§ 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心三、直径与共轭直径
33
0
0
0
A
双曲型抛物型椭圆型
相异的实点重合的实点?
共轭的虚点
× l
∞=?A33的符号仿射不变,
有心,(A31,A32,A33); 无心,(A31,A32,0)或 (a12,–a11,0)或 (a22,–a12,0).
12
0,SS k k Rxx方程,为共轭直径的斜率
22 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3' ( ') 0,( 0 )a k k a k k a a a a A共轭条件：
性质,在以有心二阶曲线?的中心为束心的线束中,直径与共轭直径的对应是一个对合,
四、渐近线
1,定义,二阶曲线上无穷远点处的 有穷远切线 称为其 渐近线,
注 1,等价定义,过中心的有穷远切线称为渐近线,
注 2,与渐近线平行的方向称为 渐近方向,
注 3.双曲线椭 圆 有两条实虚 渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线,
从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
1,定义
2,性质
(1),渐近线是自共轭的直径,
(2),在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
的两条不变直线,
(3),有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径,
双曲线 双曲型对合椭 圆 椭圆型对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线
3,求渐近线方程设已知有心二阶曲线
)1(0,0||,)(0,33
3
1,
AaaaxxaS ijjiij
ji
jiij
求 Γ的渐近线方程,
法一,利用对合不变元素,在
)40.4()0(0)'(' 332122211111222 Aaaaakkakka
中,令 k=k'得不变元素方程为
02 1112222 akaka
此方程的两根即为渐近线方向,设两根为 ki(i=1,2),分别代入
0
21
xSkxS即可得两渐近线方程,
评注,此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线,则 ki中应有 0或 ∞,实际计算时容易丢失一条渐近线,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程评注,此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线的方程即可直接写出 (一般可不分解为两个一次式 ).
法二,利用中心和渐近方向,
得，联立
0
0
3x
S
,02 222221122111 xaxxaxa
这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为?与 l∞的交点,从而它们平行于两渐近线,化为非齐次,得
.02 22212211 yaxyaxa
设中心的非齐次坐标为 (?,?),则渐近线的方程为
.0)())((2)( 22212211 yayxaxa
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程评注,此法推导繁,实用不繁,因为在做题时,首先判断是否退化,|aij|已有,再判断是否有心,A33也已知,从而?为已知,
法三,利用切线方程,渐近线为过中心的切线,将中心 P(A31,A32,A33)
代入 SppS=S2p,即得渐近线方程,现对此法进行整理,因为
3
3
2
2
1
1
xxSxxSxxSS
ppp
p
由于 P为中心,所以上式前二项的系数等于 0,从而,
3
3
xxSS
p
p
将中心坐标代入,得,||)(
33333332323131 xaxAaAaAaS ijp
由此又得
.|| 33AaS ijpp? 从而,过中心的切线 (渐近线 )方程为
.|||||| 233323233 xaSAxaSAa ijijij
令
./|| 33Aa ij 得渐近线方程为
.023 xS?
§ 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线 3,求渐近线方程例 1,(P.142,例 4.22) 求双曲线 x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐近线方程,
23 0,( 4,4 2 )Sx
解,法一、法二,见教材,以下分析法三,有两种途径,
途径一,直接计算 |aij|和 A33,然后求出?,即可写出方程 (4.42).
途径二,因为渐近线的方程为
(4.42)表示一条退化二阶曲线,退化为两条相交直线 (渐近线 ),故
.0
332313
232212
131211
aaa
aaa
aaa
从中解出?,代入 (4.42)即可,这是教材上的方法,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 2,(P.143,Ex,5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径解,经验证,两曲线均为非退化有心二阶曲线 (椭圆 ),有公共的中心为坐标原点,所以可能有公共的共轭直径,
22
1
22
2
,1,
,3 2 1,
x x y y
x x y y
两曲线的共轭方向方程 (即直径与共轭直径的对合 )分别为
1
2
,2 ' ' 2 0,
,4 ' ' 6 0,
k k k k
k k k k
联立上述,解出公共的共轭方向为
.3 131,3 131 21 kk
分别代入直径方程 (4.37),得到公共共轭直径的方程为
12
1 1 3,,.
