半导体 物理编写,刘诺独立制作,刘 诺电子科技大学微电子与固体电子学院微电子科学与工程系
§ 3.1 状 态 密 度
dE
dZ
)E(g?
假设在能带中能量 E与 E+dE之间的能量间隔
dE内有 量子态 dZ个，则定义 状态密度 g（ E） 为：
第三章 半导体中载流子的统计分布每个允许的能量状态在 k空间中与由整数组（ nx,ny,nz）决定的一个代表点
（ kx,ky,kZ ）相对应
在 k空间中，电子的允许量子态密度是
2× V
一、球形等能面情况假设导带底在 k=0处，且同理，可推得 价带顶状态密度：
524 21
2
3
3
*
EE
h
m
V
dE
dZEg
V
p
V?
2
m2
khEc)k(E
*
n
22
则
dkk4V2dZ 2
3dEEcE
h
m2V4
2
12
3
3
*
n
导带底状态密度：
4EcE
h
m2V4
dE
dZEg
2
12
3
3
*
n
C
3LV?这里晶体体积二、旋转椭球等能面情况：
4,6 GesSis这里
7EcE
h
m2V4
dE
dZEg
2
12
3
3
*
n
C则个状态设导带底有 s
8mmsmm 312tl32dn*n但为电子态密度有效质量dnm
导带底状态密度：
有相同的形式与上页 EgEg VV
9mmmm 3
2
2
3
hp
2
3
lpdp
*
p
但为空穴态密度有效质量dpm
价带顶状态密度：
由此可知：
状态密度 gC（ E） 和 gV（ E）
与能量 E有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。
一、费米（ Fermi）分布函数与费米能级
1、费米分布函数电子遵循费米 -狄拉克（ Fermi-Dirac）统计分布规律。 能量为 E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率 为
电子的费米分布函数
Tk
EEn
0
F
e1
1
Ef
为波尔兹曼常数0k
§ 3.2 费米能级和载流子统计分布
2、费米能级 EF的意义
EF
二、波尔兹曼（ Boltzmann）分布函数波尔兹曼分布函数因此
Tk
B
F
eEf 0
EE
)(
1e Tk
EE
0
F
当 E-EF,k0T时,
Tk
EE
Tk
EEF
0
F
0
F
e
e1
1
)E(f
所以三、空穴的分布函数
Tk
EE
nBpB
Tk
EEnFpF
0
F
0
F
eEf1Ef
e1
1
Ef1Ef
空穴的波尔兹曼分布函数空穴的费米分布函数
服从 Boltzmann分布的电子系统非简并系统相应的半导体 非简并半导体
服从 Fermi分布的电子系统简并系统相应的半导体 简并半导体本征载流子的 产生,
四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度单位体积的电子数 n0和空穴数 p0：
V
dEEgEf
n
1
C
C
E
E
cB
0
dxexeTk
h
m xTkn F
0 2
1EE
2
3
0
2
3
3
*
0
2
4?
则
Tk EE
3
2
3
0
*
p
0
0
vF
e
h
Tkm2
2p
同理
Tk EE
3
2
3
0
*
n
0
0
Fc
e
h
Tkm2
2n
价带顶有效状态密度导带底有效状态密度令
3
2
3
0
*
p
v
3
2
3
0
*
n
c
h
Tkm2
2N
h
Tkm2
2N
4
3
0
0
0
0
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vF
Fc
eNp
eNn
则由下式可知：
（ 1）当材料一定时，
n0,p0随 EF和 T而变化；
（ 2）当温度 T一定时，
n0× p0仅仅与本征材料相关。
Tk
EE
v0
Tk
EE
c0
0
vF
0
Fc
eNp
eNn
Tk
Eg
vc00
0eNNpn
可以见到,Nc∝ T3/2和 Nv ∝ T3/2
5eNNeNNpn Tk
Eg
vc
Tk
EE
vc00
00
vc
且在热平衡态下，半导体是电中性的：
n0=p0 （ 1）
3
2
0
0
0
0
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vF
Fc
eNp
eNn
而
