§ 1.1,2,3 习题习题 1.2
1-14,应该独立熟练完成,(如果有问题,望利用答疑 )
15,(略 ),见本章 Desargues定理的证明,
16,(作业 ),运用本节的 5对结论,耐心计算即可,画草图更有利思考,
17,提示,设定直线 x2–kx3=0上的动点为 O(a,k,1),
先计算 Q,R的坐标得,Q(a,0,1),R(a,k,0).
再求 QR与 A2A3的交点得,X(0,k,–1),
因为 X的坐标与 a无关,所以 X为定点,
A1X的方程为,x2+kx3=0.
§ 1.1,2,3 习题习题 1.2
18,(属线性代数问题 )lia+mib+nic共线?不全为 0的数 p,q,r,使得
0)()()( 333222111 cnbmalrcnbmalqcnbmalp
0)()()( 321321321 crnqnpnbrmqmpmarlqlpl
(因为 a,b,c不共线 )?
0
0
0
321
321
321
rnqnpn
rmqmpm
rlqlpl
(因为 p,q,r不全为 0)?
.00
333
222
111
321
321
321
nml
nml
nml
nnn
mmm
lll
§ 1.1,2,3 习题习题 1.2
19,
20,求出这两个无穷远点的坐标,写成 (1,λ,0)的格式,即可看出垂直 (斜率之积为 –1).
221 2 1 2( ) 0,( ) 0,h h a b u a u b u h h a b u或
§ 1.1,2,3 习题习题 1.2
20,由非齐次关联关系 Ux+Vy+1=0,过原点的直线和在无穷远直线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程！
22,23,请自行完成,
习题 1.3,要求熟练掌握第 3题的类型,今后要用,
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！ 贯穿全书！
1,基本概念
(1),对偶元素 点 直线
(2),对偶运算 过一点作一直线 在一直线上取一点
(4),对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形 Σ，若对 Σ作对偶变换，则得到另一个图形 Σ',称 Σ,Σ'
为一对 对偶图形,
图形 Σ 图形 Σ'作对偶变换互为对偶图形
(3),对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算一、平面对偶原则
2,基本对偶图形举例
(1) 点 (1)' 直线
(2) 点列 (共线点集 ) (2)' 线束 (共点线集 ))(Pl
)(pL
(3) 点场 (共面点集 ) (3)' 线场 (共面线集 )
(4) 简单 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其两两 顺次 连线构成的图形,
(4)' 简单 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其两两 顺次相交的交点构成的图形,
顶点,n个；边,n条,边,n条；顶点,n个,
下面分别考察 n=3和 n=4的情形
§ 1.4 平面对偶原则简单 n点 (线 )形,n=3
简单三点形 简单三线形简单 n点 (线 )形,n=4
简单四点形 简单四线形显然，简单 n点 (线 )形与其顶点 (边 )的顺序有关
§ 1.4 平面对偶原则
(5) 完全 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其每两点连线构成的图形,
(5)' 完全 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其每两直线交点构成的图形,
顶点,n个；
条边,2 )1(?nn 边,n条； 个顶点,2 )1(?nn
完全 n点 (线 )形,n=3
完全三点形 ABC 完全三线形 abc
一对自对偶图形,将不加区分,简称三点形或三线形,
§ 1.4 平面对偶原则完全 n点 (线 )形,n=4
完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
射影几何中最重要的一对图形
§ 1.4 平面对偶原则完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
顶点 DCBA,,,4个边 utsrqp,;,;,6条对边 (没有公共顶点的边 );,qp ;,sr ut,3组对边点 (对边的交点 )
,qp?
X
,sr?
Y
ut?
Z
3个对边三点形 XYZ
边 dcba,,,4条顶点 UTSRQP,;,;,6个对顶 (不在同一边上的顶点 );,QP ;,SR UT,3组对顶线 (对顶的连线 )
,PQ
x
,RS
y
TU
z 3条对顶三线形 xyz
请课后画图，熟悉图形及名称,今后将专门研究其重要性质思考：试证明任一完全四点形的三个对边点必定不共线,
例 1 作下列图形的对偶图形 (P.32，例 1.12).
