第二章 射影变换本章地位 平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比
1、定义交比 — 最根本的射影不变量定义 2.1,设 P1,P2,P3,P4为点列 l(P)中四点,且 P1 ≠P2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,则记 (P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
PPPP (2.1)
称 P1,P2为 基点对,P3,P4为 分点对,
定理 2.1,设点列 l(P)中四点 Pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321


PPPP (2.2)
证明定理 2.1,以 P1,P2,为基点，参数表示 P3,P4,设
.))(( ))((),(
4132
4231
4321


PPPP
a+λ1b=a',a+λ2b=b',
从中解出 a,b,得
.'',''
1212
12



abbbaa
于是,P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即
'','',','
12
14
12
42
12
13
12
32 bababa










'.','',','
42
14
32
13 bababa






由交比的定义，有注,定理 2.1可以作为交比的一般定义,
(2.2)
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义
.),(
4132
4231
4321 PPPP
PPPPPPPP

2、性质
(1),交比的初等几何意义如果限于欧氏平面，则 (2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即
(2.3)
))((
))((),(
4132
4231
4321


PPPP
§ 2.1 交比例 1,设 1,2,3,4,5,6是 6个不同的有穷远共线点,证明
(1) (12,34)(12,45)(12,53)=1;
(2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54).
1 3 2 4 1 4 2 5 1 5 2 3( 1 ) ( 1 2,3 4 ) ( 1 2,4 5 ) ( 1 2,5 3 ) 1,
2 3 1 4 2 4 1 5 2 5 1 3


1 3 2 4 1 5 2 6 1 3 2 6 1 5 2 4( 2 ),( 1 2,3 4 ) ( 1 2,5 6 ) ( 1 2,3 6 ) ( 1 2,5 4 )
2 3 1 4 2 5 1 6 2 3 1 6 2 5 1 4


一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 (1),交比的初等几何意义 (2),交比的组合性质定理 2.2 设 (P1P2,P3P4 )=r,当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：
( 1 ),
1
( 2 ),
1.
rr
r
r
rr



换 两 对不 变两 对 同 换换 一 对改 变换 中 间 或 首 尾推论 由定理 2.2，相异的共线四点构成的 24个交比只有 6个不同的值：
.1,1 1,1;11,1, r rrrrrr
此即 P.45,式 (2.4),不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质
3、特殊情况定理 2.3 共线四点的交比值出现 0,1,∞三者之一?这四点中有某二点相同,
证明 可根据定理 2.1，令 P1=P2或 P2=P3或 P3=P4或 P4 = P1进行验证即可,此时,上述 6个不同的交比值又只有 3组,0,1,∞.
4、调和比定义 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则称推论 1 若 (P1P2,P3P4 )= –1,则此四点互异,
推论 2 相异四点 P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比?这四点的 6个交比值只有 3个：
.2,21,1?
§ 2.1 交比

点组 P1,P2,P3,P4为 调和点组 (列 )
点偶 P1,P2,与 P3,P4(相互 )调和分离点偶 P1,P2,与 P3,P4(相互 )调和共轭点 P4为 P1,P2,P3的 第四调和点一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 调和比是最重要的交比！
对于 (P1P2,P3P4 )= –1,利用初等几何意义，我们有
.1),(
41
42
32
31
4321 PP
PP
PP
PPPPPP
此时,若,4 PP 则可合理地认为
.1
1
2?

