关于期末考试时间,2007年 7月 4日 8:00－ 10:00；
地点,J3-202；
要求：允许自带写有任何内容的 A4纸 1
张,规定同期中考试；
考前答疑,7月 3日 8:00－ 20:00,S3-529.
6.26起停课,望根据自身情况制定复习计划,建议对其他课程也采用“一张纸”式复习 (未经老师许可,不得带进考场 ).
§ 4.7 二次曲线的仿射分类问题,在射影仿射平面上,给定
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩适当选取仿射坐标系,将?的方程化为 仿射标准方程,
依据,?的秩,A33的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的 标准方程,
注意,因为无穷远直线 l∞,x3=0在仿射变换下保持不变,故在选取新的仿射坐标系时必须保持 A1',A2'总取在 l∞上,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,?非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
1,A33≠0,有心二阶曲线,
取中心为 A3',任取一对相异的共轭直径,其与
l∞的交点分别取作 A1',A2',则三点形 A1'A2'A3'为?
的一个自极三点形,
以 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 E'(按照 (1.10)式要求 ),建立新的仿射坐标系,据 § 4.4,S=0可以化为
.0'' 232221 xxxS
注意到 x1,x2地位平等,而 x3特殊,从而有下列三个等价类
)1(00
)1(0
)1(0
0
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
222
3
2
2
2
1
33
yxxxx
yxxxx
yxxxx
A
双曲线虚椭圆实椭圆在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述 标准方程 之一,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
2,A33=0,无心二阶曲线,即抛物线,
以 l∞为一边的自极三点形不存在,取中心 (无穷远切点 )为 A1',取一直径与?的有穷远交点为 A3',A3'
处的切线上无穷远点取作为 A2'.
在仿射平面上,任何无心二阶曲线 (抛物线 )皆可化为上述 标准方程,
以上述三点形 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 (限制条件同上 )建立仿射坐标系,据 § 4.4,习题 2(或见本节教材上的论证 ),
的方程可以化为
.02 '3'1'132'2'22 xxaxa
再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得?的仿射标准方程
)2(.02 23122 pxyxxx 即
§ 4.7 二次曲线的仿射分类二,Γ退化 |aij|=0
综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为 11个等价类,任何二阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述 11种标准方程之一,
秩 (aij) =2
秩 (aij) =1
依其奇异点情况及与 l∞的关系,分成 7个仿射等价类,
请自学教材中的例 4.22,对于仿射平面上任给的 (非退化 )二阶曲线?,我们一般需要做的基本工作有：
* 判断?是否退化；
* 判断?是否有心；给出粗略分类；
* 求出中心坐标；
* 求出一对共轭直径,或求出符合某条件的直径方程；
* 求出渐近线；
* 求仿射坐标变换,化?的 方程为仿射标准方程,
* 利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类证明,设 P为不在渐近线上的定点,过 P的动弦为 x,x上的无穷远点为 P?,
则 x被 P?的极线 (x的共轭方向直径 )平分,
设此直径为 p.
x绕 P变动 P?沿 l?变动 p绕 C变动透视关系 射影关系射影关系
x与 p的交点轨迹为一条二阶曲线例 7,(P.143,Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦中点的轨迹为另一条二阶曲线,
引申
§ 4.7 二次曲线的仿射分类答,(1),动直线 QR构成以 l关于?的极点 L为束心的线束,是点列 l(P)关于?的配极像,且 L不在?上,点列 l(P)与线束 L(Q)成射影对应,因为 P与 QR是关于?的极点极线关系,由配极原则共线的 P点的极线必共点,而 l不与?相切其极点 L必定不在?上,
(2),动直线 QR形成一条非退化二级曲线?'',是?'关于?的配极像,因为 P与 QR是极点极线关系,由配极原则知 QR必定形成 P的轨迹关于?的配极对偶图形,二阶曲线的配极对偶图形是二级曲线,
(04级期末某小题 )设 PQR为非退化二阶曲线的自极三点形,
(1),当 P在不与?相切的定直线 l上运动时,边 QR的运动规律是什么？为什么？
(2),当 P在异于?的另一条非退化二阶曲线?'上运动时,边 QR的运动规律是什么？为什么？
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 1,(P.143,Ex.8)自无穷远点 P?,Q?作椭圆的切线,构成一个外切四边形 ABCD,求证：这个外切四边形的对角线 AC与 BD的交点 O是椭圆的中心,
反思,回顾第 6题,我们有
1,椭圆的任一外切平行四边形的两对角线以及两组对边上切点连线必四线共点于椭圆的中心,
2,椭圆的任一外切平行四边形两对角线为椭圆的一对共轭直径,
3,椭圆的任一外切平行四边形两组对边上的切点连线为椭圆的一对直径,问：何时为一对共轭直径？
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 2,(P.148,Ex.2)求证：在仿射坐标系下,
00)(2)( 2
qprqypxyx
表示一条抛物线,试说明?x+?y+?=0 与 px+qy+r=0 的几何意义,
提示,令 '
'
x p x q y r
y x y
因为
0,pq
此变换为仿射变换,代入题给曲线方程,得
22' 2 ' 0,yx,为抛物线几何意义 (不难验证 )：
0.xy为一条直径
0 0,p x q y c x y为 与 在有穷远交点处的切线预祝各位一切顺利！暑假愉快！
The Class is over,Goodbye!