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vFFc
eNeN 00,1
式此二式代入
§ 3.3 本征半导体的载流子浓度即得到,
之积只与本征材料相关与式说明非简并半导体的 00 pn6
4
N
Nln
2
TkE
N
Nln
2
TkEE
2
1E
c
v0
i
c
v0
vcF
5eNNpnn Tk
E
vc00i
0
g
6npn 2i00且一般温度下，
Si,Ge,GaAs等本征半导体的 EF近似在禁带中央 Ei，只有温度较高时,EF才会偏离 Ei。
由（ 5）式可以见到：
1、温度一定时,Eg大的材料,ni小；
2、对同种材料,ni随温度 T按指数关系上升。
Tk2
E
vc00i
0
g
eNNpnn
一、杂质能级上的电子和空穴
杂质能级 最多只能容纳某个自旋方向的电子。
简并度分别是施主和受主基态和 EgEg AD
1
e
Eg
1
1
1
EfE
Tk
EE
D
DD
0
FD
的几率电子占据施主能级
2
e
Eg
1
1
1
EfE
Tk
EE
A
AA
0
AF
的几率空穴占据受主能级
§ 3.4 杂质半导体的载流子浓度对于 Ge,Si和 GaAs：
gA=4
gD=2
简并度：
施主浓度,ND 受主浓度,NA：
（ 1）杂质能级上未离化的载流子浓度 nD和 pA：
4EfNp
3EfNn
AAA
DDD
受主能级上的空穴浓度施主能级上的电子浓度
（ 2）电离杂质的浓度
6Ef1NpNp
5Ef1NnNn
AAAAA
DDDDD
电离受主的浓度电离施主的浓度二,n型半导体的载流子浓度假设只含一种 n型杂质 。在热平衡条件下，
半导体是电中性的：
Tk
EE
v0
Tk
EE
c0
0
vF
0
Fc
eNp
eNn
而
n0=p0+nD+ （ 7）
8
e21
N
eNeN
75
Tk
EE
DTk
EE
v
Tk
EE
c
0
FD
0
vF
0
Fc
即式中性条件式一起代入上页的电中将上面二式和
当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化
n型 Si中电子浓度 n与温度 T的关系：
杂质离化区过渡区 本征激发区
本征激发区过渡区强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区
1、杂质离化区
特征,本征激发可以忽略，
p0≌ 0
导带电子主要由电离杂质提供。
强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区
电中性条件 n0=p0+nD+ 可近似为
n0=nD+ （ 9）
10
21 0
0
Tk
EE
DTk
EE
c FD
Fc
e
N
eN即
（ 1）低温弱电离区：
特征,nD+,ND 弱电离
11e
2
N
eN
Tk
EE
DTk
EE
C
0
FD
0
FC
所以电中性条件简化为
1e Tk
EE
0
FD
12
2
ln
22
0
C
DDC
F
N
NTkEE
E
中式代入将 Tk
EE
C0
0
FC
eNn12
140
n
n
p
13e
2
NN
n
0
2
i
0
Tk2
E
2
1
CD
0
0
D
(2)中间弱电离区,本征激发仍略去，随着温度 T的增加,nD+已足够大，故直接求解方程（ 8）
8
21 0
0
Tk
EE
DTk
EE
c
FD
Fc
e
N
eN
151e
N
N8
1
4
1
lnTkEE
2
1
Tk
E
C
D
0DF
0
D
中代入 Tk
EE
C0F
0
FC
eNnE
17
n
n
p
16e
4
N
n
0
2
i
0
1e
N
N8
1
Tk
E
C
0
2
1
T
0
k
D
E
C
D
0
D
则
（ 3）强电离区：
特征：杂质基本全电离 nD+≌ ND
电中性条件简化为 n0=ND （ 18）
21
N
n
n
n
p
20Nn
D
2
i
0
2
i
0
D0
而
式中代入 18eNn Tk
EE
C0
0
FC
19
N
NlnTkEE
C
D
0CF
则这时，
FET所以
19
N
N
lnTkEE
C
D
0CF
0
N
NlnNN
C
D
CD
且注：强电离与弱电离的区分：
%90
N
n
2
1
N
n
1
D
D
D
D
强电离弱电离
Tk
EE
D
D
0
FD
e21
N
n?
