§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应总假定：所论二次曲线非退化,仅讨论二阶曲线定义 4.12 二阶曲线?上全体点的集合称为一个 二次点列,?
称为这点列的 底,
记作?(A,B,C,…) 或?(P)或?.
定义 4.12' 二级曲线?'上全体直线的集合称为一个 二次线束,
'称为这线束的 底,
记作?'(a,b,c,…) 或?'(p)或?'.
只讨论二次点列,
1、定义注,作为点的集合,二次点列与一次点列、线束都具有同样多的元素,
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应定义 4.13 设 A,B,C,D为二次点列?上四点,则其 交比 定义为
(AB,CD)=S(AB,CD).
其中 S为?上任意一点,若上述交比为 –1,则称这四点构成二次点列?上一个 调和点组,
注,由推论 4.3,(AB,CD)与 S的选取无关，
本定义合理,
2、二次点列上四点的交比
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应定义 4.14 如图所示点列、线束与二次点列之间的透视对应,
定义 4.15 若两个二次点列分别与两个射影线束透视,则这两个二次点列成射影对应,
记作,S(P)?(P)； x(P1)?(P).
S(P)?(P)
S'(P')?'(P')
S(P) S'(P')?(P)? '(P')
注 2：点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射,
注 1：线束与二次点列,束心须在?上；点列与二次点列,对应点连线共点于?上,
3、二次点列间的射影对应
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应定理 4.17 (1) 已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间的一个射影对应,
(2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射,
4,Steiner作图法例 1,已知两个二次点列?与?'的射影对应的三双相异的对应点
A,A'; B,B'; C,C'(如图 ),求作?上任一点 P在?'上的对应点
P'(Steiner作图法 ).
注 1 直线 B0C0称为?与?'的射影对应 的 透视轴,由作图,透视轴存在而不惟一,
注 2 透视轴不惟一,但是 P的对应点 P'惟一存在,
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换,
定理 4.18 (Steiner)设 f 为二次点列?上的一个非恒同的射影变换,则存在惟一直线 p0,使得对于 f 的任何两对对应点 A,A'; B,B',
都有 PAB=AB'?A'B在直线 p0上,直线 p0称为 f 的 射影轴,简称 轴,
证明,(略,见教材 ).
注,射影轴即为三双对应点确定的
Pascal线,轴与?的交点即为 f 的 不变点,
推论 4.11 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三对对应点完全确定,
推论 4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其轴和一对相异的对应点完全确定,
f 的射影轴
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 4.17 二次点列上的 双曲型,抛物型,椭圆型 射影变换,
注,二次点列?上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆型?f 的轴与?相交、相切或不相交 (交于一对共轭虚点 ).
定理 4.19 f,?(P)?(P')
S(P)?(P)
S(P')?(P')
x(P1)?(P)
x(P'1)?(P')
fS,S(P) S(P') fx,x(P1) x(P'1)
f 与 fS,fx为同型射影变换,
定理 4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换,其两个不变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数,称为 特征不变量,
体会,通过透视对应,一维基本形的射影对应、射影变换的许多性质都可移植到二次点列上来,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合定义 二次点列?上的一个非恒同的射影变换 f 称为 对合,如果任取?上一点 S与 f 的对应点连线得到线束 S中一个对合 f0.
注,二次点列上的对合由与之透视的线束的对合诱导,
定理 对于二次点列?,下列结论成立：
(1)?上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定；
(2)?上的一个非恒同的射影变换 f 为对合?f 有一对对应元素相互对应；
(3)?上对合的几何条件,(P1P'1,P2P3)= (P'1P1,P'2P'3)；
(4)?上对合 f 的射影轴 p0称为 f 的 对合轴,
问题,?上对合 f 的轴能与相切吗?？
答案,不可能,因为不存在抛物型对合,
(,,',',.,,):
( ',',,,.,,)
A B A Bf
A B A B
注,设已知?上对合 f 的两对对应点 A,A'； B,B',作出对合轴 p0.
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合
''ABP A B B A
' ' 'ABP A B A B
''AP A A A A
''BP B B B B
分别为点 A,A'； B,B'处切线的交点,
共线于对合轴 p0.
问题,对合对应点的连线有何规律？
答案,AA',BB',… 以及不变点 X,Y处的切线必共点,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合推论 对于二次点列?上的对合 f
(1) f 的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定 ;
(2) f 可由其对合轴惟一确定 ;
(3) 在 f 的任意一对相异的对应点处?的切线交于对合轴 p0.
定理 二次点列上任意对合的特征不变量为
–1,即二次点列上对合的任一对相异的对应点被两个不变点调和分离,
定理 二次点列?上对合 f 的任一对对应点的连线过一 定点 ；以不在?上的任一点为束心的线束中每一直线与?的交点是?上同一对合的对应点,
上述定点称为 f 的 对合中心,对合中心是对合轴的极点,
推论 二次点列 Γ上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定,
利用配极变换又可得：
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 1,(P.135,Ex,2)
证明,由上题,(AB,XY)= –1,所以
(PQ,AB)=R(XY,AB)=(XY,AB)= –1.
引申 1,当 R沿?运动,由 RX× AB,RY× AB可得到直线 AB上以 A,
B为不变点的对合的任意多对对应点,
引申 2,综合 1,2题得到简单的作图题：
设过不在已知非退化二阶曲线?上一点 T所作?的两切线的切点为 X,Y,l为过 T不与?相切的直线,l交?于 A,B,求作 l上以 A,B为不变点的对合的任一对对应点 (异于图中已知点 ).
引申 3,设直线 l与非退化二阶曲线?交于相异二点 A,B,求作 l上以 A,B为不变点的对合的任意两对对应点,(多种解法,03级考题 )
于是,(PQ,AB)=…= ( CT,AB)= –1?对合,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 2,(P.135,Ex,4)
证明,二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相同,照抄 P.77,§ 2.5,例 2.14.
例 3,(P.135,Ex,5)
证明,如图,过 P0另作?的弦 P1Q1,设
AP1,AQ1分别交?'于 P1',Q1',
由定理 4.24,在?上 (P,P1,…)?(Q,Q1,…) 为对合 (以 P0为对合中心 ),
于是,在 A为束心的线束中,A(P,P1,…)?A(Q,Q1,…) 为对合,
从而,在?'上,对应 (P',P1',…)?(Q',Q1',…) 为对合,
由上述对合可知,其对应点的连线 P'Q',P1'Q1'必定共点于对合中心,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 4(P.135,Ex,7) 如图,设 A,B为不在非退化二阶曲线?上的两个定点,PP',P'P''分别为通过 A,B的两条动弦,求证,?(P)(P')
与?(P')(P'')都是?上的对合,问?(P)(P'')是否为?上的 对合？
证明 以定点 A为对合中心,?(P)(P')
为对合,
以定点 B为对合中心,?(P')(P'')为对合,
(P)(P'')不一定成为对合,除非 PP''能够经过定点,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 5(P.135,Ex,8) 如图,设 PP'为过不在非退化二阶曲线?上一定点的动弦,又 A,B为?上的两个定点,且 Q=AP× BP',R=BP× AP',
求证,Q,R在另一条二阶曲线上,
证明 由 PP'过定点得?(P)(P')为对合,
于是 A(P,P'…)? B(P',P…) 为射影线束,
而 Q,R,… 为此二射影线束的对应直线的交点,所以在另外一条二阶曲线上,
注,由此想到：
上两定点与其上同一个动点连线,得到两个射影线束,
上两定点分别与其上射影变换的对应点连线,得到两个射影线束,
今日作业 P.135,1,3
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