上课？！
可是我还没有想好今天怎么过呢？
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比
1、定义交比 — 最根本的射影不变量定义 2.1,设 P1,P2,P3,P4为点列 l(P)中四点,且 P1 ≠P2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+ λ2b,则记 (P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
PPPP (2.1)
称 P1,P2为 基点对,P3,P4为 分点对,
定理 2.1,设点列 l(P)中四点 Pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
PPPP
(2.2)
2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示设 a,b为线束 S(p)中取定的相异二直线,则对于任意的 p∈ S(p),
其坐标可表示为
.Rba称 a,b为 基线,λ为 参数,
注 1 这里 a,b,p均表示直线的齐次坐标,
λ=0? a; λ=1? a+b; λ=∞? b
注 2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比,
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示定义 2.3 设 p1,p2,p3,p4为线束 S(p)中四直线，且 p1≠p2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,则记 (p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
pppp (2.5)
称 p1,p2为 基线偶,p3,p4为 分线偶,
定理 2.5 设线束 S(p)中四直线 pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),
则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
pppp (2.6)
2、定义注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义
3、交比为射影不变量定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
证明 设直线 p1,p2,p3,p4的齐次坐标分别为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,
直线 s的齐次坐标为 c,由 Thm.1.6'可以求出点 Pi的坐标分别为
,,,,,,
21
21
13
13
32
32
2
21
21
13
13
32
32
1
cc
bb
cc
bb
cc
bbP
cc
aa
cc
aa
cc
aaP
而 ).(),(
22142113 PPPPPP
于是
).,(),( 4321
2
1
4321 PPPPpppp
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量推论 2.5 设 Pi为点列 l(P) 中四点,Pi与不在 l上的定点 S连线依次为 pi (i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 ppppPPPP?
证明 与定理 2.6完全对偶,
定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),
则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
由定理 2.6和推论 2.5,立即可得下述重要结论定理 2.7 交比为射影不变量,
注 由定理 2.7,关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式 (或者 截 与 连 的方式 )相互移植、相互转化,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
(1),斜率表示如图,在以 S(x0,y0)为束心的线束中，取定二直线 x=x0,y=y0,则直线的 (负 )斜率 k可以作为参数来表示线束,
由定理 2.5，可得定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
注 容易看出，斜率参数,Rk?
§ 2.1 交比
( t a n ),k
(1),斜率表示设直线 pi与 x轴正向的夹角为 αi (i=1,2,3,4),则将 ki=tanαi代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得定理 2.9 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),有
.)s in ()s in ( )s in ()s in (),(
4132
4231
4321 pppp
pppppppp?
其中 (pi pj)表示由 pi到 pj的夹角,
(2),三角函数表示定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
推论 2.6 设 pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线,则 p3,p4为 p1,p2
夹角的内外平分线?(p1p2,p3p4)=–1,且 p3⊥ p4,
证明略,本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
5、直线交比的计算
(1),由已知条件求交比,
方法一,与点的交比计算完全对偶,
方法二,以一条特殊直线截已知线束,转化为点的交比计算,技巧是,取合适直线,使截点坐标简单,易于计算,
(2),由已知交比和其中三直线坐标,求第四条直线,
与点列的交比对偶,有定理 2.10和推论 2.7(见教材 P.52-53),
上述内容不再举例,请自学,
§ 2.1 交比有趣的 P.52,例 2.4
例 6 (P.54,Ex,7)证明：两直线 a1x2+2h1xy+b1y2=0调和分离两直线 a2x2+2h2xy+b2y2=0?a1b2+a2b1-2h1h2.
§ 2.1 交比证,将已知直线方程分别写为
2
1 1 120
yyb h a
xx
分解
11
22
:0
:0
l y x
l y x
韦达定理
11
1 2 1 2
2,( * )ah
bb
2
2 2 220
yyb h a
xx
分解
33
44
:0
:0
l y x
l y x
韦达定理
22
3 4 3 4
2,( * * )ah
bb
§ 2.1 交比
1 3 2 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 1 4
( ) ( )(,) 1 1 2 ( ) ( ) ( )
( ) ( )l l l l
(*),(**)代入化简
1 2 2 1 1 22 0,a b a b h h
解,设内外角平分线方程为
11
22
:0
:0
l y x
l y x
221 2 1 2( ) 0x x y y
1 2 1 2 1ll
2212( ) 0x x y y
利用上题可得例 7,(P.54,Ex,8)求两直线 ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程,
,21 h ab
所求方程为
.0)( 22 hyxyabhx
例 8 (P.54,Ex.9)过圆的弦 AB的中点 O任作另外两弦 CE,DF,
连结 EF,CD交 AB于 G,H,求证,GO=OH.
证明,因为 A,F,C,B为圆上四点,根据教材 P.52例 2.4,有
).,(),( CBAFDCBAFE?
以直线 AB截这两个线束,得
).,(),( HBAOOBAG?
利用交比的初等几何表示 (2.3)式,有
AB
OB
OH
AH
AB
GB
GO
AO,
OH
AH
GO
GB
所以
OH
OHAO
GO
OBGO
OH
AO
GO
OB,OHGO
注：同理可证,G'O=OH'.
§ 2.1 交比今日作业 P.53,5(2); 6预习 § 2.2,§ 2.3
课件作者：南师大数科院周兴和
The Class is over,Goodbye!
§ 2.1 交比
