一、对应与变换
2,对应的乘积 (复合 )
第 0章 几何变换概论
1,集合之间的对应 (关系、映射 )
定义 0.6,设 f 为集合 A到 B的一个对应,g 为集合 B到 C的一个对应,则由此可确定集合 A到 C的一个对应 h,称 h 为 f 与 g的 乘积,记作
g?f,即
:.h g f A C
定理 0.2,(1),两个双射的乘积仍然是一个双射,进而,任意有限个双射的乘积仍然是一个双射,
(2),对应的乘法满足结合律,即 h?g?f =h?(g?f )=(h?g)?f.
注：对应的乘法一般不满足交换律,即一般地,g?f≠f?g.
一、对应与变换第 0章 几何变换概论
3,变换定义 0.7,集合 A到自身的对应 f 称为 变换,若 f 是双射,则称 f 为集合 A上 的一个 一一变换,
注,(1),变换是特殊的对应,
(2),设在 A上定义了一个变换 f,则 A的任一个元素 a都具有双重身份,即 a既是 A中某个元素在 f 下的像,也是 A中某个元素在 f 下的原像,因为 f -1也是 A上的一个变换,
(3),集合 A上的变换 f 与自身的乘积 f?f也记作 f 2.
定义 0.8,若集合 A上的一个变换将 A的每一个元素变为其自身,
则称之为集合 A上 的一个 恒同变换,恒同变换记作 i.
一、对应与变换
2,对应的乘积 (复合 )
第 0章 几何变换概论
3,变换定理 0.3,设 f 为集合 A上的一个双射,则
.11 iffff
定义 0.9,设 f 为集合 A上的一个双射,若存在 a∈ A,满足 f(a)=a,
则称 a为 f 的一个 不变元素,设 P为集合 A中的元素或子集所带有的某种性质 (或数量 ),若变换 f 能够保持 P不变,则称 P为变换 f 的一个不变性质 (或 数量 ),f 的不变性质和数量统称为 f 的 不变性,
归纳,高等几何将用几何变换的观点讨论问题,主要是研究几何空间中的图形在某种双射 (一一变换 )下的不变性,类似于代数中对 同构 的讨论,
一、对应与变换第 0章 几何变换概论二、正交变换解几中的坐标变换平面上的点、图形均不改变其位置,
但是随着坐标系的变动而取得不同的坐标或得到不同的描述,
改变观点平面上的点变换在平面上点的集合上给定某种双射
(一一变换 )f,研究点以及由点构成的图形与他们在 f 下的像之间的关系,
坐标系运动而点和图形不动点和图形运动而坐标系不动第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换定义 0.10,保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个 正交变换,
定理 0.4 (1),两个正交变换的积是一个正交变换,从而任意有限个正交变换的积是一个正交变换,
(2),平面上的恒同变换是一个正交变换,
证明 由定义 0.10,显然,
注,设 φ为平面上的一个正交变换,A,B为平面上两个点,且
φ(A)=A',φ(B)=B',则 |AB|=|A'B'|.
第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换定理 0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点 ; 不共线三点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变,
证明 设 A,B,C为平面上三点,φ为正交变换,且上述三点在 φ下的像依次为 A',B',C'.
若 A,B,C共线且 B在 A,C之间,则有 |AB|+|BC|=|AC|,由正交变换的定义有
.|''||''||''||||||| CACBBAACBCAB
即 A',B',C'仍然为共线三点且 B'在 A',C'之间,
若 A,B,C不共线,则必有
|,''||''||''||||||| CACBBAACBCAB
即 A',B',C'仍然为不共线三点,
第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换定理 0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点 ; 不共线三点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变,
证明 设 A,B,C为平面上三点,φ为正交变换,且上述三点在 φ下的像依次为 A',B',C'.
设 A,C分别在 ∠ B两边上且异于 B,则 A',B'分别在 ∠ B'的两边上,
且 |AB|=|A'B'|,|BC|=|B'C'|,|AC|=|A'C'|,即 Δ ABC≌ ΔA'B'C',于是,∠ B
=∠ B',即正交变换保持两直线的夹角不变,
注,(1),正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形,进而,正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形,使得任何平面图形变为可以与其重合的图形,
(2),正交变换使得平行直线变为平行直线,矩形变为与之全等的矩形,
第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换定理 0.6 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系,
证明 由定义和定理 0.5,显然正交变换 φ将平面上的一个直角坐标系 O-exey变为另一个直角坐标系 O'-e'xe'y.但是有下述可能右手系 → 右手系 右手系 → 左手系第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换定理 0.7 对于平面上的一个取定的直角坐标系,点变换 φ是正交变换?φ具有表达式证明 可据定理 0.6利用向量法证明,略,
1 1 1 2 1 3 1 31 1 1 2
2 1 2 2 2 3 2 32 1 2 2
',(0,1 )
' '
x a x a y a aaax ' x
y a x a y a aaayy
或其中 (x,y)与 (x',y')为 φ的任一对对应点 P,P'的坐标,矩阵
1 1 1 2
2 1 2 2
,' ',.aaA A A A A E Aaa
称 为 的 矩 阵 满 足 即 为 二 阶 正 交 矩 阵注 1：对于正交变换 φ的矩阵 A,显然有 A-1=A',且 |A|=1或 |A|=-1.
