一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.1 坐标满足
3
1,
)1.4()(0
ji
jiijjiij aaxxaS
的所有点 (x1,x2,x3)的集合称为一条 二阶曲线,其中 (aij)为三阶实对称阵,秩 (aij)≧ 1.
定义 4.1' 坐标满足
3
1,
)'1.4()(0
ji
jiijjiij bbuubT
的所有直线 [u1,u2,u3]的集合称为一条 二级曲线,其中 (bij)为三阶实对称阵,秩 (bij)≧ 1.
代数,S=0,T=0实三元二次型全体零点的集合,
几何,S=0,点的集合 (轨迹 ),二阶曲线 ; T=0,直线的集合 (包络 ),
二级曲线,对同一几何对象的不同表达,
统称,二次曲线,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线?.
即,O(p) O'(p') ) },'(''),(|'{ pOppOpppP
若 A+?B? A'+?'B',' ' 0 ( 0 )a b c d a d b c
则?的方程为 ' ' ' ' 0,a A A d B B b A B c A B
§ 4.1 二次曲线的射影定义注,由本定理,一旦二阶曲线?由两个射影线束生成,则其上点的地位平等,任意取定?上相异二点为束心与?上的点连线则得到两个也生成此?的射影线束,
定理 4.2 设二阶曲线?由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在?上任意取定相异二点 A,B,与?上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线?由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在?上任意取定相异二点 A,B,与?上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
证明,设?由 O(P) O'(P)生成,
)()( MBMA
设
'' KPOBM
KOPAM )()( KOPMA
)'(')( KPOMB
只要证
).'(')( KPOKOP
设 '.,'' BAMOBABMAO
),(')( POPO? ).,,,('),,,( MPBAOMPBAO?
分别以 AM,BM截,得 注意到
,MM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM
从而对应点的连线共点,即 AA',BB',KK'共点于 S.但是 OBAOS '
为定点,故当 M变动时,KK'经过定点 S,即
).'(')( KPOKOP
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线?由射影线束 O(P)与 O'(P')生成,则在?上任意取定相异二点 A,B,与?上的动点 M连线可得两个射影线束推论 4.1 平面上五点 (其中无三点共线 )唯一确定一条非退化二阶曲线,
推论 4.1' 平面上五直线 (其中无三线共点 )唯一确定一条非退化二级曲线,
推论 4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成,
推论 4.2' 任一二级曲线可由两个射影点列生成,
推论 4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值,
推论 4.3' 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值,
注,推论 4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用,
)(MA ).(MB
§ 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义由上述的两个定理及其推论,我们有定义 4.3 在射影平面上,称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线,
定义 4.3' 在射影平面上,称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线,
思考,试研究本定义是如何包含退化二次曲线的,
提示,考虑透视对应、射影变换的情况,
注 请自学教材例 4.2,并与 § 2.3(P.67)习题 6,7比较,
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线本部分总假定,所论二次曲线为非退化的,
1,定义定义 4.4 与二阶曲线?交于两个重合的点的直线称为?的切线,
共轭的虚切线重合的实切线相异的实切线的两条有过内上外在点一般地 PP,
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程问题,已知二阶曲线
)1()(0:
3
1,
jiij
ji
jiij aaxxaS
求过定点 P(pi)的?的切线方程,
设 Q(qi)为平面上任一点,则直线 PQ上任一点可表为 xi=pi+?qi.
PQ为?的切线?Q为?的过 P的切线上的点? PQ交?于两个重合的点?将 xi=pi+?qi代入?,S=0后只有一个解,代入得
0))(( jjiiij qpqpa
即 0)( 2 jijijijiij qqpqqpppa
即 )2(0)(2
jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)2(0)(2 jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
为简便计,引入记号
jiijpp ppaS jiijqq qqaS
jiijpq qpaS jiijqp pqaS
jiijp xpaS jiijq xqaS
.,qppqjiij SSaa
以上述记号代入,(2)式可写为
)3(022 pppqqq SSS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)3(022 pppqqq SSS
从而,Q(qi)在过 P(pi)的切线上?(3)对?有二重根=0?
)4(2 ppqqpq SSS?
(4)式即为 Q(qi)是?过 P(pi)的切线上的点的充要条件,习惯地,将其中的流动坐标 qi换为 xi,得到二阶曲线过点 P(pi)的切线方程为
)5(2 SSS ppp?
(5)式为一个二次方程,故经过平面上一点 P一般有两条切线,如果
P在?上,则 Spp=0,从而,二阶曲线上一点 P处的切线方程为
)6(0?pS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)5()(2 PSSS ppp
)6()(0 PS p
注,教材 P.104,(4.10)－ (4.12)关于 Sp=0常用的等价写法中
ix
S
记号在 S中,将 xj(j?i)视为常数,对 xi求导数,称为 S对 xi的 偏导数,
pix
S
记号
S对 xi的偏导函数在点 P(p1,p2,p3)处的取值,即把 P的坐标代入,
今日作业 P.110,4(1),8
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