湖南理工学院专用 作者,潘存云教授第三章 平面机构的运动分析
§ 3－ 1机构运动分析的目的与方法
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
§ 3－ 3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析
§ 3－ 5用解析法作机构的运动分析湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
A
C
B
E
D
§ 3－ 1 机构运动分析的目的与方法设计任何新的机械,都必须进行运动分析工作 。 以确定机械是否满足工作要求 。
1.位置分析研究内容：位置分析,速度分析和加速度分析 。
① 确定机构的位置 （ 位形 ）,绘制机构位置图 。
② 确定构件的运动空间,判断是否发生干涉 。
③ 确定构件 (活塞 )行程,找出上下极限位置 。
从构件点的轨迹构件位置速度加速度原动件的运动规律内涵：
④ 确定点的轨迹 （ 连杆曲线 ）,如 鹤式吊 。
HEH
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
2.速度分析
① 通过分析,了解从动件的速度变化规律是否满足工作要求 。 如 牛头刨
② 为加速度分析作准备 。
3.加速度分析 的目的是为确定惯性力作准备 。
方法：
图解法 －简单,直观,精度低,求系列位置时繁琐 。
解析法 －正好与以上相反 。
实验法 －试凑法,配合连杆曲线图册,用于解决实现预定轨迹问题 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
12
A2(A1)
B2(B1)
§ 3－ 2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用机构速度分析的图解法有：速度瞬心法,相对运动法,线图法 。 瞬心法尤其适合于简单机构的运动分析 。
一,速度瞬心及其求法绝对瞬心 －重合点绝对速度为零 。
P21
相对瞬心 －重合点绝对速度不为零 。
VA2A1
VB2B1
Vp2=Vp1≠ 0
Vp2=Vp1=0
两个作平面运动构件上 速度相同 的一对 重合点,在某一瞬时两构件相对于该点作相对转动,该点称瞬时速度中心 。 求法？
1)速度瞬心的定义湖南理工学院专用 作者,潘存云教授特点：
① 该点涉及两个构件 。
2） 瞬心数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
P12 P23
P13
构件数 4 5 6 8
瞬心数 6 10 15 28
1 2 3若机构中有 n个构件,则
N＝ n(n-1)/2
② 绝对速度相同,相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
1 2
1
2
1 2 t t1
2
3） 机构瞬心位置的确定
1.直接观察法适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置 。
n
n
P12
P12
P12 ∞
2.三心定律
V12
定义,三个彼此作平面运动的构件共有 三个瞬心,且它们 位于同一条直线上 。 此法特别适用于两构件不直接相联的场合 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
3
2
1
4
举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。
∞
P14
1
2
3
4
P12 P
34
P13
P24 P23
解：瞬心数为：
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
N＝ n(n-1)/2＝ 6 n=4
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
1
2
3
4 65
P24
P13
P15
P25
P26
P35
举例,求图示六杆机构的速度瞬心。
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 15 n=6
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
P46
P361
2
3
4
5
6
P14
P23
P12
P16
∞
P34
∞
P56
P45
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
ω 11
2
3
四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
1.求线速度已知凸轮转速 ω1，求推杆的速度。
P23 ∞
解：
①直接观察求瞬心 P13,P23 。 V2
③ 求瞬心 P12的速度 。
V2＝ V P12＝ μ l(P13P12)·ω1
长度 P13P12直接从图上量取。
P13② 根据三心定律和公法线
n－ n求瞬心的位置 P12 。
n
n
P12
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
P24
P13
ω 2
2.求角速度解：①瞬心数为 6个
② 直接观察能求出 4个余下的 2个用三心定律求出。
③ 求瞬心 P24的速度 。
VP24＝ μ l(P24P14)·ω 4
ω 4 ＝ ω 2·(P24P12)/ P24P14
a)铰链机构已知构件 2的转速 ω2，求构件 4的角速度 ω4。
VP24＝ μ l(P24P12)·ω 2
P12
P23
P34
P14
方向,CW,与 ω2相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
VP24
2
3 4
1 ω 4
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3
1
2
b)高副机构已知构件 2的转速 ω2，求构件 3的角速度 ω3。
ω 2
解,用三心定律求出 P23 。
求瞬心 P23的速度,
VP23＝ μ l(P23P13)·ω3
∴ ω3＝ ω2·(P13P23/P12P23)
P12 P
13
方向,CCW,与 ω2相反。
VP23
VP23＝ μ l(P23P12)·ω2
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
n
n
P23
ω 3
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3
1
2
P23 P
13
P12
3.求传动比定义：两构件角速度之比传动比。
ω3 /ω2 ＝ P12P23 /P13P23
推广到一般：
ωi /ωj ＝ P1jPij /P1iPij
结论,
① 两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比 。
② 角速度的方向为：
相对瞬心位于两绝对瞬心的 同一侧 时，两构件 转向相同 。
相对瞬心位于两绝对瞬心 之间 时，两构件 转向相反。
ω 2 ω 3
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4.用瞬心法解题步骤
① 绘制机构运动简图；
② 求瞬心的位置；
③ 求出相对瞬心的速度 ;
瞬心法的优缺点：
① 适合于求简单机构的速度,机构复杂时因瞬心数急剧增加而求解过程复杂 。
② 有时瞬心点落在纸面外。
③ 仅适于 求速度 V,使应用有一定局限性。
④ 求构件绝对速度 V或角速度 ω。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
CD
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析一,基本原理和方法
1.矢量方程图解法因每一个矢量具有大小和方向两个参数,根据已知条件的不同,上述方程有以下四种情况：
设有矢量方程,D＝ A + B + C
D＝ A + B + C
大小,√？？ √
方向,√ √ √ √
D
A
B
C A
B
D＝ A + B + C
大小,？ √ √ √
方向,？ √ √ √
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
B
C
B
D＝ A + B + C
大小,√ √ √ √
方向,√ √？？
D＝ A + B + C
大小,√？ √ √
方向,√ √？ √
D
A C
D
A
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2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系
1) 速度之间的关系选速度比例尺 μ v m/s/mm，
在任意点 p作图使 VA＝ μ vpa,a
b同理有,VC＝ VA+VCA
大小,? √?
方向,? √ ⊥CA
相对速度为,VBA＝ μ vab
VB＝ VA+VBA
按图解法得,VB＝ μ vpb,
不可解！
p
设已知大小：
方向,⊥BA
√
√
√
方向,p → c
方向,a → c
BA
C
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a
b
pc
同理有,VC＝ VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ ⊥CB
VC＝ VA+VCA＝ VB+VCB
不可解！
联立方程有：
作图得,VC＝ μ v pc
VCA＝ μ v ac
VCB＝ μ v bc
方向,p → c
方向,a → c
方向,b → c
大小,? √? √?
