高等几何电子教案教师授课助手 学生自修向导 —
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南京师范大学 周兴和课 程 概 论一、高等几何的内容高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础
……
本课程主要介绍平面射影几何知识 (教材前四章 )
课 程 概 论一、高等几何的内容什么是射影几何？ 直观描述欧氏几何 仿射几何 射影几何十九世纪名言 一切几何学都是射影几何
鸟瞰下列几何学欧氏几何 (初等几何 )
研究图形在“搬动”之下 保持不变的性质和数量
(统称 不变性,如距离、角度、面积、体积等 )
搬动 正交变换 对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何 研究图形的正交变换不变性的科学仿射几何平行射影仿射变换仿射几何 研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性 比如 ——平行性、两平行线段的比等等射影几何中心射影射影变换射影几何 研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性 比如 ——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！
课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法综合法 给定公理系统 (一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统 )，演绎出全部内容解析法 形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程 以解析法为主，兼用综合法课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的
学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。
训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。
新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。
课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的四、计划及注意点
周学时 3，一个学期，第一～四章
把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。 线性代数＋齐次性
第五章：自学阅读材料第一章 射影平面本章地位 学习平面射影几何的基础本章内容 定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理 Desargues透视定理学习注意 认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影定义 1.1 ',ll
因此,υ–1,l' → l是 l' 到 l 的中心射影
OP 投射线
P' l 上的点 P在 l'上的像
P l' 上的点 P'在 l上的像
OV'与 l不相交,V'为 l'上的 影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个 双射
X=l× l' 自对应点 (不变点 )
OU与 l'不相交,U为 l上的 影消点三个特殊的点：
( ')O O l l投射中心
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
2、平面到平面的中心射影定义 1.2 ',
OP 投射线
P' π上的点 P 在 π'上的像
P π'上的点 P'在 π上的像因此, ':1 是 π'到 π的中心射影自对应直线 (不变直线 )
三条特殊的直线：
'x
,u为由 影消点 构成的 影消线'//,, OUuUu
,v'为由 影消点 构成的 影消线 //','','' OVvVv
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个 双射
( ')OO投射中心
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影定义 1.1 ',ll
2、平面到平面的中心射影定义 1.2 ',
} 均不是双射中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一个双射？
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面一、中心射影二、无穷远元素目标,改造空间，使得中心射影成为双射途径,给平行直线添加交点要求,不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点 (交点 )
两个相异点确定惟一一条直线 (连线 )
} 点与直线的关联关系
§ 1.1 拓广平面二、无穷远元素约定 1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点,称为 无穷远点 (理想点 )，记作 P∞
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同,
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点 (通常点 )，记作 P
约定 1.1 (3) 按约定 (1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为 无穷远直线 (理想直线 )，记作 l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线 (通常直线 ),l
总结,在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射,
§ 1.1 拓广平面理解约定 1.1(1),(2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点,平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行,
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点,
3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数,
4、不平行的直线上的无穷远点不同,因而，对于通常直线：
两直线 平 行不平行 交于惟一 无穷远点有穷远点 平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点,
6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点,
§ 1.1 拓广平面理解约定 1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹,无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上,
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点,
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线,
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行,因而，对于通常平面：
两平面 平 行不平行 交于惟一 无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面三、拓广平面定义 1.3 通常点和无穷远点统称 拓广点 ；
添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为 拓广直线 (射影仿射直线 )；
添加无穷远直线后的平面称为 拓广平面 (射影仿射平面 ).
定理 1.1 在拓广平面上,点与直线的 关联关系 成立,
(1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线；
(2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点,
(1) 拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展
1、拓广直线 (射影仿射直线 )
§ 1.1 拓广平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆 (ii) 叠合对径点的圆
(iii) 欧氏平面上过原点的直线的集合 (线束模型 )
(iv) 欧氏平面去掉原点后，
过原点每一直线的所有点作为拓广平面的一个点
§ 1.1 拓广平面
(3) 拓广直线的拓扑模型 (4) 拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。
欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。
拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶 A,B分离 点偶 C,D 点偶 A,B不分离 点偶 C,D
§ 1.1 拓广平面
(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线 不能 划分拓广平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为 四个 不同的区域两条相交直线划分拓广平面为 两个 不同的区域在拓广平面上，可以证明：
I,II为同一区域
III,IV为同一区域
2、拓广平面 (射影仿射平面 )
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型
(1) 拓广平面的封闭性 (从两个方面理解 )
§ 1.1 射影平面
(2) 拓广平面的拓扑模型
(i) 叠合对径点的球面 (ii) 欧氏空间过原点的直线的集合 (线丛模型 )
(iii) 叠合赤道上对径点的半球面
(iv) 叠合周界上对径点的圆盘
2、拓广平面 (射影仿射平面 )
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型
(1) 拓广平面的封闭性 (从两个方面理解 )
§ 1.1 拓广平面
M?bius带
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
1、一维基本形
(1) 点列 (同一直线上点的集合 )
记号
l(A,B,C,…) 或 l(P)
底 元素
(1)' 线束 (平面上过同一点的直线的集合 )
记号
L(a,b,c,…) 或 L(p)
束心 元素
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
2、二维基本形
(2) 点场 (同一平面上点的集合 )
(2)' 线场 (同一平面上直线的集合 )
π称为点场的 底,其上的点称为 元素,
π称为线场的 底,其上的直线称为 元素,
显然，一维基本形和二维基本形都是 射影不变的
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
3、一对重要的基本图形三点形 (不共线三点及其两两连线构成的图形 )
顶点,A,B,C
边,BC,CA,AB
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变三线形 (不共点三直线及其两两交点构成的图形 )
边,a,b,c
顶点,b× c,c× a,a× b
记法,三点形 ABC 记法,三线形 abc
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标引入目的 为了用代数的方法 (解析法 )研究射影几何基本要求 既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径 从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于 齐次性,
因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识,
尽管针对拓广平面,但是今后通用齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系一,n 维实向量类
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
}|),,,{( 21 RxxxxR innn 维实向量的集合定义等价关系 ~,,0~ yxRyx 使得
n 维实向量类的集合
(用圆括号记向量 )
x=(x1,x2,···,xn) )2(~/})0{\(1 nRRP nn
n 维实向量类的集合
(用方括号记向量 )
x=[x1,x2,···,xn]
)2(~/})0{\()( *1 nRRP nn
事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算二、齐次点坐标定义 1.4
有穷远点无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对一维齐次点坐标定义的进一步理解
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标
(x1,x2) (x2≠0)x x= x1 / x2
(x1,0) (x1≠0)
(1).,lP 都有齐次坐标 );,(
21 xx
反之，
221 2 1 2(,) ( 0 )x x x x
都对应唯一一点,lP? (0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2).,0 R ),(
21 xx
与 ),(
21 xx
是同一点的齐次坐标,因此，
直线上每个点都有无穷多组的齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,x2),特别地,(0,1).
无穷远点,(x1,0),特别地,(1,0).
(4),齐次坐标的集合为 (2维实向量类的集合 )：
~/})0{\(~/) } )0,0{(\}|),( { ( 2121 RRPRxxx i
此即 拓广直线的线束模型,
二、齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标引入,P 可视为 ).(
2121 llllP
P为通常点无穷远点
.// 21 ll
.// 21 ll
设 li,Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1,2),记 |AB| 表示 11
22
,...ABAB
(1),P为通常点,.//
21 ll
设 P(x,y),则
,|| || ABBCx?,|| || ABCAy?,0||?AB
令 |BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3,则
.0,,3
3
2
3
1 x
x
xy
x
xx
从而 x,y,1=x1,x2,x3,于是,可以把与 (x,y,1)成比例的任何有序实数组作为点 P的齐次坐标,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标引入 (2),P=P∞,l1 // l2,即 P∞为 l1,l2方向上的无穷远点,
目标,构造 P∞的齐次坐标，使之仅与 l1,l2的方向 (斜率 )有关,
因 l1 // l2,故前述 x3=0.考虑取 (x1,x2,0)为 P∞的齐次坐标,只要证明 x1,x2仅与 li的方向 (斜率 )有关,
221 2 1 2,0,l l x x
当 li不平行于 y轴时，即 x1≠0,不难证明,
2
2
1
1
1
2
B
A
B
A
x
x
其中 λ为 li的斜率,即 (x1,x2,0)表示方向为 λ的无穷远点,特别地,若
x2=0,则表示 x轴上的无穷远点,
当 li平行于 y轴时,λ=∞,可合理地取 (0,x2,0) (x2≠0)为 y轴上无穷远点的齐次坐标,引出定义
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.5
有穷远点方向为
λ=x2/x1的无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对二维齐次点坐标定义的进一步理解
y轴上的无穷远点
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(x,y) x = x1 / x3,y = x2 / x3 (x1,x2,x3) (x3≠0)
(x1,x2,0) (x1≠0)
(λ=x2/x1)
(0,x2,0) (x2≠0)
无穷远点
(1),对任意的 P∈ π,都有齐次坐标 (x1,x2,x3),对于通常点 x3≠0；对于无穷远点 x3=0,但 x12+x22≠0,反之,任给 (x1,x2,x3) (x12+x22+x32≠0),
都对应惟一一点 P∈ π,(0,0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2),对任意的 0≠ρ∈ R,(x1,x2,x3)与 (ρx1,ρx2,ρx3)是同一点的齐次坐标,因此,平面上每个点都有无穷多组齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,0,x3),特别地 (0,0,1); 无穷远点 (x1,x2,0),若 x1≠0,则可表为 (1,λ,0),其中 λ为该无穷远点的方向,特别地,x轴上的无穷远点为 (1,0,0),y轴上的无穷远点为 (0,1,0).
(4),平面上点的齐次坐标的集合为 (3维实向量类的集合 ),
23321 ~/})0{\(~/) } )0,0,0{(\}|),,( { ( RPRRxxxx i
此即 拓广平面的线丛模型,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标二、二维齐次点坐标例 1 求下列各点的齐次坐标,
(1).
)0,0(1P
)0,1(2P
)1,0(3P
)35,2(4P
齐次坐标 (一般形式 )
)0(),,0,0( 331?xxP
)0(),,0,(2P
特定一组
)1,0,0(1P
)0(),,,0(3P
)1,0,1(2P
)1,1,0(3P
)0(),,35,2(4P
)3,5,6(4P
(2),求直线 0143 yx 上的无穷远点,
斜率 4/3?k 代入 )0,,1( k 所求无穷远点为
),0,43,1(
也就是 ).0,3,4( 0 CByAx 上的无穷远点为 ).0,,( AB?
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标三、直线的齐次坐标方程定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为
.0
3
1
i
ii xu
(1.1)
反之,(1.1)表示直线,称 (1.1)为 直线的齐次方程,
推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为
.02211 xuxu
注,定理 1.2不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法,见教材 P.11.
归纳 点的齐次坐标是一个双射 υ,即拓广平面上的点坐标映射
2,RP 点场
.),,(,:,2321 RPxxxxxPP
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标改变一下你的几何学观点点 直线 曲线坐标 方程 点的轨迹点几何学线几何学 方程 坐标 直线族的包络为了学习线几何学，引进线坐标概念主要困难 来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰,
四、齐次线坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标
1,定义 将直线 l,?
3
1
0
i
ii xu
中的系数称为 l的 齐次线坐标,记作
].,,[ 321 uuu
注 2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质,
注 3
y轴,].0,0,1[0
1x
x轴,].0,1,0[0
2x
].1,0,0[03x:?l
过原点的直线,].0,,[0
212211 uuxuxu
思考,注 3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同 (忽略括号差别 )？
注 4 由定义,方程 系数 坐标 实现互化,故 ψ可由 υ诱导,
注 1 直线的齐次坐标为一双射 ψ,称为拓广平面上的线坐标映射
*2 )(,RP 线场
.)(],,[,:,*2321 RPuuuuull
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
)2.1(03
1
i
ii xu
定理 1.3 在齐次线坐标下，点 x在直线 u上?
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点 P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的 齐次方程,
定理 1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为
)3.1(.0332211 uauaua
反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点,
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注 对 (1.4)的新理解,
x u
(1.4)
变
(流动 )
不变
(常数 )
直线 u的方程几何意义动点 x在定直线 u上定直线 u为动点 x的轨迹点几何观点线几何观点不变
(常数 )
变
(流动 )
点 x的方程动直线 u过定点 x
定点 x为动直线 u的包络因此，一般地，称 (1.4)为点与直线的 齐次关联关系,点、直线统称为 几何元素,
给定齐次方程
)4.1(03
1
i
ii ux
四、齐次线坐标
2,点的齐次方程例 2 求下列各点的齐次方程,
(1),x轴上的无穷远点,0)0,0,1( 1 u
(2),y轴上的无穷远点,0)0,1,0( 2 u
(3),原点,0)1,0,0( 3 u
(4),点,022)2,2,1( 321 uuu
(5),方向为,03)0,1,3( 21 uu
3
1 的无穷远点
(6),无穷远直线上的点,0)0,,( 221121 uxuxxx
思考,本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标五、非齐次线坐标定义 1.8 对于直线 u=[u1,u2,u3],若 u3≠0,则定义其非齐次坐标为
[U,V]其中 U=u1/u3,V=u2/u3.
注 1 哪些直线没有非齐次坐标？
注 2 将点与直线的齐次关联关系 (1.4)两边同时除以 u3x3,得到点与直线的非齐次关联关系为
.01 VyUx (1.5)
显然，得到 (1.5)的前提是 u3x3≠0,因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系,
初步体会到，用非齐次坐标和方程研究问题可能会有某种缺陷,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标过原点的直线 [u1,u2,0].
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(1),两点 a,b重合?
.1
b
a秩
(1)',两直线 a,b重合?
.1
b
a秩证：重合则 a,b对应分量成比例,a,b为点,故秩为 1.
证：与左边类似,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(2),相异两点 a,b连线方程为
.0
321
321
321
bbb
aaa
xxx
(2)',相异两直线 a,b交点方程为坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32?
bb
aa
bb
aa
bb
aa
.0
321
321
321
bbb
aaa
uuu
利用齐次线性方程组的知识立刻可证,
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(3),相异三点 a,b,c共线?
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(3)',相异三直线 a,b,c共点?
(4),以相异两点 a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
证：显然秩 <3，由相异得秩为 2.
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(4)',以相异两直线 a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
注 关于点列的参数表示注 关于点列的参数表示齐次参数表示 将 (4)中的 c=la+mb的形式称为以相异二点 a,b为基点 的点列的 齐次参数表示 或 双参数表示,,0,,22 mlRml
非齐次参数表示 令,/ lm 则有,bac 称为以 a,b为 基点的 非齐次参数表示 或 单参数表示,}.{ RR?
拓广的实数集 R,0/,0;0/,0 xxmm 并规定对于,bac 当 即 0?l 时,.bc?
于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点 (拓广直线上的点 )到拓广的实数集之间的一个双射,
由于 a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束,由此将引出 单位点 概念,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
例 3 已知共线三点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求 λ,使得
.bac
解 令
.
1
5
7
1
1
3
1
4
6
其中 ρ为非零比例常数,
可解得 λ=3.于是，可适当选取 a,b,c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.
注 ρ的存在是齐次性的体现,事实上，对于共线三点 a,b,c,必可适当选取这三点的齐次坐标，使得 c=a+b,齐次参数表示中的 l,m
正是起这种作用的,而在非齐次参数表示下，我们不能保证 a+λb就是题中指定的 c的特定齐次坐标，一般要差一个非零比例常数,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
6 3 7
4 1 5
3
4
(5),相异三点 a,b,c共线?存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
注上述共给出 5对重要的基本结论,到第 1.4节将会看到，这种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律,
即 对偶原则,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(5)',相异三直线 a,b,c共点?
存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
例 4 关于教材 P.17例 1.4结论的解释,
(1),设 a,b,c为平面上不共线三点,则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为
,ncmblad,0,,,222 nmlRnml
(2),设 a,b,c,d为平面上四点，其中任意三点不共线,则可适当选取这四点的齐次坐标，使得
.0 dcba或者
.cbad
注由此例,给定平面上不共线三点,可以表示平面上任意一点的坐标,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
坐标三点形概念关于坐标三点形在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系,记原点为 A3,x轴上的无穷远点为 A1,y轴上的无穷远点为 A2,则
A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)不共线,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
).1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( 321321 xxxxxxx
考虑到齐次性,另取定点 I(1,1,1),以规定当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时,上式总表示同一点 P(x1,x2,x3),即 I规定了当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时必须满足下式坐标三点形,A1A2A3 ； 单位点,I； 笛氏齐次坐标系,(A1A2A3 | I).
)0(.321 AAAI
平面上任一点 P(x1,x2,x3)可表为
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
无定义基本元素：点，直线 约定 1.2 点与直线的关联关系定义 1.9 设 ).,,(, LPLPLP
P 的元素称为 点,L的元素称为 直线,
P 与 L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理公理 P 存在一对双射
2,RP?P? *2 )(,RP?L?
对于任意的点 P∈ P 和任意的直线 l∈ L,若
xP?)(? ul?)(?
则 P与 l相关联?u1x1+u2x2+u3x3=0.
则称 π为一个以 P为点集,L为直线集的 实射影平面 (二维实射影空间 ),记作 π=(P,L),上述一对双射 (υ,ψ)称为 π上的一个 射影坐标映射,分别称 υ为 点坐标映射 ; ψ为 线坐标映射,
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
注 2 定义 1.9在叙述上不同于 Hilbert公理系统,实际上隐含了承认实数公理等,我们仅尝试用代数的方法定义射影平面,
定理 1.10 在实射影平面上,方程
)6.1(0332211 xuxuxu
表示直线或点,当 xi为流动变量而 ui为常数时表示直线 [u1,u2,u3]；
反之表示点 (x1,x2,x3).
注 1 上述集合 P,L是一般的,其中元素 称为 点、直线,但是按照
Hilbert的说法,完全可以是桌子、椅子、啤酒杯或其他的东西,而定义 1.9则对 π=(P,L)给予了射影空间结构,
由定理 1.10,公理 P中的线坐标映射 ψ可以由点坐标映射 υ诱导,
§ 1.3 射影平面二、实射影平面的模型所谓模型 (实现 )是对一般集合 P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义 1.9,教材上给出了一些模型,我们可以在任何模型上展开射影几何研究,
几何的模型,拓广平面 ——用综合法研究射影几何,
代数的模型,算术平面,πR=(RP2,(RP2)*) ——用解析法研究,
拓广平面 算术平面坐标映射实射影平面 π 对偶平面 π*
对偶映射注,关于对偶映射,今后将会不断地阐述,
拓扑模型,实射影平面是亏格为 0的不可定向的闭曲面,完全不同于欧氏平面 (可定向的开曲面 ),是学习射影几何的实质性困难之根本来源,
§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换定义 1.10 在射影平面上取定四点 A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1),
I(1,1,1),规定无论如何选取 A1,A2,A3,I的齐次坐标,总成立下列关系式
1 2 3,I A A A
(1.7)
则称这四点为平面上的一个 原始的射影坐标系,记作 (A1A2A3 | I),称
A1A2A3为 坐标三点形,I为 单位点,点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标,
注 2,拓广平面上的笛氏齐次坐标系即为一个原始的射影坐标系,
注 1,(1.7)式实际隐含着选取 A1,A2,A3,I的齐次坐标时,满足
)0().,0,0()0,,0()0,0,(),,(
§ 1.3 射影平面证明,只要证对平面上任意一点 X,(PQR|E)可惟一确定其点坐标映射,设 X的原始坐标为 (x1*,x2*,x3*),则由线性代数知识以及式 (1.8),
存在惟一向量类 (x1,x2,x3)∈ RP2,满足
R
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
0.
3
2
1
333
222
111
*
3
*
2
*
1 (1.9)
于是 (1.9)惟一确定了点 X在射影坐标系 (P,Q,R|E)下的一个 齐次射影坐标 (x1,x2,x3).
三、射影坐标变换定理 1.11 在射影平面上任意取定四点 P,Q,R,E,满足
(1) P,Q,R,E中任何三点不共线 ;
(2) 选取这四点的原始坐标 P(pi),Q(qi),R(ri),E(ei)使得
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) (,,) (,,) 0,e e e p p p q q q r r r R
(1.8)
则这四点构成一个 射影坐标系 (PQR|E),称 PQR为 坐标三点形,E为单位点,
注 1 在 (PQR|E)下,P,Q,R,E各有一组齐次坐标为 P(1,0,0),Q(0,1,0),
R(0,0,1),E(1,1,1).因此 (PQR|E)也可作为原始坐标系,
注 2 因为 P,Q,R不共点，所以 | pi qi ri |≠0,即 (1.9)式为非奇异线性变换,称为两种射影坐标之间的 射影坐标变换,
注 3 在拓广平面上,笛氏齐次坐标是射影坐标的特例,从而在坐标变换意义下,§ 1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立,
今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标,
R
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
0.
'
3
'
2
'
1
333
222
111
3
2
1
注 4
(1.10)
按坐标变换新、老坐标的书写习惯,(1.9)式改写为这是传统的 坐标变换的逆式,今后 可直接使用,
§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换
§ 1.3 射影平面四、实射影直线 (一维实射影空间 )
仿定义 1.9,定义实射影直线 (一维实射影空间 ),并讨论其模型,思考定义 1.11 在射影直线上取定相异三点 P,Q,E,选取其笛氏齐次坐标 P(pi),Q(qi),E(ei)使得
1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) (,,),0 ( 1,1 1 )e e e p p p q q q R
则在射影直线上定义了以 P,Q为 基点,E为 单位点 的一个一维 射影坐标系,记作 (PQ|E),射影直线上任意一点 X(x1,x2,x3)的齐次射影坐标 (λ,μ)由下式确定
)11.1(0).,,(),,(),,( 321321321 Rqqqpppxxx
注 2,定义 1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的,
注 1,在射影坐标系 (PQ|E)下,P,Q,E的坐标分别为 (1,0),(0,1),
(1,1),一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标,
五、复射影平面、实 -复射影平面实射影平面 *22 )(,,RPRP三维实向量类复射影平面将实射影平面嵌入到复射影平面中，即带有虚元素的实射影平面
*22 )(,,CPCP三维复向量类实 -复射影平面
虚点实点定义为则使得不存在为则使得若存在
),,(,,0
),,(,,012.1
321
321
xxxPRxC
xxxPRxC
j
j
注 2,实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线,
注 3,两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭,
注 1,类似定义实直线与虚直线,于是在实 -复射影平面上一个元素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变,
§ 1.3 射影平面
.).1( 上在上在直线点 uxux?,) '.1( xuxu 过过点直线?
)0( 即得结论两边取共轭对jj xu
.
).2(
上在上在实直线虚点
u
xux?
.) ',2( xuxu 过过实点虚直线?
(3),实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点,
(3)',过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线,
(4),两共轭虚点连线为实直线,(4)',两共轭虚直线交点为实点,
(5),过一虚点有且仅有一条实直线,
(5)',在一条虚直线上有且仅有一个实点,
注 4,在实 -复射影平面上,下列结论成立,(教材 P.28)
§ 1.3 射影平面五、复射影平面、实 -复射影平面
§ 1.3 射影平面六、图形的射影性质 (射影不变性 )
射影性质射影不变性射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：
射影不变性,点与直线的关联关系 (结合性 )；同素性； ……
结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变射影不变量,有待探索,目前所知几何量均不是射影不变的同素性：点?点；直线?直线
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！ 贯穿全书！
1,基本概念
(1),对偶元素 点 直线
(2),对偶运算 过一点作一直线 在一直线上取一点
(4),对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形 Σ，若将 Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对偶运算 (即对 Σ作对偶变换 )，则得到另一个图形 Σ',称 Σ,Σ'为一对对偶图形,
图形 Σ 图形 Σ'作对偶变换互为对偶图形
(3),对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则
2,基本对偶图形举例
(1) 点 (1)' 直线
(2) 点列 (共线点集 ) (2)' 线束 (共点线集 ))(Pl
)(pL
(3) 点场 (共面点集 ) (3)' 线场 (共面线集 )
(4) 简单 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其两两顺次连线构成的图形,
(4)' 简单 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其两两顺次相交的交点构成的图形,
顶点,n个；边,n条,边,n条；顶点,n个,
下面分别考察 n=3和 n=4的情形
§ 1.4 平面对偶原则简单 n点 (线 )形,n=3
简单三点形 简单三线形简单 n点 (线 )形,n=4
简单四点形 简单四线形显然，简单 n点 (线 )形与其顶点 (边 )顺序有关
§ 1.4 平面对偶原则(5) 完全 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其每两点连线构成的图形,
(5)' 完全 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其每两直线交点构成的图形,
顶点,n个； 条边：
2
)1(?nn 边,n条； 个顶点：
2
)1(?nn
完全 n点 (线 )形,n=3
完全三点形 ABC 完全三线形 abc
这是一对自对偶图形，在使用中将不加区分,简称三点形,三线形,
§ 1.4 平面对偶原则完全 n点 (线 )形,n=4
完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
这是射影几何中最重要的一对图形，我们来作专门的剖析完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
顶点 DCBA,,,4个边 utsrqp,;,;,6条对边 (没有公共顶点的边 );,qp ;,sr ut,3组对边点 (对边的交点 )
,qp?
X
,sr?
Y
ut?
Z
3个对边三点形 XYZ
边 dcba,,,4条顶点 UTSRQP,;,;,6个对顶 (不在同一边上的顶点 );,QP ;,SR UT,3组对顶线 (对顶的连线 )
,PQ
x
,RS
y
TU
z 3条对顶三线形 xyz
请课后画图，熟悉图形及名称,今后将专门研究其重要性质
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形例 1 作下列图形的对偶图形,(P.32，例 1.12)
注 作对偶图形的一般步骤,(P.32)
第一步 观察图形的结构，将其中的点、直线标上字母，并计数,
第二步 分析并列出能够决定该图形的点与直线的关联关系,
第三步 对前两步的结果作对偶变换，并整理,
第四步 画出对偶图形,
例 1 作下列图形的对偶图形,
点 QP,2个直线 dcbal,,,,5条关联关系
(1) P,Q在 l上；
(2) a,b,l共点于 P; c,d,l共点于 Q
直线 qp,2条点 DCBAL,,,,5个关联关系
(1) ' p,q过点 L；
(2) ' A,B,L共线于 p; C,D,L共线于 q
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2、对偶图形举例1、基本概念
3、作一图形的对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则
(1) 射影命题在射影平面上，若命题 A仅与点和直线的关联、顺序关系有关，
则称 A为一个 射影命题,
(2) 对偶命题射影命题 A 射影命题 PA作对偶变换互为对偶命题
(3) 平面对偶原则定理 1.9 (平面对偶原则 )在射影平面上，
射影命题 A成立 射影命题 PA成立
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则例 2 对偶命题举例
(1) A 过相异二点有且仅有一条直线,
(1)' PA 两相异直线有且仅有一个交点,
(2) A 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线,
(2)' PA 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点,
注 1 只有射影命题才有对偶命题,
注 2 对偶原则是一个一一对应 F,点几何 线几何因此，对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化，可以起到事半功倍的作用,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶考察方程,0
321 CBA
视 ),,(
321
为点的流动坐标，则方程表示直线 ].,,[ CBA
视 ],,[
321
为直线的流动坐标，则方程表示点 ).,,( CBA
考察方程组
0
0
322212
312111
CBA
CBA
点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为
].,,[ CBA线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为
).,,( CBA
规定 令坐标相同的点与直线为代数对偶元素,得 代数对偶原则注,事实上,可以有许多种不同的代数对偶映射,比如将在第四章学习的配极变换,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶例 3 代数对偶结论举例,
(1) 点 ),,( CBA
.0321 CuBuAu
(1)' 直线 ],,[ CBA
.0321 CxBxAx
(2) 原点 )1,0,0(
.03?u
(2)' 无穷远直线 ]1,0,0[
.03?x(3) 无穷远直线上的点
)0,,( BA
.021 BuAu
(3)' 过原点的直线 ]0,,[ BA
.021 BxAx
(4)－ (8) Thm,1.5－ Thm,1.9 (4)'－ (8)' Thm,1.5'－ Thm,1.9'
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理一个古老、美丽、实用的重要定理 ！
1、两个三点形的对应关系若两个三点形对应顶点的连线共点，
则称这对对应三点形具有 透视中心,
透视中心也称为 Desargus 点,
若两个三点形对应边的交点共线，
则称这对对应三点形具有 透视轴,
透视轴也称为 Desargus 线,
问题 存在透视轴？存在透视中心?
