第一章 半导体中的电子状态
半导体中电子状态和能带
半导体中电子的运动和有效质量
半导体中载流子的产生及导电机构
半导体的能带结构
§ 1.1 半导体中电子的状态与能带的形成一,能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态主量子数 n:1,2,3,……
自旋量子数 ms,± 1/2
磁量子数 ml,0,± 1,± 2,… ± l
角量子数 l,0,1,2,… （ n－ 1）
能量最小原理不相容原理
2.晶体中的电子
（ 1）电子运动在晶体中，电子在整个晶体中作共有化运动。
电子由一个原子转移到相邻的原子去,因而,电子将可以在整个晶体中运动 。
( 2)能级分裂
a.s能级设有 A,B两个原子孤立时,波函数为 ψ A和 Ψ B,不重叠,
简并度 =状态 /能级数 =2/1=2
A,B 两原子相互靠近,
电子波函数应是 ψA和 ΨB
的线性叠加,
Ψ1 = ΨA + ψB → E1
Ψ2 = ΨA - ψB → E2
μ± óD N ·- 3ó ê± ￡1
相互靠近组成晶体后,它们的能级便分裂成 N个彼此靠得很近的能级,
简并消失 。 这 N个能级组成一个能带,称为允许带 。
相互中间隔的很远时,是 N度简并的,
b,p 能级（ l=1,m l =0,± 1 ）
组成晶体后,p 能级分裂成 3N 个级。 d?ü ￡? N ·- 3ó 3é 3é?§ ì? 1ó ￡? d?ü
2? á? 3é 5N ·ü￡
òo ·? p?ü ó| èy ·? 3′ ì? ￡? èy?è?ò
2￠ ￡o N · á￠?- 3ó?ú 3N?è?ò 2￠?￡
允带
{ 能带 原子级能
{ 禁带
{ 禁带原子轨道原子能级分裂为能带的示意图
d
p
s
s 能级：共有化运动弱，能级分裂晚，形成 能带窄； p,d 能级：共有化运动强，能级分裂早，形成的能带宽。
二、一维理想晶格的电子能带
2
2
( ) 0
d
dx
与晶格势场有关
N个原子有规则的沿 x轴方向排列。
孤立原子的势场是：
1、一维理想晶格的势场和电子能量 E（ｋ）
x
v
1
晶体的势能曲线
V ( x )
x
简化周期势场,
在 0 ＜ x ＜ a 区间,V =0
022
2
dx
d
vo
-b 0 a
022
2
dx
d )/)(2( 22?EVm oo
2
2 2
Em o
E为电子能量,mo 为电子质量其中：
在 - b < x < 0 区,V = V0
k
E
–2π/1 –л/1 0 π/1 2π/1
:
1
~
1
:
1
2
~
1
,
1
~
1
2
第一布里渊区,对应内壳层分裂的能级能量第二布里渊区,对应较高壳层的能级能量
2,一维理想晶格中的电子态
)
2
()(
l
n
kEkE
0~
2
~
~0~
2
lll
lll
-π/1
E（ k）
0 π/1 k
}允带
}允带
} 允带自由电子称第一布里渊区为简约布里渊区禁带允许带晶体中的电子能量并不是可以取任意值,有些能量是禁止的,而只是在某一范围才可以,
3.允许带和禁带电子刚好填满最后一个带电子填充允许带时,可能出现,
最后一个带仅仅是部分被电子占有
→ 导体,
→ 绝缘体和半导体
3s
2p
2s
1s
11#Na,它的电子在组态是,1s22s22p63s1
1.导体的能带三,导体、绝缘体和半导体的能带
Eg
电子能量
Ec
Ev
g C VE E E
能带图可简化成,
2.绝缘体和半导体的能带导带 导带 半满带禁带价带禁带价带 满带绝缘体、半导体和导体的能带示意图
μ ì? μü ′í?è ￡1 6 ~ 7 e v
°? μ? ì? μü ′í?è ￡1 1 ~ 3 e v
常温下：
Si,Eg=1.12ev
Ge,Eg=0.67ev
GaAs,Eg =1.43ev
§ 1-2 半导体中电子的运动有效质量从粒子性出发,它具有一定的质量 m0和运动速度 V。
对自由空间的电子,
一、自由空间的电子,
从波动性出发,电子的运动看成频率为 ν、
波矢为 K的平面波在波矢方向的传输过程。
德布罗意关系
1,能量 E ( k )
自由电子 E与 k 的关系
E
k0
0
2
2
2
)(
2
1
m
hk
vmE o
E hv?