方向,? √ ⊥CA √ ⊥CB
A
C
B
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授A
C
B
c
a
b
p
ω＝ VBA/LBA＝ μ vab/μ lAB
同理,ω＝ μ vca/μ l CA
称 pabc为 速度多边形 （ 或速度图解 )
p为 极点 。
得,ab/AB＝ bc/ BC＝ ca/CA
∴ △ abc∽ △ ABC
方向,CW
强调用相对速度求
ω＝ μ vcb/μ l CB ω
c
a
b
p
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
c
a
b
p
A
C
B
速度多边形 的性质,
① 联接 p点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对速度,指向为 p→ 该点 。
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对速度，
指向与速度的下标相反。如 bc代表 VCB而不是 VBC,常用相对速度来求构件的角速度。
③ ∵ △ abc∽ △ ABC,称 abc为 ABC的速度影象,两者相似且字母顺序一致 。
前者沿 ω方向转过 90° 。 称 pabc为
PABC的速度影象 。
特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似 ！
P
④ 极点 p代表机构中所有速度为零的点的影象 。
绝对瞬心
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
c
a
b
p
作者：潘存云教授A
C
B
速度多边形的用途：
由两点的速度可求任意点的速度 。
例如,求 BC中间点 E的速度 VE
时,bc上中间点 e为 E点的影象,联接 pe就是 VE
E
e
思考题,连架杆 AD的速度影像在何处？
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
b’
作者：潘存云教授
BA
C
2) 加速度关系求得,aB＝ μ ap’b’
选加速度比例尺 μ a m/s2/mm，
在任意点 p’作图使 aA＝ μ ap’a’
b”
设已知角速度 ω,A点加速度和 aB的方向
A B两点间加速度之间的关系有：
aB＝ aA+ anBA+ atBA
atBA＝ μ ab”b’
方向,b” → b’
aBA＝ μ ab’a’ 方向,a’→b ’
大小：
方向：
⊥BA
√
√
√ B→A
ω2lAB
aA
aB
a’
p’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
aC＝ aA + anCA+ atCA ＝ aB + anCB+ atCB
又,aC＝ aB + anCB+ atCB 不可解！
联立方程：
同理,aC＝ aA + anCA+ atCA 不可解！
作图求解得,
atCA＝ μ ac”’c’
atCB＝ μ ac’c”
方向,c”’→ c’
方向,c” → c’
方向,p’→ c’
√ √? √ √?
√ √ √ √ √ √
BA
C
大小,?
方向,?
√
√
ω2lCA
C→A
⊥CA
大小,?
方向,?
√
√
ω2lCB
C→B
⊥CB
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
aC＝ μ ap’c’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授角加速度,α ＝ atBA/ lAB
得,a’b’/ lAB＝ b’c’/ lBC＝ a’c’/ lCA
称 p’a’b’c’为 加速度多边形
（ 或速度图解 ）,p’－极点
∴ △ a’b’c’∽ △ ABC
加速度多边形的特性：
① 联接 p’点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对加速度,指向为 p’→ 该点 。
aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2
aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2
aCB＝ (atCB)2+ (anCB)2
方向,CW＝ μab”b’ /μ l AB
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
BA
C
＝ lCA α 2 +ω 4
＝ lCB α 2 +ω 4
＝ lAB α 2 +ω 4＝ μ aa’b’
＝ μ a a’c’
＝ μ a b’c’
α
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授 BA
C
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对加速度,指向与速度的下标相反 。 如 a’b’代表 aBA而不是 aAB,b’c’ → aCB,c’a’ → aAC 。
③ ∵ △ a’b’c’∽ △ ABC,称 a’b’c’为 ABC的加速度影象,称 p’a’b’c’为 PABC的 加 速度影象,两者相似且字母顺序一致 。
④ 极点 p’代表机构中所有 加 速度为零的点的影象 。
特别注意,影象与构件相似而不是与机构位形相似 ！
用途,根据相似性原理由两点的加 速度求任意点的 加 速度 。
例如,求 BC中间点 E的 加 速度 aE
b’c’上中间点 e’为 E点的影象,联接 p’e’就是 aE。
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
E
常用相对切向加速度来求构件的角加速度。
e’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
B
1
3
2
A
C
1 2
B
B
1
2
2.两构件重合点的速度及加速度的关系
1)回转副
① 速度关系
VB1=VB2 aB1=aB2
VB1≠ VB2 aB1≠ aB2
具体情况由其他已知条件决定 仅考虑移动副
2)高副和移动副
VB3＝ VB2+VB3B2
p
b2
b3
VB3B2的方向,b2 →b 3 ω3 = μ vpb3 / lCB
ω3
ω1
大小：
方向：
√
√
√
∥BC
公共点湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
ω3
B
1
3
2
A
C
ω1
p
b2
b3
ak B3B2
② 加速度关系
aB3＝ μ ap’b3’,
结论,当两构件构成移动副时,重合点的加速度不相等,且移动副有转动分量时,必然存在哥氏加速度分量 。
+ akB3B2
大小：
方向：
b’2
k’
b’ 3
α 3
akB3B2的方向,VB3B2 顺 ω3 转过 90°
α 3＝ atB3/lBC＝ μ ab3’’b3’/lBC
arB3B2 ＝ μ ak’b3’ B → C
ω23lBC
B→C
√
l1ω21
B→A
∥BC
2VB3B2ω3
√
aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2
此方程对吗？
b” 3
p’
图解得：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
c
二,用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析已知摆式运输机运动简图,各构件尺寸,ω2,求：
解：
1)速度分析
VB＝ LABω2,μ V＝ VB /pb
VC＝ VB+ VCB
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
b
① VF,aF,ω3,ω4,ω5,α 3,α 4,α 5
② 构件 3,4,5中任一速度为 Vx的点 X3,X4,X5的位置
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 Q3,Q5
ω2
大小,?
方向,⊥ CD p
√
√
⊥BC
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
e
从图解上量得：
VCB ＝ μ Vbc
VC＝ μ Vpc
方向,b→ c
方向,CW
ω4 ＝ VC/lCD 方向,CCW
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2 ω3ω4
VC＝ VB+ VCB
c
b
利用速度影象与构件相似的原理,
可求得影象点 e。
图解上式得 pef：
VF＝ VE+ VFE求构件 6的速度：
VFE＝ μ v ef e→ f
方向,p→ f
ω5＝ VFE/lFE 方向,CW
大小,?
方向,//DF
ω3 ＝ VCB /lCB
方向,p→ c
f
√
√
⊥EF
VF ＝ μ v pf
p
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
e’
c”’
b’
c’
c”
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
加速度分析：
ω24 lCD
C→D
⊥ CD
√
√
ω23 lCB
C→ B
⊥ BC
ω2 ω3ω4aC = anC+ atC
P’
c
b
f p
作图求解得,
α 4=atC / lCD
α 3= atCB/ lCB
方向,CCW
方向,CCW
aC =μ a p’c’
= aB + anCB+ atCB
不可解，再以 B点为牵连点，列出 C点的方程利用影象法求得 e点的象 e’
α 4
α 3
aBC=μ a b’c’ 方向,b’→ c’
方向,p’→ c’
得,aE =μ a p’e’
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
c”’
b’
c’
c”
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
求构件 6的加速度：
//DF
ω25 lFE
F→ E
√
√
⊥ BC
ω2 ω3ω4
P’
c
b
f p
作图求解得,
α 5= atFE/ lFE 方向,CCW
aF =μ a p’f’
α 4
α 3
α 5
atFE=μ a f”f’ 方向,f”→ f’
方向,p’→ f’
aF = aE + anFE + atFE
e’
f’
f”
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
I5
I3
x3
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2
c
b
f p
x
4
利用速度影象和加速度影象求特殊点的速度和加速度：
② 求构件 3,4,5中任一速度为 Vx的 X3,X4,X5点的位置。
x5
x
利用影象法求特殊点的运动参数：
求作 △ bcx∽ △ BCX3 得 X3
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
△ cex∽ △ CEX4 得 X4
△ efx∽ △ EFX5 得 X5
求作 △ bcp∽ △ BCI3 得 I3
△ efp∽ △ EFI5 得 I5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
i5’
Q3
c”’
b’
c’
c”
P’
e’
f’
f”
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 aI3,aQ5
C
Q5
i3’
求得,aI3=μ ap’i3’
aI5=μ ap’i5’
求作 △ b’c’p’∽ △ BCQ3 得 Q3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5 得 Q5
求作 △ b’c’i3’∽ △ BCI3
求作 △ e’f’p’∽ △ EFQ5
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2
I3
I5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
＝
A
B
C
D
G
ω
H
解题关键：
1,以作平面运动的构件为突破口,基准点和 重合点都应选取该构件上的铰接点,否 则已知条件不足而使无法求解。
EF
如,VE=VF+VEF
如选取铰链点作为基点时，所列方程仍不能求解，则此时应联立方程求解。
如,VG= VB+VGB
大小,? √?