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
画图过程演示
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2,Desargues定理定理 (Desargues定理及其逆定理 )
.存在透视轴存在透视中心对于两个对应三点形，
证明：代数法,请认真自学,
纳闷 这张美丽的图是如何画的？
注 1、仅用综合法,Desargues
定理不可能在平面内获得证明，只能作为公理,
注 2,Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题,
注 3、满足 Desargues定理的一对三点形称为 透视的 三点形,
Desargues定理画图过程演示提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理 2,Desargues定理注 4、关于 Desargues构图,左图表示了一对透视的三点形 ABC,A'B'C'.
' ' '
' ' '
' ' '
AA BC B C X
BB O C A C A Y
C C AB A B Z
共点于 三点共线左图中共有十个点、十条直线，
过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点,这十点、十线地位平等，此图称为 Desargues构图,
,
'
'
''
''
''
''
'
' 三点共线透视中心
BAZOB
CYAOC
XZYCB
A Z YCOB
YCA
ZBA
OAA
A
分析,为证 X,Y,Z三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为 X,Y,Z即可,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试
AD
BE
CF
.三点共线
ZDEAB
YFDCA
XEFBC
例 1 在欧氏平面上,设 ΔABC的高线分别为 AD,BE,CF,而 BC× EF=X,
CA× FD=Y,AB× DE=Z,求证,X,Y,Z三点共线,
AD
B E G
CF
共点于垂心
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题分析,因为 R是动点，作 R的另一个位置 R',
得到 P',Q',设 P'Q',PQ交于 C.只要证明 A,B,C
三点共线,
由 OX,OY,OZ共点于 O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在 OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为 A,B,C即可,
如图,PQR,P'Q'R'正是所需,
反思 条件,AB经过 O ‖对于本题结论纯属多余！
例 2 设 OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为定点,其连线经过 O,R为 OZ上的动点,直线
RA,RB分别与 OX,OY交于 P,Q,求证,PQ经过 AB上的一个定点,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,考察三点形 PQR与 ABC，它们有透视中心 S，从而他们有透视轴，即 A1,B1,
C1三点共线,
引申,同理可证
.,,;,,;,,;,,111111111111 均为共线三点组CFEFBDEADCBA
例 3 已知完全四点形 PQRS,其对边三点形为 ABC,设 A1=BC× RQ,B1=AC× RP,
C1=AB× PQ,求证,A1,B1,C1三点共线,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,设动点 P的另一个位置为 P',依题意作图,得交点 X',Y'.
考察三点形 AXX'与 BYY',因为其对应边的交点 P,C,P'共线，所以其对应顶点的连线 AB,XY,X'Y'共点,此点为 AB上的定点,
2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图,
例 4 设 A,B,C为不共线三点,P是过 C
的定直线上的动点,AP× BC=X,
AC× BP=Y,求证,XY经过定点,
思考,(1),考察三点形 PXY与 P'X'Y'进行证明,
(2),将本例与例 2比较,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 2、不可及点的作图问题例 5,已知平面上二直线 a,b,P为不在 a,b上的一点,不定出 a,b的交点
a× b,过 P求作直线 c,使 c经过 a× b.
解,作法：
(1),在 a,b外取异于 P的一点 O,过 O作三直线 l1,l2,l3.设 l1,l2,分别交 a,b于 A1,A2; B1,B2.
(2),连 PA 1,PB1分别交 l3于 A3,B3.
(3),连 A2A3,B2B3交于 Q.
(4),PQ=c为所求直线,
证明：由作法，三点形 A1A2A3,B1B2B3有透视中心 O,故其对应边的交点 P=A1A3× B1B3,Q=A2A3× B2B3以及 a× b三点共线，即
c=PQ经过 a,b的交点,
第二章 射影变换本章地位 平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比
1、定义交比 — 最根本的射影不变量定义 2.1,设 P1,P2,P3,P4为点列 l(P)中四点,且 P1≠P2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+ λ2b,则记 (P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
PPPP (2.1)
称 P1,P2为 基点偶,P3,P4为 分点偶,
定理 2.1,设点列 l(P)中四点 Pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
PPPP (2.2)
证明定理 2.1,以 P1,P2,为基点，参数表示 P3,P4,设
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
PPPP
a+λ1b=a',a+λ2b=b',
从中解出 a,b,得
.'',''
1212
12
abbbaa
于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即
'','',','
12
14
12
42
12
13
12
32 bababa
'.','',','
42
14
32
13 bababa
由交比的定义，有注,定理 2.1可以作为交比的一般定义,
(2.2)
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义
.),(
4132
4231
4321 PPPP
PPPPPPPP
2、性质
(1),交比的初等几何意义如果限于欧氏平面，则 (2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即
(2.3)
(2),交比的组合性质显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关,
改变次序一般会改变交比值,
因此，依次序不同，共线四点可以构成 4!=24个交比,
设 (P1P2,P3P4 )=r,我们来探讨这 24个交比的规律,
))((
))((),(
4132
4231
4321
PPPP
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1),交比的初等几何意义 (2),交比的组合性质定理 2.2 设 (P1P2,P3P4 )=r,当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：
.1
1
).2(
).1(
rr
r
r
rr
二点的位置仅交换中间二点或首尾仅交换一对中点的位置改变位置同时交换每对中二点的位置交换基点对与分点对的不变推论 由定理 2.2，相异的共线四点构成的 24个交比只有 6个不同的值：
.1,1 1,1;11,1, r rrrrrr
此即 P.45,式 (2.4),不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质
3、特殊情况定理 2.3 共线四点的交比值出现 0,1,∞三者之一?这四点中有某二点相同,
证明 可根据定理 2.1，令 P1=P2或 P2=P3或 P3=P4或 P4 = P1进行验证即可,即当四点中有某二点相同时，上述 6个不同的交比值又只有 3组,0,1,∞.
4、调和比定义 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则称
的第四调和点为点调和共轭相互与点偶调和分离相互与点偶列为调和点组点组
3214
4321
4321
4321
,,
)(,,
)(,,
)(,,,
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
推论 1 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则此四点互异,
推论 2 相异四点 P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比?这四点的 6个交比值只有 3个：
.2,21,1?
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 调和比是最重要的交比！
对于 (P1P2,P3P4 )= –1,利用初等几何意义，我们有
.1),(
41
42
32
31
4321 PP
PP
PP
PPPPPP
此时,若,4 PP 则可合理地认为
.1
1
2?
PP
PP 于是,1
32
31
PP
PP
这表示 P3为 P1P2的中点，从而有推论 3 设 P1,P2,P为共线的通常点,P∞为此直线上的无穷远点,则 P为 P1P2的中点,1),( 21PPPP
注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比
5、交比的计算
(1),由坐标求交比例 1 已知 P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1),求 (P1 P2,Q1 Q2).
解 第一步,验证四点共线,
第二步,以 P1,P2为基点,参数表示 Q1,Q2,令
.21 PPQ iii i=1,2.
对于 i=1,利用 P.17例 1.3,有,3
1
同理,对于 i=2,可求得,3
2
于是，
.1),(
2
1
2121
QQPP
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标定理 2.4 设 ),4,3,2,1()( iPlP
i
并已知
).,1,0(),( 4321 kkPPPP
和其中三点的坐标,则第四点的坐标可唯一确定,
例 2 已知 (P1P2,P3P4 )=2,P1,P2,P4的坐标依次为 (1,1,1),(1,–1,1),
(1,0,1),求 P3的坐标,
解,设,,
22142113 PPPPPP
则显然,1
2
由
.21),( 1
2
1
4321
PPPP
可得,2
1 从而 P3的坐标为 (3,–1,3).
注：若要求 P1,或 P2的坐标,则需先将两个已知点交换到第 1,2位置再计算,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标推论 4 设 P0,P1,P*为点列 l(P)中取定的相异三点,则
xPPPP?),( 10*
为点列 l(P)与 R 之间的一个双射,其中
)(1
)(0
)(
1
0
*
单位点原点无穷远点
xPP
xPP
xPP
从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比例 3 一直线依次交三点形 P1P2P3的三边 P2P3,P3P1,P1P2于 Q1,Q2,
Q3.在此三边上另取点 Q1',Q2',Q3',使
.),(,),(,),( 33'32122'21311'132 kQQPPkQQPPkQQPP
求证,.1,,).1(
321'3'2'1 kkkQQQ 共线
.1,,).2( 321'33'22'11 kkkQPQPQP 共点
1321?kkk 1321kkk
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比证明,(一 )、准备
§ 1.2,例
1.6
设有以 α=0,β=0,γ=0为边的三线形与过其顶点的三直线,则此三直线共点?其方程可以写成对偶命题 设有以 a,b,c 为顶点坐标的三点形与在其各边上的三个点,则此三点共线?其坐标可以表为
),,(.,,为常数rqpqbpaparcrcqb
),,(.0,0,0 为常数rqpqpprrq
本例 设 P1(a),P2(b),P3(c),则 Q1,Q2,Q3的坐标可以表为
),,().(),(),( 321 为常数rqpqbpaQparcQrcqbQ
又不妨设 Pi,Qi各不相同，则 pqr≠0.
§ 2.1 交比此外，设得则由 11'13221'1 ),().(),( kQQPPcbQcbQ,211
2
1
1
kk
一、点列中四点的交比证明,(一 )、准备因为
.)( 21 qrrcqbQ
于是
.1211 q rkk
从而
).,0().( 2'111'1 PQkrckqbQ
同理
).0().( 22'2 kpakrcQ
).0().( 33'2 kqbkpaQ
从而有,0
321?kkk
§ 2.1 交比
(二 )、证明,主要是运用 § 1.2齐次坐标的基本性质以及线性代数知识,请自学，并认真体会,
注,由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理,Menelaus定理,Ceva定理,见教材,
一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示设 a,b为线束 S(p)中取定的相异二直线,则对于任意的 p∈ S(p),
其坐标可表示为
.Rba称 a,b为 基线,λ为 参数,
注 1
这里 a,b,p均表示直线的齐次坐标,
参数 λ的几何意义？不易说清楚！将给出一种具有明确几何意义的特定参数 λ,容易看出
λ=0 → a; λ=1 → a+b; λ=∞ → b
注 2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比,
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示定义 设 p1,p2,p3,p4为线束 S(p)中四直线，且 p1≠p2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+ λ2b,则记 (p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
pppp (2.5)
称 p1,p2为 基线偶,p3,p4为 分线偶,
定理 2.5 设线束 S(p)中四直线 pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),
则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
pppp (2.6)
2、定义注 上述定义、定理与点列的交比具有完全相同的格式,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义
3、交比为射影不变量定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
证明 设直线 p1,p2,p3,p4的齐次坐标分别为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,
直线 s的齐次坐标为 c,由 Thm.1.6'可以求出点 Pi的坐标分别为
,,,,,,
21
21
13
13
32
32
2
21
21
13
13
32
32
1
cc
bb
cc
bb
cc
bbP
cc
aa
cc
aa
cc
aaP
而 ).(),(
22142113 PPPPPP
于是
).,(),( 4321
2
1
4321 PPPPpppp
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量推论 2.5 设 Pi为点列 l(P) 中四点,Pi与不在 l上的定点 S连线依次为 pi (i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 ppppPPPP?
证明 与定理 2.6完全对偶,
定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),
则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
由定理 2.6和推论 2.5,立即可得下述重要结论定理 2.7 交比为射影不变量,
注 由定理 2.7,关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
(1),斜率表示如图,在以 S(x0,y0)为束心的线束中，取定二直线 x=x0,y=y0,则直线的 (负 )斜率 k可以作为参数来表示线束,
由定理 2.5，可得定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
注 容易看出，斜率参数,Rk?
§ 2.1 交比
(1),斜率表示设直线 pi与 x轴正向的夹角为 αi (i=1,2,3,4),则将 ki=tanαi代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得定理 2.9 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.)s in ()s in ( )s in ()s in (),(
4132
4231
4321 pppp
pppppppp?
其中 (pi pj)表示由 pi到 pj的夹角,
(2),三角函数表示定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
推论 2.6 设 pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线,则 p3,p4为 p1,p2
夹角的内外平分线?(p1p2,p3p4)=–1,且 p3⊥ p4,
证明略,本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
5、直线交比的计算
(1),由已知条件求交比,
方法一,与点的交比计算完全对偶,
方法二,以一条特殊直线截已知线束,转化为点的交比计算,
技巧是,取合适直线,使截点坐标简单,易于计算,
(2),由已知交比和其中三直线坐标,求第四条直线,
与点列的交比对偶,有定理 2.10和推论 2.7,
上述内容不再举例,请自学,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比例 4 (蝴蝶定理 )过圆的弦 AB的中点 O任作另外两弦 CE,DF,
连结 EF,CD交 AB于 G,H,求证,GO=OH.
证明,因为 A,F,C,B为圆上四点,根据教材 P.52例 2.4,有
).,(),( CBAFDCBAFE?
以直线 AB截这两个线束,得
).,(),( HBAOOBAG?
利用交比的初等几何表示 (2.3)式,有
AB
OB
OH
AH
AB
GB
GO
AO,
OH
AH
GO
GB
所以
OH
OHAO
GO
OBGO
OH
AO
GO
OB,OHGO
注：同理可证,G'O=OH'.
§ 2.1 交比
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性定理 2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离,
定理 2.11' 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离,
如图,经过三个对边点 X,Y,Z
各有一个调和直线组,比如 X
.1)','(ttss
如图,在三条对顶线 x,y,z上各有一个调和点组,比如 x
.1)','(TTSS
此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性证明定理 2.11 用综合法,只要证明
.1)','(ttss
以直线 AB截此四直线，得
).,()','( PZABttssX?
只要证明 (AB,PZ)=–1,
).,(),( QZDCPZAB?
以点 Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理 2.6可得
).,(),(),( PZBAQZDCPZAB
也就是
),(
1),(),(
PZABPZBAPZAB
.1),( 2?PZAB
注意到 A,B,P,Z四点互异，必有,1),(PZAB 证毕,
再以直线 CD截此四直线，得
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,
另一对为该边与第三组对边的交点,
推论 2.8' 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线,
.1),(PQXY
比如经过顶点 T,有
.1),(pqxy
此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组比如在边 t上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点,
推论 2.9' 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,
其中一对为边，另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线,
.1),(PZAB
比如经过顶点 a× b,有
.1),(pzab
此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组比如在边 AB上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
分析,利用推论 2.8,构造一个完全四点形,以 l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条过 P3,则另一条与 l
的交点即为 P4.
解,作法,(1),在 l外任取一点 A,连 AP1,AP2.
(2),过 P3作直线分别交 AP1,AP2于 B,D.
(3),连 P1D,P2B交于 C.
(4),连 AC交 l于 P4为所求,
证明,(略 )请自行补出,
注 1 上述实际上也是利用推论 2.9作图,
注 2 本例引申
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
注 2 本例引申
1、给定三点如图，如何作图?
2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
注 3 由上述作图,(P1P2,P3P4)=–1?存在一个完全四点形,
以 P1,P2为两个对边点,并使 P3,P4在另一对对边上,
注 4 注 3的对偶命题,
由上述两点，你想到了什么？
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底,
2、几何证明题证明,如图,ABCD为梯形,AD//BC,E,F
分别为两腰和对角线的交点,EF交 AD,BC于
P,Q,只要证明 P,Q分别是 AD,BC的中点,
考察完全四点形 EAFD,设 AD× BC=G∞,
由推论 2.8,有 (BC,QG∞)=–1,再据推论 2.3,Q
为 BC的中点,
再据推论 2.9,(AD,PG∞)=–1,所以 P为 AD的中点,
本例引申 两个作图题：
1、已知一线段的中点,求作该线段的任一平行线,
2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点,
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
定义 以下三种对应称为一维基本形的 透视对应
(1),点列? 线束,对应元素是关联的
,...),,( CBAs,...),,( cbaS
(2),点列? 点列,对应点连线共点
,..,),,( CBAs,...)',','(' CBAs
(3),线束? 线束,对应直线交点共线
,...),,( cbaS,.,,)',','(' cbaS
(s)
透视中心透视轴注
(1),透视对应是两个一维基本形之间的一个双射,保持任意四对对应元素的交比不变,
(2),连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应,
(S)
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义
1,Poncelet定义设 [π],[π']为两个一维基本形,若存在 n个一维基本形 [π1],[π2],…,
[πn],使得
][? ][ 1?
…
][ n? ]'[?
则称由此决定的 [π]到 [π']的对应为一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
注 1,显然注 2,为一个保交比的双射,
注 3,有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应,
2,Steiner定义如果两个一维基本形之间的一个对应 ]'[][, 满足
(1),υ为一个双射；
(2),υ使得任意四对对应元素的交比相等,
则称 υ为 [π]到 [π']的一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,―=>‖,显然,
―<=‖,用同一法证明点列? 点列,
设 υ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 υ可以表示为有限次透视对应的积,
设 P0,P1,P2为 l(P)上相异三点,P为 l(P)上任意一点,且
'.)(),2,1,0(')( PPiPP ii
则有 ).'',''(),(
210210 PPPPPPPP?
连 P0'P1,P0'P2; P0P1',P0P2',设 P0'P1× P0P1'=Q1,
P0'P2× P0P2'=Q2,
连
Q1Q2=m,连 P0'P交 m于 Q,连 P0Q交 l'于 P'',设 P0P'0交 m于 Q0,
则
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
据 Poncelet定义，有 ),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,―=>‖,显然,
―<=‖,用同一法证明点列? 点列,
设 υ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 υ可以表示为有限次透视对应的积,
).'',''(),( 210210 PPPPPPPP?
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
已经推得结果：
于是 ).'',''()''',''(),(
210210210 PPPPPPPPPPPP
因为 P0,P1,P2互异,故 P0',P1',P2'互异,从而 P'=P'',均有即 ),( PlP
P'=P''=υ(P),υ可以通过两次透视对应得到,υ满足 Poncelet定义,
§ 2.3 一维基本形的射影对应定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
(1),利用 截 的方法,可证两个线束的情况,
也可证明一个点列与一个线束的情况,
注,对本定理的进一步思考,
(2),推论 两个相异的同类一维基本形之间的任一射影对应都可表为不超过两个透视对应的积,
(3),推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表为不超过三个透视对应的积,
(4),Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三双相异的对应元素,求作任一元素的对应元素,
(5),思考,将 (4)中,点列,改为,一维基本形,,
(6),定理 2.13 两个一维基本形间的射影对应可由已知 相异的 三双对应元素唯一确定,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件定理 2.14 两个同类的一维基本形之间的射影对应成为透视对应?公共元素自对应,
证明 由对偶原则,只要考虑点列,
―=>‖ 设点列 l(P)与 l'(P')透视对应,S为透视中心,l× l'=X,由于直线 SX交 l,l'于同一点 X,所以 X自对应,
―<=‖ 设 f,l(P)→ l'(P')为射影对应,使得 f(X)=X,设 f(P)=P'.
在 l(P)上取异于 X的两相异点 A,B,设 f(A)=A',f(B)=B',则 A',B'相异且不同于 X,设 AA'× BB'=S,并设 SP× l'=P''.
设 υ是以 S为透视中心 l(P),l'(P')间的透视对应,则因为射影对应
υ与 f有相异的三双对应点重合,即 A,A'; B,B'; X,X,从而 υ=f,于是
P'=P'',即 f是透视对应,
注,由定理 2.14想到证诸点共线 证其为某两透视线束对应直线的交点,
证诸线共点 证其为某两透视点列对应点的连线,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件例 1 (Pappus定理 )在共面的相异二直线 li
上各取相异三点 Ai,Bi,Ci(i=1,2),设
.,,,
1221
1221
1221
三点共线则 NML
NBABA
MACAC
LCBCB
Pappus线注 1 Pappus定理是第四章中 Pascal定理的退化情况,
注 2 关于 Pappus构图,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义定义 2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系,称由非奇异线性对应
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
决定的两点列间的对应为 射影对应,其中 (x1,x2)与 (x1',x2')为任一对对应点的齐次坐标,ρ为非零比例常数,
(2.10)也常写成
.0||,',''
2
1
2221
1211
2
1
AAXX
x
x
aa
aa
x
x 或定理 2.15 代数定义?Steiner定义,
证明,(略,见教材 ).
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义注 1,当不涉及无穷远元素时,(2.10)可以写成非齐次形式,即
.0||,'
2221
1211?
ijaaxa
axax
或
).0(,0'' bcaddcxbxa xx
注 2,对 (2.10)中比例常数 ρ的理解,
注 3,由 (2.10)理解定理 2.12,相异的三对对应元素唯一确定一个射影对应,
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
例 2,求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)依次对应于 l'
上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义
)10.2(''
2221212
2121111
xaxax
xaxax
例 2,求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)依次对应于 l'
上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
解,设所求对应式为将已知三对对应点的坐标分别代入,得
xi xi'
(1,0) (1,0)
21
111
0 a
a?
(2,1) (–1,1)
22212
12112
2
2
aa
aa
(4,1) (1,1)
22213
12113
4
4
aa
aa
这是由
6个方程构成的关于 7个未知数的齐次线性方程组,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义求解过程：消去 ρi,求出 aij的一组比值即可,
21
111
0 a
a?
22212
12112
2
2
aa
aa
22213
12113
4
4
aa
aa
021?a
代入
222
12112 2
a
aa
223
12113 4
a
aa
04
02
221211
221211
aaa
aaa
解得 1:0:3:1:::
22211211aaaa
于是,所求对应式为
22
211
'
3'
xx
xxx
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义两个重叠的一维基本形之间的射影对应称为 一维射影变换,
即若 υ,[π] [π'],且 [π]=[π'],则 υ称为一维基本形 [π]上的一个射影变换,
注,关于“重叠”,2、代数表示
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
(1),坐标表示其中对应点的坐标是关于一维基本形 [π]上的同一坐标系取得的,
(2),参数表示定义,形如
)0(0'' bcaddcxbxa xx
的方程称为关于 x,x'的 双线性方程,
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
证 ―=>‖,见教材,略,
―<=‖,设一维基本形 (P)上的一个变换 υ使得任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程 (2.13),显然 υ是一个双射,只要证 υ保交比,设 λi,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数,则
.))(( ))((''
31
31
3
3
1
1
31 caca
bcad
ca
db
ca
db
同法可以求出 λ2'–λ4',λ2'–λ3',λ1'–λ4',得到
.))(( ))(()'')(''( )'')(''(
4132
4231
4132
4231
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.15 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
注 1,(2.13)对于线束的射影变换同样适用,
注 2,(2.13)对于一般射影对应适用,只要将 λ,λ' 作为对应元素对于各自基本形中取定基元素的参数,因此,(2.13)可以作为 一维射影对应的参数定义,
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类设有射影变换
)13.2()0(,0'', bcaddcba
若存在,
0 R
使,0)(
020 dcba 则称 A+λ B为 υ的一个 不变元素,
定理 2.17 在实复射影平面上,任一个一维射影变换至少有一个不变元素,非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素,
证明,在 (2.13)中,令 λ=λ',则有一维射影变换的 不变元方程
)14.2()0(,0)(2 bcaddcba
立刻可得结论,据此可得一维射影变换的分类：
0
0 ( 2.14 ) ( 2.13 )
0
相异实根 相异实不变元有两个相同实根 有两个相同实不变元称为共轭虚根 共轭虚双曲型抛不变元物型椭圆型
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,
证明,设 X,Y为两个不变元,P≠P' 为任一对相异的对应元,设
X,Y,P,P' 的坐标依次为 x,y,x+y,x+μy,则这四点的参数依次为 0,
∞,1,μ,于是
.00''00 ddcba
.00'11'1 adcba
.01 cbcb
从而,
.1)',( 常数 bcPPXY?
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,
(2),抛物型射影变换定理 2.19 抛物型射影变换的不变元参数 α与任一对相异的对应元素的参数 λ,λ' 满足
).('11 常数k
证明,略 (见教材 ).
§ 2.4 一维射影变换例 1,设 A1A2A3为坐标三点形,O(1,1,1),A2O× A1A3=A,P是 A2A3
上的动点,PO× A1A2=Q,QA× A2A3=P',若 P,P'的齐次坐标分别为
(0,λ,1),(0,λ',1),求 (P)到 (P')的射影变换的方程和不变元素,
解,显然,P=A3+λA2,P' =A3+λ'A2,所以,只要求出 λ,λ' 的关系式,
)1,1,1(
)0,1,0(2
O
A? 0312 xxOA,? ).1,0,1(A
)1,1,1(),1,,0( OP,0)1(,321 xxxPO
)1,0,1(),1,',0(' AP,0'':' 321 xxxAP
Q
AA
AP
PO
共点于
21
'? 0
100
'1'
11
,01'变换式,?
0'11'1 '令 01
2不变元方程：
,,2A不变元为
§ 2.4 一维射影变换例 2,设 P,P',Q,Q' 为点列 l(P)上射影变换的两对对应点,E是不变点,V,V' 是过 E的直线 l' 上任意两点,PV× P'V'=P'',
QV× Q'V'=Q'',求证,P''Q''× l=F为另一个不变点,
证明,设 P''Q''× l'=F',则有
),',( FEPPl
(P'')
)',',(' FEVVl
)',',(' FEVVl
(Q'')
),',( FEQQl从而,
),',( FEPPl ),',( FEQQl
于是,(PP',EF)=(QQ',EF),从而 E,F为两个不变点,
另法,由作图,有
),,,( FEQP
(V)
),','',''( FFQP
(V')
),,','( FEQP
所以,E,F为两个不变点,
§ 2.4 一维射影变换例 3,设点列 l(P)上射影变换为抛物型的,E是不变点,P,P'为一对相异的对应点,当把 P'看成第一点列的点时,其对应点为 R,求证：
(EP',PR)=–1.
证明,利用上例作图,因为 E是唯一不变点,所以必有
P''Q''× l=E.考察完全四点形 VV'P''Q'',立即可得
.1),'(PREP
法二,代数法,设 E,P',P,R的参数依次为
λ1,λ2,λ3,λ4,由抛物型射影变换的性质,有
:'PP?,11
1213
k
:' RP?,11
1412
k 由此二式，得
.112
141312
变形可得 (EP',PR)=–1.
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义课件作者：南京师大数科院周兴和考察函数,)(,,xxfRRf 有下列性质
(i),f 为一个双射；
(ii).,)()())(()(,,22 xxxfxffxfRxIfff 即?
即,1 ff
将实数轴添加无穷远点,并令在 f 下,无穷远点与自己对应,则
f 是点列上的射影变换,具有如下性质：
xRx 视,
l(P),)(' xxfx
l'(P'),)('
1 xxfx
无论将 x作为第一或第二基本形的元素，
其对应元素相同,
对合的定义
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义定义 2.11,两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意一个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的元素,其对应元素相同,则称这种 非恒同 的射影变换为一个 对合,
定义 2.11',设 f为一维基本形 [π]上的一个 非恒同 的射影变换,若对任意的 x∈ [π],都有 f(x)=f–1(x),则 f称为 [π]上的一个 对合,
注 (1),对合非恒同,
(2),对合是特殊的射影变换,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 2.20 一维基本形 [π]上的一个变换 f为对合?f的任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程
)15.2()0(.0)'(' 2 baddba
注 (1),这里指取定基元素 A≠B,对应元素为 A+ λB? A+ λ'B.
(2),从对应式可见,λ,λ' 的地位完全平等,故无论将一个已知元素的参数 λ0代入到 λ的位置求 λ' (求 f下的像 ),还是代入到 λ' 的求
λ (求 f–1下的像 ),其结果相同,这正蕴含了对合的本质特征,故可作为对合的 参数定义,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 一维基本形 [π]上的一个变换 f 为对合?f 使任一对对应元素的齐次坐标 (x1,x2),(x1',x2')满足注 (1),―=>‖ f 为对合 =>f 为射影变换,将对合条件代入 =>a11= –a22;
―<=‖ 直接验证符合对合定义即可,
(2),
2、坐标形式
).0('' 2112211
2111212
2121111
aaa
xaxax
xaxax
.1122
2
1
'
2
'
1 aa
x
xA
x
x
为对合一维射影变换?
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件定理 2.21 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合,
推论 2.11 三对对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?其参数 pi,pi' 满足
)16.2(.0
1
1
1
'
33
'
33
'
22
'
22
'
11
'
11
pppp
pppp
pppp
证明 Pi,Pi'属于同一对合?apipi'+b(pi+pi')+d=0?此方程组对
a,b,d有非零解?|pipi' pi+pi' 1|=0.