PP
PP 于是,1
32
31
PP
PP
这表示 P3为 P1P2的中点，从而有推论 3 设 P1,P2,P为共线的通常点,P∞为此直线上的无穷远点,则 P为 P1P2的中点,1),( 21PPPP
注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比
§ 2.1 交比例 2,设 1,2,3,4,5,6是 6个不同的共线点,证明：若 (12,34)=(14,32),
则 (13,24)=-1.
(1 2,3 4 ) r? (14,32)
1
r
r
由题设
1
rr
r
2 2rr?
已知四点相异
0r? 2r? (1 3,2 4 ) 1 1,r
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比
5、交比的计算
(1),由坐标求交比例 3 已知 P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1),求 (P1 P2,Q1 Q2).
解 第一步,验证四点共线,
第二步,以 P1,P2为基点,参数表示 Q1,Q2,令
.21 PPQ iii i=1,2.
对于 i=1,利用 P.17例 1.3,有,3
1
同理,对于 i=2,可求得,3
2
于是，
.1),(
2
1
2121
QQPP
§ 2.1 交比此步不可省！若不共线则交比无定义！
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标定理 2.4 设 ),4,3,2,1()( iPlP
i
并已知
).,1,0(),( 4321 kkPPPP
和其中三点的坐标,则第四点的坐标可唯一确定,
例 4 已知 (P1P2,P3P4 )=2,P1,P2,P4的坐标依次为 (1,1,1),(1,–1,1),
(1,0,1),求 P3的坐标,
解,设,,
22142113 PPPPPP
则显然,1
2
由
.21),( 1
2
1
4321
PPPP
可得,2
1
从而 P3的坐标为 (3,–1,3).
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标例 4 已知 P1,P2分别是 x轴,y轴上的无穷远点,P3是斜率为 1的方向上的无穷远点,且 (P1P2,P3P4)=r,求 P4的坐标,
解,由题设知 P1,P2,P3的坐标分别为 (1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),设
.,22142113 PPPPPP
则显然
1 1,
由
1
1 2 3 4
22
1(,),P P P P r?

可得
2 1 /,r 从而 P4的坐标为 (r,1,0).
§ 2.1 交比注：若要求 P1,或 P2的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,
使得交换后第 1,2位置为已知点,再计算,
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1),由坐标求交比
(2),由交比求坐标推论 4 设
*10,,PPP
为点列 l(P)中取定的相异三点,则
xPPPP?),( 10*
为点列 l(P)与 R 之间的一个双射,其中
*
0
1
0
1
P P x
P P x
P P x



无穷远点分别相当于拓广直线上的 原点单位点从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标,
§ 2.1 交比一、点列中四点的交比例 5 (P.47,例 2.3)一直线依次交三点形 P1P2P3的三边 P2P3,P3P1,
P1P2于 Q1,Q2,Q3.在此三边上另取点 Q1',Q2',Q3',使
.),(,),(,),( 33'32122'21311'132 kQQPPkQQPPkQQPP
求证,.1,,).1(
321'3'2'1 kkkQQQ 共线
.1,,).2( 321'33'22'11 kkkQPQPQP 共点
§ 2.1 交比任务：请自学，并认真研究、体会,
注 3,由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理,Menelaus定理,Ceva定理,
本例,§ 1.2齐次坐标的 5对结论、对偶原则、交比的性质与计算综合性演习,
注 1：
注 2：
一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示设 a,b为线束 S(p)中取定的相异二直线,则对于任意的 p∈ S(p),
其坐标可表示为
.Rba称 a,b为 基线,λ为 参数,
注 1
这里 a,b,p均表示直线的齐次坐标,
参数 λ的几何意义？不易说清楚！容易看出
λ=0? a; λ=1? a+b; λ=∞? b
注 2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比,
课件作者：南京师大数科院周兴和
§ 2.1 交比二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示定义 2.3 设 p1,p2,p3,p4为线束 S(p)中四直线，且 p1≠p2，其齐次坐标依次为 a,b,a+λ1b,a+λ2b,则记 (p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个 交比,定义为
.),(
2
1
4321?
pppp (2.5)
称 p1,p2为 基线偶,p3,p4为 分线偶,
定理 2.5 设线束 S(p)中四直线 pi的齐次坐标为 a+λib(i=1,2,3,4),
则
.))(( ))((),(
4132
4231
4321


pppp (2.6)
2、定义注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构,
§ 2.1 交比今日作业 P.53,1; 4
再见！
课件作者：南师大数科院周兴和
§ 2.1 交比