方向,? √ √
VC=VB+VCB
√?
√ √ √
VC+VGC = VG
√
√ √?
大小,
方向,√
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
A
B
C
D4
3
2
1
A B
C
D
1
2
3
4
重合点的选取原则,选已知参数较多的点 （ 一般为铰链点 ）
应将构件扩大至包含 B点 ！
如选 B点,VB4 = VB3+VB4B3
如选 C点,VC3 = VC4+VC3C4
图 (b)中取 C为重合点,
有,VC3= VC4+VC3C4
大小,?？
方向,? √ √
t
t→ 不可解 ！
→ 不可解 ！
→ 可解 ！
大小,?
方向,?
√
√
大小,?
方向,√
√
√
√
(a)
(b)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
1 A
B
C 2
3
4
A
B
C
D4
3
2
1
t
t
(b)
图 (C)所示 机构,重合点应选在何处？
B点 !
当取 B点为重合点时,
VB4 = VB3 + VB4B3
A B
C
D
1
2
3
4
t
t
(a)
构件 3上 C,B的关系：
VC3 = VB3+VC3B3
大小,? √?
方向,? √ √
→ 不可解 ！
大小,?
方向,√
→ 方程可解
√
√
√
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
2.正确判哥式加速度的存在及其方向无 ak 无 a
k
有 ak
有 ak
有 ak 有 a
k
有 ak
有 ak
▲ 动坐标平动时,无 ak。
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
当两构件构成移动副：
▲ 且动坐标含有转动分量时,存在 ak ；
B1
2 3B1
23 B1 2
3
1B
2
3
B1
2
3 B
1
2 3
B1
2
3
B
123
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
A
B C
D
E
F G 1
2
3 4
5 6
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析 对于某些复杂机构,单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时,都很困难,但将两者结合起来用,将使问题的到简化 。如图示 Ⅲ 级机构中,已知机构尺寸和 ω2,进行运动分析 。
不可解 ！
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ √
用瞬心法确定构件 4的瞬心,
I4
t
t
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,√ √ √ 可解 ！
此方法常用于 Ⅲ 级机构的运动分析 。
确定 C点的方向后，则有：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
§ 3－ 5用解析法作机构的运动分析图解法的缺点：
▲ 分析结果精度低；
随着计算机应用的普及,解析法得到了广泛的应用 。
▲ 作图繁琐,费时,不适用于一个运动周期的分析 。
解析法,复数矢量法,矩阵法,杆组法等 。
▲ 不便于把机构分析与综合问题联系起来 。
思路：
由机构的几何条件,建立机构的位置方程,然后就位置方程对时间求一阶导数,得速度方程,求二阶导数得到机构的加速度方程 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 θ
L
j
i
y
x
一,矢量方程解析法
1.矢量分析基本知识其中,l－矢量的模,θ －幅角,各 幺矢量为：
e－ 矢量 L的幺矢量,e t－ 切向幺矢量
ee?
'ee t
)90s i n ()90c o s ( ji
)s i nco s( jil lL? el
则任意平面矢量的可表示为：
幺矢量 ----单位矢量
et
en
i
j e
ded / c o ss in ji
s inc o s ji
en－ 法向幺矢量，
i－ x轴的幺矢量 j－ y轴的幺矢量
)90(e
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
θ 2
θ 1
e2
e1
j
i
y
x
θ
L
j
)'( tn ee
)1 8 0s i n ()1 8 0c o s ( ji
ee )1 8 0(?
"e s i nc o s ji
幺矢量的点积运算：
e ·i
＝ ej ＝ sinθ
＝ - cos (θ 2 － θ 1 )
＝ cos (θ 2 － θ 1 )
＝ 1
e ·j
e ·e ＝ e2
et
e ·et ＝ 0
en
e ·en ＝ -1
e1 ·e2
e1 ·e2n
e1 ·e2t
j
i
y
x
＝ ei ＝ cosθ
＝ - sin (θ 2 － θ 1 )
i
e
ei
ej
e2n
e2t
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
v t
dt
dleel t
求一阶导数有：
求二阶导数有：
dt
eld
dt
LdL )('
v r
2
2
" dt LdL
dt
dle
dt
d
d
edl
dt
dle
dt
edl
at
dt
el
dt
dled t ][
L
θ
a r
离心 (相对 )速度 v rdtdle?tel
切向速度 v t
dt
dl
dt
ed
dt
lde 2
dt
dle t tel
dt
edl t
dt
dle
dt
ldeelel tt 222
切向加速度 at
tel el 2
向心加速度 an
dt
lde 2?
离心 (相对 )加速度 a r
dt
dle t2
哥式加速度 ak
an
ak
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
dt
dleelL t'
对同一个构件,l为常数,有：
dt
dle
dt
ldeelelL tt 2" 22
L
tel
v r=0
dt
dle?
ak=0
dt
dle t2
dt
ld 2?
