§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性定理 2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离,
定理 2.11' 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离,
如图,经过三个对边点 X,Y,Z
各有一个调和直线组,比如 X
.1)','(ttss
如图,在三条对顶线 x,y,z上各有一个调和点组,比如 x
.1)','(TTSS
此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性证明定理 2.11 用综合法,只要证明
.1)','(ttss
以直线 AB截 此四直线，得
).,()','( PZABttssX?
只要证明 (AB,PZ)=–1,
).,(),( QZDCPZAB?
以点 Y分别与上述等式两边的四点相 连,据定理 2.6可得
).,(),(),( PZBAQZDCPZAB
也就是
),(
1),(),(
PZABPZBAPZAB
.1),( 2?PZAB
注意到 A,B,P,Z四点互异，必有 (AB,PZ)=–1,证毕,
再以直线 CD截 此四直线，得
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,
另一对为该边与第三组对边的交点,
推论 2.8' 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线,
.1),(PQXY
比如经过顶点 T,有
.1),(pqxy
此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组比如在边 t上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点,
推论 2.9' 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,
其中一对为边，另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线,
.1),(PZAB
比如经过顶点 a× b,有
.1),(pzab
此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组比如在边 AB上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
分析,利用推论 2.8,构造一个完全四点形,以 l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条过 P3,则另一条与 l
的交点即为 P4.
解,作法,(1),在 l外任取一点 A,连 AP1,AP2.
(2),过 P3作直线分别交 AP1,AP2于 B,D.
(3),连 P1D,P2B交于 C.
(4),连 AC交 l于 P4为所求,
证明,(略 )据推论 2.8(或 2.9).
注 1 上述实际上也是利用推论 2.9作图,
注 2 本例引申
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
注 2 本例引申
1、给定三点如图，如何作图?
2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
注 3 由上述作图,(P1P2,P3P4)=–1?存在一个完全四点形,
以 P1,P2为两个对边点,并使 P3,P4在另一对对边上,
注 4 注 3的对偶命题,
由上述注 3,4，你想到了什么？
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底,
2、几何证明题证明,如图,ABCD为梯形,AD//BC,E,F
分别为两腰和对角线的交点,EF交 AD,BC于
P,Q,只要证明 P,Q分别是 AD,BC的中点,
考察完全四点形 EAFD,设 AD× BC=G∞,
由推论 2.8,有 (BC,QG∞)=–1,再据推论 2.3,Q
为 BC的中点,
据推论 2.9,(AD,PG∞)=–1,所以 P为 AD的中点,
本例引申 两个作图题：
1、已知一线段的中点,求作该线段的任一平行线,
2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点,
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 3 (P.59,Ex,3)设 A,B,C为完全四线形的三个共线的顶点,点偶 A,B与 M,C调和共轭,求证：通过 A,B的对顶线的交点在 M与 C
的对顶点的连线上,
2、几何证明题证明,如图,设 C的对顶为 D,通过 A,B于的对顶线的交点为 P,DP交 AB于 M',用同一法证明 M=M'.
由假设据推论 2.9'有,(AB,M'C)=–1.
由题设有,(AB,MC)=–1.
所以,M=M',即 P在 MD上,
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
定义 以下三种对应称为一维基本形的 透视对应
(1),点列? 线束,对应元素是关联的
,...),,( CBAs,...),,( cbaS
(2),点列? 点列,对应点连线共点
,..,),,( CBAs,...)',','(' CBAs
(3),线束? 线束,对应直线交点共线
,...),,( cbaS,.,,)',','(' cbaS
(s)
透视中心透视轴注
(1),透视对应是两个一维基本形之间的一个双射,保持任意四对对应元素的交比不变,
(2),连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应,
(S)
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义
1,Poncelet定义设 [π],[π']为两个一维基本形,若存在 n个一维基本形 [πi]
(i=1,2,…,n),使得
][? ][ 1?
…
][ n? ]'[?
