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第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换保持 l∞,x3=0不变的射影变换叫做 射影仿射变换,形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
将 (3.2)式化为非齐次,去掉无穷远直线,得 仿射变换
)3.3(0||''
22
11
222
111
ba
baA
cybxay
cybxax
作用于一般仿射平面上,
若 (3.3)中矩阵 A为正交阵,则为 正交变换,其齐次坐标表达式称为 射影正交变换,
二、群与变换群第三章 变换群与几何学三、平面上的几个变换群
K={平面上全体射影变换 }
KA={平面上全体射影仿射变换 }
KM={平面上全体射影正交变换 }
A={平面上全体仿射变换 }
M={平面上全体正交变换 }
射影平面仿射平面射影变换群 K
射影仿射变换群 KA
射影正交变换群 KM
仿射变换群 A
正交变换群 M
上述 5个变换群之间显然有下列关系：
KMKAK
MA?
在射影平面 P上在仿射平面 PA上第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点定义 3.6 设 S为一个非空集合,G为 S上的一个变换群,称 S为 空间,S的元素称为 点,S的子集称为 图形,G称为空间 S的 主变换群,
研究空间 S中图形所决定的在 G的每一个元素的作用下保持不变的性质 (不变性 )和数量 (不变量 )的科学称为一门 几何学 (S,G).
S
G S的子集 (图形 )在 G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的 G性质 (G给 S赋予空间结构 )
注,显然,在 S上给定不同的变换群 G,则得到不同的几何学,
几何学 (S,G)
第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点设 Σ≠? 为 S的子集,H为 G的子群,且对任意的 g∈ H,都有
g(Σ)=Σ,又 HΣ为 Σ上的一个变换群,且 HΣ≌ H,则称 (Σ,HΣ)为 (S,G)
的一个以 (S,H)为 伴随绝对子几何学 的 相对子几何学,并称 B=S\Σ
为的 绝对形,
定义 3.7 如果 (S,G)为一个几何学,H为 G的子群,则称几何学
(S,H)为几何学 (S,G)的一个 绝对子几何学,简称 子几何学,
H
G S 几何学 (S,G)
子几何学 (S,H)
H
G 几何学 (S,G)
子几何学 (S,H)
HΣ
S
Σ 相对子几何学 (Σ,H
Σ )
例如,\,;,( \ ) \,P A P l P A K A K K A P l P l
第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点射影几何
),( KP
射影仿射几何
),( KAP
射影欧氏几何
),( KMP
仿射几何 欧氏几何
),( APA ),( MPA
绝对子几何关系相对子几何关系伴随关系绝对形,l∞=P\PA.
KMKAK
MA?
变换群关系第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
1、射影几何学空间 射影平面 P
主变换群 射影变换群 K
研究内容 图形在射影变换下的不变性质和数量同素性,关联性 交比其余所有射影不变性在射影平面上做演绎推理、对偶变换基本射影不变性第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 射影仿射平面 P
主变换群 射影仿射变换群 KA
研究内容 图形在射影仿射变换下的不变性质和数量注,通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学,
射影仿射几何学空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学可用对偶原则不可用对偶原则第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学绝对形 无穷远直线仿射几何 ——射影几何 的以射影仿射几何为伴随子几何的相对子几何学,仿射几何 ——首先包括射影几何的所有研究内容,
定理 3.10 仿射变换保持平行性不变,
注,平行性是最基本的仿射不变性,
第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学定义 3.8 设 P1,P2为通常直线上的两个相异的点,P为该直线上任一通常点,定义注,单比是最基本的仿射不变量,
)6.3()(
2
1
21 PP
PPPPP?
