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§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标上次课,一,n 维实向量类二、齐次点坐标
RPn-1 (RPn-1)*
一维齐次点坐标 1,( )l P R P点 列二维齐次点坐标
n维实向量空间的商空间归纳 齐次点坐标 = 双射 φ：拓广平面上的 点坐标映射
2,RP 点场
.),,(,:,2321 RPxxxxxPP
112( ),:,(,),P l P P x x x x R P
拓广直线的线束模型拓广平面的线丛模型三、直线的齐次坐标方程定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为
.0
3
1
i
ii xu
(1.1)
反之,(1.1)表示直线,称 (1.1)为 直线的齐次方程,
注 2 定理 1.2：通常直线的齐次、非齐次方程互化,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为 u1x1+u2x2=0.
特别地,x轴,x2=0,y轴,x1=0,l∞,x3=0.
注 1 定理 1.2的证明中,从 (2)到 (3)的“即”,由 x3≠0到可以x
3=0,已经将通常直线拓广,
改变一下你的几何学观点点 直线 曲线坐标 方程 点的轨迹点几何学线几何学 方程 坐标 直线族的包络四、齐次线坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标线几何学,以直线为基本几何元素去表达其他几何对象点 直 线调整你的思维天平！
四、齐次线坐标
1,定义 将直线 l,?
3
1
0
i
ii xu
中的系数称为 l的 齐次线坐标,记作
].,,[ 321 uuu
注 2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质,
注 3
y轴,].0,0,1[0
1x
x轴,].0,1,0[0
2x
].1,0,0[03x:?l
过原点的直线,].0,,[0
212211 uuxuxu
思考,注 3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同 (忽略括号差别 )？
注 4 由定义,方程 系数 坐标 实现互化,故 ψ由 φ诱导,
注 1 齐次线坐标是一个双射 ψ,称为拓广平面上的 线坐标映射
*2 )(,RP 线场
.)(],,[,:,*2321 RPuuuuull
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
)2.1(03
1
i
ii xu
定理 1.3 在齐次线坐标下，点 x在直线 u上?
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点 P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的 齐次方程,
定理 1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为
)3.1(.0332211 uauaua
反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点,
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注 对 (1.4)的新理解,
x u
(1.4)
变
(流动 )
不变
(常数 )
直线 u的方程几何意义动点 x在定直线 u上；
定直线 u为动点 x的轨迹点几何观点线几何观点不变
(常数 )
变
(流动 )
点 x的方程动直线 u过定点 x；
定点 x为动直线 u的包络因此，一般地，称 (1.4)为点与直线的 齐次关联关系,点、直线统称为 几何元素,
给定齐次方程
)4.1(03
1
i
ii ux
四、齐次线坐标
2,点的齐次方程例 2 求下列各点的齐次方程,
(1),x轴上的无穷远点,0)0,0,1( 1 u
(2),y轴上的无穷远点,0)0,1,0( 2 u
(3),原点,0)1,0,0( 3 u
(4),点 (1,2,2),022 321 uuu
(5),方向为,03 21 uu
3
1 的无穷远点
(6),无穷远直线上的点,0)0,,( 221121 uxuxxx
思考,本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(3,–1,0)
五、非齐次线坐标定义 1.8 对于直线 u=[u1,u2,u3],若 u3≠0,则定义其非齐次坐标为
[U,V]其中 U=u1/u3,V=u2/u3.
注 1 哪些直线没有非齐次坐标？
注 2 将点与直线的齐次关联关系 (1.4)两边同时除以 u3x3,得到点与直线的 非齐次关联关系 为
.01 VyUx (1.5)
显然，得到 (1.5)的基础是 u3x3≠0,因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系,
从非齐次关联关系角度：过原点的直线、无穷远直线上的点没有非齐次坐标，也没有非齐次方程！
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标过原点的直线 [u1,u2,0].
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(1),两点 a,b重合?
.1
b
a秩
(1)',两直线 a,b重合?
.1
b
a秩
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(2),相异两点 a,b连线方程为
.0
321
321
321
bbb
aaa
xxx
(2)',相异两直线 a,b交点方程为坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32?
bb
aa
bb
aa
bb
aa
.0
321
321
321
bbb
aaa
uuu
(3),相异三点 a,b,c共线?
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(3)',相异三直线 a,b,c共点?