地点,J3-202；
要求：允许自带写有任何内容的 A4纸 1
张,规定同期中考试；
考前答疑,7月 3日 8:00－ 20:00,S3-529.
6.26起停课,望根据自身情况制定复习计划,建议对其他课程也采用“一张纸”式复习 (未经老师许可,不得带进考场 ).
§ 4.7 二次曲线的仿射分类问题,在射影仿射平面上,给定
)1(.1)(,0:
3
1,
ijjiij
ji
jiij aaaxxaS 秩适当选取仿射坐标系,将?的方程化为 仿射标准方程,
依据,?的秩,A33的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的 标准方程,
注意,因为无穷远直线 l∞,x3=0在仿射变换下保持不变,故在选取新的仿射坐标系时必须保持 A1',A2'总取在 l∞上,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,?非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
1,A33≠0,有心二阶曲线,
取中心为 A3',任取一对相异的共轭直径,其与
l∞的交点分别取作 A1',A2',则三点形 A1'A2'A3'为?
的一个自极三点形,
以 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 E'(按照 (1.10)式要求 ),建立新的仿射坐标系,据 § 4.4,S=0可以化为
.0'' 232221 xxxS
注意到 x1,x2地位平等,而 x3特殊,从而有下列三个等价类
)1(00
)1(0
)1(0
0
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yxxxx
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A
双曲线虚椭圆实椭圆在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述 标准方程 之一,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类一,Γ非退化 |aij|≠0,秩 (aij)=3.
2,A33=0,无心二阶曲线,即抛物线,
以 l∞为一边的自极三点形不存在,取中心 (无穷远切点 )为 A1',取一直径与?的有穷远交点为 A3',A3'
处的切线上无穷远点取作为 A2'.
在仿射平面上,任何无心二阶曲线 (抛物线 )皆可化为上述 标准方程,
以上述三点形 A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点 (限制条件同上 )建立仿射坐标系,据 § 4.4,习题 2(或见本节教材上的论证 ),
的方程可以化为
.02 '3'1'132'2'22 xxaxa
再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得?的仿射标准方程
)2(.02 23122 pxyxxx 即
§ 4.7 二次曲线的仿射分类二,Γ退化 |aij|=0
综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为 11个等价类,任何二阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述 11种标准方程之一,
秩 (aij) =2
秩 (aij) =1
依其奇异点情况及与 l∞的关系,分成 7个仿射等价类,
请自学教材中的例 4.22,对于仿射平面上任给的 (非退化 )二阶曲线?,我们一般需要做的基本工作有：
* 判断?是否退化；
* 判断?是否有心；给出粗略分类；
* 求出中心坐标；
* 求出一对共轭直径,或求出符合某条件的直径方程；
* 求出渐近线；
* 求仿射坐标变换,化?的 方程为仿射标准方程,
* 利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题,
§ 4.7 二次曲线的仿射分类证明,设 P为不在渐近线上的定点,过 P的动弦为 x,x上的无穷远点为 P?,
则 x被 P?的极线 (x的共轭方向直径 )平分,
设此直径为 p.
x绕 P变动 P?沿 l?变动 p绕 C变动透视关系 射影关系射影关系
x与 p的交点轨迹为一条二阶曲线例 7,(P.143,Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦中点的轨迹为另一条二阶曲线,
引申
§ 4.7 二次曲线的仿射分类答,(1),动直线 QR构成以 l关于?的极点 L为束心的线束,是点列 l(P)关于?的配极像,且 L不在?上,点列 l(P)与线束 L(Q)成射影对应,因为 P与 QR是关于?的极点极线关系,由配极原则共线的 P点的极线必共点,而 l不与?相切其极点 L必定不在?上,
(2),动直线 QR形成一条非退化二级曲线?'',是?'关于?的配极像,因为 P与 QR是极点极线关系,由配极原则知 QR必定形成 P的轨迹关于?的配极对偶图形,二阶曲线的配极对偶图形是二级曲线,
(04级期末某小题 )设 PQR为非退化二阶曲线的自极三点形,
(1),当 P在不与?相切的定直线 l上运动时,边 QR的运动规律是什么？为什么？
(2),当 P在异于?的另一条非退化二阶曲线?'上运动时,边 QR的运动规律是什么？为什么？
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 1,(P.143,Ex.8)自无穷远点 P?,Q?作椭圆的切线,构成一个外切四边形 ABCD,求证：这个外切四边形的对角线 AC与 BD的交点 O是椭圆的中心,
反思,回顾第 6题,我们有
1,椭圆的任一外切平行四边形的两对角线以及两组对边上切点连线必四线共点于椭圆的中心,
2,椭圆的任一外切平行四边形两对角线为椭圆的一对共轭直径,
3,椭圆的任一外切平行四边形两组对边上的切点连线为椭圆的一对直径,问：何时为一对共轭直径？
§ 4.7 二次曲线的仿射分类例 2,(P.148,Ex.2)求证：在仿射坐标系下,
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表示一条抛物线,试说明?x+?y+?=0 与 px+qy+r=0 的几何意义,
提示,令 '
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因为
0,pq
此变换为仿射变换,代入题给曲线方程,得
22' 2 ' 0,yx,为抛物线几何意义 (不难验证 )：
0.xy为一条直径
0 0,p x q y c x y为 与 在有穷远交点处的切线预祝各位一切顺利！暑假愉快！
The Class is over,Goodbye!