推论 2.12 已知不重合的两对对应元素的 参数 pi,pi' (i=1,2),则由此决定的对合方程为
)17.2(.0
1
1
1''
'
22
'
22
'
11
'
11?
pppp
pppp
1、代数条件
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件
1、代数条件
2、几何条件定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
理解 相互对应 (互易偶 ),设
,.,,),,(,cbaf ( ',',',...),abc
如果
,.,,),,',(,cbaaf ( ',,',',.,,),a a b c
则称 a,a'为 相互对应,也称 a,a'为一个 互易偶,此时,f 对于 a,a'这一对对应元素满足对合条件,只要证明 f 的任意一对对应元素都是互易偶,则 f 必为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
证明 设一维射影变换 f,(P)→( P')由其相异的三对对应元素
Pi? Pi'(i=1,2,3)确定,则有
,.,,),,(,321 PPPf,.,,),,( '3'2'1 PPP
现设 P1,P1'为 f的一个互易偶,即
,.,,),,,(,32'11 PPPPf,.,,),,,( '3'21'1 PPPP
)18.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP
设 P2'作为 (P)的元素时,其对应元素为 (P')中的 Q,来证 Q=P2,因为
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf,...),,,,( '3'21'1 PQPPP
.),(),(),( 2'2'11'21'1'22'11 PQQPPPQPPPPPPP
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf?,.,,),,,,( '32'21'1 PPPP
即 P2,P2'也是互易偶,同理,任意一对对应元素为互易偶,f 为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
)19.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
(2.19)式实际上包含了定理 2.22的全部内容,因此称 (2.19)式为对合的 几何条件,
推论 2.13 三对相异的对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?
),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
利用交比及对合的性质,可以写出 (2.19)的许多等价形式,如
...),,(),(),,(),( 3'321'33'21'33'1'2'3321 PPPPPPPPPPPPPPPP
但是,最重要的是理解并记住 (2.19)式,
不必背诵！
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件四、对合不变元素由对合方程
).0(0)'(' 2 baddba
可得其 不变元素方程 为
)20.2()0(.02 22 baddba
对于上述方程总有 Δ≠0,从而任一对合总有两个相异的不变元素,
定理 2.23 任一对合必有两个相异的不变元素,即任一对合不是双曲型即是椭圆型,不存在抛物型对合,
定理 2.24 一维射影变换 f 成为对合?f 有两个相异的不变元素,
任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离,
即假设 f,(P)→( P')为对合,且 E,F为其两个不变元素,则对 f 的任意一对对应元素 P,P'(P≠P'),均有 (PP',EF)=–1.
§ 2.5 一维基本形的对合例 1 设 A,A'; B,B'为对合的两对对应元素,E,F为其两个不变元素,求证,A,B; A',B'; E,F属于另一对合,
证明,只要证这三对对应元素满足对合的几何条件,因为
FEBA '
FEBA '
所以,
).,'(),'( EFBAEFAB?
从而,
).',()',(),'(),'( BAFEABEFFEBAEFAB
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
由本例可见,不必背诵几何条件的各种形式,关键在于会判别！
§ 2.5 一维基本形的对合例 2 设证明,由题设,有所以,
).,(),( DECABEAC?
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
由对合的几何条件,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,,,( FEDCBA ).,,,,,( FEADCB
求证,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,( EBCA ),,,( ECDB ).,,,( EDAC
同理,).,(),( DFCABFAC?
'33 PP
由本例可见,几何条件中,也可以包含不变元！
FEDCBA
FEADCB
§ 2.5 一维基本形的对合例 3 设 P,P‘; Q,Q’为对合的两对对应点,点偶 A,B满足证明,因为所以,
).,''(),''(1),( BAQPABQPABPQ
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
.1),''(),( ABQPABPQ
求证,A,B也是此对合的对应点偶,
).'',(),( QPBAPQAB?
§ 2.5 一维基本形的对合五,Desargues对合定理定理 2.25 (Desargues对合定理 )不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点,
如图,P,P'; Q,Q'; R,R'属于同一对合,
注,由于对合的特性,图中在同一组对边上带,' ‖和不带,' ‖的字母可以任意标注,注,由本定理引出重要应用：对合对应点的作图,见教材例 2.16.
注,请写出本定理的对偶命题,
§ 2.5 一维基本形的对合例 4 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
证明,取束心为原点建立笛氏坐标系,令 λ,λ'为对应直线的斜率,则对合方程为
)1()0(0)'(' 2 baddba
相互垂直的直线斜率应满足 λλ'=–1,即 λ'=–1/λ,代入 (1),得
)2()0(0)( 22 badbdab
(i),当 (a–d)2+4b2>0时,(2)有两个相异实根 λ1,λ2,据韦达定理,有
λ1λ2=–1,即 λ2=–1/λ1,此时恰有一对对应直线相互垂直,参数为 λ1,λ2,
(ii),(a–d)2+4b2=0,仅当 a=d,b=0时成立,而此时对合方程为
λλ'=–1,方程 (2)有一个二重根,但是由此时的对合方程可见,任一对对应直线都相互垂直,
综上,通常线束的对合至少有一对对应直线相互垂直,
§ 2.5 一维基本形的对合例 4 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
讨论,如果对合 (1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为
λ1?–1/λ1,λ2?–1/λ2,则容易求出由此决定的对合方程为 λλ'=–1,从而任一对对应直线都相互垂直,
问题,此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么？
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应课件作者：南京师大数科院周兴和
1、透视对应两点场间使得对应点连线共点的双射?中心射影
2、射影对应
Steiner定义 设 π,π'为两个点场,若 υ,π→ π'满足
(i) υ为双射,
(ii) υ使共线点变为共线点,
(iii) υ保持共线四点的交比不变,
则称 υ为点场 π到 π'的一个 二维射影对应,
注 1,显然,透视对应是特殊的射影对应,
注 2,显然,二维射影对应使得点对应于点 ; 直线对应于直线,
因此,也称此处的二维射影对应为 直射,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应
Steiner定义 设 π,π'为两个点场,若 υ,π→ π'满足
(i) υ为一一对应,
(ii) υ使共线点变为共线点,
(iii) υ保持共线四点的交比不变,
则称 υ为点场 π到 π'的一个 二维射影对应,
代数定义 设在点场 π,π'上各取定齐次射影坐标系,称由
)21.2(0,0||||
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
ijaA
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
所决定的对应为 π到 π'的一个 二维射影对应,其中 (x1,x2,x3)与
(x'1,x'2,x'3)为对应点的齐次坐标,A称为射影对应的矩阵,
注,显然,(2.21)式为非奇异线性对应,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 Steiner定义?代数定义,
为方便计,在不同的使用场合经常取 (2.21)式的不同写法,如：
)'21.2(0,0||,3,2,1
3
1
'?
j
ijjiji aixax
)''21.2(0,0||
3
2
1
'
3
'
2
'
1
A
x
x
x
A
x
x
x
)'''21.2(0,0||' AAxx
注 1,由于 ρ的存在 (齐次性 ),对任意的 α≠0,αA与 A表示同一射影对应的矩阵,因此 A中 9个元素只有 8个独立,故 A是 8参数的,
证明 (略,请自学教材上的定理 2.26－定理 2.29).
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应注 2,因为 A是非奇异方阵,故可求出射影对应 (2.21)的逆对应,
3
1
'1 )1(0,0|),3,2,1(:
j
jijjii AixAx
其中 σ=|A|/ρ,Aji为 aji的代数余子式,故 (Aji)=A*亦为非异方阵,从而射影对应的逆对应仍然为射影对应,
设直线 u=[u1,u2,u3],即 u1x1+u2x2+u3x3=0,将 (1)代入,有
3
1
3
'
3
3
1
3
1
2
'
21
'
1,0
j
jj
j j
jjjj uAxuAxuAx
这是 π上的一条直线,其坐标为
3
1
',0,3,2,1
j
jiji iuAu
其中 (Aji)=(Aij)'=(A*)'为非异方阵,这表示线场 π与 π'之间由 (2.21)诱导的射影对应,从而我们有教材 P.81表格中的四个式子,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 2.30 任一二维射影对应可由已知其四对对应点 (每一方四点中无三点共线 )唯一确定,
即：设 Pi? Pi'(i=1,2,3,4),且双方均为无三点共线的四点组,则由此可唯一确定 υ,π→ π',使得 υ(Pi)=Pi',i=1,2,3,4.
二维射影对应可由已知一对完全四点形的顶点对应唯一确定,
二维射影对应可由已知一对射影坐标系的对应唯一确定,
注 已知四对对应元素的坐标求射影对应式,类似于一维情况,
§ 2.6 二维射影变换二、二维射影变换对于二维射影对应 υ,π→ π',若 π=π',则称 υ为 二维射影变换,
注 1 射影变换是特殊的射影对应,此时 (x1,x2,x3)与 (x'1,x'2,x'3)
为相对于 π上的同一个射影坐标系而言,
注 2 射影坐标变换式 (1.10)也可看做射影变换,它表示同一点在不同射影坐标系下的坐标间的关系,
三、二维射影变换的不变元素不变元素不变点不变直线二维射影变换的重要内容之一,
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点
P(yi)为射影变换
3
1
' 3,2,1:
j
jiji ixax
的不变点?y1:y2:y3=y1':y2':y3'?存在 α≠0,使得 yi'=αyi?
3,2,1
3
1
iyay j
j
iji令 λ=ρα,?
)(
0)(
0)(
0)(
333232131
323222121
313212111
I
yayaya
yayaya
yayaya
存在 λ,使
)(.0)(||
333231
232221
131211
IIfEA
aaa
aaa
aaa
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点定理 2.31 射影变换 υ有不变点?υ的矩阵 A有特征根,
推论 2.14 平面上任一射影变换至少有一个不变点,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三点共线的 n点组,n的最大值为多少？
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线
l[vi]为射影变换
3
1
' 3,2,1:
j
jjii iuau
的不变直线?v1:v2:v3=v1':v2':v3'?存在 κ≠0,使得 vi=κvi'?
3,2,1)'(
3
1
ivav j
j
jii,去掉“令 γ=μκ,?
)'(
0)(
0)(
0)(
333223113
332222112
331221111
I
vavava
vavava
vavava
存在 γ,使
11 21 31
12 22 32
13 23 33
| ' | ( ) 0,( ')
a a a
a a a A E f I I
a a a
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线定理 2.31' 射影变换 υ有不变直线?υ的矩阵 A有特征根,
推论 2.14' 平面上任一射影变换至少有一条不变直线,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无三线共点的 n线组,n的最大值为多少？
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素例 已知射影变换
)1(2
2
32
'
1
321
'
2
321
'
1
xxx
xxxx
xxxx
求不变元素,
解 第一步,列出特征方程,并求特征根,
,0
110
121
211
.0)2)(1)(1(
从而,特征根为 λ1=1,λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为
32
'
1
321
'
2
321
'
1
2
2
xxx
xxxx
xxxx
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ1=1代入 (I),得
02
0
02
32
321
32
xx
xxx
xx
解出相应的不变点坐标为 (3,2,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ2= –1代入 (I),得
0
03
022
2
321
321
x
xxx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,0,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ3=2代入 (I),得
03
0
02
32
31
321
xx
xx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,3,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为
32
'
1
321
'
2
321
'
1
2
2
xxx
xxxx
xxxx
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ1=1代入 (I'),得
022
0
0
321
321
2
uuu
uuu
u
解出相应的不变直线坐标为 [1,0,–1].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ2= –1代入 (I'),得
02
03
02
21
321
21
uu
uuu
uu
解出相应的不变直线坐标为 [1,2,–7].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ3=2代入 (I'),得
032
0
0
321
31
21
uuu
uu
uu
解出相应的不变直线坐标为 [1,–1,–1].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例课件作者：南京师大数科院周兴和
1、仿射变换定义 3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为 射影仿射变换,
定理 3.1 射影变换
)1.3(0,0||,3,2,1
3
1
'?
j
ijjiji aixax
保持 l∞,x3=0不变?a31=a32=0.
证明,(略,见教材 ).
显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
将 (3.2)式化为非齐次 (前二式分别除以第三式 ),得
)3.3(0||''
22
11
222
111
ba
baA
cybxay
cybxax
称 (3.3)决定的变换为 仿射变换,作用于一般仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
)3.3(0||''
222
111?
A
cybxay
cybxax
中,如果矩阵 A为正交阵,即满足 AA'=E,则称为 正交变换,(3.3)的齐次坐标表达式称为 射影正交变换,
2、正交变换定义 3.2 在仿射变换注,正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同,因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成,也可化为三角函数表达式,(教材 P.89的 (3.5)式 )
正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于射影仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、平面上的几个变换群定理 3.3 非空集合 S上 全体 一一变换的集合对于变换的乘法构成群,称为集合 S上的 全变换群,
定理 3.4 非空集合 S上 若干个 一一变换的集合 G对于变换的乘法构成群?
(1) 若 g1,g2∈ G,则 g1g2∈ G.
(2) 若 g∈ G,则 g–1∈ G.
注,此即子群的条件,
第三章 变换群与几何学二、平面上的几个变换群
K={平面上全体射影变换 }.
KA={平面上全体射影仿射变换 }.
KM={平面上全体射影正交变换 }.
A={平面上全体仿射变换 }.
M={平面上全体正交变换 }.
射影平面仿射平面射影变换群 K
射影仿射变换群 KA
射影正交变换群 KM
仿射变换群 A
正交变换群 M
上述变换群之间显然有下列关系：
KMKAK
MA?
在射影平面 P上在仿射平面 PA上第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点定义 3.6 设 S为一个非空集合,G为 S上的一个变换群,称 S为 空间,S的元素称为 点,S的子集称为 图形,G称为空间 S的 主变换群,
研究空间 S中图形所决定的在 G的每一个元素的作用下保持不变的性质 (不变性 )和数量 (不变量 )的科学称为一门 几何学 (S,G).
S
G
S的子集 (图形 )在 G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的 G性质,构成几何学 (S,G).
注,显然,在 S上给定不同的变换群 G,则可得到不同的几何学,
第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点
Σ≠?,H为 G的子群,且对任意的 g∈ H,都有 g(Σ)=Σ
(例如对任意 τ∈ KA,τ(P\l∞)=P\l∞)；又 HΣ为 Σ上的一个变换群,且 HΣ
≌ H(如 A为 P\l∞上的变换群,A≌ KA),则称 (Σ,HΣ)为 (S,G)的一个以
(S,H)为 伴随绝对子几何学 的 相对子几何学,并称 B=S\Σ为的 绝对形,(如 l∞为绝对形 ).
,S设由此定义,可以得到几何学系列定义 3.7 如果 (S,G)为一个几何学,H为 G的子群,则称几何学
(S,H)为几何学 (S,G)的一个 绝对子几何学,简称 子几何学,
第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点射影几何
),( KP
射影仿射几何
),( KAP
射影欧氏几何
),( KMP
仿射几何 欧氏几何
),( APA ),( MPA
绝对子几何关系相对子几何关系伴随关系绝对形,l∞
KMKAK
MA?
变换群关系第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
1、射影几何学空间 射影平面 P
主变换群 射影变换群 K
研究内容 图形在射影变换下的不变性质和数量关联性，同素性交比注,其余所有射影不变性均可由上述基本的射影不变性演绎,
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 射影仿射平面 P
主变换群 射影仿射变换群 KA
研究内容 图形在射影仿射变换下的不变性质和数量注,通常直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学,
射影仿射几何学空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学绝对形 无穷远直线因为仿射变换群是射影变换群的子群,所以射影不变性必定也是仿射不变的,从而仿射几何的研究内容必定包括射影几何的研究内容,
定理 3.10 仿射变换保持平行性不变,
注,平行性是最基本的仿射不变性,
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学定义 3.8 设 P1,P2为通常直线上的两个相异的通常点,P为该直线上任一通常点,定义注,单比是最基本的仿射不变量,
)6.3()(
2
1
21 PP
PPPPP?
为 P1,P2,P的简单比,或称 单比,称 P1,P2为 基点,P为 分点,
由 (P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可见定理 3.11 单比是仿射不变量,
注,单比与解几中的定比分点相差一个符号,
仿射不变性平行性单比平行线段的比,两三角形面积之比,
线段的中点,三角形的重心,梯形,
平行四边形,……
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
3、欧氏几何学因为正交变换群是仿射变换群的子群,所以仿射不变性必定也是正交不变的,从而欧氏几何的研究内容必定包括仿射几何的研究内容,
定理 3.12 正交变换保持两点间的距离不变,
注,距离是最基本的正交不变性,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,
结论,子几何学的研究内容比原几何学丰富,
4、判定一个几何性质 (量 )是某种几何学的研究对象第四章 二次曲线理论本章是平面射影几何的精华,也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义
Pascal定理
Brianchon定理配极变换射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用,
仿射理论仿射分类二次曲线上的射影对应与对合一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.1 坐标满足
3
1,
)1.4()(0
ji
jiijjiij aaxxaS
的所有点 (x1,x2,x3)的集合称为一条 二阶曲线,其中 (aij)为三阶实对称阵,秩 (aij)≧ 1.
定义 4.1' 坐标满足
3
1,
)'1.4()(0
ji
jiijjiij bbuubT
的所有直线 [u1,u2,u3]的集合称为一条 二级曲线,其中 (bij)为三阶实对称阵,秩 (bij)≧ 1.
注 1,S,T 均为高等代数中的实三元二次型,从代数上看,S=0,
T=0为相同的代数对象；从几何上看,是同一几何对象的不同描述,
因此统称为 二次曲线,
注 2,在需要时,S=0,T=0均可写为矩阵格式,
)1)(,'(.0',0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321
AAAXAXS
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxS 秩或一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.2 如果 S可以 (不可以 )
分解为两个一次因式的乘积,则称 S=0为 退化 (非退化 )二阶曲线,
命题 S=0退化?|aij|=0.
定义 4.2' 如果 T可以 (不可以 )
分解为两个一次因式的乘积,则称 T=0为 退化 (非退化 )二级曲线,
注 3,由对偶原则,我们一般仅讨论二阶曲线,其结论均可对偶地适用于二级曲线,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
证明 (略,见教材 ).
注,若已知两个射影线束 A+λB? A'+ λB'的对应式
)0(0'' bcaddcba
则由此构成的二阶曲线方程为
)2.4(0'''', BcAb A Bd B Ba A A
定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
注,由本定理,一旦二阶曲线由两个射影线束生成,则其上点的地位平等,以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则得到两个也生成此曲线的射影线束,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
证明,设 Γ由 O(P) O'(P)生成,
)()( MBMA
设
'' KPOBM
KOPAM )()( KOPMA
)'(')( KPOMB
只要证
).'(')( KPOKOP
设 '.,'' BAMOBABMAO
),(')( POPO? ).,,,('),,,( MPBAOMPBAO?
分别以 AM,BM截,得 注意到
,MM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM
从而对应点的连线共点,即 AA',BB',KK'共点于 S.但是 OBAOS '
为定点,故当 M变动时,KK'经过定点 S,即 ).'(')( KPOKOP
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P')生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束推论 4.1 平面上五点 (其中无三点共线 )唯一确定一条非退化二阶曲线,
推论 4.1' 平面上五直线 (其中无三线共点 )唯一确定一条非退化二级曲线,
推论 4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成,
推论 4.2' 任一二级曲线可由两个射影点列生成,
推论 4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值,
推论 4.3' 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值,
注,推论 4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用,
)(MA ).(MB
§ 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义由上述的两个定理及其推论,我们有定义 4.3 在射影平面上,称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线,
定义 4.3' 在射影平面上,称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线,
思考,试研究本定义是如何包含退化二次曲线的,
提示,考虑透视对应、射影变换的情况,
§ 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义例 1 求由两个射影线束 x1–λx3=0,x2–μx3=0(λ+μ=1)生成的二阶曲线方程,
解 令,0',0';0,0 3231 xBxAxBxA
利用定理 4.1的证明,此二射影线束
0''
0
BA
BA
生成的二阶曲线的方程为
)2.4(0'''' BcAb A Bd B Ba A A
由 λ+μ=1得 a=0,b=c=1,d=–1,代入上式,得,02
33231 xxxxx
即这是一条退化的二阶曲线,
注 自学教材例 4.2,并回顾 § 2.3(P.67)习题 6,7.
3 1 2 30,0,x x x x
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线本部分总假定,所论二次曲线为非退化的,
1,定义定义 4.4 与二阶曲线 Γ交于两个重合的点的直线称为 Γ的切线,
共轭的虚切线重合的实切线相异的实切线的两条有过内上外在点一般地 PP,
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程问题,已知二阶曲线
)1()(0:
3
1,
jiij
ji
jiij aaxxaS
求过定点 P(pi)的 Γ的切线方程,
设 Q(qi)为平面上任一点,则直线 PQ上任一点可表为 xi=pi+λqi.
PQ为 Γ的切线?Q为 Γ的过 P的切线上的点?PQ交 Γ于两个重合的点?将 xi=pi+λqi代入 Γ,S=0后只有一个解,代入得
0))(( jjiiij qpqpa
即 0)( 2 jijijijiij qqpqqpppa
即 )2(0)(2
jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)2(0)(2 jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
为简便计,引入记号
jiijpp ppaS jiijqq qqaS
jiijpq qpaS jiijqp pqaS
jiijp xpaS jiijq xqaS
.,qppqjiij SSaa
代入 (2)式,得
)3(022 pppqqq SSS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)3(022 pppqqq SSS
从而,Q(qi)在过 P(pi)的切线上?(3)对 λ有二重根?
)4(2 ppqqpq SSS?
(4)式即为 Q(qi)是 Γ过 P(pi)的切线上的点的充要条件,习惯地,将其中的流动坐标 qi换为 xi,得到二阶曲线过点 P(pi)的切线方程为
)5(2 SSS ppp?
(5)式为一个二次方程,故经过平面上一点 P一般有两条切线,如果 P在 Γ上,则 Spp=0,从而,二阶曲线上一点 P处的切线方程为
)6(0?pS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)5()(2 PSSS ppp
)6()(0 PS p
注,Sp=0常用的等价写法
.0),,().1(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
x
x
x
aaa
aaa
aaa
ppp
.0).2( 3
3
2
2
1
1
x
x
Sx
x
Sx
x
S
ppp
.0).3( 3
3
2
2
1
1
p
x
Sp
x
Sp
x
S
请自行证明这三种写法确实都与 Sp=0等价,
(3)式与解析几何中的切线方程一致
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点设 )'1(0||)(0:'
ijjiijjiij bbbuubT
1,定义,一般地,过平面上一点有 Γ'的两条直线,若过平面上某点 P有且仅有 Γ'的一条直线,则称 P为 Γ'的一个 切点,
2,切点方程观点,用两条相交直线描述点,
方法,取一直线 l[li],以动直线 m[mi]与之相交,有交点 l× m.
目标,若 P=l× m为切点,求其方程,
过程,与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程,
结论,
一般 (Γ'在 l上的切点 ),)'5(2 TTT lll?
特殊 (l属于 Γ'),)'6(0?
lT
也有各种常用的等价写法,请自行补出,
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点例 2 如果两个三点形 ABC与 A'B'C'同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线,
证,设交点 D,E; D',E'如图,
因为 A,B,C,A',B',C'在同一条二次曲线上,
据二阶曲线的射影定义,有
)',,,'( ABABC ).',,,'(' ABABC
又
)',,,'( ABABC )',',','('' ADEBBA
)',,,'(' ABABC ).,,,( EBADAB
)',',','('' ADEBBA ).,,,( EBADAB
由二级曲线的射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边,结论成立,
注：本题的逆命题成立,(见教材 P.110,习题 5)
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一定理 4.3(Maclaurin) 一条非退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线,
定理 4.3'(Maclaurin) 一条非退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线,
证明,(略 ),由本定理,设,0:
jiij xxaS
则 [u1,u2,u3]为 Γ
上一点处的切线?
)13.4(0
0321
3332313
2232212
1131211
uuu
uaaa
uaaa
uaaa
展开,得,0||||,.0 2
ijijjiijjiij aAAAuuAT 且注,本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法,
推论 4.4 若 bij=αAij(α≠0),则 S=0与 T=0表示同一条二次曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一例 3 求证,x1x3–x22=0与 4u1u3–u22=0表示同一条二次曲线,
证明,第一步,验证已知两条二次曲线为非退化,
第二步,将 aij,u1,u2,u3代入 (4.13)式,展开即得 4u1u3–u22=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点,
证明,设 Γ1,f≡∑aijxixj=0,Γ2,g≡∑bijxixj=0,则联立
0
0
g
f 即为
Γ1与 Γ2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解,
定义 4.5 设 f=0,g=0为平面上两条相异的二阶曲线,则称由
)14.4(0 Rgf
所决定的二阶曲线的全体为以 f=0,g=0的四个交点为 基点 的 二阶曲线束,若 f=0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的 四点形束,
定理 4.5 经过平面上任一点 P(非基点 ),必有一条二阶曲线属于已知束 f+λg=0.
证明,因为 P不是 f=0与 g=0的交点,故 fpp与 gpp不同时为零,不妨设 gpp≠0,令
.0
pp
pp
g
f 则 f+λ0g=0为过 P且属于 f+λg=0的二阶曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线,
它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边,
注,对定理 4.6的直观理解,如图,三条相异的退化二阶曲线为：;01 CDAB：;02 ADBC：
.03 BDAC：
实用性很强的两种极限形式如下：;01 CDAP：;02 ADAC：
.03 ADAC：;01 CPAP：;02 ACAC：
.03 ACAC：
只有两条相异,只有两条相异,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束例 4 (教材,例 4.3,请自学,体会如何应用二阶曲线束解题 ).
例 5 已知二阶曲线 Γ过点 A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并与直线 l1,
x1–3x2– x3=0,l2,2x1–x2=0相切,求 Γ的方程,
解 易见 A∈ l1,C∈ l2,于是 Γ分别与 l1,l2相切于点 A,C,令 A=B,C=D,则第一步,
,03,321 xxxAB,02,21 xxCD
,0,2?xAC,0,2?xBD
于是,过 A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为：
,0 BDACCDAB?即
.0)2)(3( 2221321 xxxxxx?
第二步,将 E(3,2,1)代入,得 λ=2,故 Γ的方程为
.02772 3231212221 xxxxxxxx
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理两个古老而美丽的定理,内容包括两个定理及其逆定理,以及它们的各种极限、退化形式,
核心是二次曲线的内接简单六点形、外切简单六线形及其各种极限形式,
简单六点形
654321 AAAAAA
简记为,123456
三双对边 12,45； 23,56； 34,61(间隔 (n–2)/2条边 )
简单六线形
654321 aaaaaa
简记为,123456
三双对顶 1× 2,4× 5； 2× 3,5× 6； 3× 4,6× 1(间隔 (n–2)/2
个顶点 )
牢记对边、对顶的规律,对于掌握两个定理十分重要！
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理一,Pascal定理与 Brianchon定理定理 4.7(Pascal) 定理 4.7'(Brianchon)
定理 4.8(Pascal逆定理 ) 定理 4.8'(Brianchon逆定理 )
注,利用 Pascal逆定理,已知平面上五点 (其中无三点共线 ),求作由此五点所确定的二阶曲线上的任一点,(教材,例 4.6,请自学 )
注,Pascal定理的证明见教材,当 Γ退化时,Pascal定理即为 Pappus
定理 (§ 2.3,例 2.10),比较这两个定理的证明过程,异曲同工！
Pascal线
Brianchon点
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式所谓极限形式,是指简单六点形有某些相邻顶点重合,则内接简单六点形实际上成为简单五点形,四点形,三点形,此时,连结重合的相邻顶点的边成为切线,将切线作为边,套用 Pascal定理即可,
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形定理 4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上,
注,图中以红色数字标出的画线次序实际上是给出了根据定理 4.9,已知非退化二阶曲线上相异五点,求作其中一点处的切线的作法,见教材,例 4.7.
