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哇 … 哇！
倒霉呀！
‥‥‥
郁闷?
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应课件作者：南京师大数科院周兴和
1、透视对应两点场间使得对应点连线共点的双射
2、射影对应
Steiner定义 设?,? '为两个点场,若?,? →? ' 满足
(i)? 为双射,
(ii)? 使共线点变为共线点,
(iii)? 保持共线四点的交比不变,
则称?为点场? 到? '的一个 二维射影对应,
注 1,显然,透视对应是特殊的射影对应,
注 2,显然,二维射影对应使得点对应于点 ; 直线对应于直线,
因此,也称此处的二维射影对应为 直射 对应,
即：中心射影
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应
Steiner定义 设?,? '为两个点场,若?,? →? ' 满足
(i)? 为一一对应,
(ii)? 使共线点变为共线点,
(iii)? 保持共线四点的交比不变,
则称?为点场? 到? '的一个 二维射影对应,
代数定义 设在点场?,? '上各取定齐次射影坐标系,称由
)21.2(0,0||||
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1




ijaA
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
所决定的对应为?到? '的一个 二维射影对应,其中 (x1,x2,x3)与
(x'1,x'2,x'3)为对应点的齐次坐标,A称为射影对应的矩阵,
注,显然,(2.21)式为非奇异线性对应,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 Steiner定义?代数定义,
为方便计,在不同的使用场合经常取 (2.21)式的不同写法,如：
)'21.2(0,0||,3,2,1
3
1
'?

j
ijjiji aixax
)''21.2(0,0||
3
2
1
'
3
'
2
'
1

A
x
x
x
A
x
x
x
)'''21.2(0,0||' AAxx
注 1,由于齐次性,对任意的?≠0,?A与 A表示同一射影对应的矩阵,因此 A中 9个元素只有 8个独立,只要确定 A中 9个元素的比值即可确定 A.
证明 (略,见教材：定理 2.26－定理 2.29,了解思想即可 ).
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应注 2,因为 A是非奇异方阵,故可求出射影对应 (2.21)的逆对应,

3
1
'1 )1(0,0|),3,2,1(:
j
jijjii AixAx
其中? =|A|/?,Aji为 aji的代数余子式,即 (Aji)=A*亦为非异方阵,从而射影对应的逆对应仍然为射影对应,
设直线 u=[u1,u2,u3],即 u1x1+u2x2+u3x3=0,将 (1)代入,有



3
1
3
'
3
3
1
3
1
2
'
21
'
1,0
j
jj
j j
jjjj uAxuAxuAx
这是? '上的一条直线,其坐标为

3
1
',0,3,2,1
j
jiji iuAu
其中 (Aji)=(Aij)'=(A*)'为非异方阵,这表示线场?与? '之间由 (2.21)
诱导的射影对应,从而我们有教材 P.81表格中的四个式子,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 2.30 任一二维射影对应可由已知四对对应点 (每一方四点中无三点共线 )唯一确定,
即：设 Pi? Pi'(i=1,2,3,4),且双方均为无三点共线的四点组,则由此可唯一确定?,? →? ',使得?(Pi)=Pi',i=1,2,3,4.
二维射影对应可由已知一对完全四点形的顶点对应唯一确定,
二维射影对应可由已知一对射影坐标系的对应唯一确定,
注,已知四对对应元素的坐标,求射影对应式,类似于一维情况,
见教材例 2.17.
§ 2.6 二维射影变换二、二维射影变换对于二维射影对应?,? →? ',若? =? ',则称?为 二维射影变换,
注 1 射影变换是特殊的射影对应,此时 (x1,x2,x3)与 (x'1,x'2,x'3)
为相对于?上同一个射影坐标系的对应点坐标,
注 2 射影坐标变换式 (1.10)也可看做射影变换,它表示同一点在不同射影坐标系下的坐标间的关系,
三、二维射影变换的不变元素不变元素不变点不变直线二维射影变换的重要内容之一,
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点
P(yi)为射影变换

