三、应用
1,作图题 作二阶曲线上的点作切线
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理
2,证明题 证明共线点,共点线问题例 3,如图,设 ABCDEF是一条二次曲线的内接六点形,且 AB× CD=P,CD× EF=Q,
DE × AF=L,AF× BC=M,BC× DE=N,
EF× AB=R.求证,PL,MQ,RN共点,
证明,考察简单六点形 ABCDEF,利用
Pascal定理,再利用 Desargues定理即得结论,
例 4,若两个三点形 ABC和 A'B'C'的对应顶点连线交于一点 S(如图 ),且其中一个三点形的边与另一个三点形的非对应边交于
D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条二次曲线上,
证明,应用 Desargues定理于 ABC和 A'B'C',
再考察简单六点形 DEFGHI,利用 Pascal定理的逆定理,即得结论,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理例 5,如图,三点形 ABC内接于二阶曲线?,
其每一顶点处的切线构成另一个三点形
A'B'C',求证,AA',BB',CC'共点,
证明,由利用 Pascal定理的极限情况定理
4.12知,三点形 ABC与 A'B'C'的对应边交点共线,据 Desargues透视定理得结论,
§ 4.2 Pascal定理与 Brianchon定理例 6,如上题图及条件,
求证,A(BC,A'C') = B(AC,B'A') = C(CA,C'B') = -1.
提示,利用上例结论以及完全四点形的调和性 (思考 ).
例 7,(P.116,Ex.6)设 A,B,C,D为二阶曲线?
上四个定点,P,Q为?上的动点,PA× DC=X,
PB× QD=Y,求证 XY过定点,
做不出！必定题目有问题！
改正,将 PA× DC=X 改为 PA× QC=X.
考察六点形 APBCQD,由 Pascal定理,XY经过定点 AD× BC.
§ 4.3 配极变换一、极点与极线在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与配极有关,只讨论二阶曲线,总假定：非退化,
设
)1(.0||,0:
3
1,

ijjiij
ji
jiij aaaxxaS
1,引入定义 4.6 两点 P,Q关于?共轭,(如图 )
定理 4.13 点 P关于?的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
证明 设 P(pi),Q(qi),则 PQ与?,S=0的交点 M(pi+?qi)满足
.022 pppqqq SSS设其两根为?
1,?2,则交点为 Mj( pi+?jqi),(j=1,2),于是 (PQ,M1M2)=–
11/?2=–11+?2=0?
.002 pq
qq
pq S
S
S
将 qi改为流动坐标 xi,得 P关于?的共轭点的轨迹为直线 Sp=0.
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
1,引入定理 4.13 点 P关于?的共轭点的轨迹为一条直线 Sp=0.
推论 4.5 两点 P,Q关于?共轭?Spq=0,即注 2,P在?上,则 Spp=0,由推论 4.5,规定,?上的点关于?自共轭,
注 1,验证两点 P,Q关于?共轭,只要验证上式,
.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
aaa
aaa
aaa
ppp
2,极点与极线定义 4.7 对于点 P,若P 则称 P关于?的 共轭点轨迹 p
P 切线 p
为 P关于?的 极线,方程为 Sp=0,反之,称 P为直线 p关于?的 极点,
注,由定义 4.7及推论 4.5,有定义 4.6',相互在对方极线上的两点称为关于?的共轭点,
§ 4.3 配极变换一、极点与极线推论 4.6 平面上任一点 P关于?的极线存在唯一,方程为 Sp=0,反之,平面上任一直线 p关于?的极点存在唯一,
证明 只要证后半,设直线 u,u1x1+u2x2+u3x3=0,求 u关于?的极点,
设 P(pi)为其一个极点,由于 P(pi)的极线唯一存在为 Sp=0,从而 u与
Sp=0为同一直线,即
2,极点与极线
)0(
3
3
2
2
1
1







u
x
S
u
x
S
u
x
S
ppp
即
.3,2,1,0

iu
x
S
i
pi

§ 4.3 配极变换一、极点与极线推论 4.6 平面上任一点 P关于?的极线存在唯一,方程为 Sp=0,反之,平面上任一直线 p关于?的极点存在唯一,
展开上式,得
)17.4(.
3
2
1
332313
232212
131211
3
2
1
p
p
p
aaa
aaa
aaa
u
u
u
因为 |aij|≠0,故 (4.17)对于 (p1,p2,p3)有唯一解,即 u的极点 P唯一存在,
(4.17)表示直线 u与它的极点 P之间的关系,称为 极点方程组,
2,极点与极线
§ 4.3 配极变换一、极点与极线
3,极点与极线的计算
(1),已知 P(pi),求极线,直接求 Sp=0,
(2),已知 u[ui],求极点,将 [ui]代入 (4.17),解出 (pi),(注：在实际计算时,可取?=1,见教材,例 4.11)
注,(4.17)是一个非奇异线性变换,是由?,S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射,
定义 4.8 相互通过对方极点的直线称为关于?的 共轭直线,
注,利用 Maclaurin定理及对偶原则,有,两直线 p[pi],q[qi]关于
,S=0共轭?Tpq=0?
)19.4(.0),,(
3
2
1
332313
232212
131211
321?
q
q
q
AAA
AAA
AAA
ppp
根据推论 4.5,可以对偶地给出下列定义
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换定义 4.9 称由
)18.4(.0||,,3,2,1
3
1