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
(1),将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理 4.10
请对照教材,图 4.11标字母,
(2),将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点 定理 4.11
请对照教材,图 4.12标字母,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
3,三对相邻顶点重合 六点形 三点形每个顶点皆为两个重合点 定理 4.12
三、应用
1,作图题 作二阶曲线上的点作切线实例,例 4.6,4.7,4.8
2,证明题 证明共线点,共点线问题关键,如何找出合用的内接六点形？技巧类似于 Desargues定理,请自学,自我体会、总结,
§ 4.3 配极变换一、极点与极线在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与配极有关,只讨论二阶曲线,总假定：非退化,
设
)1(.0||,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS
1,引入定义 4.6 两点 P,Q关于 Γ共轭,(如图 )
定理 4.13 点 P关于 Γ的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
证明 设 P(pi),Q(qi),则 PQ与 Γ,S=0的交点 M(pi+λqi)满足
.022 pppqqq SSS设其两根为 λ
1,λ2,则交点为 Mj( pi+λjqi),(j=1,2),于是 (PQ,M1M2)=–1
λ1/λ2=–1?λ1+λ2=0?
.002 pq
qq
pq S
S
S
将 qi改为流动坐标 xi,得 P关于 Γ的共轭点的轨迹为直线 Sp=0.
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
1,引入定理 4.13 点 P关于 Γ的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
推论 4.5 两点 P,Q关于 Γ共轭?Spq=0.
注 1,P在 Γ上,则 Spp=0,由推论 4.5,Γ上的点关于 Γ自共轭,
注 2,验证两点 P,Q关于 Γ共轭,只要验证
.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
aaa
aaa
aaa
ppp
2,极点与极线定义 4.7 对于点 P,若P 则称 P关于 Γ的 共轭点轨迹 p 为
P 切线 p
P关于 Γ的 极线,方程为 Sp=0,反之,称 P为直线 p关于 Γ的 极点,
注 3,由推论 4.5,定义,相互在对方极线上的两点称为关于 Γ的共轭点,
§ 4.3 配极变换一、极点与极线推论 4.6 平面上任一点 P关于 Γ的极线存在唯一,方程为 Sp=0,反之,平面上任一直线 p关于 Γ的极点存在唯一,
证明 只要证后半,设直线 u,u1x1+u2x2+u3x3=0,求 u关于 Γ的极点,
设 P(pi)为其一个极点,由于 P(pi)的极线唯一存在为 Sp=0,从而 u与
Sp=0为同一直线,由此可以推知
)17.4(.
3
2
1
332313
232212
131211
3
2
1
p
p
p
aaa
aaa
aaa
u
u
u
因为 |aij|≠0,故 (4.17)对于 (p1,p2,p3)有唯一解,即 u的极点 P唯一存在,
(4.17)表示直线 u与它的极点 P之间的关系,称为 极点方程组,
2,极点与极线
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
3,极点与极线的计算
(1),已知 P(pi),求极线,直接求 Sp=0,
(2),已知 u(ui),求极点,将 [ui]代入 (4.17),解出 (pi),(注：在实际计算时,可取 ρ=1,见教材,例 4.11)
注,(4.17)是一个非奇异线性变换,是由 Γ,S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个一一变换,
定义 4.8 相互通过对方极点的直线称为关于 Γ的 共轭直线,
注,利用 Maclaurin定理及对偶原则,有,两直线 p[pi],q[qi]关于 Γ,S=0共轭?Tpq=0?
)19.4(.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
AAA
AAA
AAA
ppp
根据推论 4.5,可以对偶地给出下列定义
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换定义 称由
)18.4(.0||,,3,2,1
3
1
ijjiij
j
jiji aaaixau?
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 Γ,S=0
的 配极变换,
注 1,任一非退化二阶曲线 Γ都决定了平面上的一个配极变换,
注 2,配极变换是异素变换,
定理 4.14(配极原则 ) 点 P关于 Γ的极线 p通过点 Q?点 Q关于 Γ
的极线 q通过点 P,(对偶：直线 p关于 Γ的极点 P在直线 q上?直线 q
关于 Γ的极点 Q在直线 p上,)
注,本定理给出了配极变换的最基本的几何性质,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换推论 4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点；
两直线交点的极线为此二直线极点的连线,
推论 4.8 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线,
推论 4.9 关于非退化二阶曲线 Γ的配极变换使得点列对应于线束,线束对应于点列；图形对应于其对偶图形,
推论 4.10 关于非退化二阶曲线 Γ的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比,因此,配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应,
综上,非退化二阶曲线 Γ 配极变换 二维异素射影变换二维异素射影变换? 对偶变换从而 配极原则? 特殊的对偶原则
§ 4.3 配极变换二、配极变换
2,自极三点形定义 4.10 若一个三点形关于 Γ每个顶点是其对边的极点 (则每边是其对顶的极线 ),则称此三点形为关于 Γ的一个 自极三点形,
定理 4.15 内接于非退化二阶曲线 Γ的完全四点形的对边三点形是关于 Γ的一个自极三点形,
注 1,Γ的自极三点形的任一顶点必不在 Γ上,
注 2,Γ的自极三点形恰有一个顶点在 Γ的“内部”,
注 3,Γ的自极三点形任意两顶点相互共轭 ; 任意两边相互共轭,
例 1,给定不在 Γ上的一点 P(pi),任求 Γ的一个自极三点形 PQR.
解,(i) 求 P(pi)的极线 p,Sp=0.
(ii) 在 p上任取不属于 Γ的一点 Q(qi),求 Q的极线 q,Sq=0.
(iii) 求 p与 q的交点 R(ri),则 PQR必为 Γ的一个自极三点形,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
3,配极变换的基本应用
(1),几何证明题 灵活运用配极原则以及自极三点形等概念
(2),极点极线作图例 2,已知非退化二阶曲线 Γ及不在 Γ上一点 P,求作 P关于 Γ的极线 p.
例 3,已知非退化二阶曲线 Γ以及一直线 p,求作 p关于 Γ的极点 P.
作法,在 p上任取不在 Γ上两相异点 Q,R,
利用上例,作 Q,R关于 Γ的极线 q,r,则
q× r=P.例 4,已知非退化二阶曲线 Γ及 Γ外一点
P,过 P求作 Γ的两切线,
作法一,利用例 2,设 p交于 E,F,连 PE,PF
即可,
作法二,如图,过 P任作三割线,可得切线,
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义定义 4.11 若点 P0(p0i)的坐标是方程组
)1)(,3,2,1,(0
3
1
ijjiij
j
jij aiaaxa 秩的非零解,则称 P0为二阶曲线 Γ,?
3
1,
0
ji
jiij xxa
的一个 奇异点,
注 1,P0为 Γ的奇异点?P0在 Γ上,且 Sp0=0.
注 2,Γ,S=0有奇异点?|aij|=0?Γ为退化的,
注 3,若秩 (aij)=2,则 Γ有唯一奇异点；若秩 (aij)=1,则 Γ有无穷多的奇异点,构成一条直线,
2,性质
(1),定理 4.16,Γ上一点 P为奇异点?P与 Γ上任一点连线上的点都在 Γ上,
证明见教材,请自学,
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义 2,性质
(2),平面上任一点 P的极线必过奇异点 P0.
证,将 P0的坐标直接代入 Sp=0即得,
(3),过 P0的直线上任意异于 P0的点有相同的极线为过 P0的另一直线,
证,设 Γ退化为两直线 m1,m2,则据 (1),
m1× m2=P0,过 P0的直线 p上任一点 P的极线为满足 (PQ,M1M2)=–1的点 Q的轨迹,
显然为满足 (pq,m1m2)=–1的另一直线 q.
从而过 P0的直线 无穷多的极点在过 P0的定直线上,
综上关于退化二阶曲线的配极为奇异的,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩问题,给定适当选取射影坐标系,将 Γ的方程化为 标准方程,
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
取 Γ的一个自极三点形,设其顶点为 A'1(pi),A'2(qi),A'3(ri),取
E'(pi+qi+ri)为新的单位点,建立新的射影坐标系,据 (1.10)式,坐标变换的逆式为
)10.1(.
'
3
'
2
'
1
333
222
111
3
2
1
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
代入 (1),由教材 P.124推导,Γ的方程化为
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
再作一次仅改变单位点的射影坐标变换
3,2,1,
||
1 ''
'
' ix
a
x i
ii
i?
S'=0又可化为
.0'' 2''32''22''1 xxxS
去掉,'' ‖之后,由于齐次性及 x1,x2,x3的平等性,只有两种情况：
2 2 21 2 3 0.x x x 实二阶曲线（长圆曲线）
虚二阶曲线（零曲线）,0232221 xxx
综上,非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种 标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
2,|aij|=0,秩 (aij)=2.
Γ退化为两条相交直线 m1,m2,Γ的自极三点形不存在,
取新的射影坐标系如图所示,Γ的方程化为
.02221 xx
即一对共轭虚直线,02221 xx
一对相交实直线,02221 xx
综上,当二阶曲线 Γ退化且秩为 2时,其方程必可化为上述两种标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
3,|aij|=0,秩 (aij)=1.
Γ退化为一条完全由奇异点构成的直线,取此直线为坐标三点形的一边,比如 A'3A'1,则 S=0必可化为一对重合实直线,021x
综上,当 Γ退化且秩为 1时,Γ的方程必可化为上述 标准方程,
由以上讨论,我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表,
二阶曲线被分成 5个等价类,属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述 5种 标准方程 之一,
注,给定二阶曲线 Γ的方程,适当选取射影坐标系,将 Γ的方程化为射影标准方程的实例见教材,请自学,
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应总假定：所论二次曲线非退化,
定义 4.12 二阶曲线 Γ上全体点的集合称为一个 二次点列,Γ
称为这点列的 底,
记作 Γ(A,B,C,…) 或 Γ.
定义 4.12' 二级曲线 Γ'上全体直线的集合称为一个 二次线束,
Γ'称为这线束的 底,
记作 Γ'(a,b,c,…) 或 Γ'.
定义 4.13 设 A,B,C,D为二次点列 Γ上四点,则其 交比 定义为
(AB,CD)=S(AB,CD).
其中 S为 Γ上任意一点,若上述交比为 –1,则称这四点构成二次点列
Γ上一个 调和点组,
注,由推论 4.3,本定义是合理的,
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应定义 4.14 如图所示点列、线束与二次点列之间的透视对应,
定义 4.15 若两个二次点列分别与两个射影线束透视,则这两个二次点列成射影对应,
记作,S(P) Γ(P)； x(P1) Γ(P).
S(P) Γ(P)
S'(P') Γ'(P')
S(P) S'(P') Γ(P) Γ'(P')
注 (Thm.4.17),(1) 对于二次点列间的射影对应,也可由已知相异的三对对应点惟一确定,
(2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射,
(3) 有类似的 Steiner作图法 (图 4.26).
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换,
定理 4.18 (Steiner)设 f 为二次点列 Γ上的一个非恒同的射影变换,则存在惟一直线 p0,使得对于 f 的任何两对对应点 A,A'; B,B',
都有 PAB=AB'× A'B在直线 p0上,直线 p0称为 f 的 射影轴,简称 轴,
证明,(略,见教材 ).
注,射影轴即为 Pascal线,轴与 Γ的交点即为 f 的 不变点,
推论 4.11 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三对对应点完全确定,
推论 4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其轴和一对相异的对应点完全确定,
f 的射影轴
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 4.17 二次点列上的 双曲型,抛物型,椭圆型 射影变换,
注,二次点列 Γ上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆型?f 的轴与 Γ相交、相切或不相交 (交于一对共轭虚点 ).
定理 4.19 f,Γ(P) Γ(P')
S(P) Γ(P)
S(P') Γ(P')
x(P1) Γ(P)
x(P'1) Γ(P')
fS,S(P) S(P') fx,x(P1) x(P'1)
f 与 fS,fx为同型射影变换,
定理 4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换,其两个不变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数,称为 特征不变量,
体会,通过透视对应,一维基本形的射影对应、射影变换的许多性质都可移植到二次点列上来,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合定义 二次点列 Γ上的一个非恒同的射影变换 f 称为 对合,如果任取 Γ上一点 S与 f 的对应点连线得到线束 S中一个对合 f0.
注,二次点列上的对合可视为由与之透视的线束的对合诱导,
定理 对于二次点列 Γ,下列结论成立：
(1) Γ上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定；
(2) Γ上的一个非恒同的射影变换 f 为对合?f 有一对对应元素相互对应；
(3) Γ上对合的几何条件,(P1P'1,P2P3)= (P'1P1,P'2P'3)；
(4) Γ上对合 f 的射影轴 p0称为 f 的 对合轴,
注,如右图,p0为对合轴,由此又可推出一些有趣的结论,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合推论 对于二次点列 Γ上对合 f
(1) f 的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定 ;
(2) f 可由其对合轴惟一确定 ;
(3) 在 f 的任意一对相异的对应点处 Γ的切线交于对合轴 p0.
定理 二次点列上任意对合的特征不变量为 –1,即二次点列上对合的任一对相异的对应点被两个不变点调和分离,
定理 二次点列 Γ上对合 f 的任一对对应点的连线过一定点；
以不在 Γ上的任一点为束心的线束中每一直线与 Γ的交点是 Γ上同一对合的对应点,
上述定点称为 f 的 对合中心,对合中心是对合轴的极点,
二次点列 Γ上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定,
利用配极变换又可得：
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系定义 4.21 对于任意的二阶曲线 Γ,若 Γ交无穷远直线于两个相异的实点重合的实点共轭的虚点
,则称 Γ为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的若 Γ非退化,则称为双曲线抛物线,
椭圆双曲线抛物线椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系设
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩其中 xi为齐次仿射坐标,则 x1,x2地位平等而 x3特殊,Γ与 l∞的交点为
0
0
3x
S,02 222221122111 xaxxaxa
解出 x1:x2即得交点 (x1,x2,0),于是,对于 x1:x2,有两个相异的实根重合的实根共轭的虚根
0
0
0
33
2212
1211 A
aa
aa? Γ为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的定理 4.25 对于二阶曲线 Γ,S=0,A33的符号 为仿射不变的,
由于 l∞,x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与 l∞的相交情况也是仿射不变的,所以有下列定理
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化,
定义 4.22 l∞关于 Γ的极点 C称为 Γ的 中心,
1,定义
2,性质
(1),通常点 C为 Γ的中心?C为 Γ的对称中心
(即 C为过 C的弦的中点 ).
证明 设 p为过 C的直线,交 Γ于 A,B,交 l∞于 P∞,据中心的定义,C
为中心?(AB,CP∞)=–1?C为 AB的中点,从而仿射定义 解几定义(AB,CP∞)=–1
(2),双曲线,椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点,
双曲线椭圆 有心二阶曲线,033?A 无心二阶曲线抛物线,033?A
§ 4.6 二次曲线的仿射理论二、二阶曲线的中心
1,定义 2,性质 3,中心坐标因为中心 C为 l∞的极点,设 C(c1,c2,c3),则中心方程组为
.
1
0
0
3
2
1
332313
232212
131211
c
c
c
aaa
aaa
aaa
0
0
323222112
313212111
cacaca
cacaca
0
0
2
1
C
C
x
S
x
S
.:::,333231321 AAAccc?
于是,中心坐标为：
有心二阶曲线,(A31,A32,A33).
无心二阶曲线,(A31,A32,0),即 (a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义
(1),直径仿射定义 解几定义无穷远点 P∞的有穷远极线 (过中心的通常直线 ).
一组平行弦中点的轨迹,
(XY,ZP∞)=–1
(2),共轭直径直径 AB的共轭直径为 AB上无穷远点 P∞
的极线 EF(相互通过对方极点的两直径 ).
直径 AB的共轭直径为平行于 AB的弦的中点轨迹 EF.
(XY,ZP∞)=–1
仿射定义 解几定义
(3),共轭方向：与一对共轭直径平行的方向,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质
(1),有心二阶曲线 Γ
(i) Γ的任一对共轭直径与 l∞一起,构成
Γ的一个自极三点形,
(ii) Γ的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,
且平行于共轭直径与 Γ交点处的两切线,
(2),抛物线 Γ
(i) Γ的直径相互平行 (注,l∞不是抛物线的直径 ).
(ii) Γ的任一直径的极点为其与 Γ有穷远交点处切线上的无穷远点,
(iii) Γ的任一直径平分其与 Γ有穷远交点处切线平行的弦,(XY,ZP∞)=–1.
(iv) 抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(i) 直径的方程,因为直径是以 Γ的中心为束心的线束中的直线,
以两特殊直径参数表示,取两无穷远点 (1,0,0),(0,1,0),其极线 (对应的直径 )方程为
0:
0:
3232221122
3132121111
xaxaxal
xaxaxal 即
0
0
2
1
x
S
x
S
从而任一直径可表为
12
,0,( 4,3 7)SSl k k Rxx
注,k的几何意义,(4.37)表示的直径 l方程可改写为：
001
321
xSkxSxS
这说明 l为 (1,k,0)的极线,而 (1,k,0)是 l的共轭直径上的无穷远点,从而,(4.37)中的参数 k为直径 l的共轭方向 (共轭直径的斜率 ).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(ii) 两直径共轭的条件,设直径
0:
21
xSkxSl
的共轭直径为 l'.
则 l'为 l上的无穷远点 (a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线,从而 l'的方程为
.0)()( 1211
2
2212
1
kaaxSkaaxS
即
.0'
21
xSkxS
其中
2212
1211'
kaa
kaak
为 l的斜率,即
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
从而,两直径共轭?两直径的斜率满足对合方程,
性质,在以有心二阶曲线 Γ的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合对应,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(2),抛物线 Γ
利用中心坐标,可直接写出 Γ的直径方程为
.)(0
12
11
3212111 bxa
aybbxxaxa 即为常数或者
.)(0
22
12
3222112 bxa
aybbxxaxa 即为常数
(a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义,二阶曲线上无穷远点处的 有穷远切线 称为其 渐近线,
注 1,等价定义,过中心的 有穷远切线 称为渐近线,
注 2,与渐近线平行的方向称为 渐近方向,
注 3,双曲线椭 圆 有两条实虚 渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线,
从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义
2,性质
(1),渐近线是自共轭的直径,
(2),在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
的两条不变直线,
(3),有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径,
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
法一,利用对合不变元素,在
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
中,令 k=k'得
02 1112222 akaka
此对合不变元素方程即渐近线方向的方程,求出两根 ki,分别代入
0
21
xSkxS即可得两渐近线方程,
评注,此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则 ki中应有 0或 ∞,实际计算时容易丢失一条渐近线,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法二,利用中心和渐近方向,
评注,此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出 (一般可不分解为一次式 ).
得，联立
0
0
3x
S
,02 222221122111 xaxxaxa
这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为 Γ与 l∞的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得
.02 22212211 yaxyaxa
设中心的非齐次坐标为 (ξ,η),则渐近线的方程为
.0)())((2)( 22212211 yayxaxa
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法三,利用切线方程,渐近线为过中心的切线,将中心 P(A31,A32,A33)
代入 SppS=S2p,即得渐近线方程,现对此法进行整理,因为评注,此法推导繁,实用并不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,|aij|已有,再判断是否有心,A33也已知,从而 λ为已知,
3
3
2
2
1
1
xxSxxSxxSS
ppp
p
由于 P为中心,所以上式前二项的系数等于 0,从而,
3
3
xxSS
p
p
将中心坐标代入,得,||)(
33333332323131 xaxAaAaAaS ijp
由此又得
.|| 33AaS ijpp? 从而,过中心的切线 (渐近线 )方程为
.|||||| 233323233 xaSAxaSAa ijijij
令
./|| 33Aa ij 得渐近线方程为
.023 xS?
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 1,双曲线的任一切线交两渐近线于两点,求证：切点是此二交点连线的中点,
证明,如图,只要证 (PQ,MN∞)=–1.
为此,只要证 CM,CN∞为一对共轭直径,
M的极线为 PQ
C的极线为 l∞ CM的极点为l
∞× PQ=N∞N
∞的极线为 CM
C的极线为 l∞ CN∞的极点为l
∞× CM=M∞
CM,CN∞为一对共轭直径,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 2,任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段,
证明,目标,PA =BQ.
取 AB中点 M,则
.1),(MNAB
从而,M在 N∞的极线上,CM是平分与 AB平行的弦的直径,且 CM,
CN∞为一对共轭直径,于是有
.1),(.1),( MNPQMNPQC 即即 M也是 PQ的中点,于是有 PA =BQ.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 3,求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线围成的三角形面积为定值,
证明,目标：三角形 ABC面积为定值,
只要证
CBAABC SS ''
只要证
''' B A BABA SS
,'//' BAAB只要证
只要证 AB',A'B,l∞共点于 P∞.
因为 AB,A'B',t,t'构成 Γ的一个外切四线形,根据定理 4.10的对偶,我们有,这个四线形两双对顶的连线 (即 AB',A'B)与两组对边上切点的连线 (即 l∞与 AB,A'B'上的切点连线 )必定四线共点,立即得结论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 4,从双曲线上任一点分别作平行于两渐近线的直线,求证：这两直线与两渐近线围成的平行四边形面积为定值,
证明,目标：四边形 ACBM面积为定值,
过 M作的切线,分别交 Γ的两渐近线于 P,Q,则 M为 PQ的中点,
上述图形在欧氏平面上如右,
利用例 3及初等几何知识,立即可得结论,
思考,对于上述例 1－例 4,你能够用解析几何的方法证明吗？如果能,请将证明过程与高等几何的证明过程作比较,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 5,设 PP'是二阶曲线 Γ的直径,任一点 Q处的切线交 P处的切线于 R,P'Q交 PR于 X,求证：
PR=RX.
证明,因为 PP'是直径,所以 P,P'处的切线交于
P∞,只要证
.1),(RPPX
设 Q处的切线交 P'处的切线于 T,则 P∞RT为 Γ的一个外切三线形,
据定理 4.12的对偶,PT,P'R,P∞Q三线共点于 U.
从而,RUTP∞为一个完全四点形,由此立即可得
.1),(RPPX
故 R为 PX的中点,即 PR=RX.
问,本题是否有问题？ 应该限定为有心二阶曲线！
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 6,如图,T是有心二阶曲线 Γ的弦 QQ'的极点,
O为中心,OT交 QQ'于 V,交 Γ于 U,U',
求证,(1),QV=VQ'； (2),OU 2=OV?OT.
证明,(1),设 P∞为 QQ'上的无穷远点,则 QV=VQ'
(QQ',VP∞)=–1,只要证 V在 P∞的极线上,因为
P∞在 T的极线上? P∞的极线过 T
Γ为有心曲线? P∞的极线为直径过 O P∞的极线为 OT,过点 V.
所以,(QQ',VP∞)=–1,即有 QV=VQ'.
(2),因 QQ'为 T的极线,故 (TV,UU')=–1,又 O为中心,故 UO=OU',
即 OU'=–OU,所以
1)',(UUTV? 1''TUVU VUTU? ''' VUTUVUTU
)')('()')(( OUVOOUTOOUVOOUTO 展开即得结论,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类问题,给定
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩适当选取仿射坐标系,将 Γ的方程化为仿射标准方程,
依据,Γ的秩,A33的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的仿射标准方程,
注意,因为无穷远直线 l∞,x3=0在仿射变换下保持不变,故在选取新的仿射坐标系时必须保持 A1',A2'总取在 l∞上,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
1,A33≠0,有心二阶曲线,
取中心为 A3',任取一对相异的共轭直径,其与
l∞的交点分别取作 A1',A2',则三点形 A1'A2'A3'为 Γ
的一个自极三点形,
以 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 E'(按照 (1.10)式要求 ),建立新的仿射坐标系,据 § 4.4,S=0可以化为
.0'' 232221 xxxS
注意到 x1,x2地位平等,而 x3特殊,从而有下列三个等价类
)1(00
)1(0
)1(0
0
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
33
yxxxx
yxxxx
yxxxx
A
双曲线虚椭圆实椭圆在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述 标准方程 之一,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
2,A33=0,无心二阶曲线,即抛物线,
以 l∞为一边的自极三点形不存在,取中心 (无穷远切点 )为 A1',取一直径与 Γ的有穷远交点为 A3',A3'
处的切线上无穷远点取作为 A2'.
在仿射平面上,任何无心二阶曲线 (抛物线 )皆可化为上述 标准方程,
以上述三点形 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 (限制条件同上 )建立仿射坐标系,据 § 4.4,习题 2(或见本节教材上的论证 ),
Γ的方程可以化为
.02 '3'1'132'2'22 xxaxa
再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得 Γ的仿射标准方程
)2(.02 23122 pxyxxx 即
§ 4.7 二次曲线的仿射分类二,Γ退化 |aij|=0
综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为 11个等价类,任何二阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述 11种 标准方程 之一,
秩 (aij) =2
秩 (aij) =1
依其奇异点情况及与 l∞的关系,分成 7个仿射等价类,
请自学教材中的例 4.22,对于仿射平面上任给的二阶曲线,我们一般需要做的基本工作有：
*判断是否退化；
*判断是否有心；给出粗略分类；
*求出中心坐标；
*求出一对共轭直径；
*求出渐近线；
*求仿射坐标变换,化曲线方程为仿射标准方程,
*利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 1,求证：在仿射坐标系下
00)(2)( 2 qprqypxyx
表示抛物线,试说明 αx+βy+γ=0与 px+qy+r=0的几何意义,
证明,令
yxy
rqypxx
'
'
因为,0?
qp
所以上式为仿射变换,将其视为仿射坐标变换,则已知曲线的方程可化为
)02(0'2','3'12'22 xxxxy 齐次形式为：
Γ为抛物线,
Γ× l∞=(1,0,0)在 x'轴上,故 x'轴 y'=0即 αx+βy+γ=0为 Γ的一条直径,x'=0即 px+qy+r=0为 y'=0即 αx+βy+γ=0与 Γ有穷远交点处的切线,
—
南京师范大学 周兴和课 程 概 论一、高等几何的内容高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础
……
本课程主要介绍平面射影几何知识 (教材前四章 )
课 程 概 论一、高等几何的内容什么是射影几何？ 直观描述欧氏几何 仿射几何 射影几何十九世纪名言 一切几何学都是射影几何
鸟瞰下列几何学欧氏几何 (初等几何 )
研究图形在“搬动”之下 保持不变的性质和数量
(统称 不变性,如距离、角度、面积、体积等 )
搬动 正交变换 对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何 研究图形的正交变换不变性的科学仿射几何平行射影仿射变换仿射几何 研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性 比如 ——平行性、两平行线段的比等等射影几何中心射影射影变换射影几何 研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性 比如 ——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！
课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法综合法 给定公理系统 (一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统 )，演绎出全部内容解析法 形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程 以解析法为主，兼用综合法课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的
学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。
训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。
新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。
课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的四、计划及注意点
周学时 3，一个学期，第一～四章
把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。 线性代数＋齐次性
第五章：自学阅读材料第一章 射影平面本章地位 学习平面射影几何的基础本章内容 定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理 Desargues透视定理学习注意 认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影定义 1.1 ',ll
因此,υ–1,l' → l是 l' 到 l 的中心射影
OP 投射线
P' l 上的点 P在 l'上的像
P l' 上的点 P'在 l上的像
OV'与 l不相交,V'为 l'上的 影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个 双射
X=l× l' 自对应点 (不变点 )
OU与 l'不相交,U为 l上的 影消点三个特殊的点：
( ')O O l l投射中心
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
2、平面到平面的中心射影定义 1.2 ',
OP 投射线
P' π上的点 P 在 π'上的像
P π'上的点 P'在 π上的像因此, ':1 是 π'到 π的中心射影自对应直线 (不变直线 )
三条特殊的直线：
'x
,u为由 影消点 构成的 影消线'//,, OUuUu
,v'为由 影消点 构成的 影消线 //','','' OVvVv
影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个 双射
( ')OO投射中心
§ 1.1 拓广平面一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影定义 1.1 ',ll
2、平面到平面的中心射影定义 1.2 ',
} 均不是双射中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一个双射？
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面一、中心射影二、无穷远元素目标,改造空间，使得中心射影成为双射途径,给平行直线添加交点要求,不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点 (交点 )
两个相异点确定惟一一条直线 (连线 )
} 点与直线的关联关系
§ 1.1 拓广平面二、无穷远元素约定 1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点,称为 无穷远点 (理想点 )，记作 P∞
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同,
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点 (通常点 )，记作 P
约定 1.1 (3) 按约定 (1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为 无穷远直线 (理想直线 )，记作 l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线 (通常直线 ),l
总结,在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射,
§ 1.1 拓广平面理解约定 1.1(1),(2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点,平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行,
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点,
3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数,
4、不平行的直线上的无穷远点不同,因而，对于通常直线：
两直线 平 行不平行 交于惟一 无穷远点有穷远点 平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点,
6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点,
§ 1.1 拓广平面理解约定 1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹,无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上,
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点,
3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线,
4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行,因而，对于通常平面：
两平面 平 行不平行 交于惟一 无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面三、拓广平面定义 1.3 通常点和无穷远点统称 拓广点 ；
添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为 拓广直线 (射影仿射直线 )；
添加无穷远直线后的平面称为 拓广平面 (射影仿射平面 ).
