§ 1.1 拓广平面中心射影 约定 1.1添加无穷远元素 拓广直线拓广平面不区分通常、无穷远元素
§ 1.1 拓广平面
2,RD 2:A R
有周界,闭圆盘 无周界,开圆盘?π
§ 1.1 拓广平面
M?bius带引入目的
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几何基本要求 既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径 从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于 齐次性,
因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。
尽管针对拓广平面,但是今后通用齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系一,n 维实向量类
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
12{ (,,,) | }n niR x x x x x Rn 维实向量的集合定义等价关系 ~,,0~ yxRyx 使得
n 维实向量类的集合
(用圆括号记向量 ) )2(~/})0{\(1 nRRP nn
n 维实向量类的集合
[用方括号记向量 ] )2(~/})0{\()( *1 nRRP nn
事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算本课程仅涉及 n=2,n=3.
n维实向量空间的商空间
* 12( ) { [,,,] | }n niR x x x x x R
二、齐次点坐标定义 1.4
有穷远点无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对一维齐次点坐标定义的进一步理解
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标
(x1,x2) (x2≠0)x x= x1 / x2
(x1,0) (x1≠0)
(1).,lP 都有齐次坐标 );,(
21 xx
反之，
221 2 1 2(,) ( 0 )x x x x
都对应唯一一点,lP? (0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2).,0 R ),(
21 xx
与 ),(
21 xx
是同一点的齐次坐标,因此，
直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,x2),特别地,(0,1).
无穷远点,(x1,0),特别地,(1,0).
(4),一维齐次点坐标的集合为 (2维实向量类的集合 )：
2112( { (,) | } \ { ( 0,0 ) } ) / ~ ( \ { 0 } ) / ~ix x x R R R P
此即 拓广直线的线束模型,
二、齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标引入,P 可视为 ).(
2121 llllP
P为通常点无穷远点
.// 21 ll
.// 21 ll
设 li,Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1,2),记 |AB| 表示 11
22
,ABAB
(1),P为通常点,.//
21 ll
设 P(x,y),则
,|| || ABBCx?,|| || ABCAy?,0||?AB
令 |BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3,则
.0,,3
3
2
3
1 x
x
xy
x
xx
从而 x,y,1=x1,x2,x3,于是,可以把与 (x,y,1)成比例的任何有序实数组 (x1,x2,x3)作为点 P的齐次坐标,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标同样有 |BC|,|CA|.
引入 (2),P=P∞,l1 // l2,即 P∞为 l1,l2方向上的无穷远点,
目标,构造 P∞的齐次坐标，使之仅与 l1,l2的方向 (斜率 )有关,
因 l1 // l2,故前述 x3=0.考虑取 (x1,x2,0)为 P∞的齐次坐标,只要证明 x1,x2仅与 li的方向 (斜率 )有关,
221 2 1 2,0,l l x x
当 li不平行于 y轴时，即 x1≠0,不难证明,
2
2
1
1
1
2
B
A
B
A
x
x
其中 λ为 li的斜率,即 (x1,x2,0)表示方向为 λ的无穷远点,特别地,若
x2=0,则表示 x轴上的无穷远点,
当 li平行于 y轴时,λ=∞,可合理地取 (0,x2,0) (x2≠0)为 y轴上无穷远点的齐次坐标,引出定义
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.5
有穷远点方向为 λ
=x2/x1的无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对二维齐次点坐标定义的进一步理解
y轴上的无穷远点
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(x,y) x = x1 / x3,y = x2 / x3 (x1,x2,x3) (x3≠0)
(x1,x2,0) (x1≠0)
(λ=x2/x1)
(0,x2,0) (x2≠0)
无穷远点
(1),对任意的 P∈ π,都有齐次坐标 (x1,x2,x3),对于通常点 x3≠0；对于无穷远点 x3=0,但 x12+x22≠0,反之,任给 (x1,x2,x3) (x12+x22+x32≠0),都对应惟一一点 P∈ π,(0,0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2),对任意的 0≠ρ∈ R,(x1,x2,x3)与 (ρx1,ρx2,ρx3)是同一点的齐次坐标,因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,0,x3),特别地 (0,0,1); 无穷远点 (x1,x2,0),若 x1≠0,则可表为 (1,λ,0),其中 λ为该无穷远点的方向,
特别地,x轴上的无穷远点为 (1,0,0),y轴上的无穷远点为 (0,1,0).
(4),平面上点的齐次坐标的集合为 (3维实向量类的集合 ),
23321 ~/})0{\(~/) } )0,0,0{(\}|),,( { ( RPRRxxxx i
此即 拓广平面的线丛模型,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标二、二维齐次点坐标例 1 求下列各点的齐次坐标,
(1).
)0,0(1P
)0,1(2P
)1,0(3P
)35,2(4P
齐次坐标 (一般形式 )
)0(),,0,0( 331?xxP
)0(),,0,(2P
特定一组
)1,0,0(1P
)0(),,,0(3P
)1,0,1(2P
)1,1,0(3P
)0(),,35,2(4P
)3,5,6(4P
(2),求直线 0143 yx 上的无穷远点,
斜率 4/3?k 代入 )0,,1( k 所求无穷远点为
),0,43,1(
也就是 (4,3,0),0 CByAx 上的无穷远点为 ).0,,( AB?
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标三、直线的齐次坐标方程定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为
.0
3
1
i
ii xu
(1.1)
反之,(1.1)表示直线,称 (1.1)为 直线的齐次方程,
注,定理 1.2不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法,见教材 P.11.
归纳 点的齐次坐标是一个双射 φ,即拓广平面上的 点坐标映射
2,RP 点场
.),,(,:,2321 RPxxxxxPP
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为 u1x1+u2x2=0.
特别地,x轴,x2=0,y轴,x1=0,l∞,x3=0.
§ 1.2 齐次点坐标今日作业 P.20,2; 3; 6(2),(3)
The Class is over,Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和