一、平面对偶原则
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶
1,基本概念掌握了？
2,能够熟练地画出已知图形的对偶图形？
3,能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题 (含代数对偶 )？
4,看到一个命题自然想到其对偶命题？
5,一对重要图形 (完全四点形、完全四线形 )熟悉了？
§ 1.5 Desargues定理一,Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2,Desargues定理定理 (Desargues定理及其逆定理 )
.存在透视轴存在透视中心对于两个对应三点形，
十个点、十条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点
－－ Desargues构图,
你对此图化过了哪些功夫？
分析,为证 X,Y,Z三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为 X,Y,Z.
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试
AD
BE
CF
.三点共线
ZDEAB
YFDCA
XEFBC
例 1 在欧氏平面上,设 ΔABC的高线分别为 AD,BE,CF,而 BC× EF=X,CA× FD=Y,
AB× DE=Z,求证,X,Y,Z三点共线,
AD
B E G
CF
共点于垂心所以,由三点形 ABC?DEF的对应即得结论,
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题分析,因为 R是动点，作 R的另一个位置 R',
得到 P',Q',设 P'Q',PQ交于 C.只要证明 A,B,C
三点共线,
由 OX,OY,OZ共点于 O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在 OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为 A,B,C即可,
如图,PQR,P'Q'R'正是所需,
反思 条件,AB经过 O,对于本题结论纯属多余！
例 2 设 OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为定点,其连线经过 O,R为 OZ上的动点,直线
RA,RB分别与 OX,OY交于 P,Q,求证,PQ经过 AB上的一个定点,
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,考察三点形 PQR与 ABC，它们有透视中心 S，从而它们有透视轴，即 A1,B1,
C1三点共线,
引申,同理可证
.,,;,,;,,;,,111111111111 均为共线三点组CFEFBDEADCBA
例 3 已知完全四点形 PQRS,其对边三点形为 ABC,设 A1=BC× RQ,B1=AC× RP,
C1=AB× PQ,求证,A1,B1,C1三点共线,
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,设动点 P的另一个位置为 P',依题意作图,得交点 X',Y'.
考察三点形 AXX'与 BYY',因为其对应边的交点 P,C,P'共线，所以其对应顶点的连线 AB,XY,X'Y'共点,此点为 AB上的定点,
例 4 设 A,B,C为不共线三点,P是过 C的定直线上的动点,AP× BC=X,AC× BP=Y,
求证,XY经过定点,
思考,考察三点形 PXY与 P'X'Y'进行证明,
思考,本题实际上与例 2为同一个题目！
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,考察三点形 ZBC和 YLM,有透视轴 A,X,D,即得结论,
2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图,
例 5 设 XYZ为完全四点形 ABCD的对边三点形,XZ分别交 AC,BD于 L,M,求证,YZ,BL,
CM共点,
思考,还能有其他方法吗？
CM
BL
YZ
ZLM
YBC
ZY
BL
CM
ZBC
YLM
§ 1.5 Desargues定理二、应用举例 2、不可及点的作图问题例 6,已知平面上二直线 a,b,P为不在 a,
b上的一点,不定出 a,b的交点 a× b,过 P求作直线 c,使 c经过 a× b.
解,作法：
(1),在 a,b外取异于 P的一点 O,过 O作三直线 l1,l2,l3.设 l1,l2,分别交 a,b于 A1,A2; B1,B2.
(2),连 PA 1,PB1分别交 l3于 A3,B3.
(3),连 A2A3,B2B3交于 Q.
(4),PQ=c为所求直线,
证明：由作法，三点形 A1A2A3,B1B2B3有透视中心 O,故其对应边的交点 P=A1A3× B1B3,Q=A2A3× B2B3以及 a× b三点共线，即
c=PQ经过 a,b的交点,
注,解作图题必须包括 作法,画图,证明 三部分！
今日作业一,P.41,1; 3; 7
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 1.5 Desargues定理第 3题提示：允许标出 a,d； b,c的交点并使用,
二、总结本章：收获、体会、问题 …
三、预习 § 2.1