定理 1.1 在拓广平面上,点与直线的 关联关系 成立,
(1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线；
(2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点,
(1) 拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展
1、拓广直线 (射影仿射直线 )
§ 1.1 拓广平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
(i) 欧氏平面上的圆 (ii) 叠合对径点的圆
(iii) 欧氏平面上过原点的直线的集合 (线束模型 )
(iv) 欧氏平面去掉原点后，
过原点每一直线的所有点作为拓广平面的一个点
§ 1.1 拓广平面
(3) 拓广直线的拓扑模型 (4) 拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。
欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。
拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶 A,B分离 点偶 C,D 点偶 A,B不分离 点偶 C,D
§ 1.1 拓广平面
(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线 不能 划分拓广平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为 四个 不同的区域两条相交直线划分拓广平面为 两个 不同的区域在拓广平面上，可以证明：
I,II为同一区域
III,IV为同一区域
2、拓广平面 (射影仿射平面 )
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型
(1) 拓广平面的封闭性 (从两个方面理解 )
§ 1.1 射影平面
(2) 拓广平面的拓扑模型
(i) 叠合对径点的球面 (ii) 欧氏空间过原点的直线的集合 (线丛模型 )
(iii) 叠合赤道上对径点的半球面
(iv) 叠合周界上对径点的圆盘
2、拓广平面 (射影仿射平面 )
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型
(1) 拓广平面的封闭性 (从两个方面理解 )
§ 1.1 拓广平面
M?bius带
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
1、一维基本形
(1) 点列 (同一直线上点的集合 )
记号
l(A,B,C,…) 或 l(P)
底 元素
(1)' 线束 (平面上过同一点的直线的集合 )
记号
L(a,b,c,…) 或 L(p)
束心 元素
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
2、二维基本形
(2) 点场 (同一平面上点的集合 )
(2)' 线场 (同一平面上直线的集合 )
π称为点场的 底,其上的点称为 元素,
π称为线场的 底,其上的直线称为 元素,
显然，一维基本形和二维基本形都是 射影不变的
§ 1.1 拓广平面五、射影基本形
3、一对重要的基本图形三点形 (不共线三点及其两两连线构成的图形 )
顶点,A,B,C
边,BC,CA,AB
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变三线形 (不共点三直线及其两两交点构成的图形 )
边,a,b,c
顶点,b× c,c× a,a× b
记法,三点形 ABC 记法,三线形 abc
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标引入目的 为了用代数的方法 (解析法 )研究射影几何基本要求 既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径 从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于 齐次性,
因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识,
尽管针对拓广平面,但是今后通用齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系一,n 维实向量类
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
}|),,,{( 21 RxxxxR innn 维实向量的集合定义等价关系 ~,,0~ yxRyx 使得
n 维实向量类的集合
(用圆括号记向量 )
x=(x1,x2,···,xn) )2(~/})0{\(1 nRRP nn
n 维实向量类的集合
(用方括号记向量 )
x=[x1,x2,···,xn]
)2(~/})0{\()( *1 nRRP nn
事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算二、齐次点坐标定义 1.4
有穷远点无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对一维齐次点坐标定义的进一步理解
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标
(x1,x2) (x2≠0)x x= x1 / x2
(x1,0) (x1≠0)
(1).,lP 都有齐次坐标 );,(
21 xx
反之，
221 2 1 2(,) ( 0 )x x x x
都对应唯一一点,lP? (0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2).,0 R ),(
21 xx
与 ),(
21 xx
是同一点的齐次坐标,因此，
直线上每个点都有无穷多组的齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,x2),特别地,(0,1).
无穷远点,(x1,0),特别地,(1,0).
(4),齐次坐标的集合为 (2维实向量类的集合 )：
~/})0{\(~/) } )0,0{(\}|),( { ( 2121 RRPRxxx i
此即 拓广直线的线束模型,
二、齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
1,一维齐次点坐标引入,P 可视为 ).(
2121 llllP
P为通常点无穷远点
.// 21 ll
.// 21 ll
设 li,Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1,2),记 |AB| 表示 11
22
,...ABAB
(1),P为通常点,.//
21 ll
设 P(x,y),则
,|| || ABBCx?,|| || ABCAy?,0||?AB
令 |BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3,则
.0,,3
3
2
3
1 x
x
xy
x
xx
从而 x,y,1=x1,x2,x3,于是,可以把与 (x,y,1)成比例的任何有序实数组作为点 P的齐次坐标,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标引入 (2),P=P∞,l1 // l2,即 P∞为 l1,l2方向上的无穷远点,
目标,构造 P∞的齐次坐标，使之仅与 l1,l2的方向 (斜率 )有关,
因 l1 // l2,故前述 x3=0.考虑取 (x1,x2,0)为 P∞的齐次坐标,只要证明 x1,x2仅与 li的方向 (斜率 )有关,
221 2 1 2,0,l l x x
当 li不平行于 y轴时，即 x1≠0,不难证明,
2
2
1
1
1
2
B
A
B
A
x
x
其中 λ为 li的斜率,即 (x1,x2,0)表示方向为 λ的无穷远点,特别地,若
x2=0,则表示 x轴上的无穷远点,
当 li平行于 y轴时,λ=∞,可合理地取 (0,x2,0) (x2≠0)为 y轴上无穷远点的齐次坐标,引出定义
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.5
有穷远点方向为
λ=x2/x1的无穷远点非齐次 齐次坐标关系注 对二维齐次点坐标定义的进一步理解
y轴上的无穷远点
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(x,y) x = x1 / x3,y = x2 / x3 (x1,x2,x3) (x3≠0)
(x1,x2,0) (x1≠0)
(λ=x2/x1)
(0,x2,0) (x2≠0)
无穷远点
(1),对任意的 P∈ π,都有齐次坐标 (x1,x2,x3),对于通常点 x3≠0；对于无穷远点 x3=0,但 x12+x22≠0,反之,任给 (x1,x2,x3) (x12+x22+x32≠0),
都对应惟一一点 P∈ π,(0,0,0)不是任何点的齐次坐标,
(2),对任意的 0≠ρ∈ R,(x1,x2,x3)与 (ρx1,ρx2,ρx3)是同一点的齐次坐标,因此,平面上每个点都有无穷多组齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,
(3),原点,(0,0,x3),特别地 (0,0,1); 无穷远点 (x1,x2,0),若 x1≠0,则可表为 (1,λ,0),其中 λ为该无穷远点的方向,特别地,x轴上的无穷远点为 (1,0,0),y轴上的无穷远点为 (0,1,0).
(4),平面上点的齐次坐标的集合为 (3维实向量类的集合 ),
23321 ~/})0{\(~/) } )0,0,0{(\}|),,( { ( RPRRxxxx i
此即 拓广平面的线丛模型,
2,二维齐次点坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标二、二维齐次点坐标例 1 求下列各点的齐次坐标,
(1).
)0,0(1P
)0,1(2P
)1,0(3P
)35,2(4P
齐次坐标 (一般形式 )
)0(),,0,0( 331?xxP
)0(),,0,(2P
特定一组
)1,0,0(1P
)0(),,,0(3P
)1,0,1(2P
)1,1,0(3P
)0(),,35,2(4P
)3,5,6(4P
(2),求直线 0143 yx 上的无穷远点,
斜率 4/3?k 代入 )0,,1( k 所求无穷远点为
),0,43,1(
也就是 ).0,3,4( 0 CByAx 上的无穷远点为 ).0,,( AB?
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标三、直线的齐次坐标方程定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为
.0
3
1
i
ii xu
(1.1)
反之,(1.1)表示直线,称 (1.1)为 直线的齐次方程,
推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为
.02211 xuxu
注,定理 1.2不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法,见教材 P.11.
归纳 点的齐次坐标是一个双射 υ,即拓广平面上的点坐标映射
2,RP 点场
.),,(,:,2321 RPxxxxxPP
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标改变一下你的几何学观点点 直线 曲线坐标 方程 点的轨迹点几何学线几何学 方程 坐标 直线族的包络为了学习线几何学，引进线坐标概念主要困难 来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰,
四、齐次线坐标
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标
1,定义 将直线 l,?
3
1
0
i
ii xu
中的系数称为 l的 齐次线坐标,记作
].,,[ 321 uuu
注 2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质,
注 3
y轴,].0,0,1[0
1x
x轴,].0,1,0[0
2x
].1,0,0[03x:?l
过原点的直线,].0,,[0
212211 uuxuxu
思考,注 3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同 (忽略括号差别 )？
注 4 由定义,方程 系数 坐标 实现互化,故 ψ可由 υ诱导,
注 1 直线的齐次坐标为一双射 ψ,称为拓广平面上的线坐标映射
*2 )(,RP 线场
.)(],,[,:,*2321 RPuuuuull
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
)2.1(03
1
i
ii xu
定理 1.3 在齐次线坐标下，点 x在直线 u上?
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标定义 1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点 P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的 齐次方程,
定理 1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为
)3.1(.0332211 uauaua
反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点,
2,点的齐次方程
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注 对 (1.4)的新理解,
x u
(1.4)
变
(流动 )
不变
(常数 )
直线 u的方程几何意义动点 x在定直线 u上定直线 u为动点 x的轨迹点几何观点线几何观点不变
(常数 )
变
(流动 )
点 x的方程动直线 u过定点 x
定点 x为动直线 u的包络因此，一般地，称 (1.4)为点与直线的 齐次关联关系,点、直线统称为 几何元素,
给定齐次方程
)4.1(03
1
i
ii ux
四、齐次线坐标
2,点的齐次方程例 2 求下列各点的齐次方程,
(1),x轴上的无穷远点,0)0,0,1( 1 u
(2),y轴上的无穷远点,0)0,1,0( 2 u
(3),原点,0)1,0,0( 3 u
(4),点,022)2,2,1( 321 uuu
(5),方向为,03)0,1,3( 21 uu
3
1 的无穷远点
(6),无穷远直线上的点,0)0,,( 221121 uxuxxx
思考,本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标五、非齐次线坐标定义 1.8 对于直线 u=[u1,u2,u3],若 u3≠0,则定义其非齐次坐标为
[U,V]其中 U=u1/u3,V=u2/u3.
注 1 哪些直线没有非齐次坐标？
注 2 将点与直线的齐次关联关系 (1.4)两边同时除以 u3x3,得到点与直线的非齐次关联关系为
.01 VyUx (1.5)
显然，得到 (1.5)的前提是 u3x3≠0,因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系,
初步体会到，用非齐次坐标和方程研究问题可能会有某种缺陷,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标过原点的直线 [u1,u2,0].
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(1),两点 a,b重合?
.1
b
a秩
(1)',两直线 a,b重合?
.1
b
a秩证：重合则 a,b对应分量成比例,a,b为点,故秩为 1.
证：与左边类似,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
(2),相异两点 a,b连线方程为
.0
321
321
321
bbb
aaa
xxx
(2)',相异两直线 a,b交点方程为坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32
bb
aa
bb
aa
bb
aa
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标坐标为
.,,
21
21
13
13
32
32?
bb
aa
bb
aa
bb
aa
.0
321
321
321
bbb
aaa
uuu
利用齐次线性方程组的知识立刻可证,
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(3),相异三点 a,b,c共线?
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(3)',相异三直线 a,b,c共点?
(4),以相异两点 a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
证：显然秩 <3，由相异得秩为 2.
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标
.2
321
321
321
ccc
bbb
aaa
秩
(4)',以相异两直线 a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为 la+mb(l,m不全为零 ).
六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
注 关于点列的参数表示注 关于点列的参数表示齐次参数表示 将 (4)中的 c=la+mb的形式称为以相异二点 a,b为基点 的点列的 齐次参数表示 或 双参数表示,,0,,22 mlRml
非齐次参数表示 令,/ lm 则有,bac 称为以 a,b为 基点的 非齐次参数表示 或 单参数表示,}.{ RR?
拓广的实数集 R,0/,0;0/,0 xxmm 并规定对于,bac 当 即 0?l 时,.bc?
于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点 (拓广直线上的点 )到拓广的实数集之间的一个双射,
由于 a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束,由此将引出 单位点 概念,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
例 3 已知共线三点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求 λ,使得
.bac
解 令
.
1
5
7
1
1
3
1
4
6
其中 ρ为非零比例常数,
可解得 λ=3.于是，可适当选取 a,b,c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.
注 ρ的存在是齐次性的体现,事实上，对于共线三点 a,b,c,必可适当选取这三点的齐次坐标，使得 c=a+b,齐次参数表示中的 l,m
正是起这种作用的,而在非齐次参数表示下，我们不能保证 a+λb就是题中指定的 c的特定齐次坐标，一般要差一个非零比例常数,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
6 3 7
4 1 5
3
4
(5),相异三点 a,b,c共线?存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
注上述共给出 5对重要的基本结论,到第 1.4节将会看到，这种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律,
即 对偶原则,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
(5)',相异三直线 a,b,c共点?
存在 p,q,r(pqr≠0)使得
.0 rcqbpa
即可适当选取 a,b,c的齐次坐标使得
.0 cba
例 4 关于教材 P.17例 1.4结论的解释,
(1),设 a,b,c为平面上不共线三点,则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为
,ncmblad,0,,,222 nmlRnml
(2),设 a,b,c,d为平面上四点，其中任意三点不共线,则可适当选取这四点的齐次坐标，使得
.0 dcba或者
.cbad
注由此例,给定平面上不共线三点,可以表示平面上任意一点的坐标,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
坐标三点形概念关于坐标三点形在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系,记原点为 A3,x轴上的无穷远点为 A1,y轴上的无穷远点为 A2,则
A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)不共线,
§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论 (Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')
).1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( 321321 xxxxxxx
考虑到齐次性,另取定点 I(1,1,1),以规定当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时,上式总表示同一点 P(x1,x2,x3),即 I规定了当 A1,A2,A3取不同齐次坐标时必须满足下式坐标三点形,A1A2A3 ； 单位点,I； 笛氏齐次坐标系,(A1A2A3 | I).
)0(.321 AAAI
平面上任一点 P(x1,x2,x3)可表为
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
无定义基本元素：点，直线 约定 1.2 点与直线的关联关系定义 1.9 设 ).,,(, LPLPLP
P 的元素称为 点,L的元素称为 直线,
P 与 L的元素之间有一个关系称为关联关系,满足下列公理公理 P 存在一对双射
2,RP?P? *2 )(,RP?L?
对于任意的点 P∈ P 和任意的直线 l∈ L,若
xP?)(? ul?)(?
则 P与 l相关联?u1x1+u2x2+u3x3=0.
则称 π为一个以 P为点集,L为直线集的 实射影平面 (二维实射影空间 ),记作 π=(P,L),上述一对双射 (υ,ψ)称为 π上的一个 射影坐标映射,分别称 υ为 点坐标映射 ; ψ为 线坐标映射,
§ 1.3 射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )
注 2 定义 1.9在叙述上不同于 Hilbert公理系统,实际上隐含了承认实数公理等,我们仅尝试用代数的方法定义射影平面,
定理 1.10 在实射影平面上,方程
)6.1(0332211 xuxuxu
表示直线或点,当 xi为流动变量而 ui为常数时表示直线 [u1,u2,u3]；
反之表示点 (x1,x2,x3).
注 1 上述集合 P,L是一般的,其中元素 称为 点、直线,但是按照
Hilbert的说法,完全可以是桌子、椅子、啤酒杯或其他的东西,而定义 1.9则对 π=(P,L)给予了射影空间结构,
由定理 1.10,公理 P中的线坐标映射 ψ可以由点坐标映射 υ诱导,
§ 1.3 射影平面二、实射影平面的模型所谓模型 (实现 )是对一般集合 P,L的元素赋予具体意义,使之满足定义 1.9,教材上给出了一些模型,我们可以在任何模型上展开射影几何研究,
几何的模型,拓广平面 ——用综合法研究射影几何,
代数的模型,算术平面,πR=(RP2,(RP2)*) ——用解析法研究,
拓广平面 算术平面坐标映射实射影平面 π 对偶平面 π*
对偶映射注,关于对偶映射,今后将会不断地阐述,
拓扑模型,实射影平面是亏格为 0的不可定向的闭曲面,完全不同于欧氏平面 (可定向的开曲面 ),是学习射影几何的实质性困难之根本来源,
§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换定义 1.10 在射影平面上取定四点 A1(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1),
I(1,1,1),规定无论如何选取 A1,A2,A3,I的齐次坐标,总成立下列关系式
1 2 3,I A A A
(1.7)
则称这四点为平面上的一个 原始的射影坐标系,记作 (A1A2A3 | I),称
A1A2A3为 坐标三点形,I为 单位点,点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标,
注 2,拓广平面上的笛氏齐次坐标系即为一个原始的射影坐标系,
注 1,(1.7)式实际隐含着选取 A1,A2,A3,I的齐次坐标时,满足
)0().,0,0()0,,0()0,0,(),,(
§ 1.3 射影平面证明,只要证对平面上任意一点 X,(PQR|E)可惟一确定其点坐标映射,设 X的原始坐标为 (x1*,x2*,x3*),则由线性代数知识以及式 (1.8),
存在惟一向量类 (x1,x2,x3)∈ RP2,满足
R
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
0.
3
2
1
333
222
111
*
3
*
2
*
1 (1.9)
于是 (1.9)惟一确定了点 X在射影坐标系 (P,Q,R|E)下的一个 齐次射影坐标 (x1,x2,x3).
三、射影坐标变换定理 1.11 在射影平面上任意取定四点 P,Q,R,E,满足
(1) P,Q,R,E中任何三点不共线 ;
(2) 选取这四点的原始坐标 P(pi),Q(qi),R(ri),E(ei)使得
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) (,,) (,,) 0,e e e p p p q q q r r r R
(1.8)
则这四点构成一个 射影坐标系 (PQR|E),称 PQR为 坐标三点形,E为单位点,
注 1 在 (PQR|E)下,P,Q,R,E各有一组齐次坐标为 P(1,0,0),Q(0,1,0),
R(0,0,1),E(1,1,1).因此 (PQR|E)也可作为原始坐标系,
注 2 因为 P,Q,R不共点，所以 | pi qi ri |≠0,即 (1.9)式为非奇异线性变换,称为两种射影坐标之间的 射影坐标变换,
注 3 在拓广平面上,笛氏齐次坐标是射影坐标的特例,从而在坐标变换意义下,§ 1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立,
今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标,
R
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
0.
'
3
'
2
'
1
333
222
111
3
2
1
注 4
(1.10)
按坐标变换新、老坐标的书写习惯,(1.9)式改写为这是传统的 坐标变换的逆式,今后 可直接使用,
§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换
§ 1.3 射影平面四、实射影直线 (一维实射影空间 )
仿定义 1.9,定义实射影直线 (一维实射影空间 ),并讨论其模型,思考定义 1.11 在射影直线上取定相异三点 P,Q,E,选取其笛氏齐次坐标 P(pi),Q(qi),E(ei)使得
1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,) (,,) (,,),0 ( 1,1 1 )e e e p p p q q q R
则在射影直线上定义了以 P,Q为 基点,E为 单位点 的一个一维 射影坐标系,记作 (PQ|E),射影直线上任意一点 X(x1,x2,x3)的齐次射影坐标 (λ,μ)由下式确定
)11.1(0).,,(),,(),,( 321321321 Rqqqpppxxx
注 2,定义 1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的,
注 1,在射影坐标系 (PQ|E)下,P,Q,E的坐标分别为 (1,0),(0,1),
(1,1),一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标,
五、复射影平面、实 -复射影平面实射影平面 *22 )(,,RPRP三维实向量类复射影平面将实射影平面嵌入到复射影平面中，即带有虚元素的实射影平面
*22 )(,,CPCP三维复向量类实 -复射影平面
虚点实点定义为则使得不存在为则使得若存在
),,(,,0
),,(,,012.1
321
321
xxxPRxC
xxxPRxC
j
j
注 2,实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线,
注 3,两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭,
注 1,类似定义实直线与虚直线,于是在实 -复射影平面上一个元素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变,
§ 1.3 射影平面
.).1( 上在上在直线点 uxux?,) '.1( xuxu 过过点直线?
)0( 即得结论两边取共轭对jj xu
.
).2(
上在上在实直线虚点
u
xux?
.) ',2( xuxu 过过实点虚直线?
(3),实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点,
(3)',过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线,
(4),两共轭虚点连线为实直线,(4)',两共轭虚直线交点为实点,
(5),过一虚点有且仅有一条实直线,
(5)',在一条虚直线上有且仅有一个实点,
注 4,在实 -复射影平面上,下列结论成立,(教材 P.28)
§ 1.3 射影平面五、复射影平面、实 -复射影平面
§ 1.3 射影平面六、图形的射影性质 (射影不变性 )
射影性质射影不变性射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：
射影不变性,点与直线的关联关系 (结合性 )；同素性； ……
结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变射影不变量,有待探索,目前所知几何量均不是射影不变的同素性：点?点；直线?直线
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！ 贯穿全书！
1,基本概念
(1),对偶元素 点 直线
(2),对偶运算 过一点作一直线 在一直线上取一点
(4),对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形 Σ，若将 Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对偶运算 (即对 Σ作对偶变换 )，则得到另一个图形 Σ',称 Σ,Σ'为一对对偶图形,
图形 Σ 图形 Σ'作对偶变换互为对偶图形
(3),对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则
2,基本对偶图形举例
(1) 点 (1)' 直线
(2) 点列 (共线点集 ) (2)' 线束 (共点线集 ))(Pl
)(pL
(3) 点场 (共面点集 ) (3)' 线场 (共面线集 )
(4) 简单 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其两两顺次连线构成的图形,
(4)' 简单 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其两两顺次相交的交点构成的图形,
顶点,n个；边,n条,边,n条；顶点,n个,
下面分别考察 n=3和 n=4的情形
§ 1.4 平面对偶原则简单 n点 (线 )形,n=3
简单三点形 简单三线形简单 n点 (线 )形,n=4
简单四点形 简单四线形显然，简单 n点 (线 )形与其顶点 (边 )顺序有关
§ 1.4 平面对偶原则(5) 完全 n点形,n个点 (其中无三点共线 )及其每两点连线构成的图形,
(5)' 完全 n线形,n条直线 (其中无三线共点 )及其每两直线交点构成的图形,
顶点,n个； 条边：
2
)1(?nn 边,n条； 个顶点：
2
)1(?nn
完全 n点 (线 )形,n=3
完全三点形 ABC 完全三线形 abc
这是一对自对偶图形，在使用中将不加区分,简称三点形,三线形,
§ 1.4 平面对偶原则完全 n点 (线 )形,n=4
完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
这是射影几何中最重要的一对图形，我们来作专门的剖析完全四点形 ABCD 完全四线形 abcd
顶点 DCBA,,,4个边 utsrqp,;,;,6条对边 (没有公共顶点的边 );,qp ;,sr ut,3组对边点 (对边的交点 )
,qp?
X
,sr?
Y
ut?
Z
3个对边三点形 XYZ
边 dcba,,,4条顶点 UTSRQP,;,;,6个对顶 (不在同一边上的顶点 );,QP ;,SR UT,3组对顶线 (对顶的连线 )
,PQ
x
,RS
y
TU
z 3条对顶三线形 xyz
请课后画图，熟悉图形及名称,今后将专门研究其重要性质
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形例 1 作下列图形的对偶图形,(P.32，例 1.12)
注 作对偶图形的一般步骤,(P.32)
第一步 观察图形的结构，将其中的点、直线标上字母，并计数,
第二步 分析并列出能够决定该图形的点与直线的关联关系,
第三步 对前两步的结果作对偶变换，并整理,
第四步 画出对偶图形,
例 1 作下列图形的对偶图形,
点 QP,2个直线 dcbal,,,,5条关联关系
(1) P,Q在 l上；
(2) a,b,l共点于 P; c,d,l共点于 Q
直线 qp,2条点 DCBAL,,,,5个关联关系
(1) ' p,q过点 L；
(2) ' A,B,L共线于 p; C,D,L共线于 q
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2、对偶图形举例1、基本概念
3、作一图形的对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则
(1) 射影命题在射影平面上，若命题 A仅与点和直线的关联、顺序关系有关，
则称 A为一个 射影命题,
(2) 对偶命题射影命题 A 射影命题 PA作对偶变换互为对偶命题
(3) 平面对偶原则定理 1.9 (平面对偶原则 )在射影平面上，
射影命题 A成立 射影命题 PA成立
§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则 2,基本对偶图形举例1,基本概念
3,作一图形的对偶图形 4,平面对偶原则例 2 对偶命题举例
(1) A 过相异二点有且仅有一条直线,
(1)' PA 两相异直线有且仅有一个交点,
(2) A 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线,
(2)' PA 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点,
注 1 只有射影命题才有对偶命题,
注 2 对偶原则是一个一一对应 F,点几何 线几何因此，对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化，可以起到事半功倍的作用,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶考察方程,0
321 CBA
视 ),,(
321
为点的流动坐标，则方程表示直线 ].,,[ CBA
视 ],,[
321
为直线的流动坐标，则方程表示点 ).,,( CBA
考察方程组
0
0
322212
312111
CBA
CBA
点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为
].,,[ CBA线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为
).,,( CBA
规定 令坐标相同的点与直线为代数对偶元素,得 代数对偶原则注,事实上,可以有许多种不同的代数对偶映射,比如将在第四章学习的配极变换,
§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶例 3 代数对偶结论举例,
(1) 点 ),,( CBA
.0321 CuBuAu
(1)' 直线 ],,[ CBA
.0321 CxBxAx
(2) 原点 )1,0,0(
.03?u
(2)' 无穷远直线 ]1,0,0[
.03?x(3) 无穷远直线上的点
)0,,( BA
.021 BuAu
(3)' 过原点的直线 ]0,,[ BA
.021 BxAx
(4)－ (8) Thm,1.5－ Thm,1.9 (4)'－ (8)' Thm,1.5'－ Thm,1.9'
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理一个古老、美丽、实用的重要定理 ！
1、两个三点形的对应关系若两个三点形对应顶点的连线共点，
则称这对对应三点形具有 透视中心,
透视中心也称为 Desargus 点,
若两个三点形对应边的交点共线，
则称这对对应三点形具有 透视轴,
透视轴也称为 Desargus 线,
问题 存在透视轴？存在透视中心?
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
画图过程演示
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
2,Desargues定理定理 (Desargues定理及其逆定理 )
.存在透视轴存在透视中心对于两个对应三点形，
证明：代数法,请认真自学,
纳闷 这张美丽的图是如何画的？
注 1、仅用综合法,Desargues
定理不可能在平面内获得证明，只能作为公理,
注 2,Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题,
注 3、满足 Desargues定理的一对三点形称为 透视的 三点形,
Desargues定理画图过程演示提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.6 Desargues定理一,Desargues定理 2,Desargues定理注 4、关于 Desargues构图,左图表示了一对透视的三点形 ABC,A'B'C'.
' ' '
' ' '
' ' '
AA BC B C X
BB O C A C A Y
C C AB A B Z
共点于 三点共线左图中共有十个点、十条直线，
过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点,这十点、十线地位平等，此图称为 Desargues构图,
,
'
'
''
''
''
''
'
' 三点共线透视中心
BAZOB
CYAOC
XZYCB
A Z YCOB
YCA
ZBA
OAA
A
分析,为证 X,Y,Z三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为 X,Y,Z即可,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试
AD
BE
CF
.三点共线
ZDEAB
YFDCA
XEFBC
例 1 在欧氏平面上,设 ΔABC的高线分别为 AD,BE,CF,而 BC× EF=X,
CA× FD=Y,AB× DE=Z,求证,X,Y,Z三点共线,
AD
B E G
CF
共点于垂心
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题分析,因为 R是动点，作 R的另一个位置 R',
得到 P',Q',设 P'Q',PQ交于 C.只要证明 A,B,C
三点共线,
由 OX,OY,OZ共点于 O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在 OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为 A,B,C即可,
如图,PQR,P'Q'R'正是所需,
反思 条件,AB经过 O ‖对于本题结论纯属多余！
例 2 设 OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为定点,其连线经过 O,R为 OZ上的动点,直线
RA,RB分别与 OX,OY交于 P,Q,求证,PQ经过 AB上的一个定点,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,考察三点形 PQR与 ABC，它们有透视中心 S，从而他们有透视轴，即 A1,B1,
C1三点共线,
引申,同理可证
.,,;,,;,,;,,111111111111 均为共线三点组CFEFBDEADCBA
例 3 已知完全四点形 PQRS,其对边三点形为 ABC,设 A1=BC× RQ,B1=AC× RP,
C1=AB× PQ,求证,A1,B1,C1三点共线,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题证明,设动点 P的另一个位置为 P',依题意作图,得交点 X',Y'.