为 P1,P2,P的 简单比,或称 单比,称 P1,P2为 基点,P为 分点,
由 (P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可见定理 3.11 单比是仿射不变量,
仿射不变性平行性单比平行线段的比,两三角形面积之比,
线段的中点,三角形的重心,梯形,
平行四边形,……
第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
3、欧氏几何学欧氏几何 ——仿射几何的子几何,欧氏几何 ——首先包括仿射几何的所有研究内容,
定理 3.12 正交变换保持两点间的距离不变,
注,距离是最基本的正交不变性,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,
结论,子几何学的研究内容比原几何学丰富,
4、判定一个几何性质 (量 )是某种几何学的研究对象检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中经过演绎推理得到 (即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有关 ).
第四章 二次曲线理论本章是平面射影几何的精华,也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义
Pascal定理
Brianchon定理配极变换射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用,
仿射理论仿射分类二次曲线上的射影对应与对合一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.1 坐标满足
3
1,
)1.4()(0
ji
jiijjiij aaxxaS
的所有点 (x1,x2,x3)的集合称为一条 二阶曲线,其中 (aij)为三阶实对称阵,秩 (aij)≧ 1.
定义 4.1' 坐标满足
3
1,
)'1.4()(0
ji
jiijjiij bbuubT
的所有直线 [u1,u2,u3]的集合称为一条 二级曲线,其中 (bij)为三阶实对称阵,秩 (bij)≧ 1.
注 1,S,T 均为高等代数中的实三元二次型,从代数上看,S=0,
T=0为相同的代数对象；从几何上看,是对同一几何对象的不同描述,统称为 二次曲线,
注 2,在需要时,S=0,T=0均可写为矩阵格式,比如
)1)(,'(.0',0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321
AAAXAXS
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxS 秩或一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.2 如果 S可以 (不可以 )分解为两个一次因式的乘积,则称 S=0为 退化 (非退化 )二阶曲线,
命题 S=0退化?|aij|=0； T=0退化?|bij|=0.
注 3,由对偶原则,我们一般仅讨论二阶曲线,其结论均可对偶地适用于二级曲线,
对偶地，定义 退化 (非退化 )二级曲线,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线?.
证明 设 O(p),O'(p')为平面上两个射影线束,并取定射影坐标系,
在 O(p)中取定相异两直线 l1,A=0,l2,B=0,即设两个射影线束的对应式为
)0(0'' bcaddcba
设则对应直线的交点为 P(x1,x2,x3),则 P的坐标满足注 对偶地,有定理 4.1'.
.0:;0,33221123322111 xbxbxbBlxaxaxaAl
则 O(p)可以表示为 A+?B=0,同理 O'(p')可以表为 A'+?'B'=0.
0''
0'''
0
dcba
BA
BA
消去?,?',得到交点 P的坐标所满足的齐次方程为二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义注,若已知两个射影线束 A+?B? A'+?'B'的对应式
)0(0'' bcaddcba则由此构成的二阶曲线?的 方程为 (4.2).
)2.4(0'''', BcAb A Bd B Ba A A
例 1 求由两个射影线束 x1–?x3=0,x2–?x3=0(?+?=1)生成的二阶曲线方程,
解 令,0',0';0,0 3231 xBxAxBxA
利用定理 4.1的证明,此二射影线束 A+?B? A'+?B'生成的二阶曲线的方程为 (4.2)式,
由?+?=1得 a=0,b=c=1,d=–1,代入 (4.2),得 x1x3+x2x3–x32=0,为退化二阶曲线,退化为两直线 x3=0与 x1+x2–x3=0.
