个矢量都可以表示成完备正交集的线性组合
推广,信号空间中任意一个信号也可以表示为完备正交函数集的线性组合
正交函数
正交函数集
完备正交函数集
信号的正交变换
② 正交函数集
X54
(1) 正交函数
定义：
在信号空间的区间 内，如果存在非零函数 和,满足,12[,]tt1()ft
2()ft
2
1
12
12
12
0,( ) ( )( ) ( )
,( ) ( )
t
t
f t f tf t f t d t
k f t f t
2
1
12
12
1221
0,( ) ( )1 ( ) ( )
,( ) ( )
t
t
f t f tf t f t d t
k f t f ttt
当能量有限时：
√
当功率有限时：
其中 k为常数，称函数在该区间上正交。
例如 与 在任意对称区间上正交。
1sin( )t? 1cos( )t?
X55
称函数集 F是区间 内的正交函数集 ;
当 ki=1时，函数集 F称为规范化正交函数集。
(2)正交函数集
定义：
在信号空间的区间 内，如果存在 n个非零函数,对于任意的 i,j
12[,]tt
如
满足：,i,j=1,2,…,n
12( ),( ),,( )nF f t f t f t?
2
1
0,( ) ( )
,
t
ijt
i
ijf t f t d t
k i j
12[,]tt
1 { s i n,s i n 2,s i n 3 }F t t t?
2 { s i n,s i n 2,s i n 3,,s i n,}F t t t n t?
X56
除正交集 中的正交函数外，
不存在任何非零函数,使
(3)完备正交函数集
定义,
在信号空间的区间 内，
12[,]tt
则称正交集 F是区间 上的完备正交函数集成立,i=1,2,…,n
如前面讨论的 F1和 F2都是正交函数集，但都是 不完备的 ；
完备正交函数集中的正交函数一般有无数个 。
12( ),( ),,( )nF f t f t f t?
2
1
( ) ( ) 0t it f t t d t
()t?
12[,]tt
X57
(3)完备正交函数集
举例：
00
00
00
{ 1,s i n ( ),c o s ( ),
s i n ( 2 ),c o s ( 2 ),,
s i n ( ),c o s ( ),}
t
F t t
tt
n t n t
0 0 0
0
23{ 1,,,,,
,}
j t j t j t
c
j n t
F e e e
e
X58
③ 信号的正交分解
设信号空间内，存在完备的正交函数集 F
ci为待定系数
xe(t) 是引入的误差项，两种情况下会产生：
正交函数集 F不完备时；
正交函数集 F是完备的，但只使用有限个正交函数。
则任意信号 X(t)可以用各正交函数的线性组合表示为：
12( ),( ),,( ),nF f t f t f t?
1
( ) ( ) ( )
n
i i e
i
x t c f t x t
理论值
∞
X59
(1) 正交分解系数的选用原则
工程应用上，一个信号分解成正交函数的线性组合时，必然会引入误差；
误差越小，线性组合越准确；
在正交函数项数 n一定时，减小信号正交分解误差的关键是 {ci}系数的选取。
系数的选取原则是：
系数 {ci}应使误差 xe(t)的方差 Q为最小，即
2
1
2
1 11
( ) ( )
{[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] } m in
t
ee
t
nnt
j j j j
t
jj
Q x t x t dt
x t c f t x t c f t dt
X60
22
11 11
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0
nntt
j j i j j i
jj
x t c f t f t d t x t c f t f t d t
i≠j时为 0
22
11
22
11
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ntt
i j j i
tt
j
tt
i i i i i
x t f t dt c f t f t dt
c f t f t dt c f t dt
(2) 正交分解系数的确定
令,得
0,1,2,,
i
Q in
c
22
11 11
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0
nntt
j j i j j i
jj
x t c f t f t d t x t c f t f t d t
2
1 1
[ ( ) ( )] ( ) 0
nt
j j it
j
x t c f t f t d t
2
1
2
1 11
( ) ( )
{[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] } m in
t
ee
t
nnt
j j j j
t
jj
Q x t x t dt
x t c f t x t c f t dt
X61
其中,为正交函数的能量；
(2) 正交分解系数的确定
故,21
2
1
2
( ) ( )
()
t
it
i
i t
ii
t
x t f t d t p
c
kf t d t
1,2,,in?
2
1
2()t
iitk f t d t
2
1
( ) ( )tiitp x t f t d t 为信号 x(t)与正交函数的内积
规范正交函数集时,ki=1? ci = pi
选取不同的完备正交集时，信号分解的形式也不同，但信号的信息量不变。
X62
(3) 帕斯瓦尔 (Parseral)方程当 n?∞? xe(t)=0;
由正交函数集的性质得 1
( ) ( )ii
i
x t c f t
22 2 2
11
( ) ( )i i i i
ii
x t d t c f t c k
此式称为帕斯瓦尔方程
表明信号的能量等于其在完备正交集中各分量能量之和；
不完备正交集时，信号能量小于各分量能量之和 。
X63
本章小结
信号的描述方法及其特点
典型信号的性质
正弦信号、指数信号
单位斜坡、单位阶跃、单位冲激、冲激偶、矩形脉冲
时域信号的基本运算
尺度变换、翻转、平移、复合变换
叠加与乘积、微分与积分、卷积运算
信号的正交分解、帕斯瓦尔方程
X64
本章练习与作业
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练习作业