由
D
D
N
n离化比率有决定杂质 全电离
（ nD+≧ 90%ND）的因素：
1、杂质电离能；
2、杂质浓度。
在室温（ RT）时，当 杂质浓度 ≧ 10ni时，
nD+≌ ND
2、过渡区,
电中性条件,n0=ND+p0
23npn
22pNn
2
i00
0D0
联立特征,（ 1）杂质全电离 nD+=ND
（ 2）本征激发不能忽略
26
n2
n4NN
lnTkEE
i
2
i
2
DD
0iF
即得到
式联立与利用 24enn Tk
EE
i0
0
Fi
25
N
n4
11
N
n2
2
n4NN
p
24
N
n4
11
2
N
2
n4NN
n
2
D
2
i
D
2
i
2
i
2
DD
0
2
D
2
iD
2
i
2
DD
0
则推得讨论：
28
27
2
2
00
2
2
0
D
i
D
D
i
D
N
n
Nnp
N
n
Nn
则
,nN1 iD 时当
1
N
n4
2
D
2
i有
2
D
2
i
2
1
2
D
2
i
N
n4
2
1
1
N
n4
1
显然,n0,p0，这时的过渡区接近于强电离区。
多数载流子（ 多子 ） n0
少数载流子（ 少子 ） p0
征激发区显然这时过渡区接近本
时当 iD nN2
ii
D
D00
ii
D
2
i
2
D
i
D
0
nn
2
N
Nnp
nn
2
N
n4
N
1n
2
N
n
也可得到
§ 3.5 一般情况下（即杂质补偿情况）的载流子统计分布 （自学）
化规律随杂质浓度和温度的变电中性条件根据种施主种受主和假设半导体中掺有
0
0
2
00
00
p
n
E
npn
nppn
ji
F
i
j
D
i
A
ji
§ 3.6 简并（重掺杂）半导体
（自学）
1、简并化条件：
(1)Ec-EF>2k0T 非简并
(2)0< Ec-EF<2k0T 弱简并
(3) Ec-EF≤0 简 并
3、杂质带导电重掺杂效应非简并半导体 简并半导体
GaAs,Si以及 Ge发生简并时所需的杂质浓度,
NA（ cm-3） ND（ cm-3）
Ge >1018 >1018
Si >1018 >1018
GaAs >1013 >1017
半导体 物理教案,刘诺独立制作,刘 诺电子科技大学微电子与固体电子学院微电子科学与工程系
§ 3.1 状 态 密 度
dE
dZ
)E(g?
假设在能带中能量 E与 E+dE之间的能量间隔
dE内有 量子态 dZ个，则定义 状态密度 g（ E） 为：
第三章 半导体中载流子的统计分布每个允许的能量状态在 k空间中与由整数组（ nx,ny,nz）决定的一个代表点
（ kx,ky,kZ ）相对应
在 k空间中，电子的允许量子态密度是
2× V
一、球形等能面情况假设导带底在 k=0处，且同理，可推得 价带顶状态密度：
524 21
2
3
3
*
EE
h
m
V
dE
dZEg
V
p
V?
2
m2
khEc)k(E
*
n
22
则
dkk4V2dZ 2
3dEEcE
h
m2V4
2
12
3
3
*
n
导带底状态密度：
4EcE
h
m2V4
dE
dZEg
2
12
3
3
*
n
C
3LV?这里晶体体积二、旋转椭球等能面情况：
4,6 GesSis这里
7EcE
h
m2V4
dE
dZEg
2
12
3
3
*
n
C则个状态设导带底有 s
8mmsmm 312tl32dn*n但为电子态密度有效质量dnm
导带底状态密度：
有相同的形式与上页 EgEg VV
9mmmm 3
2
2
3
hp
2
3
lpdp
*
p
但为空穴态密度有效质量dpm
价带顶状态密度：
由此可知：
状态密度 gC（ E） 和 gV（ E）
与能量 E有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。
一、费米（ Fermi）分布函数与费米能级
1、费米分布函数电子遵循费米 -狄拉克（ Fermi-Dirac）统计分布规律。 能量为 E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率 为
电子的费米分布函数
Tk
EEn
0
F
e1
1
Ef
为波尔兹曼常数0k
§ 3.2 费米能级和载流子统计分布
2、费米能级 EF的意义
EF
二、波尔兹曼（ Boltzmann）分布函数波尔兹曼分布函数因此
Tk
B
F
eEf 0
EE
)(
1e Tk
EE
0
F
当 E-EF,k0T时,
Tk
EE
Tk
EEF
0
F
0
F
e
e1
1
)E(f
所以三、空穴的分布函数
Tk
EE
nBpB
Tk
EEnFpF
0
F
0
F
eEf1Ef
e1
1
Ef1Ef
空穴的波尔兹曼分布函数空穴的费米分布函数
服从 Boltzmann分布的电子系统非简并系统相应的半导体 非简并半导体
服从 Fermi分布的电子系统简并系统相应的半导体 简并半导体本征载流子的 产生,
四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度单位体积的电子数 n0和空穴数 p0：
V
dEEgEf
n
1
C
C
E
E
cB
0
dxexeTk
h
m xTkn F
0 2
1EE
2
3
0
2
3
3
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2
4?