考察三点形 AXX'与 BYY',因为其对应边的交点 P,C,P'共线，所以其对应顶点的连线 AB,XY,X'Y'共点,此点为 AB上的定点,
2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图,
例 4 设 A,B,C为不共线三点,P是过 C
的定直线上的动点,AP× BC=X,
AC× BP=Y,求证,XY经过定点,
思考,(1),考察三点形 PXY与 P'X'Y'进行证明,
(2),将本例与例 2比较,
§ 1.6 Desargues定理二、应用举例 2、不可及点的作图问题例 5,已知平面上二直线 a,b,P为不在 a,b上的一点,不定出 a,b的交点
a× b,过 P求作直线 c,使 c经过 a× b.
解,作法：
(1),在 a,b外取异于 P的一点 O,过 O作三直线 l1,l2,l3.设 l1,l2,分别交 a,b于 A1,A2; B1,B2.
(2),连 PA 1,PB1分别交 l3于 A3,B3.
(3),连 A2A3,B2B3交于 Q.
(4),PQ=c为所求直线,
证明：由作法，三点形 A1A2A3,B1B2B3有透视中心 O,故其对应边的交点 P=A1A3× B1B3,Q=A2A3× B2B3以及 a× b三点共线，即
c=PQ经过 a,b的交点,
第二章 射影变换本章地位 平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比
1、定义交比 — 最根本的射影不变量定义 2.1,设 P1,P2,P3,P4为点列 l(P)中四点,且 P1≠P2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+ λ2b,则记 (P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
PPPP (2.1)
称 P1,P2为 基点偶,P3,P4为 分点偶,
定理 2.1,设点列 l(P)中四点 Pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
PPPP (2.2)
证明定理 2.1,以 P1,P2,为基点，参数表示 P3,P4,设
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
PPPP
a+λ1b=a',a+λ2b=b',
从中解出 a,b,得
.'',''
1212
12
abbbaa
于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即
'','',','
12
14
12
42
12
13
12
32 bababa
'.','',','
42
14
32
13 bababa
由交比的定义，有注,定理 2.1可以作为交比的一般定义,
(2.2)
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义
.),(
4132
4231
4321 PPPP
PPPPPPPP
2、性质
(1),交比的初等几何意义如果限于欧氏平面，则 (2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即
(2.3)
(2),交比的组合性质显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关,
改变次序一般会改变交比值,
因此，依次序不同，共线四点可以构成 4!=24个交比,
设 (P1P2,P3P4 )=r,我们来探讨这 24个交比的规律,
))((
))((),(
4132
4231
4321
PPPP
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1),交比的初等几何意义 (2),交比的组合性质定理 2.2 设 (P1P2,P3P4 )=r,当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：
.1
1
).2(
).1(
rr
r
r
rr
二点的位置仅交换中间二点或首尾仅交换一对中点的位置改变位置同时交换每对中二点的位置交换基点对与分点对的不变推论 由定理 2.2，相异的共线四点构成的 24个交比只有 6个不同的值：
.1,1 1,1;11,1, r rrrrrr
此即 P.45,式 (2.4),不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质
3、特殊情况定理 2.3 共线四点的交比值出现 0,1,∞三者之一?这四点中有某二点相同,
证明 可根据定理 2.1，令 P1=P2或 P2=P3或 P3=P4或 P4 = P1进行验证即可,即当四点中有某二点相同时，上述 6个不同的交比值又只有 3组,0,1,∞.
4、调和比定义 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则称
的第四调和点为点调和共轭相互与点偶调和分离相互与点偶列为调和点组点组
3214
4321
4321
4321
,,
)(,,
)(,,
)(,,,
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
推论 1 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则此四点互异,
推论 2 相异四点 P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比?这四点的 6个交比值只有 3个：
.2,21,1?
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 调和比是最重要的交比！
对于 (P1P2,P3P4 )= –1,利用初等几何意义，我们有
.1),(
41
42
32
31
4321 PP
PP
PP
PPPPPP
此时,若,4 PP 则可合理地认为
.1
1
2?
PP
PP 于是,1
32
31
PP
PP
这表示 P3为 P1P2的中点，从而有推论 3 设 P1,P2,P为共线的通常点,P∞为此直线上的无穷远点,则 P为 P1P2的中点,1),( 21PPPP
注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比
5、交比的计算
(1),由坐标求交比例 1 已知 P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1),求 (P1 P2,Q1 Q2).
解 第一步,验证四点共线,
第二步,以 P1,P2为基点,参数表示 Q1,Q2,令
.21 PPQ iii i=1,2.
对于 i=1,利用 P.17例 1.3,有,3
1
同理,对于 i=2,可求得,3
2
于是，
.1),(
2
1
2121
QQPP
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标定理 2.4 设 ),4,3,2,1()( iPlP
i
并已知
).,1,0(),( 4321 kkPPPP
和其中三点的坐标,则第四点的坐标可唯一确定,
例 2 已知 (P1P2,P3P4 )=2,P1,P2,P4的坐标依次为 (1,1,1),(1,–1,1),
(1,0,1),求 P3的坐标,
解,设,,
22142113 PPPPPP
则显然,1
2
由
.21),( 1
2
1
4321
PPPP
可得,2
1 从而 P3的坐标为 (3,–1,3).
注：若要求 P1,或 P2的坐标,则需先将两个已知点交换到第 1,2位置再计算,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标推论 4 设 P0,P1,P*为点列 l(P)中取定的相异三点,则
xPPPP?),( 10*
为点列 l(P)与 R 之间的一个双射,其中
)(1
)(0
)(
1
0
*
单位点原点无穷远点
xPP
xPP
xPP
从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比例 3 一直线依次交三点形 P1P2P3的三边 P2P3,P3P1,P1P2于 Q1,Q2,
Q3.在此三边上另取点 Q1',Q2',Q3',使
.),(,),(,),( 33'32122'21311'132 kQQPPkQQPPkQQPP
求证,.1,,).1(
321'3'2'1 kkkQQQ 共线
.1,,).2( 321'33'22'11 kkkQPQPQP 共点
1321?kkk 1321kkk
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比证明,(一 )、准备
§ 1.2,例
1.6
设有以 α=0,β=0,γ=0为边的三线形与过其顶点的三直线,则此三直线共点?其方程可以写成对偶命题 设有以 a,b,c 为顶点坐标的三点形与在其各边上的三个点,则此三点共线?其坐标可以表为
),,(.,,为常数rqpqbpaparcrcqb
),,(.0,0,0 为常数rqpqpprrq
本例 设 P1(a),P2(b),P3(c),则 Q1,Q2,Q3的坐标可以表为
),,().(),(),( 321 为常数rqpqbpaQparcQrcqbQ
又不妨设 Pi,Qi各不相同，则 pqr≠0.
§ 2.1 交比此外，设得则由 11'13221'1 ),().(),( kQQPPcbQcbQ,211
2
1
1
kk
一、点列中四点的交比证明,(一 )、准备因为
.)( 21 qrrcqbQ
于是
.1211 q rkk
从而
).,0().( 2'111'1 PQkrckqbQ
同理
).0().( 22'2 kpakrcQ
).0().( 33'2 kqbkpaQ
从而有,0
321?kkk
§ 2.1 交比
(二 )、证明,主要是运用 § 1.2齐次坐标的基本性质以及线性代数知识,请自学，并认真体会,
注,由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理,Menelaus定理,Ceva定理,见教材,
一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示设 a,b为线束 S(p)中取定的相异二直线,则对于任意的 p∈ S(p),
其坐标可表示为
.Rba称 a,b为 基线,λ为 参数,
注 1
这里 a,b,p均表示直线的齐次坐标,
参数 λ的几何意义？不易说清楚！将给出一种具有明确几何意义的特定参数 λ,容易看出
λ=0 → a; λ=1 → a+b; λ=∞ → b
注 2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比,
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示定义 设 p1,p2,p3,p4为线束 S(p)中四直线，且 p1≠p2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+ λ2b,则记 (p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
pppp (2.5)
称 p1,p2为 基线偶,p3,p4为 分线偶,
定理 2.5 设线束 S(p)中四直线 pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),
则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321
pppp (2.6)
2、定义注 上述定义、定理与点列的交比具有完全相同的格式,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义
3、交比为射影不变量定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
证明 设直线 p1,p2,p3,p4的齐次坐标分别为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,
直线 s的齐次坐标为 c,由 Thm.1.6'可以求出点 Pi的坐标分别为
,,,,,,
21
21
13
13
32
32
2
21
21
13
13
32
32
1
cc
bb
cc
bb
cc
bbP
cc
aa
cc
aa
cc
aaP
而 ).(),(
22142113 PPPPPP
于是
).,(),( 4321
2
1
4321 PPPPpppp
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量推论 2.5 设 Pi为点列 l(P) 中四点,Pi与不在 l上的定点 S连线依次为 pi (i=1,2,3,4),则
).,(),( 43214321 ppppPPPP?
证明 与定理 2.6完全对偶,
定理 2.6 设线束 S(p)中四直线 pi被直线 s截于四点 Pi(i=1,2,3,4),
则
).,(),( 43214321 PPPPpppp?
由定理 2.6和推论 2.5,立即可得下述重要结论定理 2.7 交比为射影不变量,
注 由定理 2.7,关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
(1),斜率表示如图,在以 S(x0,y0)为束心的线束中，取定二直线 x=x0,y=y0,则直线的 (负 )斜率 k可以作为参数来表示线束,
由定理 2.5，可得定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
注 容易看出，斜率参数,Rk?
§ 2.1 交比
(1),斜率表示设直线 pi与 x轴正向的夹角为 αi (i=1,2,3,4),则将 ki=tanαi代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得定理 2.9 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.)s in ()s in ( )s in ()s in (),(
4132
4231
4321 pppp
pppppppp?
其中 (pi pj)表示由 pi到 pj的夹角,
(2),三角函数表示定理 2.8 对于通常线束中以 ki为斜率的四直线 pi (i=1,2,3,4),
有
.))(( ))((),(
4132
4231
4321 kkkk
kkkkpppp
推论 2.6 设 pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线,则 p3,p4为 p1,p2
夹角的内外平分线?(p1p2,p3p4)=–1,且 p3⊥ p4,
证明略,本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量
4、直线交比的初等几何意义
5、直线交比的计算
(1),由已知条件求交比,
方法一,与点的交比计算完全对偶,
方法二,以一条特殊直线截已知线束,转化为点的交比计算,
技巧是,取合适直线,使截点坐标简单,易于计算,
(2),由已知交比和其中三直线坐标,求第四条直线,
与点列的交比对偶,有定理 2.10和推论 2.7,
上述内容不再举例,请自学,
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比例 4 (蝴蝶定理 )过圆的弦 AB的中点 O任作另外两弦 CE,DF,
连结 EF,CD交 AB于 G,H,求证,GO=OH.
证明,因为 A,F,C,B为圆上四点,根据教材 P.52例 2.4,有
).,(),( CBAFDCBAFE?
以直线 AB截这两个线束,得
).,(),( HBAOOBAG?
利用交比的初等几何表示 (2.3)式,有
AB
OB
OH
AH
AB
GB
GO
AO,
OH
AH
GO
GB
所以
OH
OHAO
GO
OBGO
OH
AO
GO
OB,OHGO
注：同理可证,G'O=OH'.
§ 2.1 交比
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性定理 2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离,
定理 2.11' 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离,
如图,经过三个对边点 X,Y,Z
各有一个调和直线组,比如 X
.1)','(ttss
如图,在三条对顶线 x,y,z上各有一个调和点组,比如 x
.1)','(TTSS
此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性证明定理 2.11 用综合法,只要证明
.1)','(ttss
以直线 AB截此四直线，得
).,()','( PZABttssX?
只要证明 (AB,PZ)=–1,
).,(),( QZDCPZAB?
以点 Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理 2.6可得
).,(),(),( PZBAQZDCPZAB
也就是
),(
1),(),(
PZABPZBAPZAB
.1),( 2?PZAB
注意到 A,B,P,Z四点互异，必有,1),(PZAB 证毕,
再以直线 CD截此四直线，得
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,
另一对为该边与第三组对边的交点,
推论 2.8' 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线,
.1),(PQXY
比如经过顶点 T,有
.1),(pqxy
此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组比如在边 t上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性推论 2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点,
推论 2.9' 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,
其中一对为边，另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线,
.1),(PZAB
比如经过顶点 a× b,有
.1),(pzab
此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组比如在边 AB上,有
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
分析,利用推论 2.8,构造一个完全四点形,以 l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条过 P3,则另一条与 l
的交点即为 P4.
解,作法,(1),在 l外任取一点 A,连 AP1,AP2.
(2),过 P3作直线分别交 AP1,AP2于 B,D.
(3),连 P1D,P2B交于 C.
(4),连 AC交 l于 P4为所求,
证明,(略 )请自行补出,
注 1 上述实际上也是利用推论 2.9作图,
注 2 本例引申
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 1 已知直线 l上相异三点 P1,P2,P3,求作第四调和点 P4.
注 2 本例引申
1、给定三点如图，如何作图?
2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线,
注 3 由上述作图,(P1P2,P3P4)=–1?存在一个完全四点形,
以 P1,P2为两个对边点,并使 P3,P4在另一对对边上,
注 4 注 3的对偶命题,
由上述两点，你想到了什么？
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图例 2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底,
2、几何证明题证明,如图,ABCD为梯形,AD//BC,E,F
分别为两腰和对角线的交点,EF交 AD,BC于
P,Q,只要证明 P,Q分别是 AD,BC的中点,
考察完全四点形 EAFD,设 AD× BC=G∞,
由推论 2.8,有 (BC,QG∞)=–1,再据推论 2.3,Q
为 BC的中点,
再据推论 2.9,(AD,PG∞)=–1,所以 P为 AD的中点,
本例引申 两个作图题：
1、已知一线段的中点,求作该线段的任一平行线,
2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点,
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
定义 以下三种对应称为一维基本形的 透视对应
(1),点列? 线束,对应元素是关联的
,...),,( CBAs,...),,( cbaS
(2),点列? 点列,对应点连线共点
,..,),,( CBAs,...)',','(' CBAs
(3),线束? 线束,对应直线交点共线
,...),,( cbaS,.,,)',','(' cbaS
(s)
透视中心透视轴注
(1),透视对应是两个一维基本形之间的一个双射,保持任意四对对应元素的交比不变,
(2),连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应,
(S)
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义
1,Poncelet定义设 [π],[π']为两个一维基本形,若存在 n个一维基本形 [π1],[π2],…,
[πn],使得
][? ][ 1?
…
][ n? ]'[?
则称由此决定的 [π]到 [π']的对应为一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
注 1,显然注 2,为一个保交比的双射,
注 3,有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应,
2,Steiner定义如果两个一维基本形之间的一个对应 ]'[][, 满足
(1),υ为一个双射；
(2),υ使得任意四对对应元素的交比相等,
则称 υ为 [π]到 [π']的一个 射影对应,记作 ][? ].'[?
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,―=>‖,显然,
―<=‖,用同一法证明点列? 点列,
设 υ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 υ可以表示为有限次透视对应的积,
设 P0,P1,P2为 l(P)上相异三点,P为 l(P)上任意一点,且
'.)(),2,1,0(')( PPiPP ii
则有 ).'',''(),(
210210 PPPPPPPP?
连 P0'P1,P0'P2; P0P1',P0P2',设 P0'P1× P0P1'=Q1,
P0'P2× P0P2'=Q2,
连
Q1Q2=m,连 P0'P交 m于 Q,连 P0Q交 l'于 P'',设 P0P'0交 m于 Q0,
则
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
据 Poncelet定义，有 ),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
§ 2.3 一维基本形的射影对应一、透视对应 (中心射影 )
二、一维射影对应的综合法定义定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
证明,―=>‖,显然,
―<=‖,用同一法证明点列? 点列,
设 υ,l(P)→ l'(P')为满足 Steiner定义的射影对应,只要证 υ可以表示为有限次透视对应的积,
).'',''(),( 210210 PPPPPPPP?
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl),,,( 210 QQQQm
(P0') (P0)
),,,( 210 PPPPl )'',',','(' 210 PPPPl
已经推得结果：
于是 ).'',''()''',''(),(
210210210 PPPPPPPPPPPP
因为 P0,P1,P2互异,故 P0',P1',P2'互异,从而 P'=P'',均有即 ),( PlP
P'=P''=υ(P),υ可以通过两次透视对应得到,υ满足 Poncelet定义,
§ 2.3 一维基本形的射影对应定理 2.12 Poncelet定义?Steiner定义,
(1),利用 截 的方法,可证两个线束的情况,
也可证明一个点列与一个线束的情况,
注,对本定理的进一步思考,
(2),推论 两个相异的同类一维基本形之间的任一射影对应都可表为不超过两个透视对应的积,
(3),推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表为不超过三个透视对应的积,
(4),Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三双相异的对应元素,求作任一元素的对应元素,
(5),思考,将 (4)中,点列,改为,一维基本形,,
(6),定理 2.13 两个一维基本形间的射影对应可由已知 相异的 三双对应元素唯一确定,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件定理 2.14 两个同类的一维基本形之间的射影对应成为透视对应?公共元素自对应,
证明 由对偶原则,只要考虑点列,
―=>‖ 设点列 l(P)与 l'(P')透视对应,S为透视中心,l× l'=X,由于直线 SX交 l,l'于同一点 X,所以 X自对应,
―<=‖ 设 f,l(P)→ l'(P')为射影对应,使得 f(X)=X,设 f(P)=P'.
在 l(P)上取异于 X的两相异点 A,B,设 f(A)=A',f(B)=B',则 A',B'相异且不同于 X,设 AA'× BB'=S,并设 SP× l'=P''.
设 υ是以 S为透视中心 l(P),l'(P')间的透视对应,则因为射影对应
υ与 f有相异的三双对应点重合,即 A,A'; B,B'; X,X,从而 υ=f,于是
P'=P'',即 f是透视对应,
注,由定理 2.14想到证诸点共线 证其为某两透视线束对应直线的交点,
证诸线共点 证其为某两透视点列对应点的连线,
§ 2.3 一维基本形的射影对应三、射影对应成为透视对应的条件例 1 (Pappus定理 )在共面的相异二直线 li
上各取相异三点 Ai,Bi,Ci(i=1,2),设
.,,,
1221
1221
1221
三点共线则 NML
NBABA
MACAC
LCBCB
Pappus线注 1 Pappus定理是第四章中 Pascal定理的退化情况,
注 2 关于 Pappus构图,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义定义 2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系,称由非奇异线性对应
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
决定的两点列间的对应为 射影对应,其中 (x1,x2)与 (x1',x2')为任一对对应点的齐次坐标,ρ为非零比例常数,
(2.10)也常写成
.0||,',''
2
1
2221
1211
2
1
AAXX
x
x
aa
aa
x
x 或定理 2.15 代数定义?Steiner定义,
证明,(略,见教材 ).
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义注 1,当不涉及无穷远元素时,(2.10)可以写成非齐次形式,即
.0||,'
2221
1211?
ijaaxa
axax
或
).0(,0'' bcaddcxbxa xx
注 2,对 (2.10)中比例常数 ρ的理解,
注 3,由 (2.10)理解定理 2.12,相异的三对对应元素唯一确定一个射影对应,
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
例 2,求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)依次对应于 l'
上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义
)10.2(''
2221212
2121111
xaxax
xaxax
例 2,求射影对应式,使 l上的点 (1,0),(2,1),(4,1)依次对应于 l'
上的点 (1,0),(–1,1),(1,1).
解,设所求对应式为将已知三对对应点的坐标分别代入,得
xi xi'
(1,0) (1,0)
21
111
0 a
a?
(2,1) (–1,1)
22212
12112
2
2
aa
aa
(4,1) (1,1)
22213
12113
4
4
aa
aa
这是由
6个方程构成的关于 7个未知数的齐次线性方程组,
§ 2.3 一维基本形的射影对应四、射影对应的代数定义求解过程：消去 ρi,求出 aij的一组比值即可,
21
111
0 a
a?
22212
12112
2
2
aa
aa
22213
12113
4
4
aa
aa
021?a
代入
222
12112 2
a
aa
223
12113 4
a
aa
04
02
221211
221211
aaa
aaa
解得 1:0:3:1:::
22211211aaaa
于是,所求对应式为
22
211
'
3'
xx
xxx
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义两个重叠的一维基本形之间的射影对应称为 一维射影变换,
即若 υ,[π] [π'],且 [π]=[π'],则 υ称为一维基本形 [π]上的一个射影变换,
注,关于“重叠”,2、代数表示
)10.2(0,0''
2221
1211
2221212
2121111
aa
aa
xaxax
xaxax
(1),坐标表示其中对应点的坐标是关于一维基本形 [π]上的同一坐标系取得的,
(2),参数表示定义,形如
)0(0'' bcaddcxbxa xx
的方程称为关于 x,x'的 双线性方程,
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
证 ―=>‖,见教材,略,
―<=‖,设一维基本形 (P)上的一个变换 υ使得任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程 (2.13),显然 υ是一个双射,只要证 υ保交比,设 λi,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数,则
.))(( ))((''
31
31
3
3
1
1
31 caca
bcad
ca
db
ca
db
同法可以求出 λ2'–λ4',λ2'–λ3',λ1'–λ4',得到
.))(( ))(()'')(''( )'')(''(
4132
4231
4132
4231
§ 2.4 一维射影变换一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示
(1),坐标表示 (2),参数表示定理 2.15 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数 λ,λ' 满足一个双线性方程
)13.2()0(0'' bcaddcba
注 1,(2.13)对于线束的射影变换同样适用,
注 2,(2.13)对于一般射影对应适用,只要将 λ,λ' 作为对应元素对于各自基本形中取定基元素的参数,因此,(2.13)可以作为 一维射影对应的参数定义,
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类设有射影变换
)13.2()0(,0'', bcaddcba
若存在,
0 R
使,0)(
020 dcba 则称 A+λ B为 υ的一个 不变元素,
定理 2.17 在实复射影平面上,任一个一维射影变换至少有一个不变元素,非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素,
证明,在 (2.13)中,令 λ=λ',则有一维射影变换的 不变元方程
)14.2()0(,0)(2 bcaddcba
立刻可得结论,据此可得一维射影变换的分类：
0
0 ( 2.14 ) ( 2.13 )
0
相异实根 相异实不变元有两个相同实根 有两个相同实不变元称为共轭虚根 共轭虚双曲型抛不变元物型椭圆型
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,
证明,设 X,Y为两个不变元,P≠P' 为任一对相异的对应元,设
X,Y,P,P' 的坐标依次为 x,y,x+y,x+μy,则这四点的参数依次为 0,
∞,1,μ,于是
.00''00 ddcba
.00'11'1 adcba
.01 cbcb
从而,
.1)',( 常数 bcPPXY?
§ 2.4 一维射影变换二、一维射影变换的分类
1、分类 2、性质
(1),双曲型、椭圆型射影变换定理 2.18 对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值,
(2),抛物型射影变换定理 2.19 抛物型射影变换的不变元参数 α与任一对相异的对应元素的参数 λ,λ' 满足
).('11 常数k
证明,略 (见教材 ).
§ 2.4 一维射影变换例 1,设 A1A2A3为坐标三点形,O(1,1,1),A2O× A1A3=A,P是 A2A3
上的动点,PO× A1A2=Q,QA× A2A3=P',若 P,P'的齐次坐标分别为
(0,λ,1),(0,λ',1),求 (P)到 (P')的射影变换的方程和不变元素,
解,显然,P=A3+λA2,P' =A3+λ'A2,所以,只要求出 λ,λ' 的关系式,
)1,1,1(
)0,1,0(2
O
A? 0312 xxOA,? ).1,0,1(A
)1,1,1(),1,,0( OP,0)1(,321 xxxPO
)1,0,1(),1,',0(' AP,0'':' 321 xxxAP
Q
AA
AP
PO
共点于
21
'? 0
100
'1'
11
,01'变换式,?
0'11'1 '令 01
2不变元方程：
,,2A不变元为
§ 2.4 一维射影变换例 2,设 P,P',Q,Q' 为点列 l(P)上射影变换的两对对应点,E是不变点,V,V' 是过 E的直线 l' 上任意两点,PV× P'V'=P'',
QV× Q'V'=Q'',求证,P''Q''× l=F为另一个不变点,
证明,设 P''Q''× l'=F',则有
),',( FEPPl
(P'')
)',',(' FEVVl
)',',(' FEVVl
(Q'')
),',( FEQQl从而,
),',( FEPPl ),',( FEQQl
于是,(PP',EF)=(QQ',EF),从而 E,F为两个不变点,
另法,由作图,有
),,,( FEQP
(V)
),','',''( FFQP
(V')
),,','( FEQP
所以,E,F为两个不变点,
§ 2.4 一维射影变换例 3,设点列 l(P)上射影变换为抛物型的,E是不变点,P,P'为一对相异的对应点,当把 P'看成第一点列的点时,其对应点为 R,求证：
(EP',PR)=–1.
证明,利用上例作图,因为 E是唯一不变点,所以必有
P''Q''× l=E.考察完全四点形 VV'P''Q'',立即可得
.1),'(PREP
法二,代数法,设 E,P',P,R的参数依次为
λ1,λ2,λ3,λ4,由抛物型射影变换的性质,有
:'PP?,11
1213
k
:' RP?,11
1412
k 由此二式，得
.112
141312
变形可得 (EP',PR)=–1.
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义课件作者：南京师大数科院周兴和考察函数,)(,,xxfRRf 有下列性质
(i),f 为一个双射；
(ii).,)()())(()(,,22 xxxfxffxfRxIfff 即?
即,1 ff
将实数轴添加无穷远点,并令在 f 下,无穷远点与自己对应,则
f 是点列上的射影变换,具有如下性质：
xRx 视,
l(P),)(' xxfx
l'(P'),)('
1 xxfx
无论将 x作为第一或第二基本形的元素，
其对应元素相同,
对合的定义
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义定义 2.11,两个成射影对应的重叠的一维基本形中,若对任意一个元素,无论把它看着属于第一基本形的元素或是第二基本形的元素,其对应元素相同,则称这种 非恒同 的射影变换为一个 对合,
定义 2.11',设 f为一维基本形 [π]上的一个 非恒同 的射影变换,若对任意的 x∈ [π],都有 f(x)=f–1(x),则 f称为 [π]上的一个 对合,
注 (1),对合非恒同,
(2),对合是特殊的射影变换,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 2.20 一维基本形 [π]上的一个变换 f为对合?f的任一对对应元素的参数 λ,λ' 满足双线性方程
)15.2()0(.0)'(' 2 baddba
注 (1),这里指取定基元素 A≠B,对应元素为 A+ λB? A+ λ'B.
(2),从对应式可见,λ,λ' 的地位完全平等,故无论将一个已知元素的参数 λ0代入到 λ的位置求 λ' (求 f下的像 ),还是代入到 λ' 的求
λ (求 f–1下的像 ),其结果相同,这正蕴含了对合的本质特征,故可作为对合的 参数定义,
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示
1、参数形式定理 一维基本形 [π]上的一个变换 f 为对合?f 使任一对对应元素的齐次坐标 (x1,x2),(x1',x2')满足注 (1),―=>‖ f 为对合 =>f 为射影变换,将对合条件代入 =>a11= –a22;
―<=‖ 直接验证符合对合定义即可,
(2),
2、坐标形式
).0('' 2112211
2111212
2121111
aaa
xaxax
xaxax
.1122
2
1
'
2
'
1 aa
x
xA
x
x
为对合一维射影变换?
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件定理 2.21 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合,
推论 2.11 三对对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?其参数 pi,pi' 满足
)16.2(.0
1
1
1
'
33
'
33
'
22
'
22
'
11
'
11
pppp
pppp
pppp
证明 Pi,Pi'属于同一对合?apipi'+b(pi+pi')+d=0?此方程组对
a,b,d有非零解?|pipi' pi+pi' 1|=0.
