§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心三、直径与共轭直径
33
0
0
0
A
双曲型抛物型椭圆型
相异的实点重合的实点?
共轭的虚点
l
∞=?A33的符号仿射不变,
有心,(A31,A32,A33); 无心,(A31,A32,0)或 (a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0).
无穷远直线的极点称为中心,
对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线 …
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义
(1),直径仿射定义 解几定义无穷远点 P?的有穷远极线 (过中心的 通常直线 ).
一组平行弦中点的轨迹,
(XY,ZP?)= –1
(2),共轭直径直径 AB的共轭直径为 AB上无穷远点 P?
的极线 EF(相互通过对方极点的两直径 ).
直径 AB的共轭直径为平行于 AB的弦的中点轨迹 EF.
(XY,ZP?)= –1
仿射定义 解几定义
(3),共轭方向：与一对共轭直径平行的方向,
l?不是任何二阶曲线的直径！
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质
(1),有心二阶曲线?
(i)?的任一对共轭直径与 l?一起,构成?的一个自极三点形,
(ii)?的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,
且平行于共轭直径与?交点处的两切线,
(2),抛物线?
(i)?的直径相互平行 (l?不是抛物线的直径 ).
(ii)?的任一直径的极点为其与?有穷远交点处切线上的无穷远点,
(iii)?的任一直径平分其与?有穷远交点处切线平行的弦,(XY,ZP?)= –1.
(iv) 抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线?
(i) 直径的方程,因为直径是以?的中心为束心的线束中的直线,
以两特殊直径参数表示,取两无穷远点 (1,0,0),(0,1,0),其极线 (对应的直径 )方程为
0:
0:
3232221122
3132121111
xaxaxal
xaxaxal 即
0
0
2
1
x
S
x
S
从而任一直径 l的方程为
12
,0,( 4,3 7)SSl k k Rxx
注,k的几何意义,(4.37)表示的直径 l方程可改写为：
001
321
xSkxSxS
这说明 l为 (1,k,0)的极线,而 (1,k,0)是 l的共轭直径上的无穷远点,从而,(4.37)中的参数 k为直径 l的共轭方向 (共轭直径的斜率 ).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线?
(ii) 两直径共轭的条件,设直径
0:
21
xSkxSl
的共轭直径为 l'.
则 l'为 l上的无穷远点 (a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线,从而 l'的方程为
.0)()( 1211
2
2212
1
kaaxSkaaxS
即
.0'
21
xSkxS
其中
2212
1211'
kaa
kaak
为 l的斜率,即
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
从而,两直径共轭?两直径的斜率满足对合方程,
性质,在以有心二阶曲线?的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合,
三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线?
(2),抛物线?
利用中心坐标,可直接写出?的直径方程为
.)(0
12
11
3212111 bxa
aybbxxaxa 即为常数或者
.)(0
22
12
3222112 bxa
aybbxxaxa 即为常数
(a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义,二阶曲线上无穷远点处的 有穷远切线 称为其 渐近线,
注 1,等价定义,过中心的有穷远切线称为渐近线,
注 2,与渐近线平行的方向称为 渐近方向,
注 3.双曲线椭 圆 有两条实虚 渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线,
从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义
2,性质
(1),渐近线是自共轭的直径,
(2),在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
的两条不变直线,
(3),有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径,
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
双曲线 双曲型对合椭 圆 椭圆型对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
法一,利用对合不变元素,在
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
中,令 k=k'得不变元素方程为
02 1112222 akaka
此方程的两根即为渐近线方向,设两根为 ki(i=1,2),分别代入
0
21
xSkxS即可得两渐近线方程,
评注,此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则 ki中应有 0或 ∞,实际计算时容易丢失一条渐近线,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法二,利用中心和渐近方向,
评注,此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出 (一般可不分解为两个一次式 ).
得，联立
0
0
3x
S
,02 222221122111 xaxxaxa
这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为?与 l∞的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得
.02 22212211 yaxyaxa
设中心的非齐次坐标为 (?,?),则渐近线的方程为
.0)())((2)( 22212211 yayxaxa
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法三,利用切线方程,渐近线为过中心的切线,将中心 P(A31,A32,A33)
代入 SppS=S2p,即得渐近线方程,现对此法进行整理,因为评注,此法推导繁,实用不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,|aij|已有,再判断是否有心,A33也已知,从而?为已知,
3
3
2
2
1
1
xxSxxSxxSS
ppp
p
由于 P为中心,所以上式前二项的系数等于 0,从而,
3
3
xxSS
p
p
将中心坐标代入,得,||)(
33333332323131 xaxAaAaAaS ijp
由此又得
.|| 33AaS ijpp? 从而,过中心的切线 (渐近线 )方程为
.|||||| 233323233 xaSAxaSAa ijijij
令
./|| 33Aa ij 得渐近线方程为
.023 xS?
今日作业 P.143,2,3
The Class is over,Goodbye!