则
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3
2
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*
p
0
0
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h
Tkm2
2p
同理
Tk EE
3
2
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n
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h
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价带顶有效状态密度导带底有效状态密度令
3
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*
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3
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*
n
c
h
Tkm2
2N
h
Tkm2
2N
4
3
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0
0
0
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vF
Fc
eNp
eNn
则由下式可知：
（ 1）当材料一定时，
n0,p0随 EF和 T而变化；
（ 2）当温度 T一定时，
n0× p0仅仅与本征材料相关。
Tk
EE
v0
Tk
EE
c0
0
vF
0
Fc
eNp
eNn
Tk
Eg
vc00
0eNNpn
可以见到,Nc∝ T3/2和 Nv ∝ T3/2
5eNNeNNpn Tk
Eg
vc
Tk
EE
vc00
00
vc
且在热平衡态下，半导体是电中性的：
n0=p0 （ 1）
3
2
0
0
0
0
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vF
Fc
eNp
eNn
而
Tk
EE
v
Tk
EE
c
vFFc
eNeN 00,1
式此二式代入
§ 3.3 本征半导体的载流子浓度即得到,
之积只与本征材料相关与式说明非简并半导体的 00 pn6
4
N
Nln
2
TkE
N
Nln
2
TkEE
2
1E
c
v0
i
c
v0
vcF
5eNNpnn Tk
E
vc00i
0
g
6npn 2i00且一般温度下，
Si,Ge,GaAs等本征半导体的 EF近似在禁带中央 Ei，只有温度较高时,EF才会偏离 Ei。
由（ 5）式可以见到：
1、温度一定时,Eg大的材料,ni小；
2、对同种材料,ni随温度 T按指数关系上升。
Tk2
E
vc00i
0
g
eNNpnn
一、杂质能级上的电子和空穴
杂质能级 最多只能容纳某个自旋方向的电子。
简并度分别是施主和受主基态和 EgEg AD
1
e
Eg
1
1
1
EfE
Tk
EE
D
DD
0
FD
的几率电子占据施主能级
2
e
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1
1
1
EfE
Tk
EE
A
AA
0
AF
的几率空穴占据受主能级
§ 3.4 杂质半导体的载流子浓度对于 Ge,Si和 GaAs：
gA=4
gD=2
简并度：
施主浓度,ND 受主浓度,NA：
（ 1）杂质能级上未离化的载流子浓度 nD和 pA：
4EfNp
3EfNn
AAA
DDD
受主能级上的空穴浓度施主能级上的电子浓度
（ 2）电离杂质的浓度
6Ef1NpNp
5Ef1NnNn
AAAAA
DDDDD
电离受主的浓度电离施主的浓度二,n型半导体的载流子浓度假设只含一种 n型杂质 。在热平衡条件下，
半导体是电中性的：
Tk
EE
v0
Tk
EE
c0
0
vF
0
Fc
eNp
eNn
而
n0=p0+nD+ （ 7）
8
e21
N
eNeN
75
Tk
EE
DTk
EE
v
Tk
EE
c
0
FD
0
vF
0
Fc
即式中性条件式一起代入上页的电中将上面二式和
当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化
n型 Si中电子浓度 n与温度 T的关系：