推论 2.12 已知不重合的两对对应元素的 参数 pi,pi' (i=1,2),则由此决定的对合方程为
)17.2(.0
1
1
1''
'
22
'
22
'
11
'
11?
pppp
pppp
1、代数条件
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件
1、代数条件
2、几何条件定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
理解 相互对应 (互易偶 ),设
,.,,),,(,cbaf ( ',',',...),abc
如果
,.,,),,',(,cbaaf ( ',,',',.,,),a a b c
则称 a,a'为 相互对应,也称 a,a'为一个 互易偶,此时,f 对于 a,a'这一对对应元素满足对合条件,只要证明 f 的任意一对对应元素都是互易偶,则 f 必为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
证明 设一维射影变换 f,(P)→( P')由其相异的三对对应元素
Pi? Pi'(i=1,2,3)确定,则有
,.,,),,(,321 PPPf,.,,),,( '3'2'1 PPP
现设 P1,P1'为 f的一个互易偶,即
,.,,),,,(,32'11 PPPPf,.,,),,,( '3'21'1 PPPP
)18.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP
设 P2'作为 (P)的元素时,其对应元素为 (P')中的 Q,来证 Q=P2,因为
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf,...),,,,( '3'21'1 PQPPP
.),(),(),( 2'2'11'21'1'22'11 PQQPPPQPPPPPPP
,...),,,,(,3'22'11 PPPPPf?,.,,),,,,( '32'21'1 PPPP
即 P2,P2'也是互易偶,同理,任意一对对应元素为互易偶,f 为对合,
§ 2.5 一维基本形的对合定理 2.22 若一个一维射影变换 f 使得其一对对应元素相互对应
(成为 互易偶 ),则 f 必为对合,
)19.2(),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
(2.19)式实际上包含了定理 2.22的全部内容,因此称 (2.19)式为对合的 几何条件,
推论 2.13 三对相异的对应元素 Pi,Pi'属于同一对合?
),(),( '3'21'132'11 PPPPPPPP?
利用交比及对合的性质,可以写出 (2.19)的许多等价形式,如
...),,(),(),,(),( 3'321'33'21'33'1'2'3321 PPPPPPPPPPPPPPPP
但是,最重要的是理解并记住 (2.19)式,
不必背诵！
§ 2.5 一维基本形的对合一、定义 二、代数表示 三、确定对合的条件四、对合不变元素由对合方程
).0(0)'(' 2 baddba
可得其 不变元素方程 为
)20.2()0(.02 22 baddba
对于上述方程总有 Δ≠0,从而任一对合总有两个相异的不变元素,
定理 2.23 任一对合必有两个相异的不变元素,即任一对合不是双曲型即是椭圆型,不存在抛物型对合,
定理 2.24 一维射影变换 f 成为对合?f 有两个相异的不变元素,
任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离,
即假设 f,(P)→( P')为对合,且 E,F为其两个不变元素,则对 f 的任意一对对应元素 P,P'(P≠P'),均有 (PP',EF)=–1.
§ 2.5 一维基本形的对合例 1 设 A,A'; B,B'为对合的两对对应元素,E,F为其两个不变元素,求证,A,B; A',B'; E,F属于另一对合,
证明,只要证这三对对应元素满足对合的几何条件,因为
FEBA '
FEBA '
所以,
).,'(),'( EFBAEFAB?
从而,
).',()',(),'(),'( BAFEABEFFEBAEFAB
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
由本例可见,不必背诵几何条件的各种形式,关键在于会判别！
§ 2.5 一维基本形的对合例 2 设证明,由题设,有所以,
).,(),( DECABEAC?
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
由对合的几何条件,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,,,( FEDCBA ).,,,,,( FEADCB
求证,E,F为由 A? C; B? D所决定的对合的不变元素,
),,,( EBCA ),,,( ECDB ).,,,( EDAC
同理,).,(),( DFCABFAC?
'33 PP
由本例可见,几何条件中,也可以包含不变元！
FEDCBA
FEADCB
§ 2.5 一维基本形的对合例 3 设 P,P‘; Q,Q’为对合的两对对应点,点偶 A,B满足证明,因为所以,
).,''(),''(1),( BAQPABQPABPQ
'3'21'132'11,,PPPPPPPP
根据对合的几何条件,结论成立,
.1),''(),( ABQPABPQ
求证,A,B也是此对合的对应点偶,
).'',(),( QPBAPQAB?
§ 2.5 一维基本形的对合五,Desargues对合定理定理 2.25 (Desargues对合定理 )不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点,
如图,P,P'; Q,Q'; R,R'属于同一对合,
注,由于对合的特性,图中在同一组对边上带,' ‖和不带,' ‖的字母可以任意标注,注,由本定理引出重要应用：对合对应点的作图,见教材例 2.16.
注,请写出本定理的对偶命题,
§ 2.5 一维基本形的对合例 4 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
证明,取束心为原点建立笛氏坐标系,令 λ,λ'为对应直线的斜率,则对合方程为
)1()0(0)'(' 2 baddba
相互垂直的直线斜率应满足 λλ'=–1,即 λ'=–1/λ,代入 (1),得
)2()0(0)( 22 badbdab
(i),当 (a–d)2+4b2>0时,(2)有两个相异实根 λ1,λ2,据韦达定理,有
λ1λ2=–1,即 λ2=–1/λ1,此时恰有一对对应直线相互垂直,参数为 λ1,λ2,
(ii),(a–d)2+4b2=0,仅当 a=d,b=0时成立,而此时对合方程为
λλ'=–1,方程 (2)有一个二重根,但是由此时的对合方程可见,任一对对应直线都相互垂直,
综上,通常线束的对合至少有一对对应直线相互垂直,
§ 2.5 一维基本形的对合例 4 求证：以通常点为束心的线束中的对合必有一对对应直线相互垂直,讨论：能否有更多对对应直线相互垂直？
讨论,如果对合 (1)有两对对应直线相互垂直,令其参数分别为
λ1?–1/λ1,λ2?–1/λ2,则容易求出由此决定的对合方程为 λλ'=–1,从而任一对对应直线都相互垂直,
问题,此时,不变直线必与其自身垂直,它的斜率是什么？
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应课件作者：南京师大数科院周兴和
1、透视对应两点场间使得对应点连线共点的双射?中心射影
2、射影对应
Steiner定义 设 π,π'为两个点场,若 υ,π→ π'满足
(i) υ为双射,
(ii) υ使共线点变为共线点,
(iii) υ保持共线四点的交比不变,
则称 υ为点场 π到 π'的一个 二维射影对应,
注 1,显然,透视对应是特殊的射影对应,
注 2,显然,二维射影对应使得点对应于点 ; 直线对应于直线,
因此,也称此处的二维射影对应为 直射,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应
Steiner定义 设 π,π'为两个点场,若 υ,π→ π'满足
(i) υ为一一对应,
(ii) υ使共线点变为共线点,
(iii) υ保持共线四点的交比不变,
则称 υ为点场 π到 π'的一个 二维射影对应,
代数定义 设在点场 π,π'上各取定齐次射影坐标系,称由
)21.2(0,0||||
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
ijaA
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
所决定的对应为 π到 π'的一个 二维射影对应,其中 (x1,x2,x3)与
(x'1,x'2,x'3)为对应点的齐次坐标,A称为射影对应的矩阵,
注,显然,(2.21)式为非奇异线性对应,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 Steiner定义?代数定义,
为方便计,在不同的使用场合经常取 (2.21)式的不同写法,如：
)'21.2(0,0||,3,2,1
3
1
'?
j
ijjiji aixax
)''21.2(0,0||
3
2
1
'
3
'
2
'
1
A
x
x
x
A
x
x
x
)'''21.2(0,0||' AAxx
注 1,由于 ρ的存在 (齐次性 ),对任意的 α≠0,αA与 A表示同一射影对应的矩阵,因此 A中 9个元素只有 8个独立,故 A是 8参数的,
证明 (略,请自学教材上的定理 2.26－定理 2.29).
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应注 2,因为 A是非奇异方阵,故可求出射影对应 (2.21)的逆对应,
3
1
'1 )1(0,0|),3,2,1(:
j
jijjii AixAx
其中 σ=|A|/ρ,Aji为 aji的代数余子式,故 (Aji)=A*亦为非异方阵,从而射影对应的逆对应仍然为射影对应,
设直线 u=[u1,u2,u3],即 u1x1+u2x2+u3x3=0,将 (1)代入,有
3
1
3
'
3
3
1
3
1
2
'
21
'
1,0
j
jj
j j
jjjj uAxuAxuAx
这是 π上的一条直线,其坐标为
3
1
',0,3,2,1
j
jiji iuAu
其中 (Aji)=(Aij)'=(A*)'为非异方阵,这表示线场 π与 π'之间由 (2.21)诱导的射影对应,从而我们有教材 P.81表格中的四个式子,
§ 2.6 二维射影变换一、二维射影对应定理 2.30 任一二维射影对应可由已知其四对对应点 (每一方四点中无三点共线 )唯一确定,
即：设 Pi? Pi'(i=1,2,3,4),且双方均为无三点共线的四点组,则由此可唯一确定 υ,π→ π',使得 υ(Pi)=Pi',i=1,2,3,4.
二维射影对应可由已知一对完全四点形的顶点对应唯一确定,
二维射影对应可由已知一对射影坐标系的对应唯一确定,
注 已知四对对应元素的坐标求射影对应式,类似于一维情况,
§ 2.6 二维射影变换二、二维射影变换对于二维射影对应 υ,π→ π',若 π=π',则称 υ为 二维射影变换,
注 1 射影变换是特殊的射影对应,此时 (x1,x2,x3)与 (x'1,x'2,x'3)
为相对于 π上的同一个射影坐标系而言,
注 2 射影坐标变换式 (1.10)也可看做射影变换,它表示同一点在不同射影坐标系下的坐标间的关系,
三、二维射影变换的不变元素不变元素不变点不变直线二维射影变换的重要内容之一,
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点
P(yi)为射影变换
3
1
' 3,2,1:
j
jiji ixax
的不变点?y1:y2:y3=y1':y2':y3'?存在 α≠0,使得 yi'=αyi?
3,2,1
3
1
iyay j
j
iji令 λ=ρα,?
)(
0)(
0)(
0)(
333232131
323222121
313212111
I
yayaya
yayaya
yayaya
存在 λ,使
)(.0)(||
333231
232221
131211
IIfEA
aaa
aaa
aaa
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
1、不变点定理 2.31 射影变换 υ有不变点?υ的矩阵 A有特征根,
推论 2.14 平面上任一射影变换至少有一个不变点,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三点共线的 n点组,n的最大值为多少？
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线
l[vi]为射影变换
3
1
' 3,2,1:
j
jjii iuau
的不变直线?v1:v2:v3=v1':v2':v3'?存在 κ≠0,使得 vi=κvi'?
3,2,1)'(
3
1
ivav j
j
jii,去掉“令 γ=μκ,?
)'(
0)(
0)(
0)(
333223113
332222112
331221111
I
vavava
vavava
vavava
存在 γ,使
11 21 31
12 22 32
13 23 33
| ' | ( ) 0,( ')
a a a
a a a A E f I I
a a a
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素
2、不变直线定理 2.31' 射影变换 υ有不变直线?υ的矩阵 A有特征根,
推论 2.14' 平面上任一射影变换至少有一条不变直线,
思考,若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无三线共点的 n线组,n的最大值为多少？
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素例 已知射影变换
)1(2
2
32
'
1
321
'
2
321
'
1
xxx
xxxx
xxxx
求不变元素,
解 第一步,列出特征方程,并求特征根,
,0
110
121
211
.0)2)(1)(1(
从而,特征根为 λ1=1,λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为
32
'
1
321
'
2
321
'
1
2
2
xxx
xxxx
xxxx
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ1=1代入 (I),得
02
0
02
32
321
32
xx
xxx
xx
解出相应的不变点坐标为 (3,2,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ2= –1代入 (I),得
0
03
022
2
321
321
x
xxx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,0,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第二步,求不变点
)(
0)1(
0)2(
02)1(
32
321
321
I
xx
xxx
xxx
射影变换 (1)的不变点方程组为将 λ3=2代入 (I),得
03
0
02
32
31
321
xx
xx
xxx
解出相应的不变点坐标为 (1,3,1).
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为
32
'
1
321
'
2
321
'
1
2
2
xxx
xxxx
xxxx
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ1=1代入 (I'),得
022
0
0
321
321
2
uuu
uuu
u
解出相应的不变直线坐标为 [1,0,–1].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ2= –1代入 (I'),得
02
03
02
21
321
21
uu
uuu
uu
解出相应的不变直线坐标为 [1,2,–7].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
§ 2.6 二维射影变换三、二维射影变换的不变元素第三步,求不变直线
)'(
0)1(2
0)2(
0)1(
321
321
21
I
uuu
uuu
uu
射影变换 (1)的不变直线方程组为将 λ3=2代入 (I'),得
032
0
0
321
31
21
uuu
uu
uu
解出相应的不变直线坐标为 [1,–1,–1].
特征根,λ1=1,
λ2= –1,λ3=2.
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例课件作者：南京师大数科院周兴和
1、仿射变换定义 3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为 射影仿射变换,
定理 3.1 射影变换
)1.3(0,0||,3,2,1
3
1
'?
j
ijjiji aixax
保持 l∞,x3=0不变?a31=a32=0.
证明,(略,见教材 ).
显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换显然,射影仿射变换形如
)2.3(0,03333
333
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
Aa
xax
xaxaxax
xaxaxax
作用于射影仿射平面 (拓广平面上 ).
将 (3.2)式化为非齐次 (前二式分别除以第三式 ),得
)3.3(0||''
22
11
222
111
ba
baA
cybxay
cybxax
称 (3.3)决定的变换为 仿射变换,作用于一般仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例
1、仿射变换
)3.3(0||''
222
111?
A
cybxay
cybxax
中,如果矩阵 A为正交阵,即满足 AA'=E,则称为 正交变换,(3.3)的齐次坐标表达式称为 射影正交变换,
2、正交变换定义 3.2 在仿射变换注,正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同,因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成,也可化为三角函数表达式,(教材 P.89的 (3.5)式 )
正交变换作用于欧氏平面上,而射影正交变换则作用于射影仿射平面上,
第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、平面上的几个变换群定理 3.3 非空集合 S上 全体 一一变换的集合对于变换的乘法构成群,称为集合 S上的 全变换群,
定理 3.4 非空集合 S上 若干个 一一变换的集合 G对于变换的乘法构成群?
(1) 若 g1,g2∈ G,则 g1g2∈ G.
(2) 若 g∈ G,则 g–1∈ G.
注,此即子群的条件,
第三章 变换群与几何学二、平面上的几个变换群
K={平面上全体射影变换 }.
KA={平面上全体射影仿射变换 }.
KM={平面上全体射影正交变换 }.
A={平面上全体仿射变换 }.
M={平面上全体正交变换 }.
射影平面仿射平面射影变换群 K
射影仿射变换群 KA
射影正交变换群 KM
仿射变换群 A
正交变换群 M
上述变换群之间显然有下列关系：
KMKAK
MA?
在射影平面 P上在仿射平面 PA上第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点定义 3.6 设 S为一个非空集合,G为 S上的一个变换群,称 S为 空间,S的元素称为 点,S的子集称为 图形,G称为空间 S的 主变换群,
研究空间 S中图形所决定的在 G的每一个元素的作用下保持不变的性质 (不变性 )和数量 (不变量 )的科学称为一门 几何学 (S,G).
S
G
S的子集 (图形 )在 G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的 G性质,构成几何学 (S,G).
注,显然,在 S上给定不同的变换群 G,则可得到不同的几何学,
第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点
Σ≠?,H为 G的子群,且对任意的 g∈ H,都有 g(Σ)=Σ
(例如对任意 τ∈ KA,τ(P\l∞)=P\l∞)；又 HΣ为 Σ上的一个变换群,且 HΣ
≌ H(如 A为 P\l∞上的变换群,A≌ KA),则称 (Σ,HΣ)为 (S,G)的一个以
(S,H)为 伴随绝对子几何学 的 相对子几何学,并称 B=S\Σ为的 绝对形,(如 l∞为绝对形 ).
,S设由此定义,可以得到几何学系列定义 3.7 如果 (S,G)为一个几何学,H为 G的子群,则称几何学
(S,H)为几何学 (S,G)的一个 绝对子几何学,简称 子几何学,
第三章 变换群与几何学三,Klein变换群观点射影几何
),( KP
射影仿射几何
),( KAP
射影欧氏几何
),( KMP
仿射几何 欧氏几何
),( APA ),( MPA
绝对子几何关系相对子几何关系伴随关系绝对形,l∞
KMKAK
MA?
变换群关系第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
1、射影几何学空间 射影平面 P
主变换群 射影变换群 K
研究内容 图形在射影变换下的不变性质和数量关联性，同素性交比注,其余所有射影不变性均可由上述基本的射影不变性演绎,
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 射影仿射平面 P
主变换群 射影仿射变换群 KA
研究内容 图形在射影仿射变换下的不变性质和数量注,通常直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学,
射影仿射几何学空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 仿射平面 PA
主变换群 仿射变换群 A
研究内容 图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学绝对形 无穷远直线因为仿射变换群是射影变换群的子群,所以射影不变性必定也是仿射不变的,从而仿射几何的研究内容必定包括射影几何的研究内容,
定理 3.10 仿射变换保持平行性不变,
注,平行性是最基本的仿射不变性,
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
2、仿射几何学定义 3.8 设 P1,P2为通常直线上的两个相异的通常点,P为该直线上任一通常点,定义注,单比是最基本的仿射不变量,
)6.3()(
2
1
21 PP
PPPPP?
为 P1,P2,P的简单比,或称 单比,称 P1,P2为 基点,P为 分点,
由 (P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可见定理 3.11 单比是仿射不变量,
注,单比与解几中的定比分点相差一个符号,
仿射不变性平行性单比平行线段的比,两三角形面积之比,
线段的中点,三角形的重心,梯形,
平行四边形,……
第三章 变换群与几何学四、几种几何学的比较
3、欧氏几何学因为正交变换群是仿射变换群的子群,所以仿射不变性必定也是正交不变的,从而欧氏几何的研究内容必定包括仿射几何的研究内容,
定理 3.12 正交变换保持两点间的距离不变,
注,距离是最基本的正交不变性,由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象,
结论,子几何学的研究内容比原几何学丰富,
4、判定一个几何性质 (量 )是某种几何学的研究对象第四章 二次曲线理论本章是平面射影几何的精华,也是最精彩的部分之一本章主要内容二次曲线的定义
Pascal定理
Brianchon定理配极变换射影分类每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用,
仿射理论仿射分类二次曲线上的射影对应与对合一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.1 坐标满足
3
1,
)1.4()(0
ji
jiijjiij aaxxaS
的所有点 (x1,x2,x3)的集合称为一条 二阶曲线,其中 (aij)为三阶实对称阵,秩 (aij)≧ 1.
定义 4.1' 坐标满足
3
1,
)'1.4()(0
ji
jiijjiij bbuubT
的所有直线 [u1,u2,u3]的集合称为一条 二级曲线,其中 (bij)为三阶实对称阵,秩 (bij)≧ 1.
注 1,S,T 均为高等代数中的实三元二次型,从代数上看,S=0,
T=0为相同的代数对象；从几何上看,是同一几何对象的不同描述,
因此统称为 二次曲线,
注 2,在需要时,S=0,T=0均可写为矩阵格式,
)1)(,'(.0',0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321
AAAXAXS
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxS 秩或一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义定义 4.2 如果 S可以 (不可以 )
分解为两个一次因式的乘积,则称 S=0为 退化 (非退化 )二阶曲线,
命题 S=0退化?|aij|=0.
定义 4.2' 如果 T可以 (不可以 )
分解为两个一次因式的乘积,则称 T=0为 退化 (非退化 )二级曲线,
注 3,由对偶原则,我们一般仅讨论二阶曲线,其结论均可对偶地适用于二级曲线,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
证明 (略,见教材 ).
注,若已知两个射影线束 A+λB? A'+ λB'的对应式
)0(0'' bcaddcba
则由此构成的二阶曲线方程为
)2.4(0'''', BcAb A Bd B Ba A A
定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
注,由本定理,一旦二阶曲线由两个射影线束生成,则其上点的地位平等,以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则得到两个也生成此曲线的射影线束,
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P)生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束
)(MA ).(MB
证明,设 Γ由 O(P) O'(P)生成,
)()( MBMA
设
'' KPOBM
KOPAM )()( KOPMA
)'(')( KPOMB
只要证
).'(')( KPOKOP
设 '.,'' BAMOBABMAO
),(')( POPO? ).,,,('),,,( MPBAOMPBAO?
分别以 AM,BM截,得 注意到
,MM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM?
).,',,'(),,',( MKBABMMKBAAM
从而对应点的连线共点,即 AA',BB',KK'共点于 S.但是 OBAOS '
为定点,故当 M变动时,KK'经过定点 S,即 ).'(')( KPOKOP
二、二次曲线的几何结构
§ 4.1 二次曲线的射影定义定理 4.2 设二阶曲线 Γ由射影线束 O(P)与 O'(P')生成,则在 Γ上任意取定相异二点 A,B,与 Γ上的动点 M连线可得两个射影线束推论 4.1 平面上五点 (其中无三点共线 )唯一确定一条非退化二阶曲线,
推论 4.1' 平面上五直线 (其中无三线共点 )唯一确定一条非退化二级曲线,
推论 4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成,
推论 4.2' 任一二级曲线可由两个射影点列生成,
推论 4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值,
推论 4.3' 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值,
注,推论 4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用,
)(MA ).(MB
§ 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义由上述的两个定理及其推论,我们有定义 4.3 在射影平面上,称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线,
定义 4.3' 在射影平面上,称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线,
思考,试研究本定义是如何包含退化二次曲线的,
提示,考虑透视对应、射影变换的情况,
§ 4.1 二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义例 1 求由两个射影线束 x1–λx3=0,x2–μx3=0(λ+μ=1)生成的二阶曲线方程,
解 令,0',0';0,0 3231 xBxAxBxA
利用定理 4.1的证明,此二射影线束
0''
0
BA
BA
生成的二阶曲线的方程为
)2.4(0'''' BcAb A Bd B Ba A A
由 λ+μ=1得 a=0,b=c=1,d=–1,代入上式,得,02
33231 xxxxx
即这是一条退化的二阶曲线,
注 自学教材例 4.2,并回顾 § 2.3(P.67)习题 6,7.
3 1 2 30,0,x x x x
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线本部分总假定,所论二次曲线为非退化的,
1,定义定义 4.4 与二阶曲线 Γ交于两个重合的点的直线称为 Γ的切线,
共轭的虚切线重合的实切线相异的实切线的两条有过内上外在点一般地 PP,
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程问题,已知二阶曲线
)1()(0:
3
1,
jiij
ji
jiij aaxxaS
求过定点 P(pi)的 Γ的切线方程,
设 Q(qi)为平面上任一点,则直线 PQ上任一点可表为 xi=pi+λqi.
PQ为 Γ的切线?Q为 Γ的过 P的切线上的点?PQ交 Γ于两个重合的点?将 xi=pi+λqi代入 Γ,S=0后只有一个解,代入得
0))(( jjiiij qpqpa
即 0)( 2 jijijijiij qqpqqpppa
即 )2(0)(2
jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)2(0)(2 jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa
为简便计,引入记号
jiijpp ppaS jiijqq qqaS
jiijpq qpaS jiijqp pqaS
jiijp xpaS jiijq xqaS
.,qppqjiij SSaa
代入 (2)式,得
)3(022 pppqqq SSS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)3(022 pppqqq SSS
从而,Q(qi)在过 P(pi)的切线上?(3)对 λ有二重根?
)4(2 ppqqpq SSS?
(4)式即为 Q(qi)是 Γ过 P(pi)的切线上的点的充要条件,习惯地,将其中的流动坐标 qi换为 xi,得到二阶曲线过点 P(pi)的切线方程为
)5(2 SSS ppp?
(5)式为一个二次方程,故经过平面上一点 P一般有两条切线,如果 P在 Γ上,则 Spp=0,从而,二阶曲线上一点 P处的切线方程为
)6(0?pS
§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
)5()(2 PSSS ppp
)6()(0 PS p
注,Sp=0常用的等价写法
.0),,().1(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
x
x
x
aaa
aaa
aaa
ppp
.0).2( 3
3
2
2
1
1
x
x
Sx
x
Sx
x
S
ppp
.0).3( 3
3
2
2
1
1
p
x
Sp
x
Sp
x
S
请自行证明这三种写法确实都与 Sp=0等价,
(3)式与解析几何中的切线方程一致
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点设 )'1(0||)(0:'
ijjiijjiij bbbuubT
1,定义,一般地,过平面上一点有 Γ'的两条直线,若过平面上某点 P有且仅有 Γ'的一条直线,则称 P为 Γ'的一个 切点,
2,切点方程观点,用两条相交直线描述点,
方法,取一直线 l[li],以动直线 m[mi]与之相交,有交点 l× m.
目标,若 P=l× m为切点,求其方程,
过程,与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程,
结论,
一般 (Γ'在 l上的切点 ),)'5(2 TTT lll?
特殊 (l属于 Γ'),)'6(0?
lT
也有各种常用的等价写法,请自行补出,
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点例 2 如果两个三点形 ABC与 A'B'C'同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线,
证,设交点 D,E; D',E'如图,
因为 A,B,C,A',B',C'在同一条二次曲线上,
据二阶曲线的射影定义,有
)',,,'( ABABC ).',,,'(' ABABC
又
)',,,'( ABABC )',',','('' ADEBBA
)',,,'(' ABABC ).,,,( EBADAB
)',',','('' ADEBBA ).,,,( EBADAB
由二级曲线的射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边,结论成立,
注：本题的逆命题成立,(见教材 P.110,习题 5)
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一定理 4.3(Maclaurin) 一条非退化二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线,
定理 4.3'(Maclaurin) 一条非退化二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线,
证明,(略 ),由本定理,设,0:
jiij xxaS
则 [u1,u2,u3]为 Γ
上一点处的切线?
)13.4(0
0321
3332313
2232212
1131211
uuu
uaaa
uaaa
uaaa
展开,得,0||||,.0 2
ijijjiijjiij aAAAuuAT 且注,本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法,
推论 4.4 若 bij=αAij(α≠0),则 S=0与 T=0表示同一条二次曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一例 3 求证,x1x3–x22=0与 4u1u3–u22=0表示同一条二次曲线,
证明,第一步,验证已知两条二次曲线为非退化,
第二步,将 aij,u1,u2,u3代入 (4.13)式,展开即得 4u1u3–u22=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点,
证明,设 Γ1,f≡∑aijxixj=0,Γ2,g≡∑bijxixj=0,则联立
0
0
g
f 即为
Γ1与 Γ2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解,
定义 4.5 设 f=0,g=0为平面上两条相异的二阶曲线,则称由
)14.4(0 Rgf
所决定的二阶曲线的全体为以 f=0,g=0的四个交点为 基点 的 二阶曲线束,若 f=0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的 四点形束,
定理 4.5 经过平面上任一点 P(非基点 ),必有一条二阶曲线属于已知束 f+λg=0.
证明,因为 P不是 f=0与 g=0的交点,故 fpp与 gpp不同时为零,不妨设 gpp≠0,令
.0
pp
pp
g
f 则 f+λ0g=0为过 P且属于 f+λg=0的二阶曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线,
它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边,
注,对定理 4.6的直观理解,如图,三条相异的退化二阶曲线为：;01 CDAB：;02 ADBC：
.03 BDAC：
实用性很强的两种极限形式如下：;01 CDAP：;02 ADAC：
.03 ADAC：;01 CPAP：;02 ACAC：
.03 ACAC：
只有两条相异,只有两条相异,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束例 4 (教材,例 4.3,请自学,体会如何应用二阶曲线束解题 ).
例 5 已知二阶曲线 Γ过点 A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并与直线 l1,
x1–3x2– x3=0,l2,2x1–x2=0相切,求 Γ的方程,
解 易见 A∈ l1,C∈ l2,于是 Γ分别与 l1,l2相切于点 A,C,令 A=B,C=D,则第一步,
,03,321 xxxAB,02,21 xxCD
,0,2?xAC,0,2?xBD
于是,过 A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为：
,0 BDACCDAB?即
.0)2)(3( 2221321 xxxxxx?