ar=0elel t 2
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 DA
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
x
y2.平面机构的运动分析一,位置分析将各构件用杆矢量表示,则有：
已知,图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,求 θ 2,θ 3,ω2、
ω3,α 2,α 2。
L1+ L2 ＝ L3+ L4
移项得,L2 ＝ L3+ L4 － L1 (1)
化成直角坐标形式有：
)s i nco s( jilL
l2 cosθ 2＝ l3 cosθ 3+ l4 cosθ 4－ l1 cosθ 1 (2)
大小,√ √ √ √
方向 √ θ 2? θ 3? √
l2 sinθ 2＝ l3 sinθ 3+ l4 sinθ 4－ l1 sinθ 1 (3)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
(2),(3)平方后相加得：
l22＝ l23+ l24+ l21＋ 2 l3 l4cosθ 3
― 2 l1 l3(cosθ 3 cosθ 1- sinθ 3 sinθ 1)― 2 l1 l4cosθ 1
整理后得,Asinθ 3+Bcosθ 3+C=0 (4)
其中,A=2 l1 l3 sinθ 1
B=2 l3 (l1 cosθ 1- l4)
C= l22－ l23－ l24－ l21＋ 2 l1 l4cosθ 1
解三角方程得：
tg(θ 3 / 2)=[A± sqrt(A2+B2－ C2)] / (B－ C) 由 连续性确定同理,为了求解 θ 2,可将矢量方程写成如下形式：
L3 ＝ L1+ L2 － L4 (5)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授化成直角坐标形式：
l3 cosθ 3＝ l1 cosθ 1+ l2 cosθ 2－ l4 (6)
(6),(7)平方后相加得：
l23＝ l21+ l22+ l24＋ 2 l1 l2cosθ 1
― 2 l1 l4(cosθ 1 cosθ 2 - sinθ 1 sinθ 2 )― 2 l1 l2cosθ 1
整理后得,Dsinθ 2+Ecosθ 2+F=0 (8)
其中,D=2 l1 l2 sinθ 1
E=2 l2 (l1 cosθ 1- l4 )
F= l21+l22+l24－ l23- 2 l1 l4 cosθ 1
解三角方程得：
tg(θ 2 / 2)=[D± sqrt(D2+E2－ F2)] / (E－ F)
l3 sinθ 3＝ l1 sinθ 1+ l2 sinθ 2－ 0 (7)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授二,速度分析将 L3 ＝ L1+ L2 － L4 对时间求导得：
用 e2 点积 (9)式,可得：
l3θ 3 e3t ·e2= l1θ 1 e1t ·e2 (10)
ω3 l3 sin (θ 3 － θ 2 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 )
ω3 = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3 点积 (9)式,可得：
- l2θ 2 e2t ·e3= l1θ 1 e1t ·e3 (11)
-ω2 l2 sin (θ 2 － θ 3 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 )
ω2 = - ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 ) / l2sin (θ 2－ θ 3 )
l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 a
CB
t ＝ 0
三,加速度分析将 （ 9） 式对时间求导得：
acn act aB aCBn
l3ω32 e3n ·e 2 + l3α 3 e3t ·e 2 = l1ω12 e1n ·e 2 + l2ω22 e2n ·e 2
上式中只有两个未知量
-ω32 l3 cos (θ 3 － θ 2 ) -α 3 l3 sin (θ 3 － θ 2 )
= - ω12 l1 cos (θ 1 － θ 2 ) - ω22 l2
α 3 =ω12 l1 cos (θ 1 - θ 2 ) + ω22 l2
-ω32 l3 cos (θ 3 - θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (12)式,整理后可得：
α 2 =ω12 l1 cos (θ 1 - θ 3 ) + ω32 l3
-ω22 l2 cos (θ 2 - θ 3 ) / l2 sin (θ 2 － θ 3 )
,用 e2点积 (12)式,可得：
速度方程,l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
l3θ 32 e3n + l3θ 3 e3t = l1θ 12 e1n + l2θ 22 e2n + l2θ 2 e2t (12)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
DA
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
x
y
a b
P
二,矩阵法思路,在直角坐标系中建立机构的位置方程,然后将位置方程对时间求一阶导数,得到机构的速度方程 。
求二阶导数便得到机构加速度方程 。
1.位置分析改写成直角坐标的形式：
L1+ L2 ＝ L3+ L4,或 L2－ L3＝ L4－ L1
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,求,θ 2,θ 3,ω2,ω3、
α 2,α 2,xp,yp,vp,ap 。
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授连杆上 P点的坐标为：
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
(14)
2.速度分析对时间求导得速度方程：
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1
(15)
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
重写位置方程组将以下位置方程：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授从动件的 角速度列阵 {ω}
原动件的位置参数矩阵 [B]
原动件的 角速度 ω1
从动件的位置参数矩阵 [A]
写成矩阵形式：
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3 ω2 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 ω3 -l1 cosθ 1 (16)＝ ω1
[A]{ω}=ω1{B}
对以下 P点的位置方程求导：
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
(14)
得 P点的速度方程：
(17)vpxv
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
ω1
ω2
速度合成,vp ＝ v2px＋ v2py α pv＝ tg-1(vpy / vpx )
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
3.加速度分析将 （ 15） 式对时间求导得以下矩阵方程：
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
重写速度方程组
{α } [A] [B]= {ω }[A] + ω1
对速度方程求导：
l1 ω1 sinθ 1
l1 ω3 cosθ 1
＝
ω2
ω3
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3
α 2
α 3
- l2 ω2 cosθ 2 l3 ω3 cosθ 3
- l 2 ω2 sinθ 2 l3 ω3 sinθ 3 +ω1
(18)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授对 P点的速度方程求导：
(17)vpxv
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
ω1
ω2
得 以下矩阵方程,
加速度合成：
ap ＝ a2px ＋ a2py α pa＝ tg-1(apy / apx )
(19)
apx
apy
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
0
α 2
l1 cosθ 1 a cosθ 2 + b cos (90o+θ 2 )
-l1 sinθ 1 -a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
ω22
ω32－
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授解析法运动分析的关键,正确建立机构的位置方程 。
至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运算而已 。 本例所采用的分析方法同样适用复杂机构 。
速度方程的一般表达式：
其中 [A]－－ 机构 从动件的位置参数矩阵 ；
{ω}－－ 机构 从动件的角速度矩阵 ；
{B}－－ 机构 原 动件的位置参数矩阵 ；
ω1 －－ 机构 原 动件的角速度 。
加速度方程的一般表达式：
{α }－－ 机构从动件的加角速度矩阵；
[A]＝ d[A]/dt；
[A]{α } = -[A]{ω}+ω1{B}
[A]{ω}=ω1{B}
缺点,是对于每种机构都要作运动学模型的推导,模型的建立比较繁琐 。
[B]＝ d[B]/dt；
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授全部为转动副类型 简 图 运动副 矢量三角形中的已知量
A a bR
内,1个转动副外,2个移动移E
内,1个移动副外,1转 1移D
内,1个转动副外,1转 1移C
内,1个移动副外,2个转动副B
三,杆组分析法原理,将基本杆组的运动分析模型编成通用的子程序,根据机构的组成情况依次调用杆组分析子程序,就能完成整个机构的运动分析 。
a = R + b
√ √?
√ √
a = R + b
√?
√ √ √
特点,运动学模型是通用的,适用于任意复杂的平面连杆机构 。
a = R + b
√?
√ √? a b
a = R + b
√ √ √
√?
a ba = R + b√ √ √
√?