点 QP,2个直线 dcbal,,,,5条关联关系
(1) P,Q在 l上；
(2) a,b,l共点于 P; c,d,l共点于 Q
直线 qp,2条点 DCBAL,,,,5个关联关系
(1) ' p,q过点 L；
(2) ' A,B,L共线于 p; C,D,L共线于
q
一、平面对偶原则 2、对偶图形举例1、基本概念
3、作一图形的对偶图形教材 P.32,4个一般步骤,请在实践中进一步体会,
翻译
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则
(1) 射影命题在射影平面上，若命题 A仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称 A为一个 射影命题,
(2) 对偶命题射影命题 A 射影命题 PA作对偶变换互为对偶命题
(3) 平面对偶原则定理 1.9 (平面对偶原则 )在射影平面上，
射影命题 A成立 射影命题 PA成立
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则例 2 对偶命题举例
(1) A 过相异二点有且仅有一条直线,
(1)' PA 两相异直线有且仅有一个交点,
(2) A 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线,
(2)' PA 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点,
注 1 只有射影命题才有对偶命题,
注 2 对偶原则是一个双射 F,点几何 线几何因此,对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化,
可以起到事半功倍的作用,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶考察方程,0
321 CBA
视 ),,(
321
为点的流动坐标，则方程表示直线 ].,,[ CBA
视 ],,[
321
为直线的流动坐标，则方程表示点 ).,,( CBA
考察方程组
0
0
322212
312111
CBA
CBA
点几何观点,方程组表示两直线交点，解出坐标为
].,,[ CBA线几何观点,方程组表示两点的连线，解出坐标为
).,,( CBA
规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素,
得 代数对偶原则注,事实上,可以有许多种不同的代数对偶映射,比如将在第四章学习的配极变换,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶例 3 代数对偶结论举例,
(1) 点 ),,( CBA
.0321 CuBuAu
(1)' 直线 ],,[ CBA
.0321 CxBxAx
(2) 原点 )1,0,0(
.03?u
(2)' 无穷远直线 ]1,0,0[
.03?x(3) 无穷远直线上的点
)0,,( BA
.021 BuAu
(3)' 过原点的直线 ]0,,[ BA
.021 BxAx
(4)－ (8) Thm,1.5－ Thm,1.9 (4)'－ (8)' Thm,1.5'－ Thm,1.9'
请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知命题的对偶命题，并从对偶原则出发，重新审视前面所学知识,
§ 1.4 平面对偶原则
§ 1.5 Desargues定理一,Desargues定理一个古老、美丽、实用的重要定理 ！
1、两个三点形的对应关系若两个三点形对应顶点的连线共点，
则称这对对应三点形具有 透视中心,透视中心也称为 Desargues 点,
若两个三点形对应边的交点共线，
则称这对对应三点形具有 透视轴,透视轴也称为 Desargues 线,
问题 存在透视轴？存在透视中心?
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理一,Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2,Desargues定理定理 (Desargues定理及其逆定理 )
.存在透视轴存在透视中心对于两个对应三点形，
证明：代数法,请认真自学,
纳闷 这张美丽的图是如何画的？
注 1、仅用综合法,Desargues
定理不可能在平面内获得证明，只能作为公理,
注 2,Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题,
注 3、满足 Desargues定理的一对三点形称为 透视的 三点形,
Desargues定理画图过程演示提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理一,Desargues定理 2,Desargues定理注 4、关于 Desargues构图,左图表示了一对透视的三点形 ABC,A'B'C'.
' ' '
' ' '
' ' '
AA BC B C X
BB O C A C A Y
C C AB A B Z
共点于 三点共线左图中共有十个点、十条直线，
过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点,这十点、十线地位平等，此图称为 Desargues构图,
,
'
'
''
''
''
''
'
' 三点共线透视中心
BAZOB
CYAOC
XZYCB
A Z YCOB
YCA
ZBA
OAA
A
今日作业 P.35,1(图 1.19,1.22); 4; 5
The Class is over,Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
See you this evening!
§ 1.5 Desargues定理