(4),以相异两点 a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(4)',以相异两直线 a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
由此引出：点列的参数表示注,若三点 (直线 )a,b,c不共线 (点 ),则上述矩阵满秩,
注 关于点列的参数表示齐次参数表示 将 (4)中的 c=la+mb的形式称为以相异二点 a,b为基点 的点列的 齐次参数表示 或 双参数表示,,0,,22 mlRml
非齐次参数表示 令,/ lm 则有,bac 称为以 a,b为 基点的 非齐次参数表示 或 单参数表示,}.{ RR?
拓广的实数集 R,0/,0;0/,0 xxmm 并规定对于,bac 当 即 0?l 时,.bc?
于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点 (拓广直线上的点 )到拓广的实数集之间的一个双射,
由于 a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束,由此将引出 单位点 概念,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
例 3 已知共线三点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求 λ,使得
.bac
解 令
.
1
5
7
1
1
3
1
4
6
其中 ρ为非零比例常数,
可解得 λ=3.于是，可适当选取 a,b,c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.
注 ρ的存在是齐次性的体现,对于相异的共线三点 a,b,c,必可适当选取其齐次坐标,使得 c=a+b,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
6 3 7
4 1 5
3
4
(5),相异三点 a,b,c共线?存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(5)',相异三直线 a,b,c共点?
存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
例 4 关于教材 P.17例 1.4结论的解释,
(1),设 a,b,c为平面上不共线三点,则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为
,ncmblad,0,,,222 nmlRnml
(2),设 a,b,c,d为平面上四点，其中任意三点不共线,则可适当选取这四点的齐次坐标，使得
.0 dcba或者
.cbad
注由此例,给定平面上不共线三点,可以表示平面上任意一点的坐标,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
坐标三点形概念关于坐标三点形在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系,记原点为 A3,x轴上的无穷远点为 A1,y轴上的无穷远点为 A2,则
A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)不共线,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
).1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( 321321 xxxxxxx
考虑到齐次性,另取定点 I(1,1,1),以规定当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时,上式总表示同一点 P(x1,x2,x3),即 I规定了当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时必须满足下式坐标三点形,A1A2A3 ； 单位点,I； 笛氏齐次坐标系,(A1A2A3 | I).
)0(.321 AAAI
平面上任一点 P(x1,x2,x3)可表为
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
无定义基本元素：点，直线 约定 1.2 点与直线的关联关系定义 1.9 设 ).,,(, LPLPLP
P 的元素称为 点,L的元素称为 直线,
P 与 L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理公理 P 存在一对双射
2,RP?P? *2 )(,RP?L?
对于任意的点 P∈ P 和任意的直线 l∈ L,若
xP?)(? ul?)(?
则 P与 l相关联?u1x1+u2x2+u3x3=0.
则称 π为一个以 P为点集,L为直线集的 实射影平面 (二维实射影空间 ),记作 π=(P,L),上述一对双射 (φ,ψ)称为 π上的一个 射影坐标映射,分别称 φ为 点坐标映射 ; ψ为 线坐标映射,
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
注 2 定义 1.9在叙述上不同于 Hilbert公理系统,实际上隐含了承认实数公理等,
定理 1.10 在实射影平面上,方程
)6.1(0332211 xuxuxu
表示直线或点,当 xi为流动变量而 ui为常数时表示直线 [u1,u2,u3]；
反之表示点 (x1,x2,x3).
注 1 上述集合 P,L是一般的,其中元素 称为 点、直线,而定义
1.9则对 π=(P,L)给予了实射影空间结构,
由定理 1.10,线坐标映射 ψ可以由点坐标映射 φ诱导,
§ 1.3 射影平面二、实射影平面的模型所谓模型 (实现 )是对一般集合 P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义 1.9,我们可以在任何模型上展开射影几何研究,
几何的模型,拓广平面 ——用综合的方法研究射影几何,
代数的模型,算术平面,πR=(RP2,(RP2)*) ——用代数法研究,
拓广平面 算术平面坐标映射实射影平面 π 对偶平面 π*
对偶映射注,关于对偶映射,今后将会不断地阐述,
拓扑模型,实射影平面是亏格为 0的不可定向的闭曲面,完全不同于通常的平面 (可定向的开曲面 ).