a bR
a bR
a bR
a bR
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授本章重点：
1,瞬心位置的确定 （ 三心定律 ） ；
2,用瞬心法求构件的运动参数；
3.用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析,
熟练掌握影象法及其应用；
4.用矢量方程解析法建立机构的运动学模型；
§ 3－ 1机构运动分析的目的与方法
§ 3－ 2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
§ 3－ 3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析
§ 3－ 5用解析法作机构的运动分析湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
A
C
B
E
D
§ 3－ 1 机构运动分析的目的与方法设计任何新的机械,都必须进行运动分析工作 。 以确定机械是否满足工作要求 。
1.位置分析研究内容：位置分析,速度分析和加速度分析 。
① 确定机构的位置 （ 位形 ）,绘制机构位置图 。
② 确定构件的运动空间,判断是否发生干涉 。
③ 确定构件 (活塞 )行程,找出上下极限位置 。
从构件点的轨迹构件位置速度加速度原动件的运动规律内涵：
④ 确定点的轨迹 （ 连杆曲线 ）,如 鹤式吊 。
HEH
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
2.速度分析
① 通过分析,了解从动件的速度变化规律是否满足工作要求 。 如 牛头刨
② 为加速度分析作准备 。
3.加速度分析 的目的是为确定惯性力作准备 。
方法：
图解法 －简单,直观,精度低,求系列位置时繁琐 。
解析法 －正好与以上相反 。
实验法 －试凑法,配合连杆曲线图册,用于解决实现预定轨迹问题 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
12
A2(A1)
B2(B1)
§ 3－ 2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用机构速度分析的图解法有：速度瞬心法,相对运动法,线图法 。 瞬心法尤其适合于简单机构的运动分析 。
一,速度瞬心及其求法绝对瞬心 －重合点绝对速度为零 。
P21
相对瞬心 －重合点绝对速度不为零 。
VA2A1
VB2B1
Vp2=Vp1≠ 0
Vp2=Vp1=0
两个作平面运动构件上 速度相同 的一对 重合点,在某一瞬时两构件相对于该点作相对转动,该点称瞬时速度中心 。 求法？
1)速度瞬心的定义湖南理工学院专用 作者,潘存云教授特点：
① 该点涉及两个构件 。
2） 瞬心数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
P12 P23
P13
构件数 4 5 6 8
瞬心数 6 10 15 28
1 2 3若机构中有 n个构件,则
N＝ n(n-1)/2
② 绝对速度相同,相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
1 2
1
2
1 2 t t1
2
3） 机构瞬心位置的确定
1.直接观察法适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置 。
n
n
P12
P12
P12 ∞
2.三心定律
V12
定义,三个彼此作平面运动的构件共有 三个瞬心,且它们 位于同一条直线上 。 此法特别适用于两构件不直接相联的场合 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
3
2
1
4
举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。
∞
P14
1
2
3
4
P12 P
34
P13
P24 P23
解：瞬心数为：
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
N＝ n(n-1)/2＝ 6 n=4
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
1
2
3
4 65
P24
P13
P15
P25
P26
P35
举例,求图示六杆机构的速度瞬心。
解：瞬心数为,N＝ n(n-1)/2＝ 15 n=6
1.作瞬心多边形圆
2.直接观察求瞬心
3.三心定律求瞬心
P46
P361
2
3
4
5
6
P14
P23
P12
P16
∞
P34
∞
P56
P45
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
ω 11
2
3
四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
1.求线速度已知凸轮转速 ω1，求推杆的速度。
P23 ∞
解：
①直接观察求瞬心 P13,P23 。 V2
③ 求瞬心 P12的速度 。
V2＝ V P12＝ μ l(P13P12)·ω1
长度 P13P12直接从图上量取。
P13② 根据三心定律和公法线
n－ n求瞬心的位置 P12 。
n
n
P12
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
P24
P13
ω 2
2.求角速度解：①瞬心数为 6个
② 直接观察能求出 4个余下的 2个用三心定律求出。
③ 求瞬心 P24的速度 。
VP24＝ μ l(P24P14)·ω 4
ω 4 ＝ ω 2·(P24P12)/ P24P14
a)铰链机构已知构件 2的转速 ω2，求构件 4的角速度 ω4。
VP24＝ μ l(P24P12)·ω 2
P12
P23
P34
P14
方向,CW,与 ω2相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
VP24
2
3 4
1 ω 4
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
3
1
2
b)高副机构已知构件 2的转速 ω2，求构件 3的角速度 ω3。
ω 2
解,用三心定律求出 P23 。
求瞬心 P23的速度,
VP23＝ μ l(P23P13)·ω3
∴ ω3＝ ω2·(P13P23/P12P23)
P12 P
13
方向,CCW,与 ω2相反。
VP23
VP23＝ μ l(P23P12)·ω2
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
n
n
P23
ω 3
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
3
1
2
P23 P
13
P12
3.求传动比定义：两构件角速度之比传动比。
ω3 /ω2 ＝ P12P23 /P13P23
推广到一般：
ωi /ωj ＝ P1jPij /P1iPij
结论,
① 两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比 。
② 角速度的方向为：
相对瞬心位于两绝对瞬心的 同一侧 时，两构件 转向相同 。
相对瞬心位于两绝对瞬心 之间 时，两构件 转向相反。
ω 2 ω 3
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
4.用瞬心法解题步骤
① 绘制机构运动简图；
② 求瞬心的位置；
③ 求出相对瞬心的速度 ;
瞬心法的优缺点：
① 适合于求简单机构的速度,机构复杂时因瞬心数急剧增加而求解过程复杂 。
② 有时瞬心点落在纸面外。
③ 仅适于 求速度 V,使应用有一定局限性。
④ 求构件绝对速度 V或角速度 ω。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
CD
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析一,基本原理和方法
1.矢量方程图解法因每一个矢量具有大小和方向两个参数,根据已知条件的不同,上述方程有以下四种情况：
设有矢量方程,D＝ A + B + C
D＝ A + B + C
大小,√？？ √
方向,√ √ √ √
D
A
B
C A
B
D＝ A + B + C
大小,？ √ √ √
方向,？ √ √ √
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
B
C
B
D＝ A + B + C
大小,√ √ √ √
方向,√ √？？
D＝ A + B + C
大小,√？ √ √
方向,√ √？ √
D
A C
D
A
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系
1) 速度之间的关系选速度比例尺 μ v m/s/mm，
在任意点 p作图使 VA＝ μ vpa,a
b同理有,VC＝ VA+VCA
大小,? √?
方向,? √ ⊥CA
相对速度为,VBA＝ μ vab
VB＝ VA+VBA
按图解法得,VB＝ μ vpb,
不可解！
p
设已知大小：
方向,⊥BA
√
√
√
方向,p → c
方向,a → c
BA
C
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
a
b
pc
同理有,VC＝ VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ ⊥CB
VC＝ VA+VCA＝ VB+VCB
不可解！
联立方程有：
作图得,VC＝ μ v pc
VCA＝ μ v ac
VCB＝ μ v bc
方向,p → c
方向,a → c
方向,b → c
大小,? √? √?
方向,? √ ⊥CA √ ⊥CB
A
C
B
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授A
C
B
c
a
b
p
ω＝ VBA/LBA＝ μ vab/μ lAB
同理,ω＝ μ vca/μ l CA
称 pabc为 速度多边形 （ 或速度图解 )
p为 极点 。
得,ab/AB＝ bc/ BC＝ ca/CA
∴ △ abc∽ △ ABC
方向,CW
强调用相对速度求
ω＝ μ vcb/μ l CB ω
c
a
b
p
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
c
a
b
p
A
C
B
速度多边形 的性质,
① 联接 p点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对速度,指向为 p→ 该点 。
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对速度，
指向与速度的下标相反。如 bc代表 VCB而不是 VBC,常用相对速度来求构件的角速度。
③ ∵ △ abc∽ △ ABC,称 abc为 ABC的速度影象,两者相似且字母顺序一致 。
前者沿 ω方向转过 90° 。 称 pabc为
PABC的速度影象 。
特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似 ！
P
④ 极点 p代表机构中所有速度为零的点的影象 。
绝对瞬心
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
c
a
b
p
作者：潘存云教授A
C
B
速度多边形的用途：
由两点的速度可求任意点的速度 。
例如,求 BC中间点 E的速度 VE
时,bc上中间点 e为 E点的影象,联接 pe就是 VE
E
e
思考题,连架杆 AD的速度影像在何处？
D
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
b’
作者：潘存云教授
BA
C
2) 加速度关系求得,aB＝ μ ap’b’
选加速度比例尺 μ a m/s2/mm，
在任意点 p’作图使 aA＝ μ ap’a’
b”
设已知角速度 ω,A点加速度和 aB的方向
A B两点间加速度之间的关系有：
aB＝ aA+ anBA+ atBA
atBA＝ μ ab”b’
方向,b” → b’
aBA＝ μ ab’a’ 方向,a’→b ’
大小：
方向：
⊥BA
√
√
√ B→A
ω2lAB
aA
aB
a’
p’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
aC＝ aA + anCA+ atCA ＝ aB + anCB+ atCB
又,aC＝ aB + anCB+ atCB 不可解！
联立方程：
同理,aC＝ aA + anCA+ atCA 不可解！
作图求解得,
atCA＝ μ ac”’c’
atCB＝ μ ac’c”
方向,c”’→ c’
方向,c” → c’
方向,p’→ c’
√ √? √ √?