P hk?
om
hk
h
dk
dE
dk
dE
hm
hk
m
p
V
oo
1
对 E(k)微分,得到,
2.V(k)
3.加速度 a
o
o
o
m
F
a
am
dt
Vmd
dt
hkd
F
dt
dk
dt
dk
hF
)()(
dk
kdE
h
V
)(1
l
k
,0 0,0 V
dk
dE
二、半导体中的电子晶体中作共有化运动的电子平均速度,
1.速度 V
以一维情况为例设 E(k)在 k=0处取得极值，在极值附近按泰勒级数 展开：
0
( ) (0 ) ( )
k
K
dE
E k E
dk
0
2
2
2
1
( ),..,..
2
k
dE
k
dk
得到能带极值附近电子的速度为
*
nm
hk
v?
1c os)( kEH?
)()( kEkE
(1)在整个布里渊区内,V~K不是线形关系
(2)正负 K态电子的运动速度大小相等,
符号相反,
)()(1
)(
)(1)( kV
dk
kdE
hkd
kdE
h
kV
(3)V(k)的大小与能带的宽窄有关内层,能带窄,E(k)的变化比较慢,V(k)小,
外层,能带宽,E(k)的变化比较陡,V(k)大,
2.加速度设 E(k)在 k=k0处取得极值
2
2
2
22
22
22
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) (
2
11
( ) ( ) ( ) ( )
22
oo
oo
oo
o k x k y
xy
k z k x
zx
k y k z
yz
EE
E k E k k k
kk
EE
kk
kk
EE
kk
kk
o
k
x
x
k
E
h
m
)(
2
2
2
*
o
k
y
y
k
E
h
m
)(
2
2
2
*
o
k
z
z
k
E
h
m
)(
2
2
2
*
令
)
)()()(
(
2
)()( *
2
*
2
*
22
z
z
y
y
x
x
o
m
k
m
k
m
kh
kEkE
*
*
**
)(1
z
z
z
y
y
y
x
xx
x
x
x
m
F
a
m
F
a
m
F
t
k
h
mt
V
a
称 m*为电子的有效质量
F外 + F内 = m0a
F外 = m*a
2
2
dk
Ed
2
2
dk
Ed
三,m*的特点
1.决定于材料
2.与电子的运动方向有关
3.与能带的宽窄有关内层,带窄,小,m*大,
外层,带宽,大,m*小,
2
2
dk
Ed
2
2
dk
Ed
>0,m*>0。
<0,m*<0。
导带底价带顶
4.m*有正负之分当 E(k)曲线开口向上时,
当 E(k)曲线开口向下时,
电子的 m*>0;
电子的 m*<0;
dk
dV
h
dk
dE
hdk
d
h
dk
dE
dk
d
h
dk
Ed
h
m
1
2
2
2
2
*
5.对于带顶和带底的电子,有效质量恒定
§ 1-3半导体中载流子的产生及导电机构一、载流子的产生二、半导体的导电机构满带：电子数 =状态数不满带：
价带：电子数 >>空态数导带：电子数 <<空态数
1.满带 对电流无贡献
2.不满带 对电流有贡献不满带中的电子电流三、半导体中的空穴
1.空穴的波矢 kp和速度空穴的波矢 kP=-ke
( ) ( )peV k V k
2.空穴的能量
○
● Ec
Ev
E(ke)
设价带顶的能量 Ev=0
△ E
电子从价带顶 Ev→ ke，将释放出能量：
EkE e)(
空穴从价带顶 Ev→ ke，也就是电子从 ke态到价带顶，将获得能量：
EkE P)(
( ) ( )PeE k E k
3.空穴的有效质量和加速度电子的有效质量记为 me* 2*
2
2
e
h
m
dE
dk
电子能量空穴能量空穴的有效质量记为 mp*
**
Pemm
在价带顶：
* 0
Pm?
