一、对应与变换第 0章 几何变换概论二、正交变换注,以几何变换的观点看待欧氏几何,欧氏几何就是研究在正交变换群 M的作用下保持不变的几何量和几何性质,即所有与距离有关的几何量和几何性质,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
1,透视仿射变换定义 0.14,对于空间中两平面
π,π',给定一个与两平面不平行的投射方向,则确定了 π到 π'的一个 透视仿射对应 (平行投影 ).
π上任一点 P在 π'上的像即为过
P且平行于投射方向的直线与 π'的交点 P'.
注 2：两平面交线称为透视仿射的 轴,若 π//π'则没有轴,
注 1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射,
透视仿射对应使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,
平行直线变为平行直线；
透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
1,透视仿射变换定义 0.14',对于空间中两平面
π,π',如果一个双射使得对应点的连线相互平行,则称之为 π到 π'的一个透视仿射对应 (平行投影 ).
注 1：透视仿射变换是平面上的一个双射,
透视仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,
平行直线变为平行直线；
透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变,
定义 0.15,在平面 π上,使得对应点的连线相互平行的点对应称为 π
上的一个 透视仿射变换,
注 2：平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
2,仿射变换定义 0.16,对于空间中一组平面 π,π1,π2,…,π n,π',设以下对应均为透视仿射对应：
':.,,,,:,,21110 nn则称这 n个透视仿射的积 φ为 π到 π'的一个 仿射对应,若 π' =π,则称 φ
为平面 π上的一个 仿射变换,
注,仿射变换是平面上的一个双射,
仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,平行直线变为平行直线；
仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变,
定理 0.14 (i),平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换；
(ii),平面上的恒同变换是一个仿射变换；
(iii),任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
2,仿射变换定义 0.17,设 P1,P2,P为平面上共线三点,记 (P1P2P)表示这三点构成的一个 简单比 (单比,仿射比 ),定义为
)6.0(.)(
2
1
21 PP
PPPPP?
注,(P1P2P)表示一个数,是有向线段 P1P与 P2P的比值,与解几中的定比分点反号,
定理 0.15 仿射变换保持共线三点的简单比不变,
定义 0.17',设 φ为平面 π上的一个双射,满足
(i),φ使得平行直线变为平行直线 ;
(ii),φ保持共线三点的简单比不变则称 φ为平面上 π的一个仿射变换,
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
3,仿射坐标系定义 0.18,设在平面上取定一点 O和以 O为起点的两个 线性无关向量 ex,ey,则由此构成平面上一个 仿射坐标系 (或 仿射坐标架 ),记作 O-exey,平面上任一点 P的仿射坐标 (x,y)由下式惟一确定,
,( 0,7 )xyO P x e y e
反之,对任意给定的有序实数组 (x,y),由
(0.7)式可惟一确定仿射平面上的一个点具有坐标 (x,y),建立了仿射坐标系的平面称为 仿射平面,ex,ey称为 基向量,
注,若 ex,ey为单位正交向量 (即为 标准正交基 ),则 O-exey成为笛卡儿直角坐标系,
()
( 0,7 ')
()
x
xx
x
y
yy
y
OP
x P E O
OE
OP
y P E O
OE
第 0章 几何变换概论三、仿射变换
3,仿射坐标系定理 0.16,设在平面上取定了一个 仿射坐标系 O-exey,φ为平面上的一个仿射变换?φ有表达式注,由定理 0.14,平面上的全体仿射变换构成一个群 A,称为平面上的 仿射变换群,
1 1 1 2 1 3 1 31 1 1 2
2 1 2 2 2 3 2 32 1 2 2
',(0,8 )
' '
x a x a y a aaax ' x
y a x a y a aaayy
或其中 (x,y)与 (x',y')为任一对对应点 P,P'的坐标,矩阵 1 1 1 2
2 1 2 2
aaA
aa
满足 |A|≠0,称为仿射变换 φ的矩阵,
平面仿射几何就是研究在仿射变换群 A的作用下保持不变的几何性质与几何量,由定义 0.17',这些不变的性质和数量必定只与平行性、共线三点的简单比有关,
第 0章 几何变换概论四、体会归纳
1,关系、对应、双射、变换
2,基本的几何变换实例正交变换 相似变换 仿射变换
3,上述几何变换的三种定义方法第 0章 几何变换概论四、体会归纳
3,上述几何变换的三种定义方法正交变换
(1),直观的定义平面上有限次平移、旋转、轴反射的乘积,
(2),利用几何特征性质的定义平面上保持两点间距离不变的点变换,
(3),代数 (解析 )的定义在平面上取定直角坐标系,如下点变换为正交变换
131 1 1 2 1 1 1 2
232 1 2 2 2 1 2 2
',
'
aa a a axx
aa a a ayy
,为 正 交 矩 阵第 0章 几何变换概论四、体会归纳
3,上述几何变换的三种定义方法相似变换
(1),直观的定义平面上的位似变换与正交变换的乘积,
(2),利用几何特征性质的定义平面上保持两线段的比值不变的点变换,
(3),代数 (解析 )的定义在平面上取定直角坐标系,如下点变换为相似变换
131 1 1 2 1 1 1 2
232 1 2 2 2 1 2 2
' 0,.
'
aa a a axx kk
aa a a ayy
,为 正 交 矩 阵第 0章 几何变换概论四、体会归纳
3,上述几何变换的三种定义方法仿射变换
(1),直观的定义平面上有限次透视仿射变换 (平行投影 )的乘积,
(2),利用几何特征性质的定义平面上保持共线三点的单比和直线的平行性不变的点变换,
(3),代数 (解析 )的定义在平面上取定仿射 (或直角 )坐标系,如下点变换为仿射变换
131 1 1 2 1 1 1 2
232 1 2 2 2 1 2 2
',
'
aa a a axx
aa a a ayy
,为 非 异 矩 阵第 0章 几何变换概论四、体会归纳
3,上述几何变换的三种定义方法对于平面上取定的直角坐标系,如下点变换 φ
131 1 1 2
232 1 2 2
'
'
aaaxx
aaayy
若设,
2221
1211
aa
aaA
{A为非异矩阵
A为正交矩阵存在 k>0,A可化为 k乘以一个正交阵,则 φ为仿射变换相似变换,
正交变换第 0章 几何变换概论四、体会归纳
4,上述几何变换对于变换的乘法都构成群－－ Klein变换群思想正交变换群 M 相似变换群 P(抛物度量群 ) 仿射变换群 A
欧氏几何 抛物几何 仿射几何
最基本的不变性两点间的距离 两线段的比 共线三点的单比,
平行性研究在相应的变换群下保持不变的几何性质第 0章 几何变换概论四、体会归纳
5,用几何变换的观点研究几何学探求在相应几何变换下的不变性从下周起,我们开始用这种思想去探索平面射影几何学常用途径一 证明该性质仅与最基本的不变性有关,即可以由基本不变性完全表达,
常用途径二 (用综合法或解析法 )直接证明该性质经过相应的几何变换保持不变,
今 天 作 业预习 § 1.1
The class is over,Goodbye!
课件作者：南京师大数科院周兴和第 0章 几何变换概论
