§ 2.5 一维基本形的对合一、定义定义 2.11,两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意一个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的元素,其对应元素相同,则称这种 非恒同 的射影变换为一个 对合,
定义 2.11',设 f 为一维基本形 [π]上的一个 非恒同 的射影变换,若对任意的 x∈ [π],都有 f(x)=f–1(x),则 f 称为 [π]上的一个 对合,
注 (1),对合非恒同,
(2),对合是特殊的射影变换,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 2.20 一维基本形 [π]上的一个变换 f 为对合?f 的任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程
)15.2()0(.0)'(' 2 baddba
注 (1),这里指取定基元素 A≠B,对应元素为 A+λB? A+λ'B.
(2),从对应式可见 λ,λ'的地位完全平等,故无论将一个已知元素的参数 λ0代入到 λ的位置求 λ'(求 f 下的像 ),还是代入到 λ'的求 λ
(求 f –1下的像 ),其结果相同,这恰为对合的本质特征,故可作为对合的 参数定义,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 一维基本形 [π]上的一个变换 f 为对合?f 使任一对对应元素的齐次坐标 (x1,x2),(x1',x2')满足注
(1).,=>” f 为对合 =>f 为射影变换,将对合条件 (AA= ρE(ρ≠0))代入 =>a11=–a22;
“<=” 直接验证符合对合定义即可,
(2),
2、坐标形式
).0('' 2112211
2111212
2121111

aaa
xaxax
xaxax
.1122
2
1
'
2
'
1 aa
x
xA
x
x





为对合一维射影变换?
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件定理 2.21 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合,
推论 2.11 三对对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?其参数 pi,pi'满足
)16.2(.0
1
1
1
'
33
'
33
'
22
'
22
'
11
'
11
pppp
pppp
pppp
证明 Pi,Pi'属于同一对合?apipi'+b(pi+pi')+d=0?此方程组对
a,b,d有非零解?|pipi' pi+pi' 1|=0,即 (2.16)成立,
推论 2.12 已知不重合的两对对应元素的 参数 pi,pi' (i=1,2),则由此决定的对合方程为
)17.2(.0
1
1
1''
'
22
'
22
'
11
'
11?
pppp
pppp

1、代数条件
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件
1、代数条件
2、几何条件定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应 (成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
理解 相互对应 (互易偶 )
,.,,),,(,cbaf,.,,)',','( cba
如果
,.,,),,',(,cbaaf,.,,)',',,'( cbaa
则称 a,a'为 相互对应,也称 a,a'为一个 互易偶,此时,f 对于 a,a'这一对对应元素满足对合条件,只要证明 f 的任意一对对应元素都是互易偶,则 f 必为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
证明 设一维射影变换 f,(P)→( P')由其相异的三对对应元素
Pi? Pi'(i=1,2,3)确定,则有
,.,,),,(,321 PPPf,.,,),,( '3'2'1 PPP
现设 P1,P1'为 f的一个互易偶,即
,.,,),,,(,32'11 PPPPf,.,,),,,( '3'21'1 PPPP
)18.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP
设 P2'作为 (P)的元素时,其对应元素为 (P')中的 Q,来证 Q=P2,因为
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf,...),,,,( '3'21'1 PQPPP
.),(),(),( 2'2'11'21'1'22'11 PQQPPPQPPPPPPP
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf?,.,,),,,,( '32'21'1 PPPP
即 P2,P2'也是互易偶,同理,任意一对对应元素为互易偶,f 为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
)19.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
(2.19)式实际上包含了定理 2.22的全部内容,因此称 (2.19)式为对合的 几何条件,
推论 2.13 三对相异的对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?
),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
利用交比及对合的性质,可以写出 (2.19)的许多等价形式,如
...),,(),(),,(),( 3'321'33'21'33'1'2'3321 PPPPPPPPPPPPPPPP
最重要的是理解并灵活运用 (2.19)式,
不必背诵！
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件四、对合不变元素由对合方程
).0(0)'(' 2 baddba
可得其 不变元素方程 为
)20.2()0(.02 22 baddba
对于上述方程总有 Δ≠0,从而任一对合总有两个相异的不变元素,
定理 2.23 任一对合必有两个相异的不变元素,即任一对合不是双曲型即是椭圆型,不存在抛物型对合,
定理 2.24 一维射影变换 f 成为对合?f 有两个相异的不变元素,
且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离,
即假设 f,(P)→( P')为对合,且 E,F为其两个不变元素,则对 f 的任意一对对应元 P,P'(P≠P'),均有 (PP',EF)=–1.
§ 2.5 一维基本形的对合例 1 设 A,A'; B,B'为对合的两对对应元素,E,F为其两个不变元素,求证,A,B; A',B'; E,F属于另一对合,
证明,只要证这三对对应元素满足对合的几何条件,因为
FEBA '
FEBA '
所以,
).,'(),'( EFBAEFAB?
从而,
).',()',(),'(),'( BAFEABEFFEBAEFAB
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
由本例可见,不必背诵几何条件的各种形式,关键在于会判别！
§ 2.5 一维基本形的对合例 2 设证明,由题设,有所以,
).,(),( DECABEAC?
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
由对合的几何条件,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,,,( FEDCBA ).,,,,,( FEADCB
求证,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,( EBCA ),,,( ECDB ).,,,( EDAC
同理,).,(),( DFCABFAC?
'33 PP
由本例可见,几何条件中,也可以包含不变元素！
FEDCBA
FEADCB
§ 2.5 一维基本形的对合例 3 设 P,P'; Q,Q'为对合的两对对应元素,点偶 A,B满足证明,因为所以,
).,''(),''(1),( BAQPABQPABPQ
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
.1),''(),( ABQPABPQ
求证,A,B也是此对合的对应点偶,
).'',(),( QPBAPQAB?
今日作业 P.78,1;5;6
再见 ！
§ 2.5 一维基本形的对合