§ 4.3 配极变换二、配极变换配极变换定理 4.14(配极原则 )点 P关于
的极线 p通过点 Q?点 Q关于
的极线 q通过点 P,
定理 4.14'(配极原则 ) 直线 p关于?的极点 P在直线 q上?直线 q
关于?的极点 Q在直线 p上,
一、极点与极线代数：非退化二阶曲线的矩阵作成的点与直线之间的异素射影变换几何：非退化二阶曲线的内接完全四点形的对边三点形 —— 自极三点形
3,配极变换的基本应用 (1),几何证明题(2),极点极线作图
§ 4.3 配极变换例 5,(P.120,例 4.12)如图,ABC是二阶曲线?的一个自极三点形,
弦 RP通过 B,RC与?的另一个交点为 Q,求证,PQ通过 A.
证明,设 RC交 AB于 T,AC交 RP于 S,因为
ABC为 Γ的自极三点形,所以
.1),(,1),( SBRPCTRQ
).,,,(),,,( BSPRTCQR? (R?R)
(,,,) (,,,),R Q C T R P S B? PQ,AC,AB共点于 A,即 PQ通过 A.
教材上的证明二至少丢了一句话,未证完,
反思,1,图中自极三点形 ABC是如何画的?
答：严格地利用内接完全四点形,不是随手画的,
反思,2,基于上述,设 AR交?于 M,求证,P,C,M共线,且 B,Q,M
共线,即 ABC为完全四点形 PQMR的对边三点形,
§ 4.3 配极变换例 5,(P.120,例 4.12)如图,ABC是二阶曲线?的一个自极三点形,
弦 RP通过 B,RC与?的另一个交点为 Q,求证,PQ通过 A.
反思,1,图中自极三点形 ABC是如何画的?
答：严格地利用内接完全四点形,不是随手画的,
反思,2,基于上述,设 AR交?于 M,求证：
P,C,M共线,且 B,Q,M共线,即 ABC为完全四点形 PQMR的对边三点形,
反思,3,基于上述,设 PC交?于 M,求证,A,R,M共线,且 B,Q,M
共线,即 ABC为完全四点形 PQMR的对边三点形,
反思,4,题中 RP未必是构造出 ABC的内接完全四点形的一边,
任作 RP都可得结论,说明可以有很多内接完全四点形共一个对边三点形 ABC.
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义定义 4.11 若点 P0(p0i)的坐标是方程组
)1)(,3,2,1,(0
3
1

ijjiij
j
jij aiaaxa 秩的非零解,则称 P0为二阶曲线?,?
3
1,
0
ji
jiij xxa
的一个 奇异点,
注 1,P0为?的奇异点?P0在?上,且 Sp0=0.
注 2,?,S=0有奇异点?|aij|=0为退化的,
注 3,若秩 (aij)=2,则?有唯一奇异点；若秩 (aij)=1,则?有无穷多的奇异点,构成一条直线,
2,性质
(1),定理 4.16,?上一点 P为奇异点?P与?上任一点连线上的点都在?上,
证明见教材,请自学,
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义 2,性质
(2),平面上任一点 P的极线必过奇异点 P0.
证,将 P0的坐标直接代入 Sp=0即得,
(3),过 P0的直线上任意异于 P0的点有相同的极线为过 P0的另一直线,
证,不妨设?退化为两直线 m1,m2,则据 (1),
m1× m2=P0,过 P0的直线 p上任一点 P(≠P0)的极线为满足 (PQ,M1M2)=–1的点 Q的轨迹,显然为满足 (pq,m1m2)=–1过 P0的另一直线 q.
从而过 P0的直线 无穷多的极点在过 P0的定直线上,
综上关于退化二阶曲线的配极为奇异的 (不是双射 ).
即,奇异点 P0 无穷多的极线为不过 P0的直线,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
)1(.1)(,0:
3
1,

ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩问题,给定适当选取射影坐标系,将?的方程化为 标准方程 (即：只有平方项,
没有交叉项,且平方项的系数为 1或－ 1的 规定格式 ).
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
取 Γ的一个自极三点形,设其顶点为 A'1(pi),A'2(qi),A'3(ri),取
E'(pi+qi+ri)为新的单位点,建立新的射影坐标系,据 (1.10)式,坐标变换的逆式为
)10.1(.
'
3
'
2
'
1
333
222
111
3
2
1
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
代入 (1),由教材 P.124推导,?的方程化为
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
再作一次仅改变单位点的射影坐标变换
3,2,1,
||
1 ''
'
' ix
a
x i
ii
i?
S'=0又可化为
.0'' 2''32''22''1 xxxS
去掉,'',之后,由于齐次性及 x1,x2,x3的平等性,只有两种情况：
2 2 21 2 3 0.x x x 实二阶曲线（长圆曲线）
虚二阶曲线（零曲线）,0232221 xxx
综上,非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种 标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
2,|aij|=0,秩 (aij)=2.
退化为两条相交直线 m1,m2,?的自极三点形不存在,
取新的射影坐标系如图所示,?的方程可化为,02
221 xx即一对共轭虚直线,02221 xx
一对相交实直线,02221 xx
综上,当二阶曲线?退化且秩为 2时,其方程必可化为上述两种标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
3,|aij|=0,秩 (aij)=1.
退化为一条完全由奇异点构成的直线,取此直线为坐标三点形的一边,比如 A'2A'3,则 S=0必可化为一对重合实直线,021x
综上,当?退化且秩为 1时,?的方程必可化为上述 标准方程,
由以上讨论,我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表,
二阶曲线被分成 5个等价类,属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述 5种标准方程之一,
注,给定二阶曲线?的方程,适当选取射影坐标系,将?的方程化为射影标准方程,例见教材,请自学,
思考,二阶曲线的射影分类与化二次型为规范形的异同,
今日作业 P.122,4; P.127,1(1),4
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