√ √ √ √ √ √
BA
C
大小,?
方向,?
√
√
ω2lCA
C→A
⊥CA
大小,?
方向,?
√
√
ω2lCB
C→B
⊥CB
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
aC＝ μ ap’c’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授角加速度,α ＝ atBA/ lAB
得,a’b’/ lAB＝ b’c’/ lBC＝ a’c’/ lCA
称 p’a’b’c’为 加速度多边形
（ 或速度图解 ）,p’－极点
∴ △ a’b’c’∽ △ ABC
加速度多边形的特性：
① 联接 p’点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对加速度,指向为 p’→ 该点 。
aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2
aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2
aCB＝ (atCB)2+ (anCB)2
方向,CW＝ μab”b’ /μ l AB
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
BA
C
＝ lCA α 2 +ω 4
＝ lCB α 2 +ω 4
＝ lAB α 2 +ω 4＝ μ aa’b’
＝ μ a a’c’
＝ μ a b’c’
α
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授 BA
C
② 联接任意两点的向量代表该两点在 机构图中同名点的相对加速度,指向与速度的下标相反 。 如 a’b’代表 aBA而不是 aAB,b’c’ → aCB,c’a’ → aAC 。
③ ∵ △ a’b’c’∽ △ ABC,称 a’b’c’为 ABC的加速度影象,称 p’a’b’c’为 PABC的 加 速度影象,两者相似且字母顺序一致 。
④ 极点 p’代表机构中所有 加 速度为零的点的影象 。
特别注意,影象与构件相似而不是与机构位形相似 ！
用途,根据相似性原理由两点的加 速度求任意点的 加 速度 。
例如,求 BC中间点 E的 加 速度 aE
b’c’上中间点 e’为 E点的影象,联接 p’e’就是 aE。
b’
b” a’
p’
c”’
c”
c’
E
常用相对切向加速度来求构件的角加速度。
e’
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
B
1
3
2
A
C
1 2
B
B
1
2
2.两构件重合点的速度及加速度的关系
1)回转副
① 速度关系
VB1=VB2 aB1=aB2
VB1≠ VB2 aB1≠ aB2
具体情况由其他已知条件决定 仅考虑移动副
2)高副和移动副
VB3＝ VB2+VB3B2
p
b2
b3
VB3B2的方向,b2 →b 3 ω3 = μ vpb3 / lCB
ω3
ω1
大小：
方向：
√
√
√
∥BC
公共点湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
ω3
B
1
3
2
A
C
ω1
p
b2
b3
ak B3B2
② 加速度关系
aB3＝ μ ap’b3’,
结论,当两构件构成移动副时,重合点的加速度不相等,且移动副有转动分量时,必然存在哥氏加速度分量 。
+ akB3B2
大小：
方向：
b’2
k’
b’ 3
α 3
akB3B2的方向,VB3B2 顺 ω3 转过 90°
α 3＝ atB3/lBC＝ μ ab3’’b3’/lBC
arB3B2 ＝ μ ak’b3’ B → C
ω23lBC
B→C
√
l1ω21
B→A
∥BC
2VB3B2ω3
√
aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2
此方程对吗？
b” 3
p’
图解得：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
c
二,用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析已知摆式运输机运动简图,各构件尺寸,ω2,求：
解：
1)速度分析
VB＝ LABω2,μ V＝ VB /pb
VC＝ VB+ VCB
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
b
① VF,aF,ω3,ω4,ω5,α 3,α 4,α 5
② 构件 3,4,5中任一速度为 Vx的点 X3,X4,X5的位置
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 Q3,Q5
ω2
大小,?
方向,⊥ CD p
√
√
⊥BC
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
e
从图解上量得：
VCB ＝ μ Vbc
VC＝ μ Vpc
方向,b→ c
方向,CW
ω4 ＝ VC/lCD 方向,CCW
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2 ω3ω4
VC＝ VB+ VCB
c
b
利用速度影象与构件相似的原理,
可求得影象点 e。
图解上式得 pef：
VF＝ VE+ VFE求构件 6的速度：
VFE＝ μ v ef e→ f
方向,p→ f
ω5＝ VFE/lFE 方向,CW
大小,?
方向,//DF
ω3 ＝ VCB /lCB
方向,p→ c
f
√
√
⊥EF
VF ＝ μ v pf
p
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
e’
c”’
b’
c’
c”
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
加速度分析：
ω24 lCD
C→D
⊥ CD
√
√
ω23 lCB
C→ B
⊥ BC
ω2 ω3ω4aC = anC+ atC
P’
c
b
f p
作图求解得,
α 4=atC / lCD
α 3= atCB/ lCB
方向,CCW
方向,CCW
aC =μ a p’c’
= aB + anCB+ atCB
不可解，再以 B点为牵连点，列出 C点的方程利用影象法求得 e点的象 e’
α 4
α 3
aBC=μ a b’c’ 方向,b’→ c’
方向,p’→ c’
得,aE =μ a p’e’
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
c”’
b’
c’
c”
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
求构件 6的加速度：
//DF
ω25 lFE
F→ E
√
√
⊥ BC
ω2 ω3ω4
P’
c
b
f p
作图求解得,
α 5= atFE/ lFE 方向,CCW
aF =μ a p’f’
α 4
α 3
α 5
atFE=μ a f”f’ 方向,f”→ f’
方向,p’→ f’
aF = aE + anFE + atFE
e’
f’
f”
ω5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
I5
I3
x3
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2
c
b
f p
x
4
利用速度影象和加速度影象求特殊点的速度和加速度：
② 求构件 3,4,5中任一速度为 Vx的 X3,X4,X5点的位置。
x5
x
利用影象法求特殊点的运动参数：
求作 △ bcx∽ △ BCX3 得 X3
③ 构件 3,5上速度为零的点 I3,I5
△ cex∽ △ CEX4 得 X4
△ efx∽ △ EFX5 得 X5
求作 △ bcp∽ △ BCI3 得 I3
△ efp∽ △ EFI5 得 I5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
i5’
Q3
c”’
b’
c’
c”
P’
e’
f’
f”
④ 构件 3,5上加速度为零的点 Q3,Q5
⑤ 点 I3,I5的加速度 aI3,aQ5
C
Q5
i3’
求得,aI3=μ ap’i3’
aI5=μ ap’i5’
求作 △ b’c’p’∽ △ BCQ3 得 Q3
△ e’f’p’∽ △ EFQ5 得 Q5
求作 △ b’c’i3’∽ △ BCI3
求作 △ e’f’p’∽ △ EFQ5
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4 5
6
ω2
I3
I5
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
＝
A
B
C
D
G
ω
H
解题关键：
1,以作平面运动的构件为突破口,基准点和 重合点都应选取该构件上的铰接点,否 则已知条件不足而使无法求解。
EF
如,VE=VF+VEF
如选取铰链点作为基点时，所列方程仍不能求解，则此时应联立方程求解。
如,VG= VB+VGB
大小,? √?