3
1
' 3,2,1,0||:
j
jiji iAxax
的不变点?y1:y2:y3=y1':y2':y3'?存在?≠0,使得 yi'=? yi?
3,2,1,0||
3
1

iAyay j
j
iji令?=
)(
0)(
0)(
0)(
333232131
323222121
313212111
I
yayaya
yayaya
yayaya



存在?,使
)(.0)(||
333231
232221
131211
IIfEA
aaa
aaa
aaa


§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点定理 2.31 射影变换? 有不变点 的矩阵 A有特征根,
推论 2.14 平面上任一射影变换至少有一个不变点,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三点共线的 n点组,n的最大值为多少？
答案,n=3.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线
l[vi]为射影变换

3
1
' 3,2,1,0||:
j
jjii iAuau
的不变直线?v1:v2:v3=v1':v2':v3'?存在? ≠0,使得 vi=?vi'?
3,2,1,0||)'(
3
1

iAvav j
j
jii,去掉“令? =
)'(
0)(
0)(
0)(
333223113
332222112
331221111
I
vavava
vavava
vavava



存在?,使
11 21 31
12 22 32
13 23 33
| ' | ( ) 0,( ')
a a a
a a a A E f I I
a a a


§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线定理 2.31' 射影变换? 有不变直线 的矩阵 A有特征根,
推论 2.14' 平面上任一射影变换至少有一条不变直线,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无三线共点的 n线组,n的最大值为多少？
答案,n=3.
3、求不变元素的实例注,教材 P.84例容易造成误导,因为其矩阵是对称阵,
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素例 已知射影变换?,
'
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'
3 2 3
2
2 ( 1 )
x x x x
x x x x
x x x



求?的不变元素,
解 第一步,列出特征方程,并求特征根,
,0
110
121
211



.0)2)(1)(1(
从而,特征根为?1=1,?2= –1,?3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点射影变换 (1)的不变点方程组为
'
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'
3 2 3
2
2
x x x x
x x x x
x x x



)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx



§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx



射影变换 (1)的不变点方程组为将?1=1代入 (I),得



02
0
02
32
321
32
xx
xxx
xx
解出相应的不变点坐标为 (3,2,1).
特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx



射影变换 (1)的不变点方程组为将? 2= –1代入 (I),得


0
03
022
2
321
321
x
xxx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,0,1).
特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx



射影变换 (1)的不变点方程组为将? 3=2代入 (I),得



03
0
02
32
31
321
xx
xx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,3,1).
特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
12
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0
( 2 ) 0 ( ')
2 ( 1 ) 0
uu
u u u I
u u u



射影变换 (1)的不变直线方程组为
'
1 1 2 3
'
2 1 2 3
'
3 2 3
2
2
x x x x
x x x x
x x x



§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线射影变换 (1)的不变直线方程组为将? 1=1代入 (I'),得


022
0
0
321
321
2
uuu
uuu
u
解出相应的不变直线坐标为 [1,0,–1].
12
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0
( 2 ) 0 ( ')
2 ( 1 ) 0
uu
u u u I
u u u



特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线射影变换 (1)的不变直线方程组为将? 2= –1代入 (I'),得



02
03
02
21
321
21
uu
uuu
uu
解出相应的不变直线坐标为 [1,2,–7].
12
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0
( 2 ) 0 ( ')
2 ( 1 ) 0
uu
u u u I
u u u



特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线射影变换 (1)的不变直线方程组为将? 3=2代入 (I'),得
12
13
1 2 3
0
0
2 3 0
uu
uu
u u u



解出相应的不变直线坐标为 [1,–1,–1].
12
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0
( 2 ) 0 ( ')
2 ( 1 ) 0
uu
u u u I
u u u



特征根：
1=1,?2= –1,
3=2.
今日作业 P.86,1; 3; 5
“五 · 一”节快乐！
课件作者：南师京大数科院周兴和
§ 2.6 二维射影变换