教师归纳好，
学生照搬套，
习惯用技巧，
不会去思考。
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例课件作者：南京师大数科院周兴和
1、仿射变换定义 3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为 射影仿射变换,
定理 3.1 射影变换
)1.3(0,0||,3,2,1
3
1
'?
j
ijjiji aixax
保持 l∞,x3=0不变?a31=a32=0.
证明,(略,见教材 ).
显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
将 (3.2)式化为非齐次 (前二式两边分别除以第三式 ),得
)3.3(0||''
22
11
222
111
ba
baA
cybxay
cybxax
称 (3.3)决定的变换为 仿射变换,作用于一般仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
)3.3(0||''
222
111?
A
cybxay
cybxax
中,如果矩阵 A为正交阵,即满足 AA'=E,则称为 正交变换,(3.3)的齐次坐标表达式称为 射影正交变换,
2、正交变换定义 3.2 在仿射变换注,正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于射影仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群定义 (代数运算 )设 A,B,C为集合,?为 A× B到 C的一个对应,
则称为 A× B到 C的一个 代数运算,
特别地,若 B=C=A,则称?为集合 A上的一个代数运算,
注,代数运算可以满足结合律,交换律,分配律中的某一个或者全部,
以下这些概念都将在,近世代数,课程中学习,我们仅承认并应用,
定义了代数运算的集合称为 代数系统,代数学就是研究代数系统的科学,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群比如,实数集 R上的加 (减 )法、乘 (除 )法都是 R上的代数运算,
比如,对于数域 F上的向量空间 V,数乘向量是 F× V到 V的一个代数运算,
有形形式式的集合,更有各种各样的代数运算,
比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算,
比如,sin?不是一个代数运算,而 sin?cos?是一个代数运算,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群定义 3.3 (群 )设 G为非空集合,在 G上定义一个代数运算,称为乘法,如果满足下述 4条公理,则称 G对于这个乘法构成一个 群,记作 G.
.,,,).1( GabGba 有即封闭性
.)()(,,).2( cabbcaGa,b,c 有即乘法满足结合律
.,,,).3( aeaaeGaGe 有使得即存在单位元
.,,,).4( 111 eaaaaGaGa 满足即存在逆元注 1 定义中的运算是 称为 乘法,未必是通常的乘法,
注 2 群中的乘法不一定满足交换律,若满足交换律,可以将这种乘法 称为 加法,这样的群称为 交换群 或 加法群 或 Abel群,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群
.,,,).1( GabGba 有即封闭性
.)()(,,).2( cabbcaGa,b,c 有即乘法满足结合律
.,,,).3( aeaaeGaGe 有使得即存在单位元
.,,,).4( 111 eaaaaGaGa 满足即存在逆元例 1 设 Q*表示全体非零有理数的集合,则 Q*对于数的乘法构成群,
例 2 设 M表示实数域上全体 n阶可逆方阵的集合,则 M对于矩阵的乘法构成群,
定义 3.3 (群 )设 G为非空集合,在 G上定义一个代数运算,称为乘法,如果满足下述 4条公理,则称 G对于这个乘法构成一个 群,记作 G.
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群定义 3.4 (子群 )设 G为群,H为 G的一个非空子集,若 H对于 G上的乘法也构成群,则称 H为 G的一个 子群,
定理 3.2 群 G的一个非空子集 H为 G的子群?H满足下述条件,
.,,).1( HabHba 有
.,).2( 1 HaHa则若证明,只要由上述 (1),(2)推出 H对于 G的乘法满足群的 4个条件 (严格证明将来见,近世代数,课程 ),
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群定义 3.5 (群的同构 )两个群 G,G'之间的一个能够保持乘法运算的双射称为 G与 G'之间的一个 同构映射,
如果群 G与 G'之间存在一个同构映射,则称 G同构 于 G',记作
G?G'.
定理 3.3 非空集合 S上 全体 一一变换的集合对于变换的乘法构成群,称为集合 S上的 全变换群,
定理 3.4 非空集合 S上 若干个 一一变换的集合 G对于变换的乘法构成群?
(1) 若 g1,g2∈ G,则 g1g2∈ G.
(2) 若 g∈ G,则 g–1∈ G.
定义 3.6 集合 S上全变换群的任一子群称为 S上的一个 变换群,
今日无作业下周一再见！