在价带顶附近空穴的有效质量为正的恒量。
加速度
*
Pm
Fa?
§ 1 - 4 半导体的能带结构一、半导体能带极值附近 E(k)的分布
1.K空间的等能面
(1) 极值点 k0为 (kx0,ky0,kz0).
能量 E在极值点 k0附近的展开
)
)()()(
(
2
)()( *
2
*
2
*
22
z
z
y
y
x
x
o
m
k
m
k
m
kh
kEkE
其中：
0zzz
yoyy
xoxx
kkk
kkk
kkk
移项后,
222
* * *
22 2
()( ) ( )
1
2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
y y ox x o z z o
x y z
oo o
kkk k k k
m m m
E k E kE k E k E k E k
hh h
1
)()()(
2
2
2
2
2
2
c
zz
b
yy
a
xx ooo
在长轴方向,m*大,E的变化缓慢,
在短轴方向,m*小,E的变化快,
(2)极值点 k0正好在某一坐标轴上能量 E在 K空间的分布为一旋转椭球曲面设 k0在 Z轴上,晶体为简立方晶体,
以 Z轴为旋转轴
***
zyx mmm
cba
(3) 极值点 k0在原点能量 E在波矢空间的分布为球形曲面二,Si.Ge.GaAs半导体的能带结构
1.元素半导体 Si
金刚石结构导带价带硅和锗的能带结构
2、锗的能带结构导带最低能值 [111]方向布里渊区边界存在有四个这种能量最小值
E(k)为以 [111]方向为旋转轴的椭圆等能面价带极大值 位于布里渊区的中心（ K=0）
存在极大值相重合的两个价带外面的能带曲率小，对应的有效质量大，称该能带中的空穴为重空穴 。
内能带的曲率大，对应的有效质量小，称此能带中的空穴为轻空穴。
锗,硅的导带分别存在四个和六个这种能量最小值,导带电子主要分布在这些极值附近,
通常称锗,硅的导带具有多能谷结构 。
硅和锗的导带底和价带顶在 k空间处于不同的 k值，为 间接带隙 半导体。
3,GaAs化合物半导体
GaAs具有闪锌矿结构金刚石结构 闪锌矿结构
E
GaAs
Eg
0·36eV
L Γ X
[100] [111]
导带有两个极小值：
一个在 k=0处，为球形等能面，
另一个在 [111]方向，为椭球等能面，能量比 k=0
处的高 0.36ev，
*
00,0 6 8emm?
* 1,2
eomm?
价带顶也在坐标原点,k=0，球形等能面，也有两个价带，存在重、轻空穴。
GaAs的导带的极小值点和价带的极大值点为于 K空间的同一点，这种半导体称为 直接带隙 半导体。
半导体中电子状态和能带
半导体中电子的运动和有效质量
半导体中载流子的产生及导电机构
半导体的能带结构
§ 1.1 半导体中电子的状态与能带的形成一,能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态主量子数 n:1,2,3,……
自旋量子数 ms,± 1/2
磁量子数 ml,0,± 1,± 2,… ± l
角量子数 l,0,1,2,… （ n－ 1）
能量最小原理不相容原理
2.晶体中的电子
（ 1）电子运动在晶体中，电子在整个晶体中作共有化运动。
电子由一个原子转移到相邻的原子去,因而,电子将可以在整个晶体中运动 。
( 2)能级分裂
a.s能级设有 A,B两个原子孤立时,波函数为 ψ A和 Ψ B,不重叠,
简并度 =状态 /能级数 =2/1=2
A,B 两原子相互靠近,
电子波函数应是 ψA和 ΨB
的线性叠加,
Ψ1 = ΨA + ψB → E1
Ψ2 = ΨA - ψB → E2
μ± óD N ·- 3ó ê± ￡1
相互靠近组成晶体后,它们的能级便分裂成 N个彼此靠得很近的能级,
简并消失 。 这 N个能级组成一个能带,称为允许带 。
相互中间隔的很远时,是 N度简并的,
b,p 能级（ l=1,m l =0,± 1 ）
组成晶体后,p 能级分裂成 3N 个级。 d?ü ￡? N ·- 3ó 3é 3é?§ ì? 1ó ￡? d?ü
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2￠ ￡o N · á￠?- 3ó?ú 3N?è?ò 2￠?￡
允带
{ 能带 原子级能
{ 禁带
{ 禁带原子轨道原子能级分裂为能带的示意图
d
p
s
s 能级：共有化运动弱，能级分裂晚，形成 能带窄； p,d 能级：共有化运动强，能级分裂早，形成的能带宽。