则称由此决定的 [π]到 [π']的对应为一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
注 1,显然注 2,为一个保交比的双射,
注 3,有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应,
2,Steiner定义如果两个一维基本形之间的一个对应 ]'[][, 满足
(1),φ为一个双射；
(2),φ使得任意四对对应元素的交比相等,
则称 φ为 [π]到 [π']的一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
所以透视对应是射影对应的特例,
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,,=>”,显然,
“<=”,用同一法证明点列? 点列,
设 φ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 φ可以表示为有限次透视对应的积,
设 P0,P1,P2为 l(P)上相异三点,P为 l(P)上任意一点,且
'.)(),2,1,0(')( PPiPP ii
则有 ).'',''(),(
210210 PPPPPPPP?
连 P0'P1,P0'P2; P0P1',P0P2',设 P0'P1× P0P1'=Q1,P0'P2× P0P2'=Q2,连
Q1Q2=m,连 P0'P交 m于 Q,连 P0Q交 l于 P'',设 P0P'0交 m于 Q0,则
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
据 Poncelet定义，有 ),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,,=>”,显然,
“<=”,用同一法证明点列? 点列,
设 φ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 φ可以表示为有限次透视对应的积,
).'',''(),( 210210 PPPPPPPP?
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
已经推得结果：
于是 ).'',''()''',''(),(
210210210 PPPPPPPPPPPP
因为 P0,P1,P2互异,故 P0',P1',P2'互异,从而 P'=P'',均有即 ),( PlP
P'=P''=φ(P),φ可以通过两次透视对应得到,φ满足 Poncelet定义,
§ 2.3 一维基本形的射影对应定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
(1),利用 截 的方法,可证两个线束的情况,
也可证明一个点列与一个线束的情况,
注,对本定理的进一步思考,
(2),推论 两个相异的同类一维基本形之间的任一射影对应都可表为不超过两个透视对应的积,
(3),推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表为不超过三个透视对应的积,
(4),Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三双相异的对应元素,求作任一元素的对应元素,
(5),思考,将 (4)中,点列,改为,一维基本形,,
(6),定理 2.13 两个一维基本形间的射影对应可由已知 相异的 三双对应元素唯一确定,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件定理 2.14 两个同类的一维基本形之间的射影对应成为透视对应?公共元素自对应,
证明 由对偶原则,只要考虑点列,
“=>” 设点列 l(P)与 l'(P')透视对应,S为透视中心,l× l'=X,由于直线 SX交 l,l'于同一点 X,所以 X自对应,
“<=” 设 f,l(P)→ l'(P')为射影对应,使得 f(X)=X,设 f(P)=P'.
在 l(P)上取异于 X的两相异点 A,B,设 f(A)=A',f(B)=B',则 A',B'相异且不同于 X,设 AA'× BB'=S,并设 SP× l'=P''.
设 φ是以 S为透视中心 l(P),l'(P')间的透视对应,则因为射影对应
φ与 f有相异的三双对应点重合,即 A,A'; B,B'; X,X,从而 φ=f,于是
P'=P'',即 f是透视对应,
注,由定理 2.14想到证诸点共线 证其为某两透视线束对应直线的交点,
证诸线共点 证其为某两透视点列对应点的连线,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件例 1 (Pappus定理 )在共面的相异二直线 li
上各取相异三点 Ai,Bi,Ci(i=1,2),设
.,,,
1221
1221
1221
三点共线则 NML
NBABA
MACAC
LCBCB



Pappus线注 2 Pappus定理是第四章中 Pascal定理的退化情况,
注 3 Pappus构图,9个点,9条直线,在每条直线上有 3个点；经过每个点有 3条直线,
注 1 证明请自学,体会其中灵活应用 截 与 连 的思想方法,
今日作业 P.58,1;2;7
课件作者：南京师大数科院周兴和
The Class is over,Goodbye!
§ 2.3 一维基本形的射影对应