方向,? √ √
VC=VB+VCB
√?
√ √ √
VC+VGC = VG
√
√ √?
大小,
方向,√
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
A
B
C
D4
3
2
1
A B
C
D
1
2
3
4
重合点的选取原则,选已知参数较多的点 （ 一般为铰链点 ）
应将构件扩大至包含 B点 ！
如选 B点,VB4 = VB3+VB4B3
如选 C点,VC3 = VC4+VC3C4
图 (b)中取 C为重合点,
有,VC3= VC4+VC3C4
大小,?？
方向,? √ √
t
t→ 不可解 ！
→ 不可解 ！
→ 可解 ！
大小,?
方向,?
√
√
大小,?
方向,√
√
√
√
(a)
(b)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
1 A
B
C 2
3
4
A
B
C
D4
3
2
1
t
t
(b)
图 (C)所示 机构,重合点应选在何处？
B点 !
当取 B点为重合点时,
VB4 = VB3 + VB4B3
A B
C
D
1
2
3
4
t
t
(a)
构件 3上 C,B的关系：
VC3 = VB3+VC3B3
大小,? √?
方向,? √ √
→ 不可解 ！
大小,?
方向,√
→ 方程可解
√
√
√
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
2.正确判哥式加速度的存在及其方向无 ak 无 a
k
有 ak
有 ak
有 ak 有 a
k
有 ak
有 ak
▲ 动坐标平动时,无 ak。
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
当两构件构成移动副：
▲ 且动坐标含有转动分量时,存在 ak ；
B1
2 3B1
23 B1 2
3
1B
2
3
B1
2
3 B
1
2 3
B1
2
3
B
123
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授
A
B C
D
E
F G 1
2
3 4
5 6
§ 3－ 4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析 对于某些复杂机构,单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时,都很困难,但将两者结合起来用,将使问题的到简化 。如图示 Ⅲ 级机构中,已知机构尺寸和 ω2,进行运动分析 。
不可解 ！
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,? √ √
用瞬心法确定构件 4的瞬心,
I4
t
t
VC = VB+VCB
大小,? √?
方向,√ √ √ 可解 ！
此方法常用于 Ⅲ 级机构的运动分析 。
确定 C点的方向后，则有：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
§ 3－ 5用解析法作机构的运动分析图解法的缺点：
▲ 分析结果精度低；
随着计算机应用的普及,解析法得到了广泛的应用 。
▲ 作图繁琐,费时,不适用于一个运动周期的分析 。
解析法,复数矢量法,矩阵法,杆组法等 。
▲ 不便于把机构分析与综合问题联系起来 。
思路：
由机构的几何条件,建立机构的位置方程,然后就位置方程对时间求一阶导数,得速度方程,求二阶导数得到机构的加速度方程 。
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 θ
L
j
i
y
x
一,矢量方程解析法
1.矢量分析基本知识其中,l－矢量的模,θ －幅角,各 幺矢量为：
e－ 矢量 L的幺矢量,e t－ 切向幺矢量
ee?
'ee t
)90s i n ()90c o s ( ji
)s i nco s( jil lL? el
则任意平面矢量的可表示为：
幺矢量 ----单位矢量
et
en
i
j e
ded / c o ss in ji
s inc o s ji
en－ 法向幺矢量，
i－ x轴的幺矢量 j－ y轴的幺矢量
)90(e
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授
θ 2
θ 1
e2
e1
j
i
y
x
θ
L
j
)'( tn ee
)1 8 0s i n ()1 8 0c o s ( ji
ee )1 8 0(?
"e s i nc o s ji
幺矢量的点积运算：
e ·i
＝ ej ＝ sinθ
＝ - cos (θ 2 － θ 1 )
＝ cos (θ 2 － θ 1 )
＝ 1
e ·j
e ·e ＝ e2
et
e ·et ＝ 0
en
e ·en ＝ -1
e1 ·e2
e1 ·e2n
e1 ·e2t
j
i
y
x
＝ ei ＝ cosθ
＝ - sin (θ 2 － θ 1 )
i
e
ei
ej
e2n
e2t
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
v t
dt
dleel t
求一阶导数有：
求二阶导数有：
dt
eld
dt
LdL )('
v r
2
2
" dt LdL
dt
dle
dt
d
d
edl
dt
dle
dt
edl
at
dt
el
dt
dled t ][
L
θ
a r
离心 (相对 )速度 v rdtdle?tel
切向速度 v t
dt
dl
dt
ed
dt
lde 2
dt
dle t tel
dt
edl t
dt
dle
dt
ldeelel tt 222
切向加速度 at
tel el 2
向心加速度 an
dt
lde 2?
离心 (相对 )加速度 a r
dt
dle t2
哥式加速度 ak
an
ak
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
dt
dleelL t'
对同一个构件,l为常数,有：
dt
dle
dt
ldeelelL tt 2" 22
L
tel
v r=0
dt
dle?
ak=0
dt
dle t2
dt
ld 2?