二、一维理想晶格的电子能带
2
2
( ) 0
d
dx
与晶格势场有关
N个原子有规则的沿 x轴方向排列。
孤立原子的势场是：
1、一维理想晶格的势场和电子能量 E（ｋ）
x
v
1
晶体的势能曲线
V ( x )
x
简化周期势场,
在 0 ＜ x ＜ a 区间,V =0
022
2
dx
d
vo
-b 0 a
022
2
dx
d )/)(2( 22?EVm oo
2
2 2
Em o
E为电子能量,mo 为电子质量其中：
在 - b < x < 0 区,V = V0
k
E
–2π/1 –л/1 0 π/1 2π/1
:
1
~
1
:
1
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1
,
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~
1
2
第一布里渊区,对应内壳层分裂的能级能量第二布里渊区,对应较高壳层的能级能量
2,一维理想晶格中的电子态
)
2
()(
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n
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2
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2
lll
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E（ k）
0 π/1 k
}允带
}允带
} 允带自由电子称第一布里渊区为简约布里渊区禁带允许带晶体中的电子能量并不是可以取任意值,有些能量是禁止的,而只是在某一范围才可以,
3.允许带和禁带电子刚好填满最后一个带电子填充允许带时,可能出现,
最后一个带仅仅是部分被电子占有
→ 导体,
→ 绝缘体和半导体
3s
2p
2s
1s
11#Na,它的电子在组态是,1s22s22p63s1
1.导体的能带三,导体、绝缘体和半导体的能带
Eg
电子能量
Ec
Ev
g C VE E E
能带图可简化成,
2.绝缘体和半导体的能带导带 导带 半满带禁带价带禁带价带 满带绝缘体、半导体和导体的能带示意图
μ ì? μü ′í?è ￡1 6 ~ 7 e v
°? μ? ì? μü ′í?è ￡1 1 ~ 3 e v
常温下：
Si,Eg=1.12ev
Ge,Eg=0.67ev
GaAs,Eg =1.43ev
§ 1-2 半导体中电子的运动有效质量从粒子性出发,它具有一定的质量 m0和运动速度 V。
对自由空间的电子,
一、自由空间的电子,
从波动性出发,电子的运动看成频率为 ν、
波矢为 K的平面波在波矢方向的传输过程。
德布罗意关系
1,能量 E ( k )
自由电子 E与 k 的关系
E
k0
0
2
2
2
)(
2
1
m
hk
vmE o
E hv?
P hk?
om
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dk
dE
dk
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m
p
V
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1
对 E(k)微分,得到,
2.V(k)
3.加速度 a
o
o
o
m
F
a
am
dt
Vmd
dt
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dk
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dk
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h
V
)(1
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k
,0 0,0 V
dk
dE
二、半导体中的电子晶体中作共有化运动的电子平均速度,
1.速度 V
以一维情况为例设 E(k)在 k=0处取得极值，在极值附近按泰勒级数 展开：
0
( ) (0 ) ( )
k
K
dE
E k E
dk
0
2
2
2
1
( ),..,..
2
k
dE
k
dk
得到能带极值附近电子的速度为
*
nm
hk
v?
1c os)( kEH?