第二步,将 E(3,2,1)代入,得 λ=2,故 Γ的方程为
.02772 3231212221 xxxxxxxx
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理两个古老而美丽的定理,内容包括两个定理及其逆定理,以及它们的各种极限、退化形式,
核心是二次曲线的内接简单六点形、外切简单六线形及其各种极限形式,
简单六点形
654321 AAAAAA
简记为,123456
三双对边 12,45； 23,56； 34,61(间隔 (n–2)/2条边 )
简单六线形
654321 aaaaaa
简记为,123456
三双对顶 1× 2,4× 5； 2× 3,5× 6； 3× 4,6× 1(间隔 (n–2)/2
个顶点 )
牢记对边、对顶的规律,对于掌握两个定理十分重要！
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理一,Pascal定理与 Brianchon定理定理 4.7(Pascal) 定理 4.7'(Brianchon)
定理 4.8(Pascal逆定理 ) 定理 4.8'(Brianchon逆定理 )
注,利用 Pascal逆定理,已知平面上五点 (其中无三点共线 ),求作由此五点所确定的二阶曲线上的任一点,(教材,例 4.6,请自学 )
注,Pascal定理的证明见教材,当 Γ退化时,Pascal定理即为 Pappus
定理 (§ 2.3,例 2.10),比较这两个定理的证明过程,异曲同工！
Pascal线
Brianchon点
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式所谓极限形式,是指简单六点形有某些相邻顶点重合,则内接简单六点形实际上成为简单五点形,四点形,三点形,此时,连结重合的相邻顶点的边成为切线,将切线作为边,套用 Pascal定理即可,
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形定理 4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上,
注,图中以红色数字标出的画线次序实际上是给出了根据定理 4.9,已知非退化二阶曲线上相异五点,求作其中一点处的切线的作法,见教材,例 4.7.
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
(1),将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理 4.10
请对照教材,图 4.11标字母,
(2),将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点 定理 4.11
请对照教材,图 4.12标字母,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理二,Pascal定理的极限形式
1,一对相邻顶点重合 六点形 五点形
2,两对相邻顶点重合 六点形 四点形
3,三对相邻顶点重合 六点形 三点形每个顶点皆为两个重合点 定理 4.12
三、应用
1,作图题 作二阶曲线上的点作切线实例,例 4.6,4.7,4.8
2,证明题 证明共线点,共点线问题关键,如何找出合用的内接六点形？技巧类似于 Desargues定理,请自学,自我体会、总结,
§ 4.3 配极变换一、极点与极线在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与配极有关,只讨论二阶曲线,总假定：非退化,
设
)1(.0||,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS
1,引入定义 4.6 两点 P,Q关于 Γ共轭,(如图 )
定理 4.13 点 P关于 Γ的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
证明 设 P(pi),Q(qi),则 PQ与 Γ,S=0的交点 M(pi+λqi)满足
.022 pppqqq SSS设其两根为 λ
1,λ2,则交点为 Mj( pi+λjqi),(j=1,2),于是 (PQ,M1M2)=–1
λ1/λ2=–1?λ1+λ2=0?
.002 pq
pq S
S
S
将 qi改为流动坐标 xi,得 P关于 Γ的共轭点的轨迹为直线 Sp=0.
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
1,引入定理 4.13 点 P关于 Γ的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
推论 4.5 两点 P,Q关于 Γ共轭?Spq=0.
注 1,P在 Γ上,则 Spp=0,由推论 4.5,Γ上的点关于 Γ自共轭,
注 2,验证两点 P,Q关于 Γ共轭,只要验证
.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
aaa
aaa
aaa
ppp
2,极点与极线定义 4.7 对于点 P,若P 则称 P关于 Γ的 共轭点轨迹 p 为
P 切线 p
P关于 Γ的 极线,方程为 Sp=0,反之,称 P为直线 p关于 Γ的 极点,
注 3,由推论 4.5,定义,相互在对方极线上的两点称为关于 Γ的共轭点,
§ 4.3 配极变换一、极点与极线推论 4.6 平面上任一点 P关于 Γ的极线存在唯一,方程为 Sp=0,反之,平面上任一直线 p关于 Γ的极点存在唯一,
证明 只要证后半,设直线 u,u1x1+u2x2+u3x3=0,求 u关于 Γ的极点,
设 P(pi)为其一个极点,由于 P(pi)的极线唯一存在为 Sp=0,从而 u与
Sp=0为同一直线,由此可以推知
)17.4(.
3
2
1
332313
232212
131211
3
2
1
p
p
p
aaa
aaa
aaa
u
u
u
因为 |aij|≠0,故 (4.17)对于 (p1,p2,p3)有唯一解,即 u的极点 P唯一存在,
(4.17)表示直线 u与它的极点 P之间的关系,称为 极点方程组,
2,极点与极线
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
3,极点与极线的计算
(1),已知 P(pi),求极线,直接求 Sp=0,
(2),已知 u(ui),求极点,将 [ui]代入 (4.17),解出 (pi),(注：在实际计算时,可取 ρ=1,见教材,例 4.11)
注,(4.17)是一个非奇异线性变换,是由 Γ,S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个一一变换,
定义 4.8 相互通过对方极点的直线称为关于 Γ的 共轭直线,
注,利用 Maclaurin定理及对偶原则,有,两直线 p[pi],q[qi]关于 Γ,S=0共轭?Tpq=0?
)19.4(.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
AAA
AAA
AAA
ppp
根据推论 4.5,可以对偶地给出下列定义
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换定义 称由
)18.4(.0||,,3,2,1
3
1
ijjiij
j
jiji aaaixau?
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 Γ,S=0
的 配极变换,
注 1,任一非退化二阶曲线 Γ都决定了平面上的一个配极变换,
注 2,配极变换是异素变换,
定理 4.14(配极原则 ) 点 P关于 Γ的极线 p通过点 Q?点 Q关于 Γ
的极线 q通过点 P,(对偶：直线 p关于 Γ的极点 P在直线 q上?直线 q
关于 Γ的极点 Q在直线 p上,)
注,本定理给出了配极变换的最基本的几何性质,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换推论 4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点；
两直线交点的极线为此二直线极点的连线,
推论 4.8 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线,
推论 4.9 关于非退化二阶曲线 Γ的配极变换使得点列对应于线束,线束对应于点列；图形对应于其对偶图形,
推论 4.10 关于非退化二阶曲线 Γ的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比,因此,配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应,
综上,非退化二阶曲线 Γ 配极变换 二维异素射影变换二维异素射影变换? 对偶变换从而 配极原则? 特殊的对偶原则
§ 4.3 配极变换二、配极变换
2,自极三点形定义 4.10 若一个三点形关于 Γ每个顶点是其对边的极点 (则每边是其对顶的极线 ),则称此三点形为关于 Γ的一个 自极三点形,
定理 4.15 内接于非退化二阶曲线 Γ的完全四点形的对边三点形是关于 Γ的一个自极三点形,
注 1,Γ的自极三点形的任一顶点必不在 Γ上,
注 2,Γ的自极三点形恰有一个顶点在 Γ的“内部”,
注 3,Γ的自极三点形任意两顶点相互共轭 ; 任意两边相互共轭,
例 1,给定不在 Γ上的一点 P(pi),任求 Γ的一个自极三点形 PQR.
解,(i) 求 P(pi)的极线 p,Sp=0.
(ii) 在 p上任取不属于 Γ的一点 Q(qi),求 Q的极线 q,Sq=0.
(iii) 求 p与 q的交点 R(ri),则 PQR必为 Γ的一个自极三点形,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
3,配极变换的基本应用
(1),几何证明题 灵活运用配极原则以及自极三点形等概念
(2),极点极线作图例 2,已知非退化二阶曲线 Γ及不在 Γ上一点 P,求作 P关于 Γ的极线 p.
例 3,已知非退化二阶曲线 Γ以及一直线 p,求作 p关于 Γ的极点 P.
作法,在 p上任取不在 Γ上两相异点 Q,R,
利用上例,作 Q,R关于 Γ的极线 q,r,则
q× r=P.例 4,已知非退化二阶曲线 Γ及 Γ外一点
P,过 P求作 Γ的两切线,
作法一,利用例 2,设 p交于 E,F,连 PE,PF
即可,
作法二,如图,过 P任作三割线,可得切线,
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义定义 4.11 若点 P0(p0i)的坐标是方程组
)1)(,3,2,1,(0
3
1
ijjiij
j
jij aiaaxa 秩的非零解,则称 P0为二阶曲线 Γ,?
3
1,
0
ji
jiij xxa
的一个 奇异点,
注 1,P0为 Γ的奇异点?P0在 Γ上,且 Sp0=0.
注 2,Γ,S=0有奇异点?|aij|=0?Γ为退化的,
注 3,若秩 (aij)=2,则 Γ有唯一奇异点；若秩 (aij)=1,则 Γ有无穷多的奇异点,构成一条直线,
2,性质
(1),定理 4.16,Γ上一点 P为奇异点?P与 Γ上任一点连线上的点都在 Γ上,
证明见教材,请自学,
§ 4.4 二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点
1,定义 2,性质
(2),平面上任一点 P的极线必过奇异点 P0.
证,将 P0的坐标直接代入 Sp=0即得,
(3),过 P0的直线上任意异于 P0的点有相同的极线为过 P0的另一直线,
证,设 Γ退化为两直线 m1,m2,则据 (1),
m1× m2=P0,过 P0的直线 p上任一点 P的极线为满足 (PQ,M1M2)=–1的点 Q的轨迹,
显然为满足 (pq,m1m2)=–1的另一直线 q.
从而过 P0的直线 无穷多的极点在过 P0的定直线上,
综上关于退化二阶曲线的配极为奇异的,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩问题,给定适当选取射影坐标系,将 Γ的方程化为 标准方程,
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
取 Γ的一个自极三点形,设其顶点为 A'1(pi),A'2(qi),A'3(ri),取
E'(pi+qi+ri)为新的单位点,建立新的射影坐标系,据 (1.10)式,坐标变换的逆式为
)10.1(.
'
3
'
2
'
1
333
222
111
3
2
1
x
x
x
rqp
rqp
rqp
x
x
x
代入 (1),由教材 P.124推导,Γ的方程化为
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
1,|aij|≠0,秩 (aij)=3.
.0' 2'3'332'2'222'1'11 xaxaxaS
再作一次仅改变单位点的射影坐标变换
3,2,1,
||
1 ''
'
' ix
a
x i
ii
i?
S'=0又可化为
.0'' 2''32''22''1 xxxS
去掉,'' ‖之后,由于齐次性及 x1,x2,x3的平等性,只有两种情况：
2 2 21 2 3 0.x x x 实二阶曲线（长圆曲线）
虚二阶曲线（零曲线）,0232221 xxx
综上,非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种 标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
2,|aij|=0,秩 (aij)=2.
Γ退化为两条相交直线 m1,m2,Γ的自极三点形不存在,
取新的射影坐标系如图所示,Γ的方程化为
.02221 xx
即一对共轭虚直线,02221 xx
一对相交实直线,02221 xx
综上,当二阶曲线 Γ退化且秩为 2时,其方程必可化为上述两种标准方程 之一,
§ 4.4 二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类
3,|aij|=0,秩 (aij)=1.
Γ退化为一条完全由奇异点构成的直线,取此直线为坐标三点形的一边,比如 A'3A'1,则 S=0必可化为一对重合实直线,021x
综上,当 Γ退化且秩为 1时,Γ的方程必可化为上述 标准方程,
由以上讨论,我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表,
二阶曲线被分成 5个等价类,属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述 5种 标准方程 之一,
注,给定二阶曲线 Γ的方程,适当选取射影坐标系,将 Γ的方程化为射影标准方程的实例见教材,请自学,
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应总假定：所论二次曲线非退化,
定义 4.12 二阶曲线 Γ上全体点的集合称为一个 二次点列,Γ
称为这点列的 底,
记作 Γ(A,B,C,…) 或 Γ.
定义 4.12' 二级曲线 Γ'上全体直线的集合称为一个 二次线束,
Γ'称为这线束的 底,
记作 Γ'(a,b,c,…) 或 Γ'.
定义 4.13 设 A,B,C,D为二次点列 Γ上四点,则其 交比 定义为
(AB,CD)=S(AB,CD).
其中 S为 Γ上任意一点,若上述交比为 –1,则称这四点构成二次点列
Γ上一个 调和点组,
注,由推论 4.3,本定义是合理的,
§ 4.5 二次点列上的射影变换一、二次点列上的射影对应定义 4.14 如图所示点列、线束与二次点列之间的透视对应,
定义 4.15 若两个二次点列分别与两个射影线束透视,则这两个二次点列成射影对应,
记作,S(P) Γ(P)； x(P1) Γ(P).
S(P) Γ(P)
S'(P') Γ'(P')
S(P) S'(P') Γ(P) Γ'(P')
注 (Thm.4.17),(1) 对于二次点列间的射影对应,也可由已知相异的三对对应点惟一确定,
(2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射,
(3) 有类似的 Steiner作图法 (图 4.26).
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换,
定理 4.18 (Steiner)设 f 为二次点列 Γ上的一个非恒同的射影变换,则存在惟一直线 p0,使得对于 f 的任何两对对应点 A,A'; B,B',
都有 PAB=AB'× A'B在直线 p0上,直线 p0称为 f 的 射影轴,简称 轴,
证明,(略,见教材 ).
注,射影轴即为 Pascal线,轴与 Γ的交点即为 f 的 不变点,
推论 4.11 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三对对应点完全确定,
推论 4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其轴和一对相异的对应点完全确定,
f 的射影轴
§ 4.5 二次点列上的射影变换二、二次点列上的射影变换定义 4.17 二次点列上的 双曲型,抛物型,椭圆型 射影变换,
注,二次点列 Γ上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆型?f 的轴与 Γ相交、相切或不相交 (交于一对共轭虚点 ).
定理 4.19 f,Γ(P) Γ(P')
S(P) Γ(P)
S(P') Γ(P')
x(P1) Γ(P)
x(P'1) Γ(P')
fS,S(P) S(P') fx,x(P1) x(P'1)
f 与 fS,fx为同型射影变换,
定理 4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换,其两个不变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数,称为 特征不变量,
体会,通过透视对应,一维基本形的射影对应、射影变换的许多性质都可移植到二次点列上来,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合定义 二次点列 Γ上的一个非恒同的射影变换 f 称为 对合,如果任取 Γ上一点 S与 f 的对应点连线得到线束 S中一个对合 f0.
注,二次点列上的对合可视为由与之透视的线束的对合诱导,
定理 对于二次点列 Γ,下列结论成立：
(1) Γ上的对合可由已知其相异的两对对应点惟一确定；
(2) Γ上的一个非恒同的射影变换 f 为对合?f 有一对对应元素相互对应；
(3) Γ上对合的几何条件,(P1P'1,P2P3)= (P'1P1,P'2P'3)；
(4) Γ上对合 f 的射影轴 p0称为 f 的 对合轴,
注,如右图,p0为对合轴,由此又可推出一些有趣的结论,
§ 4.5 二次点列上的射影变换三、二次点列上的对合推论 对于二次点列 Γ上对合 f
(1) f 的对合轴可由其相异的两对对应点惟一确定 ;
(2) f 可由其对合轴惟一确定 ;
(3) 在 f 的任意一对相异的对应点处 Γ的切线交于对合轴 p0.
定理 二次点列上任意对合的特征不变量为 –1,即二次点列上对合的任一对相异的对应点被两个不变点调和分离,
定理 二次点列 Γ上对合 f 的任一对对应点的连线过一定点；
以不在 Γ上的任一点为束心的线束中每一直线与 Γ的交点是 Γ上同一对合的对应点,
上述定点称为 f 的 对合中心,对合中心是对合轴的极点,
二次点列 Γ上的任一对合可由已知其对合中心惟一确定,
利用配极变换又可得：
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系定义 4.21 对于任意的二阶曲线 Γ,若 Γ交无穷远直线于两个相异的实点重合的实点共轭的虚点
,则称 Γ为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的若 Γ非退化,则称为双曲线抛物线,
椭圆双曲线抛物线椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系设
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩其中 xi为齐次仿射坐标,则 x1,x2地位平等而 x3特殊,Γ与 l∞的交点为
0
0
3x
S,02 222221122111 xaxxaxa
解出 x1:x2即得交点 (x1,x2,0),于是,对于 x1:x2,有两个相异的实根重合的实根共轭的虚根
0
0
0
33
2212
1211 A
aa
aa? Γ为双曲型 的抛物型 的,
椭圆型 的定理 4.25 对于二阶曲线 Γ,S=0,A33的符号 为仿射不变的,
由于 l∞,x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与 l∞的相交情况也是仿射不变的,所以有下列定理
§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化,
定义 4.22 l∞关于 Γ的极点 C称为 Γ的 中心,
1,定义
2,性质
(1),通常点 C为 Γ的中心?C为 Γ的对称中心
(即 C为过 C的弦的中点 ).
证明 设 p为过 C的直线,交 Γ于 A,B,交 l∞于 P∞,据中心的定义,C
为中心?(AB,CP∞)=–1?C为 AB的中点,从而仿射定义 解几定义(AB,CP∞)=–1
(2),双曲线,椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点,
双曲线椭圆 有心二阶曲线,033?A 无心二阶曲线抛物线,033?A
§ 4.6 二次曲线的仿射理论二、二阶曲线的中心
1,定义 2,性质 3,中心坐标因为中心 C为 l∞的极点,设 C(c1,c2,c3),则中心方程组为
.
1
0
0
3
2
1
332313
232212
131211
c
c
c
aaa
aaa
aaa
0
0
323222112
313212111
cacaca
cacaca
0
0
2
1
C
C
x
S
x
S
.:::,333231321 AAAccc?
于是,中心坐标为：
有心二阶曲线,(A31,A32,A33).
无心二阶曲线,(A31,A32,0),即 (a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义
(1),直径仿射定义 解几定义无穷远点 P∞的有穷远极线 (过中心的通常直线 ).
一组平行弦中点的轨迹,
(XY,ZP∞)=–1
(2),共轭直径直径 AB的共轭直径为 AB上无穷远点 P∞
的极线 EF(相互通过对方极点的两直径 ).
直径 AB的共轭直径为平行于 AB的弦的中点轨迹 EF.
(XY,ZP∞)=–1
仿射定义 解几定义
(3),共轭方向：与一对共轭直径平行的方向,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质
(1),有心二阶曲线 Γ
(i) Γ的任一对共轭直径与 l∞一起,构成
Γ的一个自极三点形,
(ii) Γ的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,
且平行于共轭直径与 Γ交点处的两切线,
(2),抛物线 Γ
(i) Γ的直径相互平行 (注,l∞不是抛物线的直径 ).
(ii) Γ的任一直径的极点为其与 Γ有穷远交点处切线上的无穷远点,
(iii) Γ的任一直径平分其与 Γ有穷远交点处切线平行的弦,(XY,ZP∞)=–1.
(iv) 抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(i) 直径的方程,因为直径是以 Γ的中心为束心的线束中的直线,
以两特殊直径参数表示,取两无穷远点 (1,0,0),(0,1,0),其极线 (对应的直径 )方程为
0:
0:
3232221122
3132121111
xaxaxal
xaxaxal 即
0
0
2
1
x
S
x
S
从而任一直径可表为
12
,0,( 4,3 7)SSl k k Rxx
注,k的几何意义,(4.37)表示的直径 l方程可改写为：
001
321
xSkxSxS
这说明 l为 (1,k,0)的极线,而 (1,k,0)是 l的共轭直径上的无穷远点,从而,(4.37)中的参数 k为直径 l的共轭方向 (共轭直径的斜率 ).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(ii) 两直径共轭的条件,设直径
0:
21
xSkxSl
的共轭直径为 l'.
则 l'为 l上的无穷远点 (a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线,从而 l'的方程为
.0)()( 1211
2
2212
1
kaaxSkaaxS
即
.0'
21
xSkxS
其中
2212
1211'
kaa
kaak
为 l的斜率,即
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
从而,两直径共轭?两直径的斜率满足对合方程,
性质,在以有心二阶曲线 Γ的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合对应,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径
1,定义 2,性质 3,直径的方程
(1),有心二阶曲线 Γ
(2),抛物线 Γ
利用中心坐标,可直接写出 Γ的直径方程为
.)(0
12
11
3212111 bxa
aybbxxaxa 即为常数或者
.)(0
22
12
3222112 bxa
aybbxxaxa 即为常数
(a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义,二阶曲线上无穷远点处的 有穷远切线 称为其 渐近线,
注 1,等价定义,过中心的 有穷远切线 称为渐近线,
注 2,与渐近线平行的方向称为 渐近方向,
注 3,双曲线椭 圆 有两条实虚 渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线,
从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义
2,性质
(1),渐近线是自共轭的直径,
(2),在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
的两条不变直线,
(3),有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径,
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
法一,利用对合不变元素,在
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
中,令 k=k'得
02 1112222 akaka
此对合不变元素方程即渐近线方向的方程,求出两根 ki,分别代入
0
21
xSkxS即可得两渐近线方程,
评注,此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则 ki中应有 0或 ∞,实际计算时容易丢失一条渐近线,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法二,利用中心和渐近方向,
评注,此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出 (一般可不分解为一次式 ).
得，联立
0
0
3x
S
,02 222221122111 xaxxaxa
这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为 Γ与 l∞的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得
.02 22212211 yaxyaxa
设中心的非齐次坐标为 (ξ,η),则渐近线的方程为
.0)())((2)( 22212211 yayxaxa
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程法三,利用切线方程,渐近线为过中心的切线,将中心 P(A31,A32,A33)
代入 SppS=S2p,即得渐近线方程,现对此法进行整理,因为评注,此法推导繁,实用并不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,|aij|已有,再判断是否有心,A33也已知,从而 λ为已知,
3
3
2
2
1
1
xxSxxSxxSS
ppp
p
由于 P为中心,所以上式前二项的系数等于 0,从而,
3
3
xxSS
p
p
将中心坐标代入,得,||)(
33333332323131 xaxAaAaAaS ijp
由此又得
.|| 33AaS ijpp? 从而,过中心的切线 (渐近线 )方程为
.|||||| 233323233 xaSAxaSAa ijijij
令
./|| 33Aa ij 得渐近线方程为
.023 xS?
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 1,双曲线的任一切线交两渐近线于两点,求证：切点是此二交点连线的中点,
证明,如图,只要证 (PQ,MN∞)=–1.
为此,只要证 CM,CN∞为一对共轭直径,
M的极线为 PQ
C的极线为 l∞ CM的极点为l
∞× PQ=N∞N
∞的极线为 CM
C的极线为 l∞ CN∞的极点为l
∞× CM=M∞
CM,CN∞为一对共轭直径,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 2,任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段,
证明,目标,PA =BQ.
取 AB中点 M,则
.1),(MNAB
从而,M在 N∞的极线上,CM是平分与 AB平行的弦的直径,且 CM,
CN∞为一对共轭直径,于是有
.1),(.1),( MNPQMNPQC 即即 M也是 PQ的中点,于是有 PA =BQ.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 3,求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线围成的三角形面积为定值,
证明,目标：三角形 ABC面积为定值,
只要证
CBAABC SS ''
只要证
''' B A BABA SS
,'//' BAAB只要证
只要证 AB',A'B,l∞共点于 P∞.
因为 AB,A'B',t,t'构成 Γ的一个外切四线形,根据定理 4.10的对偶,我们有,这个四线形两双对顶的连线 (即 AB',A'B)与两组对边上切点的连线 (即 l∞与 AB,A'B'上的切点连线 )必定四线共点,立即得结论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 4,从双曲线上任一点分别作平行于两渐近线的直线,求证：这两直线与两渐近线围成的平行四边形面积为定值,
证明,目标：四边形 ACBM面积为定值,
过 M作的切线,分别交 Γ的两渐近线于 P,Q,则 M为 PQ的中点,
上述图形在欧氏平面上如右,
利用例 3及初等几何知识,立即可得结论,
思考,对于上述例 1－例 4,你能够用解析几何的方法证明吗？如果能,请将证明过程与高等几何的证明过程作比较,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 5,设 PP'是二阶曲线 Γ的直径,任一点 Q处的切线交 P处的切线于 R,P'Q交 PR于 X,求证：
PR=RX.
证明,因为 PP'是直径,所以 P,P'处的切线交于
P∞,只要证
.1),(RPPX
设 Q处的切线交 P'处的切线于 T,则 P∞RT为 Γ的一个外切三线形,
据定理 4.12的对偶,PT,P'R,P∞Q三线共点于 U.
从而,RUTP∞为一个完全四点形,由此立即可得
.1),(RPPX
故 R为 PX的中点,即 PR=RX.
问,本题是否有问题？ 应该限定为有心二阶曲线！
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 6,如图,T是有心二阶曲线 Γ的弦 QQ'的极点,
O为中心,OT交 QQ'于 V,交 Γ于 U,U',
求证,(1),QV=VQ'； (2),OU 2=OV?OT.
证明,(1),设 P∞为 QQ'上的无穷远点,则 QV=VQ'
(QQ',VP∞)=–1,只要证 V在 P∞的极线上,因为
P∞在 T的极线上? P∞的极线过 T
Γ为有心曲线? P∞的极线为直径过 O P∞的极线为 OT,过点 V.
所以,(QQ',VP∞)=–1,即有 QV=VQ'.
(2),因 QQ'为 T的极线,故 (TV,UU')=–1,又 O为中心,故 UO=OU',
即 OU'=–OU,所以
1)',(UUTV? 1''TUVU VUTU? ''' VUTUVUTU
)')('()')(( OUVOOUTOOUVOOUTO 展开即得结论,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类问题,给定
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩适当选取仿射坐标系,将 Γ的方程化为仿射标准方程,
依据,Γ的秩,A33的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的仿射标准方程,
注意,因为无穷远直线 l∞,x3=0在仿射变换下保持不变,故在选取新的仿射坐标系时必须保持 A1',A2'总取在 l∞上,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
1,A33≠0,有心二阶曲线,
取中心为 A3',任取一对相异的共轭直径,其与
l∞的交点分别取作 A1',A2',则三点形 A1'A2'A3'为 Γ
的一个自极三点形,
以 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 E'(按照 (1.10)式要求 ),建立新的仿射坐标系,据 § 4.4,S=0可以化为
.0'' 232221 xxxS
注意到 x1,x2地位平等,而 x3特殊,从而有下列三个等价类
)1(00
)1(0
)1(0
0
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
33
yxxxx
yxxxx
yxxxx
A
双曲线虚椭圆实椭圆在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述 标准方程 之一,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
2,A33=0,无心二阶曲线,即抛物线,
以 l∞为一边的自极三点形不存在,取中心 (无穷远切点 )为 A1',取一直径与 Γ的有穷远交点为 A3',A3'
处的切线上无穷远点取作为 A2'.
在仿射平面上,任何无心二阶曲线 (抛物线 )皆可化为上述 标准方程,
以上述三点形 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 (限制条件同上 )建立仿射坐标系,据 § 4.4,习题 2(或见本节教材上的论证 ),
Γ的方程可以化为
.02 '3'1'132'2'22 xxaxa
再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得 Γ的仿射标准方程
)2(.02 23122 pxyxxx 即
§ 4.7 二次曲线的仿射分类二,Γ退化 |aij|=0
综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为 11个等价类,任何二阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述 11种 标准方程 之一,
秩 (aij) =2
秩 (aij) =1
依其奇异点情况及与 l∞的关系,分成 7个仿射等价类,
请自学教材中的例 4.22,对于仿射平面上任给的二阶曲线,我们一般需要做的基本工作有：
*判断是否退化；
*判断是否有心；给出粗略分类；
*求出中心坐标；
*求出一对共轭直径；
*求出渐近线；
*求仿射坐标变换,化曲线方程为仿射标准方程,
*利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 1,求证：在仿射坐标系下
00)(2)( 2 qprqypxyx
表示抛物线,试说明 αx+βy+γ=0与 px+qy+r=0的几何意义,
证明,令
yxy
rqypxx
'
'
因为,0?
qp
所以上式为仿射变换,将其视为仿射坐标变换,则已知曲线的方程可化为
)02(0'2','3'12'22 xxxxy 齐次形式为：
Γ为抛物线,
Γ× l∞=(1,0,0)在 x'轴上,故 x'轴 y'=0即 αx+βy+γ=0为 Γ的一条直径,x'=0即 px+qy+r=0为 y'=0即 αx+βy+γ=0与 Γ有穷远交点处的切线,