3l l y x
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 3,双曲线的任一切线交两渐近线于两点,求证：切点是此二交点连线的中点,
证明,如图,只要证 (PQ,MN∞)=–1.
为此,只要证 CM,CN∞为一对共轭直径,
M的极线为 PQ
C的极线为 l∞ CM的极点为 l∞?PQ=N∞
N∞的极线为 CM
C的极线为 l∞ CN∞的极点为 l∞?CM=M∞
CM,CN∞为一对共轭直径,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 4,(P.144,Ex.9)任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段,
证明,目标,PA=BQ.
取 AB中点 M,则
.1),(MNAB
从而,M在 N∞的极线上,CM,CN∞为一对共轭直径,于是有
.1),(.1),( MNPQMNPQC 即即 M也是 PQ的中点,于是有 PA=BQ.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 5,求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线围成的三角形面积为定值,
证明,目标：三角形 ABC面积为定值,
只要证
CBAABC SS ''
只要证
''' B A BABA SS
,'//' BAAB只要证
只要证 AB',A'B,l∞共点于 P∞.
因为 AB,A'B',t,t'构成?的一个外切四线形,根据定理 4.10的对偶,我们有,这个四线形两双对顶的连线 (即 AB',A'B)与两组对边上切点的连线 (即 l∞与 AB,A'B'上的切点连线 )必定四线共点,立即得结论,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 6,(P.144,Ex.10)从双曲线上任一点分别作平行于两渐近线的直线,求证：这两直线与两渐近线围成的平行四边形面积为定值,
证明,目标：四边形 ACBM面积为定值,
过 M作?的切线,分别交?的两渐近线于 P,Q,则 M为 PQ的中点,
由例 5,三角形 CPQ的面积为定值,
上述图形在欧氏平面上如右,
利用例 5及初等几何知识,立即可得结论,
思考,对于上述例 3－例 6,你能够用解析几何的方法证明吗？如果能,请将证明过程与高等几何的证明过程作比较,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 6,(P.144,Ex.11)设 PP'是二阶曲线?的直径,
任一点 Q处的切线交 P处的切线于 R,P'Q交 PR于
X,求证,PR=RX.
证明,因为 PP'是直径,所以 P,P'处的切线交于
P∞,只要证
.1),(RPPX
设 Q处的切线交 P'处的切线于 T,则 P∞RT为?的一个外切三线形,
据定理 4.12的对偶,PT,P'R,P∞Q三线共点于 U.
从而,RUTP∞为一个完全四点形,由此立即可得
.1),(RPPX
故 R为 PX的中点,即 PR=RX.
问,本题是否有问题？ 应限定为有心二阶曲线；或者限定 P不是无穷远点,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 7,证明,设 P为不在渐近线上的定点,过
P的动弦为 x,x上的无穷远点为 P?,
则 x被 P?的极线 (x的共轭方向直径 )平分,
设此直径为 p.
x绕 P变动 P?沿 l?变动 p绕 C变动透视关系 射影关系射影关系
x与 p的交点轨迹为一条二阶曲线问题,为什么要求 P不在渐近线上？
例 7,(P.143,Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦中点的轨迹为另一条二阶曲线,
§ 4.6 二次曲线的仿射理论五、应用举例例 8,如图,设 T为抛物线的弦 PQ的极点,
过 T的直径交弦 PQ于 N,求证：线段 TN被抛物线平分,
证明,如图,设 TN与抛物线交于 M,因为 TN为直径,故 TN过抛物线上的无穷远点 M∞,T的极线为 PQ,故 (TN,MM∞)= –1,即 M为 TN的中点,
今日作业 P.143,4(1),8
The Class is over,Goodbye!
