§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应
S(P)?(P)
S'(P')?'(P')
S(P) S'(P')?(P)? '(P')
二、二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合与一维射影对应的桥梁交比、调和比,Steiner作图法、透视轴 ……
射影轴、不变元素、分类、与 Pascal定理的关系 ……
对合轴、对合中心、几何条件、与配极变换的关系 ……
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 2,(P.135,Ex,4)
证明,二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相同,照抄 P.77,§ 2.5,例 2.14.
例 3,(P.135,Ex,5)
证明,如图,过 P0另作?的弦 P1Q1,设
AP1,AQ1分别交?'于 P1',Q1',
由定理 4.24,在?上 (P,P1,…)?(Q,Q1,…) 为对合 (以 P0为对合中心 ),
于是,在 A为束心的线束中,A(P,P1,…)?A(Q,Q1,…) 为对合,
从而,在?'上,对应 (P',P1',…)?(Q',Q1',…) 为对合,
由上述对合可知,其对应点的连线 P'Q',P1'Q1'必定共点于对合中心,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 4(P.135,Ex,7) 如图,设 A,B为不在非退化二阶曲线?上的两个定点,PP',P'P''分别为通过 A,B的两条动弦,求证,?(P)(P')
与?(P')(P'')都是?上的对合,问?(P)(P'')是否为?上的 对合？
证明 以定点 A为对合中心,?(P)(P')
为对合,
以定点 B为对合中心,?(P')(P'')为对合,
(P)(P'')不一定成为对合,除非 PP''能够经过定点,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合例 5(P.135,Ex,8) 如图,设 PP'为过不在非退化二阶曲线?上一定点的动弦,又 A,B为?上的两个定点,且 Q=AP?BP',R=BP?AP',求证,Q,R在另一条二阶曲线上,
证明 由 PP'过定点得?(P)(P')为对合,
于是 A(P,P'…)? B(P',P…) 为射影线束,
而 Q,R,… 为此二射影线束的对应直线的交点,所以在另外一条二阶曲线上,
注,由此想到：
上两定点与其上同一个动点连线,得到两个射影线束,
上两定点分别与其上射影变换的对应点连线,得到两个射影线束,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系定义 4.21 对于任意的二阶曲线?,若?交无穷远直线于两个相异的实点重合的实点共轭的虚点
,则称?为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的若?非退化,则称为双曲线抛物线,
椭圆双曲线抛物线椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系设
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩其中 xi为齐次仿射坐标,则 x1,x2地位平等而 x3特殊,?与 l∞的交点为
0
0
3x
S,02 222221122111 xaxxaxa
解出 x1:x2即得交点 (x1,x2,0),于是,对于 x1:x2,有两个相异的实根重合的实根共轭的虚根
0
0
0
33
2212
1211 A
aa
aa为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的定理 4.25 对于二阶曲线?,S=0,A33的符号 为仿射不变的,
由于 l∞,x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与 l∞的相交情况也是仿射不变的,所以有下列定理
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化,
定义 4.22 l?关于?的极点 C称为?的 中心,
1,定义
2,性质
(1),通常点 C为?的中心?C为?的对称中心
(即 C为过 C的弦的中点 ).
证明 设 p为过 C的直线,交?于 A,B,交 l?于 P?,据中心的定义,C
为中心?(AB,CP?)= –1?C为 AB的中点,从而仿射定义 解几定义(AB,CP?)= –1
(2),双曲线,椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点,
双曲线椭圆 有心二阶曲线,033?A 无心二阶曲线抛物线,033?A
§ 4.6 二次曲线的仿射理论二、二阶曲线的中心
1,定义 2,性质 3,中心坐标因为中心 C为 l?的极点,设 C(c1,c2,c3),则中心方程组为
.
1
0
0
3
2
1
332313
232212
131211
c
c
c
aaa
aaa
aaa
0
0
323222112
313212111
cacaca
cacaca
0
0
2
1
C
C
x
S
x
S
.:::,333231321 AAAccc?
于是,中心坐标为：
有心二阶曲线,(A31,A32,A33).
无心二阶曲线,(A31,A32,0),即 (a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义
(1),直径仿射定义 解几定义无穷远点 P?的有穷远极线 (过中心的 通常直线 ).
一组平行弦中点的轨迹,
(XY,ZP?)= –1
(2),共轭直径直径 AB的共轭直径为 AB上无穷远点 P?
的极线 EF(相互通过对方极点的两直径 ).
直径 AB的共轭直径为平行于 AB的弦的中点轨迹 EF.
(XY,ZP?)= –1
仿射定义 解几定义
(3),共轭方向：与一对共轭直径平行的方向,
l?不是任何二阶曲线的直径！
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质
(1),有心二阶曲线?
(i)?的任一对共轭直径与 l?一起,构成
的一个自极三点形,
(ii)?的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,
且平行于共轭直径与?交点处的两切线,
(2),抛物线?
(i)?的直径相互平行 (注,l?不是抛物线的直径 ).
(ii)?的任一直径的极点为其与?有穷远交点处切线上的无穷远点,
(iii)?的任一直径平分其与?有穷远交点处切线平行的弦,(XY,ZP?)= –1.
(iv) 抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向,
今日作业 P.143,1
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