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§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义一个一维基本形到自身的射影对应称为 一维射影变换,
即若 φ,[π] [π'],且 [π]=[π'],则 φ称为一维基本形 [π]上的一个射影变换,
注,为方便理解,常把一个一维基本型看作两个,重叠”
的一维基本形,
据 Steiner作图法,一个一维射影变换可由 3次透视对应得到,
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义
2、代数表示
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
(1),坐标表示其中对应点的坐标是关于一维基本形 [π]上的同一坐标系取得的,
(2),参数表示定义,形如
)0(0'' bcaddcxbxa xx
的方程称为关于 x,x'的 双线性方程,
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
证,=>”,见教材,略,
“<=”,设一维基本形 (P)上的一个变换 φ使得任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程 (2.13),显然 φ是一个双射,只要证 φ保交比,
设 λi,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数,则
.))(( ))((''
31
31
3
3
1
1
31 caca
bcad
ca
db
ca
db
同法可以求出 λ2'–λ4',λ2'–λ3',λ1'–λ4',得到
.))(( ))(()'')(''( )'')(''(
4132
4231
4132
4231
§ 2.4 一维射影变换注 1,(2.13)对于线束的射影变换同样适用,
注 2,(2.13)对于一般射影对应适用,只要将 λ,λ'作为对应元素对于各自基本形中取定基元素的参数,因此,(2.13)可以作为 一维射影对应的参数定义,
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
一、一维射影变换
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类设有射影变换
)13.2()0(,0'', bcaddcba
若存在,
0 R
使,0)(
020 dcba 则称 A+λ0B为 φ的一个 不变元素,
定理 2.17 在实复射影平面上,任一个一维射影变换至少有一个不变元素,非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素,
证明,在 (2.13)中,令 λ=λ',则有一维射影变换的 不变元素方程
)14.2()0(,0)(2 bcaddcba
立刻可得结论,据此可得一维射影变换的分类：
0
0 ( 2.14 ) ( 2.13 )
0
相异实根 相异实不变元有两个相同实根 有两个相同实不变元称为共轭虚根 共轭虚双曲型抛不变元物型椭圆型
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,称为双曲、椭圆型射影变换的 特征不变量,
证明,设 X,Y为两个不变元素,P≠P'为任一对相异的对应元素,设
X,Y,P,P'的坐标依次为 x,y,x+y,x+μy,则这四点的参数依次为 0,∞,
1,μ,于是
.00''00 ddcba
.00'11'1 adcba
.01 cbcb
从而,
.1)',( 常数 bcPPXY?
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
(2),抛物型射影变换定理 2.19 抛物型射影变换的不变元参数 α与任一对相异的对应元素的参数 λ,λ'满足
).('11 常数k
证明,略 (见教材 ).
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,称为双曲、椭圆型射影变换的 特征不变量,
§ 2.4 一维射影变换例 1,设 A1A2A3为坐标三点形,O(1,1,1),A2O× A1A3=A,P是 A2A3
上的动点,PO× A1A2=Q,QA× A2A3=P',若 P,P'的齐次坐标分别为
(0,λ,1),(0,λ',1),求 (P)到 (P')的射影变换的方程和不变元素,
解,显然,P=A3+λA2,P'=A3+λ'A2,所以,只要求出 λ,λ'的关系式,
)1,1,1(
)0,1,0(2
O
A? 0312 xxOA,? ).1,0,1(A
)1,1,1(),1,,0( OP,0)1(,321 xxxPO
)1,0,1(),1,',0(' AP,0'':' 321 xxxAP
Q
AA
AP
PO
共点于
21
'? 0
100
'1'
11
,01'变换式,?
0'11'1 '令 01
2不变元方程：
,,2A不变元为
§ 2.4 一维射影变换例 2,设 P,P',Q,Q'为点列 l(P)上射影变换的两对对应点,E是不变点,V,V'是过 E的直线 l'上任意两点,PV× P'V'=P'',QV× Q'V'=Q'',
求证,P''Q''× l=F为另一个不变点,
证明,设 P''Q''× l'=F',则有
),',( FEPPl
(P'')
)',',(' FEVVl
)',',(' FEVVl
(Q'')
),',( FEQQl从而,
),',( FEPPl ),',( FEQQl
于是,(PP',EF)=(QQ',EF),从而 E,F为两个不变点,
另法,由作图,有
),,,( FEQP
(V)
),','',''( FFQP
(V')
),,','( FEQP
所以,E,F为两个不变点,
(如图 )
2003级期中试题,已知点列上非抛物型射影变换 φ的两对相异的对应点及其一个不变点,求作 φ的另一个不变点,
§ 2.4 一维射影变换例 3,2003级期中试题,已知 P,P'为点列 l(P)上非抛物型射影变换 φ的两对相异的对应点,E为 φ一个不变点,求作 φ的另一个不变点 F.
解,作法
(1),过 E任作异于 l的直线 m,
(2),在 m上任取异于 E
的相异二点 V,V',
(3),连结 PV,P'V'交于点 P'',
(4),连结 QV,Q'V'交于点 Q'',
(5),连结 P''Q''交 l于点于 F为所求,
证明,见上例,
§ 2.4 一维射影变换例 4,设点列 l(P)上射影变换为抛物型的,E是不变点,P,P'为一对相异的对应点,当把 P'看成第一点列的点时,其对应点为 R,求证：
(EP',PR)=–1.
证明,利用上例作图,因为 E是唯一不变点,所以必有 P''Q''× l=E.
考察完全四点形 VV'P''Q'',立即可得
.1),'(PREP
法二,代数法,设 E,P',P,R的参数依次为 λ1,
λ2,λ3,λ4,由抛物型射影变换的性质,有
:'PP?,11
1213
k
:' RP?,11
1412
k 由此二式，得
.112
141312
变形可得 (EP',PR)=–1.
思考,仿照上例，设计一个作图题,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义课件作者：南京师大数科院周兴和考察函数,)(,,xxfRRf 有下列性质
(i),f 为一个双射；
(ii).,)()())(()(,,22 xxxfxffxfRxIfff 即?
即,1 ff
将实数轴添加无穷远点,并令在 f 下,无穷远点与自己对应,则
f 是点列上的射影变换,具有如下性质：
,x R x视
l(P),)(' xxfx
l'(P'),)('
1 xxfx
无论将 x作为第一或第二基本形的元素，
其对应元素相同,
对合的定义
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义定义 2.11,两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意一个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的元素,其对应元素相同,则称这种 非恒同 的射影变换为一个 对合,
定义 2.11',设 f 为一维基本形 [π]上的一个 非恒同 的射影变换,若对任意的 x∈ [π],都有 f(x)=f–1(x),则 f 称为 [π]上的一个 对合,
注 (1),对合非恒同,
(2),对合是特殊的射影变换,
今日作业 P.72,1,2(3),4
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§ 2.5 一维基本形的对合