杂质离化区过渡区 本征激发区
本征激发区过渡区强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区
1、杂质离化区
特征,本征激发可以忽略，
p0≌ 0
导带电子主要由电离杂质提供。
强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区
电中性条件 n0=p0+nD+ 可近似为
n0=nD+ （ 9）
10
21 0
0
Tk
EE
DTk
EE
c FD
Fc
e
N
eN即
（ 1）低温弱电离区：
特征,nD+,ND 弱电离
11e
2
N
eN
Tk
EE
DTk
EE
C
0
FD
0
FC
所以电中性条件简化为
1e Tk
EE
0
FD
12
2
ln
22
0
C
DDC
F
N
NTkEE
E
中式代入将 Tk
EE
C0
0
FC
eNn12
140
n
n
p
13e
2
NN
n
0
2
i
0
Tk2
E
2
1
CD
0
0
D
(2)中间弱电离区,本征激发仍略去，随着温度 T的增加,nD+已足够大，故直接求解方程（ 8）
8
21 0
0
Tk
EE
DTk
EE
c
FD
Fc
e
N
eN
151e
N
N8
1
4
1
lnTkEE
2
1
Tk
E
C
D
0DF
0
D
中代入 Tk
EE
C0F
0
FC
eNnE
17
n
n
p
16e
4
N
n
0
2
i
0
1e
N
N8
1
Tk
E
C
0
2
1
T
0
k
D
E
C
D
0
D
则
（ 3）强电离区：
特征：杂质基本全电离 nD+≌ ND
电中性条件简化为 n0=ND （ 18）
21
N
n
n
n
p
20Nn
D
2
i
0
2
i
0
D0
而
式中代入 18eNn Tk
EE
C0
0
FC
19
N
NlnTkEE
C
D
0CF
则这时，
FET所以
19
N
N
lnTkEE
C
D
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0
N
NlnNN
C
D
CD
且注：强电离与弱电离的区分：
%90
N
n
2
1
N
n
1
D
D
D
D
强电离弱电离
Tk
EE
D
D
0
FD
e21
N
n?
由
D
D
N
n离化比率有决定杂质 全电离
（ nD+≧ 90%ND）的因素：
1、杂质电离能；
2、杂质浓度。
在室温（ RT）时，当 杂质浓度 ≧ 10ni时，
nD+≌ ND
2、过渡区,
电中性条件,n0=ND+p0
23npn
22pNn
2
i00
0D0
联立特征,（ 1）杂质全电离 nD+=ND
（ 2）本征激发不能忽略
26
n2
n4NN
lnTkEE
i
2
i
2
DD
0iF
即得到
式联立与利用 24enn Tk
EE
i0
0
Fi
25
N
n4
11
N
n2
2
n4NN
p
24
N
n4
11
2
N
2
n4NN
n
2
D
2
i
D
2
i
2
i
2
DD
0
2
D
2
iD
2
i
2
DD
0
则推得讨论：
28
27
2
2
00
2
2
0
D
i
D
D
i
D
N
n
Nnp
N
n
Nn
则
,nN1 iD 时当
1
N
n4
2
D
2
i有
2
D
2
i
2
1
2
D
2
i
N
n4
2
1
1
N
n4
1
显然,n0,p0，这时的过渡区接近于强电离区。
多数载流子（ 多子 ） n0
少数载流子（ 少子 ） p0
征激发区显然这时过渡区接近本
时当 iD nN2
ii
D
D00
ii
D
2
i
2
D
i
D
0
nn
2
N
Nnp
nn
2
N
n4
N
1n
2
N
n
也可得到
§ 3.5 一般情况下（即杂质补偿情况）的载流子统计分布 （自学）
化规律随杂质浓度和温度的变电中性条件根据种施主种受主和假设半导体中掺有
0
0
2
00
00
p
n
E
npn
nppn
ji
F
i
j
D
i
A
ji
§ 3.6 简并（重掺杂）半导体
（自学）
1、简并化条件：
(1)Ec-EF>2k0T 非简并
(2)0< Ec-EF<2k0T 弱简并
(3) Ec-EF≤0 简 并
3、杂质带导电重掺杂效应非简并半导体 简并半导体
GaAs,Si以及 Ge发生简并时所需的杂质浓度,
NA（ cm-3） ND（ cm-3）
Ge >1018 >1018
Si >1018 >1018
GaAs >1013 >1017
半导体 物理教案,刘诺独立制作,刘 诺电子科技大学微电子与固体电子学院微电子科学与工程系
