§ 4.1 二次曲线的射影定义四、二阶曲线的切线注,Sp=0常用的等价写法
.0),,().1(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
x
x
x
aaa
aaa
aaa
ppp
.0).2( 3
3
2
2
1
1








x
x
Sx
x
Sx
x
S
ppp
.0).3( 3
3
2
2
1
1








p
x
Sp
x
Sp
x
S (3)式与解析几何中的切线方程一致三、二次曲线的射影定义二、二次曲线的几何结构一、二次曲线的代数定义
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点设 )'1(0||)(0:'
ijjiijjiij bbbuubT
1,定义,一般地,过平面上一点有?'的两条直线,若过平面上某点 P有且仅有?'的一条直线,则称 P为?'的一个 切点,
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点设 )'1(0||)(0:'
ijjiijjiij bbbuubT
1,定义,一般地,过平面上一点有?'的两条直线,若过平面上某点 P有且仅有?'的一条直线,则称 P为?'的一个 切点,
2,切点方程观点,用两条相交直线描述点,
方法,取一直线 l[li],以动直线 m[mi]与之相交,有交点 l× m.
目标,若 P=l× m为切点,求其方程,
过程,与二阶曲线的切线完全对偶,可以求出切点方程,
结论,
一般 (?'在 l上的切点 ),)'5(2 TTT
lll?
特殊 (l属于 Γ'),)'6(0?
lT
也有各种常用的等价写法,请自行补出,
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点例 2 (P.110,Ex,6)如果两个三点形 ABC与 A'B'C'同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线,
证,设交点 D,E; D',E'如图,
因为 A,B,C,A',B',C'在同一条二次曲线上,
据二阶曲线的射影定义,有
)',,,'( ABABC ).',,,'(' ABABC
又
)',,,'( ABABC )',',','('' ADEBBA
)',,,'(' ABABC ).,,,( EBADAB
)',',','('' ADEBBA ).,,,( EBADAB
由二级曲线的射影定义,这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线,这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边,结论成立,
注,本题的逆命题成立,(见 P.110,Ex,5)
§ 4.1 二次曲线的射影定义五、二级曲线的切点例 2 (P.110,Ex,6)如果两个三点形 ABC与 A'B'C'同时内接于一条二次曲线,求证它们也同时外切于一条二次曲线,
注,假设 P.110,Ex,5已经证明,则有：两个三点形 ABC与 A'B'C'
同时内接于一条二次曲线?它们也同时外切于一条二次曲线,
注,(P.110,Ex,7)若已知两条二次曲线?与?'以及内接于?并外切于?' 的一个三点形,试讨论是否存在其他三点形也满足此条件? 若存在,有多少?
答,存在,有无穷多,(依据,P.110,
Ex,5,6; 推论 4.1,4.1'.)
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一定理 4.3(Maclaurin) 一条 非退化 二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线,
定理 4.3'(Maclaurin) 一条 非退化 二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线,
证明,设,0,jiij xxaS 则 u=[u1,u2,u3]为?上 P(pi)处的切线
u与 Sp=0为同一直线?
)13.4(0
0321
3332313
2232212
1131211
uuu
uaaa
uaaa
uaaa
展开,得,0||||,.0 2
ijijjiijjiij aAAAuuAT 且
.
3
3
2
2
1
1






u
x
S
u
x
S
u
x
S
ppp
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一定理 4.3(Maclaurin) 一条 非退化 二阶曲线的全体切线构成一条非退化二级曲线,
定理 4.3'(Maclaurin) 一条 非退化 二级曲线的全体切点构成一条非退化二阶曲线,
证明,对偶地,可证明定理 4.3'.
注,本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法,
利用 (4.13),可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方程 ;
利用 (4.13)的对偶,可将非退化二次曲线的线坐标方程写为点坐标方程 ;
推论 4.4 若 bij=?Aij(?≠0),则 S=0与 T=0表示同一条二次曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义六、二阶曲线与二级曲线的统一例 3 求证,x1x3–x22=0与 4u1u3–u22=0表示同一条二次曲线,
证明,第一步,验证已知两条二次曲线为非退化,
第二步,将 aij,u1,u2,u3代入 (4.13)式,展开即得 4u1u3–u22=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点,
证明,设?1,f ≡∑aijxixj=0,?2,g≡∑bijxixj=0,则联立

0
0
g
f
即为?1与?2的交点,显然,在复数范围内一般有四个解,
定义 4.5 设 f =0,g=0为平面上两条相异的二阶曲线,则称由
)14.4(0 Rgf
所决定的二阶曲线的全体为以 f =0,g=0的四个交点为 基点 的 二阶曲线束,若 f =0,g=0的四个交点相异,则称为二阶曲线的 四点形束,
定理 4.5 经过平面上任一点 P(非基点 ),必有一条二阶曲线属于已知束 f +?g=0.
证明,因为 P不是 f =0与 g=0的交点,故 fpp与 gpp不同时为零,不妨设 gpp≠0,令
.0
pp
pp
g
f 则 f +?0g=0为过 P且属于 f +?g=0的二阶曲线,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束定理 4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线,
它们是以四个基点为顶点的完全四点形的 三双对边,
注,如图,三条相异的退化二阶曲线为：;01 CDAB：;02 ADBC：
.03 BDAC：
实用性很强的两种极限形式如下：;01 CDAP：;02 ADAC：
.03 ADAC：;01 CPAP：;02 ACAC：
.03 ACAC：
只有两条相异,只有两条相异,
§ 4.1 二次曲线的射影定义七、二阶曲线束例 4 (P.108,例 4.3,请自学,体会如何应用二阶曲线束解题 ).
例 5 已知二阶曲线?过点 A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并与直线 l1,
x1–3x2– x3=0,l2,2x1–x2=0相切,求?的方程,
解 易见 A∈ l1,C∈ l2,于是?分别与 l1,l2相切于点 A,C,
第一步,
,03,321 xxxAB,02,21 xxCD
,0,2?xAC,0,2?xBD
于是,过 A,B,C,D四点的二阶曲线束的方程为：
,0 BDACCDAB?即
.0)2)(3( 2221321 xxxxxx?
第二步,将 E(3,2,1)代入,得?=2,故?的方程为
.02772 3231212221 xxxxxxxx
令 A=B,C=D,则今日作业 P.110,1,5,9
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