ar=0elel t 2
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 DA
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
x
y2.平面机构的运动分析一,位置分析将各构件用杆矢量表示,则有：
已知,图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,求 θ 2,θ 3,ω2、
ω3,α 2,α 2。
L1+ L2 ＝ L3+ L4
移项得,L2 ＝ L3+ L4 － L1 (1)
化成直角坐标形式有：
)s i nco s( jilL
l2 cosθ 2＝ l3 cosθ 3+ l4 cosθ 4－ l1 cosθ 1 (2)
大小,√ √ √ √
方向 √ θ 2? θ 3? √
l2 sinθ 2＝ l3 sinθ 3+ l4 sinθ 4－ l1 sinθ 1 (3)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
(2),(3)平方后相加得：
l22＝ l23+ l24+ l21＋ 2 l3 l4cosθ 3
― 2 l1 l3(cosθ 3 cosθ 1- sinθ 3 sinθ 1)― 2 l1 l4cosθ 1
整理后得,Asinθ 3+Bcosθ 3+C=0 (4)
其中,A=2 l1 l3 sinθ 1
B=2 l3 (l1 cosθ 1- l4)
C= l22－ l23－ l24－ l21＋ 2 l1 l4cosθ 1
解三角方程得：
tg(θ 3 / 2)=[A± sqrt(A2+B2－ C2)] / (B－ C) 由 连续性确定同理,为了求解 θ 2,可将矢量方程写成如下形式：
L3 ＝ L1+ L2 － L4 (5)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授化成直角坐标形式：
l3 cosθ 3＝ l1 cosθ 1+ l2 cosθ 2－ l4 (6)
(6),(7)平方后相加得：
l23＝ l21+ l22+ l24＋ 2 l1 l2cosθ 1
― 2 l1 l4(cosθ 1 cosθ 2 - sinθ 1 sinθ 2 )― 2 l1 l2cosθ 1
整理后得,Dsinθ 2+Ecosθ 2+F=0 (8)
其中,D=2 l1 l2 sinθ 1
E=2 l2 (l1 cosθ 1- l4 )
F= l21+l22+l24－ l23- 2 l1 l4 cosθ 1
解三角方程得：
tg(θ 2 / 2)=[D± sqrt(D2+E2－ F2)] / (E－ F)
l3 sinθ 3＝ l1 sinθ 1+ l2 sinθ 2－ 0 (7)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授二,速度分析将 L3 ＝ L1+ L2 － L4 对时间求导得：
用 e2 点积 (9)式,可得：
l3θ 3 e3t ·e2= l1θ 1 e1t ·e2 (10)
ω3 l3 sin (θ 3 － θ 2 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 )
ω3 = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3 点积 (9)式,可得：
- l2θ 2 e2t ·e3= l1θ 1 e1t ·e3 (11)
-ω2 l2 sin (θ 2 － θ 3 ) = ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 )
ω2 = - ω1 l1 sin (θ 1 － θ 3 ) / l2sin (θ 2－ θ 3 )
l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授 a
CB
t ＝ 0
三,加速度分析将 （ 9） 式对时间求导得：
acn act aB aCBn
l3ω32 e3n ·e 2 + l3α 3 e3t ·e 2 = l1ω12 e1n ·e 2 + l2ω22 e2n ·e 2
上式中只有两个未知量
-ω32 l3 cos (θ 3 － θ 2 ) -α 3 l3 sin (θ 3 － θ 2 )
= - ω12 l1 cos (θ 1 － θ 2 ) - ω22 l2
α 3 =ω12 l1 cos (θ 1 - θ 2 ) + ω22 l2
-ω32 l3 cos (θ 3 - θ 2 ) / l3 sin (θ 3 － θ 2 )
用 e3点积 (12)式,整理后可得：
α 2 =ω12 l1 cos (θ 1 - θ 3 ) + ω32 l3
-ω22 l2 cos (θ 2 - θ 3 ) / l2 sin (θ 2 － θ 3 )
,用 e2点积 (12)式,可得：
速度方程,l3θ 3 e3t = l1θ 1 e1t + l2θ 2 e2t (9)
l3θ 32 e3n + l3θ 3 e3t = l1θ 12 e1n + l2θ 22 e2n + l2θ 2 e2t (12)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
DA
B
C
1
2
3
4
θ 1
θ 2
θ 3
ω 1
x
y
a b
P
二,矩阵法思路,在直角坐标系中建立机构的位置方程,然后将位置方程对时间求一阶导数,得到机构的速度方程 。
求二阶导数便得到机构加速度方程 。
1.位置分析改写成直角坐标的形式：
L1+ L2 ＝ L3+ L4,或 L2－ L3＝ L4－ L1
已知图示四杆机构的各构件尺寸和 ω1,求,θ 2,θ 3,ω2,ω3、
α 2,α 2,xp,yp,vp,ap 。
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授连杆上 P点的坐标为：
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
(14)
2.速度分析对时间求导得速度方程：
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1
(15)
l2 cosθ 2 － l3 cosθ 3 ＝ l4 － l1 cosθ 1
l2 sinθ 2 － l3 sinθ 3 ＝ － l1 sinθ 1 (13)
重写位置方程组将以下位置方程：
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授从动件的 角速度列阵 {ω}
原动件的位置参数矩阵 [B]
原动件的 角速度 ω1
从动件的位置参数矩阵 [A]
写成矩阵形式：
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3 ω2 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 ω3 -l1 cosθ 1 (16)＝ ω1
[A]{ω}=ω1{B}
对以下 P点的位置方程求导：
xp ＝ l1 cosθ 1 +a cosθ 2 + b cos (90o+ θ 2 )
yp ＝ l1 sinθ 1 +a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
(14)
得 P点的速度方程：
(17)vpxv
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
ω1
ω2
速度合成,vp ＝ v2px＋ v2py α pv＝ tg-1(vpy / vpx )
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授
3.加速度分析将 （ 15） 式对时间求导得以下矩阵方程：
l2 sinθ 2 ω2 － l3 sinθ 3 ω3 ＝ ω1 l1 sinθ 1
l2 cosθ 2 ω2 － l3 cosθ 3 ω3 ＝－ ω1 l1 cosθ 1 (15)
重写速度方程组
{α } [A] [B]= {ω }[A] + ω1
对速度方程求导：
l1 ω1 sinθ 1
l1 ω3 cosθ 1
＝
ω2
ω3
- l2 sinθ 2 l3 sinθ 3
l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3
α 2
α 3
- l2 ω2 cosθ 2 l3 ω3 cosθ 3
- l 2 ω2 sinθ 2 l3 ω3 sinθ 3 +ω1
(18)
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授对 P点的速度方程求导：
(17)vpxv
py
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
ω1
ω2
得 以下矩阵方程,
加速度合成：
ap ＝ a2px ＋ a2py α pa＝ tg-1(apy / apx )
(19)
apx
apy
xp -l1 sinθ 1 -a sinθ 2－ b sin (90o+ θ 2 )
yp l1 cosθ 1 a cosθ 2＋ b cos (90o+ θ 2 )＝ ＝
0
α 2
l1 cosθ 1 a cosθ 2 + b cos (90o+θ 2 )
-l1 sinθ 1 -a sinθ 2 + b sin (90o+ θ 2 )
ω22
ω32－
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授解析法运动分析的关键,正确建立机构的位置方程 。
至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运算而已 。 本例所采用的分析方法同样适用复杂机构 。
速度方程的一般表达式：
其中 [A]－－ 机构 从动件的位置参数矩阵 ；
{ω}－－ 机构 从动件的角速度矩阵 ；
{B}－－ 机构 原 动件的位置参数矩阵 ；
ω1 －－ 机构 原 动件的角速度 。
加速度方程的一般表达式：
{α }－－ 机构从动件的加角速度矩阵；
[A]＝ d[A]/dt；
[A]{α } = -[A]{ω}+ω1{B}
[A]{ω}=ω1{B}
缺点,是对于每种机构都要作运动学模型的推导,模型的建立比较繁琐 。
[B]＝ d[B]/dt；
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授作者：潘存云教授全部为转动副类型 简 图 运动副 矢量三角形中的已知量
A a bR
内,1个转动副外,2个移动移E
内,1个移动副外,1转 1移D
内,1个转动副外,1转 1移C
内,1个移动副外,2个转动副B
三,杆组分析法原理,将基本杆组的运动分析模型编成通用的子程序,根据机构的组成情况依次调用杆组分析子程序,就能完成整个机构的运动分析 。
a = R + b
√ √?
√ √
a = R + b
√?
√ √ √
特点,运动学模型是通用的,适用于任意复杂的平面连杆机构 。
a = R + b
√?
√ √? a b
a = R + b
√ √ √
√?
a ba = R + b√ √ √
√?
a bR
a bR
a bR
a bR
湖南理工学院专用 作者,潘存云教授本章重点：
1,瞬心位置的确定 （ 三心定律 ） ；
2,用瞬心法求构件的运动参数；
3.用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析,
熟练掌握影象法及其应用；
4.用矢量方程解析法建立机构的运动学模型；