今日作业 P.21,8(2),(6),(8);
11; 14; 16; 19
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课件作者：南师大数科院周兴和
§ 1.1 射影平面
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标上次课,一,n 维实向量类二、齐次点坐标
RPn-1 (RPn-1)*
一维齐次点坐标 1,( )l P R P点 列二维齐次点坐标
n维实向量空间的商空间归纳 齐次点坐标 = 双射 φ：拓广平面上的 点坐标映射
2,RP 点场
.),,(,:,2321 RPxxxxxPP
112( ),:,(,),P l P P x x x x R P
拓广直线的线束模型拓广平面的线丛模型三、直线的齐次坐标方程定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为
.0
3
1
i
ii xu
(1.1)
反之,(1.1)表示直线,称 (1.1)为 直线的齐次方程,
注 2 定理 1.2：通常直线的齐次、非齐次方程互化,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为 u1x1+u2x2=0.
特别地,x轴,x2=0,y轴,x1=0,l∞,x3=0.
注 1 定理 1.2的证明中,从 (2)到 (3)的“即”,由 x3≠0到可以x
3=0,已经将通常直线拓广,
改变一下你的几何学观点点 直线 曲线坐标 方程 点的轨迹点几何学线几何学 方程 坐标 直线族的包络四、齐次线坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标线几何学,以直线为基本几何元素去表达其他几何对象点 直 线调整你的思维天平！
四、齐次线坐标
1,定义 将直线 l,?
3
1
0
i
ii xu
中的系数称为 l的 齐次线坐标,记作
].,,[ 321 uuu
注 2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质,
注 3
y轴,].0,0,1[0
1x
x轴,].0,1,0[0
2x
].1,0,0[03x:?l
过原点的直线,].0,,[0
212211 uuxuxu
思考,注 3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同 (忽略括号差别 )？
注 4 由定义,方程 系数 坐标 实现互化,故 ψ由 φ诱导,
注 1 齐次线坐标是一个双射 ψ,称为拓广平面上的 线坐标映射
*2 )(,RP 线场
.)(],,[,:,*2321 RPuuuuull
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
)2.1(03
1
i
ii xu
定理 1.3 在齐次线坐标下，点 x在直线 u上?
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点 P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的 齐次方程,
定理 1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为
)3.1(.0332211 uauaua
反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点,
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注 对 (1.4)的新理解,
x u
(1.4)
变
(流动 )
不变
(常数 )
直线 u的方程几何意义动点 x在定直线 u上；
定直线 u为动点 x的轨迹点几何观点线几何观点不变
(常数 )
变
(流动 )
点 x的方程动直线 u过定点 x；
定点 x为动直线 u的包络因此，一般地，称 (1.4)为点与直线的 齐次关联关系,点、直线统称为 几何元素,
给定齐次方程
)4.1(03
1
i
ii ux
四、齐次线坐标
2,点的齐次方程例 2 求下列各点的齐次方程,
(1),x轴上的无穷远点,0)0,0,1( 1 u
(2),y轴上的无穷远点,0)0,1,0( 2 u
(3),原点,0)1,0,0( 3 u
(4),点 (1,2,2),022 321 uuu
(5),方向为,03 21 uu
3
1 的无穷远点
(6),无穷远直线上的点,0)0,,( 221121 uxuxxx
思考,本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(3,–1,0)
五、非齐次线坐标定义 1.8 对于直线 u=[u1,u2,u3],若 u3≠0,则定义其非齐次坐标为
[U,V]其中 U=u1/u3,V=u2/u3.
注 1 哪些直线没有非齐次坐标？
注 2 将点与直线的齐次关联关系 (1.4)两边同时除以 u3x3,得到点与直线的 非齐次关联关系 为
.01 VyUx (1.5)
显然，得到 (1.5)的基础是 u3x3≠0,因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系,
从非齐次关联关系角度：过原点的直线、无穷远直线上的点没有非齐次坐标，也没有非齐次方程！
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标过原点的直线 [u1,u2,0].
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(1),两点 a,b重合?
.1
b
a秩
(1)',两直线 a,b重合?
.1
b
a秩
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(2),相异两点 a,b连线方程为
.0
321
321
321
bbb
aaa
xxx
(2)',相异两直线 a,b交点方程为坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32?
bb
aa
bb
aa
bb
aa
.0
321
321
321
bbb
aaa
uuu
(3),相异三点 a,b,c共线?
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(3)',相异三直线 a,b,c共点?