显然,这是关于 (x1,x2,x3)的二次齐次方程,为一个二阶曲线,且两个束心 O,O'的坐标满足 (4.2),定理证毕,
§ 4.1 二次曲线的射影定义注,由本定理,一旦二阶曲线由两个射影线束生成,则其上点的地位平等,以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则得到两个也生成此曲线的射影线束,
定理 4.2 设二阶曲线?由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在?上任意取定相异二点 A,B,与?上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
二、二次曲线的几何结构今日作业 P.97,1,2,3
下周一再见！
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换保持 l∞,x3=0不变的射影变换叫做 射影仿射变换,形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
将 (3.2)式化为非齐次,去掉无穷远直线,得 仿射变换
)3.3(0||''
22
11
222
111
ba
baA
cybxay
cybxax
作用于一般仿射平面上,
若 (3.3)中矩阵 A为正交阵,则为 正交变换,其齐次坐标表达式称为 射影正交变换,
二、群与变换群第三章 变换群与几何学三、平面上的几个变换群
K={平面上全体射影变换 }
KA={平面上全体射影仿射变换 }
KM={平面上全体射影正交变换 }
A={平面上全体仿射变换 }
M={平面上全体正交变换 }
射影平面仿射平面射影变换群 K
射影仿射变换群 KA
射影正交变换群 KM
仿射变换群 A
正交变换群 M
上述 5个变换群之间显然有下列关系：
KMKAK
MA?
在射影平面 P上在仿射平面 PA上第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点定义 3.6 设 S为一个非空集合,G为 S上的一个变换群,称 S为 空间,S的元素称为 点,S的子集称为 图形,G称为空间 S的 主变换群,
研究空间 S中图形所决定的在 G的每一个元素的作用下保持不变的性质 (不变性 )和数量 (不变量 )的科学称为一门 几何学 (S,G).
S
G S的子集 (图形 )在 G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的 G性质 (G给 S赋予空间结构 )
注,显然,在 S上给定不同的变换群 G,则得到不同的几何学,
几何学 (S,G)
第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点设 Σ≠? 为 S的子集,H为 G的子群,且对任意的 g∈ H,都有
g(Σ)=Σ,又 HΣ为 Σ上的一个变换群,且 HΣ≌ H,则称 (Σ,HΣ)为 (S,G)
的一个以 (S,H)为 伴随绝对子几何学 的 相对子几何学,并称 B=S\Σ
为的 绝对形,
定义 3.7 如果 (S,G)为一个几何学,H为 G的子群,则称几何学
(S,H)为几何学 (S,G)的一个 绝对子几何学,简称 子几何学,
H
G S 几何学 (S,G)
子几何学 (S,H)
H
G 几何学 (S,G)
子几何学 (S,H)
HΣ
S
Σ 相对子几何学 (Σ,H
Σ )
例如,\,;,( \ ) \,P A P l P A K A K K A P l P l
第三章 变换群与几何学四,Klein变换群观点射影几何
),( KP
射影仿射几何
),( KAP
射影欧氏几何
),( KMP
仿射几何 欧氏几何
),( APA ),( MPA
绝对子几何关系相对子几何关系伴随关系绝对形,l∞=P\PA.
KMKAK
MA?
变换群关系第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
1、射影几何学空间 射影平面 P
主变换群 射影变换群 K
研究内容 图形在射影变换下的不变性质和数量同素性,关联性 交比其余所有射影不变性在射影平面上做演绎推理、对偶变换基本射影不变性第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 射影仿射平面 P
主变换群 射影仿射变换群 KA
研究内容 图形在射影仿射变换下的不变性质和数量注,通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学,
射影仿射几何学空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学可用对偶原则不可用对偶原则第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学绝对形 无穷远直线仿射几何 ——射影几何 的以射影仿射几何为伴随子几何的相对子几何学,仿射几何 ——首先包括射影几何的所有研究内容,
定理 3.10 仿射变换保持平行性不变,
注,平行性是最基本的仿射不变性,
第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
2、仿射几何学定义 3.8 设 P1,P2为通常直线上的两个相异的点,P为该直线上任一通常点,定义注,单比是最基本的仿射不变量,
)6.3()(
2
1
21 PP
PPPPP?