)()( kEkE
(1)在整个布里渊区内,V~K不是线形关系
(2)正负 K态电子的运动速度大小相等,
符号相反,
)()(1
)(
)(1)( kV
dk
kdE
hkd
kdE
h
kV
(3)V(k)的大小与能带的宽窄有关内层,能带窄,E(k)的变化比较慢,V(k)小,
外层,能带宽,E(k)的变化比较陡,V(k)大,
2.加速度设 E(k)在 k=k0处取得极值
2
2
2
22
22
22
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) (
2
11
( ) ( ) ( ) ( )
22
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a
称 m*为电子的有效质量
F外 + F内 = m0a
F外 = m*a
2
2
dk
Ed
2
2
dk
Ed
三,m*的特点
1.决定于材料
2.与电子的运动方向有关
3.与能带的宽窄有关内层,带窄,小,m*大,
外层,带宽,大,m*小,
2
2
dk
Ed
2
2
dk
Ed
>0,m*>0。
<0,m*<0。
导带底价带顶
4.m*有正负之分当 E(k)曲线开口向上时,
当 E(k)曲线开口向下时,
电子的 m*>0;
电子的 m*<0;
dk
dV
h
dk
dE
hdk
d
h
dk
dE
dk
d
h
dk
Ed
h
m
1
2
2
2
2
*
5.对于带顶和带底的电子,有效质量恒定
§ 1-3半导体中载流子的产生及导电机构一、载流子的产生二、半导体的导电机构满带：电子数 =状态数不满带：
价带：电子数 >>空态数导带：电子数 <<空态数
1.满带 对电流无贡献
2.不满带 对电流有贡献不满带中的电子电流三、半导体中的空穴
1.空穴的波矢 kp和速度空穴的波矢 kP=-ke
( ) ( )peV k V k
2.空穴的能量
○
● Ec
Ev
E(ke)
设价带顶的能量 Ev=0
△ E
电子从价带顶 Ev→ ke，将释放出能量：
EkE e)(
空穴从价带顶 Ev→ ke，也就是电子从 ke态到价带顶，将获得能量：
EkE P)(
( ) ( )PeE k E k
3.空穴的有效质量和加速度电子的有效质量记为 me* 2*
2
2
e
h
m
dE
dk
电子能量空穴能量空穴的有效质量记为 mp*
**
Pemm
在价带顶：
* 0
Pm?
在价带顶附近空穴的有效质量为正的恒量。
加速度
*
Pm
Fa?
§ 1 - 4 半导体的能带结构一、半导体能带极值附近 E(k)的分布
1.K空间的等能面
(1) 极值点 k0为 (kx0,ky0,kz0).
能量 E在极值点 k0附近的展开
)
)()()(
(
2
)()( *
2
*
2
*
22
z
z
y
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x
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k
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其中：
0zzz
yoyy
xoxx
kkk
kkk
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移项后,
222
* * *
22 2
()( ) ( )
1
2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
y y ox x o z z o
x y z
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kkk k k k
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zz
b
yy
a
xx ooo
在长轴方向,m*大,E的变化缓慢,
在短轴方向,m*小,E的变化快,
(2)极值点 k0正好在某一坐标轴上能量 E在 K空间的分布为一旋转椭球曲面设 k0在 Z轴上,晶体为简立方晶体,
以 Z轴为旋转轴
***
zyx mmm
cba
(3) 极值点 k0在原点能量 E在波矢空间的分布为球形曲面二,Si.Ge.GaAs半导体的能带结构
1.元素半导体 Si
金刚石结构导带价带硅和锗的能带结构
2、锗的能带结构导带最低能值 [111]方向布里渊区边界存在有四个这种能量最小值
E(k)为以 [111]方向为旋转轴的椭圆等能面价带极大值 位于布里渊区的中心（ K=0）
存在极大值相重合的两个价带外面的能带曲率小，对应的有效质量大，称该能带中的空穴为重空穴 。
内能带的曲率大，对应的有效质量小，称此能带中的空穴为轻空穴。
锗,硅的导带分别存在四个和六个这种能量最小值,导带电子主要分布在这些极值附近,
通常称锗,硅的导带具有多能谷结构 。
硅和锗的导带底和价带顶在 k空间处于不同的 k值，为 间接带隙 半导体。
3,GaAs化合物半导体
GaAs具有闪锌矿结构金刚石结构 闪锌矿结构
E
GaAs
Eg
0·36eV
L Γ X
[100] [111]
导带有两个极小值：
一个在 k=0处，为球形等能面，
另一个在 [111]方向，为椭球等能面，能量比 k=0
处的高 0.36ev，
*
00,0 6 8emm?
* 1,2
eomm?
价带顶也在坐标原点,k=0，球形等能面，也有两个价带，存在重、轻空穴。
GaAs的导带的极小值点和价带的极大值点为于 K空间的同一点，这种半导体称为 直接带隙 半导体。
