§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理两个古老而美丽的定理,内容包括两个定理及其逆定理,以及它们的各种极限、退化形式,有着重要的应用意义！
核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外切简单六线形的对顶的规律,
简单六点形
654321 AAAAAA
简记为,123456
三双对边 12,45； 23,56； 34,61(间隔 (n–2)/2条边 )
简单六线形
654321 aaaaaa
简记为,123456
三双对顶 1× 2,4× 5； 2× 3,5× 6； 3× 4,6× 1(间隔 (n–2)/2
个顶点 )
牢记对边、对顶的规律,对于掌握两个定理十分重要！
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理一,Pascal定理与 Brianchon定理定理 4.7(Pascal) 定理 4.7'(Brianchon)
定理 4.8(Pascal逆定理 ) 定理 4.8'(Brianchon逆定理 )
注,利用 Pascal逆定理,引出很多作图题,比如：教材,例 4.6,
注,Pascal定理的证明见教材,当?退化为两相交直线时,Pascal定理即为 Pappus定理 (§ 2.3,例 2.10),比较这两个定理的证明过程,异曲同工！
Pascal线
Brianchon点
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理一,Pascal定理与 Brianchon定理例 1,(P.112,4.6)已知平面上五个点 A,B,C,D,E(其中无三点共线 ),求作由此五点所确定的二阶曲线?上任一点 F.
解,作法,(1) 连结 AD,BE交于 L.
(2) 过 L任作不经过已知点的直线 p.
(3) 连结 CD交 p于点 M.
(4) 连结 CE交 p于点 N.
(5) 连结 AN,BM交于点 F为所求,
证明,考察简单六点形 ADCEBF,因为其三双对边的交点 L,M,
N共线于 p,由 Pascal定理的逆定理知,该六点形内接于一条二次曲线?,因 A,B,C,D,E中无三点共线,故?非退化,变动直线 p,可得到
上其他点,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式极限形式：指简单六点形有某些相邻顶点重合,此时,连结重合的相邻顶点的边成为切线,将切线作为边,套用 Pascal定理即可,
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形定理 4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上,
注,图中画线的次序实际上是给出了根据定理 4.9,已知非退化二阶曲线上相异五点,求作其中一点处的切线的作法,见教材,例 4.7.
二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
(1),将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理 4.10
请对照教材,图 4.11标字母,
(2),将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点 定理 4.11
请对照教材,图 4.12标字母,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
3,三对相邻顶点重合 六点形 三点形每个顶点皆为两个重合点 定理 4.12
三、应用
1,作图题 作二阶曲线上的点作切线
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理三、应用 1,作图题
2,证明题 证明共线点,共点线问题关键,如何找出合用的内接六点形？技巧类似于 Desargues定理,请自我体会、总结,
例 2,如图，已知非退化二阶曲线?上相异五点 A,B,C,D,E以及过点 C的直线 c，求作?与直线 c的另一个交点 F.
解,作法 (1),连结 BC,ED交于 M;
(2),连结 AD与 c交于 N.
(3),连结 MN,AB交于 L.
(4),连结 EL交 c于 F为所求,
证明,由简单六点形 ABCFED,利用 Pascal定理的逆定理,(请自己补全 )
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理例 3,如图,设 ABCDEF是一条二次曲线的内接六点形,且 AB× CD=P,CD× EF=Q,
DE × AF=L,AF× BC=M,BC× DE=N,
EF× AB=R.求证,PL,MQ,RN共点,
证明,考察简单六点形 ABCDEF,利用
Pascal定理,再利用 Desargues定理即得结论,
例 4,若两个三点形 ABC和 A'B'C'的对应顶点连线交于一点 S(如图 ),且其中一个三点形的边与另一个三点形的非对应边交于
D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条二次曲线上,
证明,应用 Desargues定理于 ABC和 A'B'C',
再考察简单六点形 DEFGHI,利用 Pascal定理的逆定理,即得结论,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理今日作业 P.116,4,5
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