当 |A|=1时,φ将右手系变为右手系,称 φ为 第一类正交变换 ；
当 |A|=-1时,φ将右手系变为左手系,称 φ为 第二类正交变换,
第 0章 几何变换概论二、正交变换
1,正交变换注 2：正交变换 (0.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变换式完全相同,
从相对运动的观点看,坐标变换也是正交变换第 0章 几何变换概论二、正交变换
(1),平移变换定义 0.11,将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个 平移变换,简称 平移,
定理 0.8 设在平面上取定了一个直角坐标系 O-exey,并给定一个向量 c(c1,c2),则由此可惟一确定平面上的一个平移 φ,其直角坐标表示为
11
22
' ' 1 0 (0,2 )
' ' 0 1
x x c cxx
y y c cyy
或其中 (x,y)与 (x',y')为平面上任一点 P与其在 φ下的像点 P'的坐标,
注,显然,平移是正交变换,
2,正交变换实例第 0章 几何变换概论二、正交变换
(1),平移变换定义 0.12,将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个 旋转变换,简称 旋转,
(2),旋转变换定理 0.9,设旋转 φ使得平面上的每个点都绕着坐标原点旋转角度 θ,则 φ的直角坐标表示为
' c o s s i n ' c o s s i n,( 0,3 )
' s i n c o s ' s i n c o s
x x y x x
y x y y y
或证明 设 |OP|=|OP'|=r,则
)s i n ('),co s (';s i n,co s ryrxryrx
c o ss i ns i nc o sc o ss i n)s i n ('
s i nc o ss i ns i nc o sc o s)c o s ('
yxrrry
yxrrrx
利用三角恒等式展开,可得第 0章 几何变换概论二、正交变换
(1),平移变换 (2),旋转变换注,显然,旋转变换是正交变换,
定理 0.10 平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换,进而,平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换,第一类正交变换称为平面上的 刚体运动,
(3),轴反射变换如右图,怎样的变换可以使得
ABC 重合于 A'B'C'?
仅平移或旋转是不可能的,
第 0章 几何变换概论二、正交变换
(1),平移变换 (2),旋转变换 (3),轴反射变换定义 0.13,设 l为平面上取定的一条直线,将平面上的每个点都变为关于 l的对称点的变换称为平面上的一个 轴反射变换,简称 轴反射,直线 l称为反射轴,
特别地,关于 x轴的轴反射为
' ' 1 0,( 0,4 )
' ' 0 1
x x x x
y y y y
或关于 y轴的轴反射为
' ' 1 0,( 0,5 )
' ' 0 1
x x x x
y y y y
或注 1：显然,轴反射是一个第二类正交变换,
注 2：应用轴反射 (0.4)于上述平面,即可将三角形 ABC变为三角形 A'B'C'.
第 0章 几何变换概论二、正交变换
(1),平移变换 (2),旋转变换 (3),轴反射变换定理 0.11 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一个第二类正交变换,
定理 0.12 正交变换的逆变换仍然是一个正交变换,
定理 0.13 设 M表示平面上全体正交变换的集合,综上,有
.,,).i( MM
.).ii( Mi?恒同变换
.,,).i i i( 111 MiMM使得上述性质使得 M对于变换的乘法构成一个 群,叫做 正交变换群,
注,以几何变换的观点看待欧氏几何,欧氏几何就是研究在正交变换群 M的作用下保持不变的几何量和几何性质,即所有与距离有关的几何量和几何性质,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
1,透视仿射变换定义 0.14,对于空间中两平面
π,π',给定一个与两平面不平行的投射方向,则确定了 π到 π'的一个 透视仿射对应 (平行投影 ).
π上任一点 P在 π'上的像即为过
P且平行于投射方向的直线与 π'的交点 P'.
注 1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射,
透视仿射对应使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,
平行直线变为平行直线；
透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变,
注 2：两平面交线称为透视仿射的 轴,若 π//π'则没有轴,
今 天 作 业温习课堂内容,阅读思考题
The class is over,Goodbye!
课件作者：南京师大数科院周兴和第 0章 几何变换概论
