§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义三、射影对应成为透视对应的条件
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义定义 2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系,称由非奇异线性对应
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111



aa
aa
xaxax
xaxax
决定的两点列间的对应为 射影对应,其中 (x1,x2)与 (x1',x2')为任一对对应点的齐次坐标,ρ为非零比例常数,
(2.10)也常写成
.0||,',''
2
1
2221
1211
2
1







AAXX
x
x
aa
aa
x
x 或定理 2.15 代数定义?Steiner定义,
证明,(略,见教材 ).
注,相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射影对应的矩阵,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义注 1,当不涉及无穷远元素时,(2.10)可以写成非齐次形式,即
.0||,'
2221
1211?

ijaaxa
axax
或
).0(,0'' bcaddcxbxa xx
注 2,对 (2.10)中比例常数 ρ的理解,
注 3,由 (2.10)理解定理 2.12,相异的三对对应元素唯一确定一个射影对应,
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111



aa
aa
xaxax
xaxax
例 2,(P.66,例 2.11)求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)
依次对应于 l'上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义
)10.2(''
2221212
2121111



xaxax
xaxax
例 2,求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)依次对应于 l'
上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
解,设所求对应式为将已知三对对应点的坐标分别代入,得
xi xi'
(1,0) (1,0)

21
111
0 a
a?
(2,1) (–1,1)



22212
12112
2
2
aa
aa
(4,1) (1,1)



22213
12113
4
4
aa
aa
6个方程,
7个未知数的齐次线性方程组,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义求解过程：消去 ρi,求出 aij的一组比值即可,

21
111
0 a
a?



22212
12112
2
2
aa
aa



22213
12113
4
4
aa
aa
021?a
代入

222
12112 2
a
aa


223
12113 4
a
aa



04
02
221211
221211
aaa
aaa
解得 1:0:3:1:::
22211211aaaa
于是,所求对应式为


22
211
'
3'
xx
xxx
§ 2.3 一维基本形的射影对应例 3,(P.67 Ex,6)如果三角形 ABC的边 CB,CA,AB分别通过在同一直线上的三点 P,Q,R,又顶点 B,C各在一条定直线上,求证：顶点 A也在一条定直线上,
例 4,(P.67 Ex,8)设两直线 l1,l2交于点 O,两定点 S1,S2与 O共线,
动直线 l经过另一定点 M,分别交 l1,l2于点 A1,A2,证明：直线 S1A1,
S2A2的交点轨迹为一条直线,讨论：此直线在什么条件下经过点 O?
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
B
3
A
3
C
2
C
3
l
1
l
2
l
3
l
S
1
S
2
S
3
O
x
y
z
2003级期中考试题例 5,设 一变动的三点形 ABC在其运动过程中,其三个顶点 A,B,C分别在共点于 O的三条定直线 x,y,z上,其三条边
CA,BC,AB分别经过过 O的另一条定直线 l上的三个定点 S1,S2,S3.请根据此图至少构造出一个几何证明题,并给出证明,
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
B
3
A
3
C
2
C
3
l
1
l
2
l
3
l
S
1
S
2
S
3
O
x
y
z
构造 1.设 l,x,y,z为过 O的相异直线,
S2,S3,O为直线 l上相异的点,B为直线 y上的动点,S2B,S3B分别交 z,x于 C,A,求证：
CA经过 l上的一个定点,
构造 2.设 l,x,z为过 O的相异直线,S1,
S2,S3,O为直线 l上相异的点,li为过点 S3
的动直线,li分别交 z,x于 C,A,S3A与 S2C
相交于 B,求证,B的轨迹为过 O的一条定直线,
构造 3.设 l,x,z为过 O的相异直线,S1,S2,S3,O为直线 l上相异的点,
li为过点 S3的动直线,li分别交 z,x于 C,A,S3A与 S2C相交于 B,求证,S3
为 l上的定点?B轨迹为过 O的一条定直线,
例 6,(P.59,Ex,5)设 XYZ是完全四点形 ABCD的对边三点形,P是平面上的动点,直线 l经过点 X,直线偶 l,XP与完全四点形过点 X的两边调和共轭 ； 类似地定义分别经过点 Y,Z的直线 m,n,证明三直线 l,m,n共点,
证明,可以考虑用解析法,主要是烦琐的计算,不作要求,
例 7,(P.59,Ex,6)设有三点形 P1P2P3,Q1,Q2,Q3为共线三点分别位于三边上,又 (R1Q1,P2P3)=-1,(R2Q2,P3P1)=-1,(R3Q3,P1P2)=-1,求证,P1R1,P2R2,P3R3共点,
证明,因 Q1,Q2,Q3三点共线且分别位于三点形 P1P2P3的三边上,
而 R1,R2,R3依次是该三点形三边上的另外三点,且
2 3 1 1 1 3 1 2 2 2 1 2 3 3 3(,) 1,(,) 1,(,) 1P P R Q k P P R Q k P P R Q k
注意到 k1 k2 k3 =–1,利用教材例 2.3得结论,
今日作业 P.67,1;2;7预习 § 2.3； 2.4
下周一再见！
§ 2.3 一维基本形的射影对应