为 P1,P2,P的 简单比,或称 单比,称 P1,P2为 基点,P为 分点,
由 (P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可见定理 3.11 单比是仿射不变量,
仿射不变性平行性单比平行线段的比,两三角形面积之比,
线段的中点,三角形的重心,梯形,
平行四边形,……
第三章 变换群与几何学五、几种几何学的比较
3、欧氏几何学欧氏几何 ——仿射几何的子几何,欧氏几何 ——首先包括仿射几何的所有研究内容,
定理 3.12 正交变换保持两点间的距离不变,
注,距离是最基本的正交不变性,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,
结论,子几何学的研究内容比原几何学丰富,
4、判定一个几何性质 (量 )是某种几何学的研究对象检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中经过演绎推理得到 (即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有关 ).
第四章 二次曲线理论本章是平面射影几何的精华,也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义
Pascal定理
Brianchon定理配极变换射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用,
仿射理论仿射分类二次曲线上的射影对应与对合一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.1 坐标满足
3
1,
)1.4()(0
ji
jiijjiij aaxxaS
的所有点 (x1,x2,x3)的集合称为一条 二阶曲线,其中 (aij)为三阶实对称阵,秩 (aij)≧ 1.
定义 4.1' 坐标满足
3
1,
)'1.4()(0
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jiijjiij bbuubT
的所有直线 [u1,u2,u3]的集合称为一条 二级曲线,其中 (bij)为三阶实对称阵,秩 (bij)≧ 1.
注 1,S,T 均为高等代数中的实三元二次型,从代数上看,S=0,
T=0为相同的代数对象；从几何上看,是对同一几何对象的不同描述,统称为 二次曲线,
注 2,在需要时,S=0,T=0均可写为矩阵格式,比如
)1)(,'(.0',0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321
AAAXAXS
x
x
x
aaa
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xxxS 秩或一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.2 如果 S可以 (不可以 )分解为两个一次因式的乘积,则称 S=0为 退化 (非退化 )二阶曲线,
命题 S=0退化?|aij|=0； T=0退化?|bij|=0.
注 3,由对偶原则,我们一般仅讨论二阶曲线,其结论均可对偶地适用于二级曲线,
对偶地，定义 退化 (非退化 )二级曲线,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线?.
证明 设 O(p),O'(p')为平面上两个射影线束,并取定射影坐标系,
在 O(p)中取定相异两直线 l1,A=0,l2,B=0,即设两个射影线束的对应式为
)0(0'' bcaddcba
设则对应直线的交点为 P(x1,x2,x3),则 P的坐标满足注 对偶地,有定理 4.1'.
.0:;0,33221123322111 xbxbxbBlxaxaxaAl
则 O(p)可以表示为 A+?B=0,同理 O'(p')可以表为 A'+?'B'=0.
0''
0'''
0
dcba
BA
BA
消去?,?',得到交点 P的坐标所满足的齐次方程为二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义注,若已知两个射影线束 A+?B? A'+?'B'的对应式
)0(0'' bcaddcba则由此构成的二阶曲线?的 方程为 (4.2).
)2.4(0'''', BcAb A Bd B Ba A A
例 1 求由两个射影线束 x1–?x3=0,x2–?x3=0(?+?=1)生成的二阶曲线方程,
解 令,0',0';0,0 3231 xBxAxBxA
利用定理 4.1的证明,此二射影线束 A+?B? A'+?B'生成的二阶曲线的方程为 (4.2)式,
由?+?=1得 a=0,b=c=1,d=–1,代入 (4.2),得 x1x3+x2x3–x32=0,为退化二阶曲线,退化为两直线 x3=0与 x1+x2–x3=0.
显然,这是关于 (x1,x2,x3)的二次齐次方程,为一个二阶曲线,且两个束心 O,O'的坐标满足 (4.2),定理证毕,
§ 4.1 二次曲线的射影定义注,由本定理,一旦二阶曲线由两个射影线束生成,则其上点的地位平等,以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则得到两个也生成此曲线的射影线束,
定理 4.2 设二阶曲线?由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在?上任意取定相异二点 A,B,与?上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
二、二次曲线的几何结构今日作业 P.97,1,2,3
下周一再见！