ijjiij
j
jiji aaaixau?
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线?,S=0
的 配极变换,
注 2,任一非退化二阶曲线?都决定了平面上的一个配极变换,
注 3,配极变换是异素变换,是一个双射,
)18.4(0,0||
3332231133
3232221122
3132121111




ija
xaxaxau
xaxaxau
xaxaxau
注 1,(4.18)表示点 x与直线 u是关于?,S=0的极点极线关系,另一种写法为,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换注,本定理给出了配极变换的最基本的几何性质,
定理 4.14(配极原则 )点 P关于?
的极线 p通过点 Q?点 Q关于?的极线 q通过点 P,
定理 4.14'(配极原则 ) 直线 p关于?的极点 P在直线 q上?直线 q
关于?的极点 Q在直线 p上,
证明,(左边 )设?,S=0,P(pi),Q(qi),则 P的极线 Sp= 0 过点 Q?
Spq= 0?Sqp= 0?Q的极线 Sq过点 P.
对偶地,可得右边,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
1,配极变换推论 4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点；
两直线交点的极线为此二直线极点的连线,
推论 4.8 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线,
推论 4.9 关于非退化二阶曲线?的配极变换使得点列对应于线束,线束对应于点列；图形对应于其对偶图形,
推论 4.10 关于非退化二阶曲线?的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比,
因此,配极变换 规定了一个点列与其对应线束之间的一个 射影对应,
综上,非退化二阶曲线? 配极变换 二维异素射影变换二维异素射影变换? 对偶变换从而 配极原则? 特殊的对偶原则
§ 4.3 配极变换二、配极变换
2,自极三点形 (应用性极强的重要概念 )
定义 4.10 若一个三点形关于?每个顶点是其对边的极点 (即每边是其对顶的极线 ),则称此三点形为关于?的一个 自极三点形,
定理 4.15 内接于非退化二阶曲线?的完全四点形的对边三点形是关于?的一个自极三点形,
证明,如图,设完全四点形 ABCD
内接于非退化二阶曲线?,PQR为其对边三点形,
设 QR交一组对边 AD,BC于点 E,F,
则由完全四点形的调和性有
.1),(;1),( EPBCFPAD
于是 点 E,F均为点 P关于?共轭点,即 QR为 P关于?的极线,
同理,RP,PQ为 Q,R关于?的极线,
所以,PQR为关于?的一个自极三点形,
§ 4.3 配极变换二、配极变换
2,自极三点形 (应用性极强的重要概念 )
定义 4.10 若一个三点形关于?每个顶点是其对边的极点 (即每边是其对顶的极线 ),则称此三点形为关于?的一个 自极三点形,
定理 4.15 内接于非退化二阶曲线?的完全四点形的对边三点形是关于?的一个自极三点形,
注 1,自极三点形的任一顶点不在?上,
注 2,自极三点形恰有一个顶点在?的
“内部”,注 3,自极三点形任意两顶点相互共轭 ;
任意两边相互共轭,
例 1,给定不在?上的一点 P(pi),任求?的一个自极三点形 PQR.
解,(i) 求 P(pi)的极线 p,Sp=0.
(ii) 在 p上任取不属于?的一点 Q(qi),求 Q的极线 q,Sq=0.
(iii) 求 p与 q的交点 R(ri),则 PQR必为?的一个自极三点形,
§ 4.3 配极变换
3,配极变换的基本应用
(1),几何证明题 灵活运用配极原则以及自极三点形等概念
(2),极点极线作图例 2,已知非退化二阶曲线?及不在?上一点 P,求作 P关于?的极线 p.
例 3,已知非退化二阶曲线?以及一直线 p,
求作 p关于?的极点 P.
作法,在 p上任取不在?上两相异点 Q,R,利用上例,作 Q,R关于?的极线 q,r,则 q× r=P.
例 4,已知非退化二阶曲线?及 Γ外一点 P,
过 P求作?的两切线,
作法一,利用例 2,设 p交于 E,F,连 PE,PF即可,
作法二,如图,过 P任作三割线,可得切线,
一、极点与极线 二、配极变换
1,配极变换 2,自极三点形今日作业 P.122,1(2),2(1),3(1)
The Class is over,Goodbye!