(4),以相异两点 a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(4)',以相异两直线 a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
由此引出：点列的参数表示注,若三点 (直线 )a,b,c不共线 (点 ),则上述矩阵满秩,
注 关于点列的参数表示齐次参数表示 将 (4)中的 c=la+mb的形式称为以相异二点 a,b为基点 的点列的 齐次参数表示 或 双参数表示,,0,,22 mlRml
非齐次参数表示 令,/ lm 则有,bac 称为以 a,b为 基点的 非齐次参数表示 或 单参数表示,}.{ RR?
拓广的实数集 R,0/,0;0/,0 xxmm 并规定对于,bac 当 即 0?l 时,.bc?
于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点 (拓广直线上的点 )到拓广的实数集之间的一个双射,
由于 a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束,由此将引出 单位点 概念,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
例 3 已知共线三点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求 λ,使得
.bac
解 令
.
1
5
7
1
1
3
1
4
6
其中 ρ为非零比例常数,
可解得 λ=3.于是，可适当选取 a,b,c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.
注 ρ的存在是齐次性的体现,对于相异的共线三点 a,b,c,必可适当选取其齐次坐标,使得 c=a+b,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
6 3 7
4 1 5
3
4
(5),相异三点 a,b,c共线?存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(5)',相异三直线 a,b,c共点?
存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
例 4 关于教材 P.17例 1.4结论的解释,
(1),设 a,b,c为平面上不共线三点,则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为
,ncmblad,0,,,222 nmlRnml
(2),设 a,b,c,d为平面上四点，其中任意三点不共线,则可适当选取这四点的齐次坐标，使得
.0 dcba或者
.cbad
注由此例,给定平面上不共线三点,可以表示平面上任意一点的坐标,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
坐标三点形概念关于坐标三点形在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系,记原点为 A3,x轴上的无穷远点为 A1,y轴上的无穷远点为 A2,则
A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)不共线,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
).1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( 321321 xxxxxxx
考虑到齐次性,另取定点 I(1,1,1),以规定当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时,上式总表示同一点 P(x1,x2,x3),即 I规定了当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时必须满足下式坐标三点形,A1A2A3 ； 单位点,I； 笛氏齐次坐标系,(A1A2A3 | I).
)0(.321 AAAI
平面上任一点 P(x1,x2,x3)可表为
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
无定义基本元素：点，直线 约定 1.2 点与直线的关联关系定义 1.9 设 ).,,(, LPLPLP
P 的元素称为 点,L的元素称为 直线,
P 与 L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理公理 P 存在一对双射
2,RP?P? *2 )(,RP?L?
对于任意的点 P∈ P 和任意的直线 l∈ L,若
xP?)(? ul?)(?
则 P与 l相关联?u1x1+u2x2+u3x3=0.
则称 π为一个以 P为点集,L为直线集的 实射影平面 (二维实射影空间 ),记作 π=(P,L),上述一对双射 (φ,ψ)称为 π上的一个 射影坐标映射,分别称 φ为 点坐标映射 ; ψ为 线坐标映射,
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
注 2 定义 1.9在叙述上不同于 Hilbert公理系统,实际上隐含了承认实数公理等,
定理 1.10 在实射影平面上,方程
)6.1(0332211 xuxuxu
表示直线或点,当 xi为流动变量而 ui为常数时表示直线 [u1,u2,u3]；
反之表示点 (x1,x2,x3).
注 1 上述集合 P,L是一般的,其中元素 称为 点、直线,而定义
1.9则对 π=(P,L)给予了实射影空间结构,
由定理 1.10,线坐标映射 ψ可以由点坐标映射 φ诱导,
§ 1.3 射影平面二、实射影平面的模型所谓模型 (实现 )是对一般集合 P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义 1.9,我们可以在任何模型上展开射影几何研究,
几何的模型,拓广平面 ——用综合的方法研究射影几何,
代数的模型,算术平面,πR=(RP2,(RP2)*) ——用代数法研究,
拓广平面 算术平面坐标映射实射影平面 π 对偶平面 π*
对偶映射注,关于对偶映射,今后将会不断地阐述,
拓扑模型,实射影平面是亏格为 0的不可定向的闭曲面,完全不同于通常的平面 (可定向的开曲面 ).
今日作业 P.21,8(2),(6),(8);
11; 14; 16; 19
The Class is over,Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
§ 1.1 射影平面
