§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件四、对合不变元素
§ 2.5 一维基本形的对合五,Desargues对合定理定理 2.25 (Desargues对合定理 )不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点,
如图,P,P'; Q,Q'; R,R'属于同一对合,
注,由于对合的特性,图中在同一组对边上带,',和不带,',的字母可以任意标注,证明,利用几何条件,只要证
(PP',QR) = (P'P,Q'R')
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
(P,P',Q,R) (B) (X,P',D,C) (A) (P,P',R',Q')
(P,P',Q,R) (P,P',R',Q')
(PP',QR) = (PP',R'Q') = (P'P,Q'R')
l CD l
§ 2.5 一维基本形的对合五,Desargues对合定理定理 2.25 (Desargues对合定理 )不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点,
如图,P,P'; Q,Q'; R,R'属于同一对合,
注,由于对合的特性,图中在同一组对边上带,',和不带,',的字母可以任意标注,
注,请写出本定理的对偶命题,
§ 2.5 一维基本形的对合五,Desargues对合定理例 4 如图,已知 P,P'; Q,Q'为点列 l(P)上对合的两对相异的对应点,R为 l(P)上的另外一点,求作 R在此对合下的对应点 R'.
解,作图步骤思考过程 (共需作 6条直线,设计次序确定 R').
注,已知点列 l(P)上对合的两个不变点 X,Y,求作任一点 R的对应点 R'.
即求作第四调和元素,
注,若未指定 R,则当 A在平面上变动时,可得到 l(P)上以 X,Y为不变元素的任意多的对应点偶,
§ 2.5 一维基本形的对合例 5 (P.79,Ex,5)设 A,B,C,D是共线点且 (AB,DP)=(AB,PC),求证,P有两种可能位置且与 A,B调和共轭,
证明,因为
),(),( PCABDPAB? (,) (,)A B D P B A C P?
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
所以,P为 A→ B; C→ D所确定的对合中的不变点,设此对合的另一个不变点为 P',则 P'也满足条件 (AB,DP')=(AB,P'C),
于是,P有两种可能位置 P,P'为 A→ B; C→ D所确定的对合中的不变点,满足 (AB,PP')=－ 1,
§ 2.5 一维基本形的对合例 5 (P.79,Ex,5)设 A,B,C,D是共线点且 (AB,DP)=(AB,PC),求证,P有两种可能位置且与 A,B调和共轭,
证明,(法二 )设 A,B,C,D的齐次坐标依次为
1,,,a b a b a bP的齐次坐标为 a+λb.
因为
(,) (,)A B D P A B P C?
所以
21
111

所以 P有两种可能位置为
11:,',,P a b P a b而且
1
1
(,') 1.AB PP?

§ 2.5 一维基本形的对合例 5 (P.79,Ex,5)设 A,B,C,D是共线点且 (AB,DP)=(AB,PC),求证,P有两种可能位置且与 A,B调和共轭,
反思 1,题设应改为：设 A,B,C,D为 相异的 共线点 ……
反思 2,改题：
设 A,B,C,D为 相异的 共线点,且 (AB,DP)=(AB,PC),求证,P为
A→ B; C→ D所确定的对合中的不变点,(P.79,Ex,6)
反思 3,改题：
设 A,B,C,D为 相异的 共线点,且 (AB,DP)=(AB,PC),求证,P为
A→ B; C→ D所确定的对合中的不变点,试以 A,B为基元素,求出这个对合的参数方程,并求另一个不变点 P'的参数,
§ 2.5 一维基本形的对合例 6,求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
证明,取束心为原点建立笛氏坐标系,令 λ,λ'为对应直线的斜率,则对合方程为
)1()0(0)'(' 2 baddba
相互垂直的直线斜率应满足 λλ'= –1,即 λ'= –1/λ,代入 (1),得
)2()0(0)( 22 badbdab
显然,(a–d)2+4b2≧ 0,故 (2)至少有一个实根,即对合 (1)至少有一对对应直线相互垂直,
讨论,如果对合 (1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为
λ1,–1/λ1,λ2,–1/λ2,则容易求出由此决定的对合方程为 λλ' = –1,从而此时任一对对应直线都相互垂直,
问题,此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么？
§ 2.5 一维基本形的对合例 6,求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
讨论,如果对合 (1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为
λ1,–1/λ1,λ2,–1/λ2,则容易求出由此决定的对合方程为 λλ' = –1,从而此时任一对对应直线都相互垂直,
问题,此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么？
回答,因为对合方程为
1' 令 λ= λ' 得 2 1 i,
即两条不变直线 (与自身垂直的直线 )斜率分别为 i,-i,方程为
.ixy
以 l∞截上述线束,得到 l∞上的一个以 I(1,i,0),J(1,-i,0)为不变点的对合,称为通常平面上的 绝对对合,称 I,J两点为 圆环点,可以证明,欧氏平面上任何的圆均经过两个圆环点,
过任何通常点,以 i,-i为斜率的直线称为 迷向直线,
P.72,Ex,8,
),,,(CBAl
(O)
( ',',',)l A B C
1 1 1 1(,,,)l A B C
以下用 Steiner作图法作 l
上的点 D在 l'上的对应点 D1.
A,B,C,D
A1,B1,C1,D1
P0,P1,P2,P
P'0,P'1,P'2,P'
),,,(CBAl 1 1 1 1(,,,)l A B C
作上述对照,完全照抄定理 2.12的作图过程,
今日作业复习,本周四集体答疑
(29日 8:00-10:00期中考试
30日上课,学习 § 2.6)
See you this evening!
§ 2.5 一维基本形的对合