第三章 热平衡态下半导体载流子的统计分布
● 热平衡
●热平衡时非简并半导体载流子浓度的计算
●本征半导体载流子浓度的计算
●杂质半导体载流子浓度的计算
●简并半导体载流子浓度的计算
§ 3 - 1 热平衡状态一、热平衡在一定的温度下，存在,
产 生载流子过程 — 电子从价带或杂质能级向 导带跃迁复合过程 — 电子从导带回到价带或杂质能级上
Ec
Ev
产生 复合产生 数 == 复合数
ED
在一定的温度下,
→热平衡状态
○
●
○
●
二、热平衡时载流子浓度载流子浓度决定于,
●允许电子存在的量子态是如何按能量分布的，或者说每一个能量 E 有多少允许电子存在的量子态？
●电子是按什么规律分布在这些能量状态的？
§ 3 - 2 热平衡态时电子在量子态上的 分布几率一、费米分布函数和费米能级
1,在导带和价带费米分布函数 — 电子占据能量 E 的几率
1
1
)(
kT
EE F
e
Ef
式中 E F 具有能量量纲，称为费米能级。
没有被电子占有的几率为,
1
1
)(1
kT
EE F
e
Ef
2,在杂质能级 E A 和 E D
电子占据 E D 的几率,
1
2
1
1
)(
kT
EED FD
e
Ef
空穴占据 E A 的几率,
1
2
1
1
)(
kT
EEAp FA
e
Ef
二、玻尔兹曼分布
1,电子的玻氏分布当 E － E F ＞＞ kT 时,
kT
EE F
e
＞＞ 1
1
1
)(
kT
EE F
e
Ef
≈
)( EfAee BkT
E
kT
EE F
— 玻尔兹曼分布
2,空穴的玻氏分布
1
1
)(1
kT
EE F
e
Ef
1
1
kT
EE F
e
当 E F － E ＞＞ kT 时,
1 ( )
FEE E
k T k Tf E e B e
否则称为简并半导体 。
满足,
E?ü ￡¨ óDêó ￡? E F?ü ￡¨
óDêμ ￡′ μ? ×ó ì? 3￡
FE E k T
E k T
F或 E
称为非简并半导体
§ 3.3 状态密度
状态密度
能带中能量 E+dE之间有 dZ个量子态，则状态密度为：
() dZgE dE=
即状态密度是能带中能量 E附近单位能量间隔内的量子态数目
x x+L
一、理想晶体的 k空间的状态密度
1.一维晶体设它由 N个原子组成，晶格常数为 a，晶体的长为 L，起点在 x处
a
L=a× N
在 x和 x+L处，电子的波函数分别为 φ(x)和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
· · · · · k
-2/L -1/ L 0 1/L 2/L
2,三维晶体设晶体的边长为 L,L=N× a，
体积为 V=L3
VLLL
1111
K空间中的状态分布
kx
yk
kz
ky
小立方的体积为：
一个允许电子存在的状态在 k空间所占的体积
V
V
1
1
单位 k 空间允许的状态数为：
单位 k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积 V
— k 空间的量子态（状态）密度考虑自旋后,k空间的电子态密度为,2V
任意 k空间体积 V 中所包含的电子态数为：V VV2
)(
2
)( 222*
2
zyx
n
kkk
m
h
EckE
二、半导体导带底附近和价带顶附近的状态密度
1,极值点 k0=0,E(k)为球形等能面
(1) 导带底
2/12/32
*
)()
2
(4)( EckE
h
m
V
dE
dZ
Eg nc
dEEckE
h
m
VEdZ n 2/12/32
*
)()
2
(4)(
导带底附近单位能量间隔的电子态数 —
量子态（状态）密度为：
2/12/32
*
)()
2
(4)( kEEv
h
m
VEg pV
状态密度与能量的关系
(2)价带顶
E
Ec
1
Ev
2
gc(E)
gv(E)
*
2
*
2
*
22
2
)(
z
zoz
y
yoy
x
xox
m
kk
m
kk
m
kkh
EckE
2/13
2/1***2/3
)()(24)( EckE
h
mmmVS
dE
dZEg zyx
c
2,极值点 ko≠0
导带底附近的状态密度为：
式中 S为导带极小值的个数
Si,S=6,Ge,S=4
导带底附近：
§ 3.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度 no和 po
一、导带电子浓度 no和价带空穴浓度 po
1.电子浓度 no
kT
EEc
dn
o
F
e
h
k T m
VNn
2/3
2
2
2/
2/3
2
2
2?
h
k T m
Nc dn
kT
EEc
co
F
eNn
令：
—— 导带有效状态密度
2/3
2
2
2
h
k T m
N dpV
kT
EE
Vo
vF
eNp
2,空穴浓度 po
价带中的空穴浓度为：
其中
—— 价带的有效状态密度二、载流子浓度积浓度积 nopo及影响因素
kT
E
Vc
kT
EE
kT
EEc
Vco
gvFF
eNNeeNNpn
0
oo pn?
§ 3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度一、本征半导体的费米能级
dn
dp
C
V
iF m
m
kT
N
NkTEE ln
4
3ln
2
kT
E
dpdn
kT
E
dpdn
kT
E
VCi
kT
E
VCi
oo
kT
E
Vco
g
g
g
g
g
eTmm
emm
h
kT
eNNn
eNNn
pn
eNNpn
22/34/3
2
4/3
2/3
2
2
2/1
2
0
)(
2
2
二、本征载流子浓度及影响因素
1.本征载流子浓度 ni
Tk
E
TAn gi
1
2
ln
2
3
ln
2,影响 ni的因素
(1) mdn,mdp,Eg —— 材料
(2)T 的影响
T↑,lnT↑,1/T↓,ni↑
高温时，在 ln ni～ 1/T 坐标下，近似为一直线。
1/T
lnni
-Eg/(2k)
1
2
1
1
)(
kT
EED FD
e
Ef
1
2
1
1
)(
kT
EEAp FA
e
Ef
电子占据 ED的几率,
空穴占据 EA的几率,
§ 3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴浓度
1
2
1
)(
kT
EE
D
DDD
FD
e
N
EfNn
12?
kT
EE
D
DDD FD
e
N
nNn
若施主浓度和受主浓度分别为 ND,NA，
施主能级上的电子浓度 nD为：
— 未电离的施主浓度电离的施主浓度 nD+为：
1
2
1
)(
kT
EE
A
ApAA FA
e
N
EfNp
kT
EE
A
AAA AF
e
N
pNp?
21
没有电离的受主浓度 pA为：
电离的受主浓度 pA-为：
二、杂质半导体载流子浓度和费米能级带电粒子有：
电子、空穴、电离的施主和电离的受主电中性条件：
no + pA- = po + nD+
1,低温弱电离区温度很低,kT＜△ ED＜＜ Eg，
本征激发很小
2/3
2
22
h
k T mNc dn?
1 / 2
1 / 2 2
()
()
2
D
o D C
E
DC kT
n N N
NN
e
kT
E D
eT 24/3C
● no,EF
∵ 温度很低,很小
C
DDC
C
o
CF
N
NkTEE
N
n
kTEE
2
ln
22
ln
● n0 ～ T 的关系
kT
E D
eTn 24/30 C
1/T
lnni
-Eg/(2k)
-△ ED/(2k)
C
DDC
F N
NkTEEE
2
ln
22
ln
2
ln
2 2 2
3
ln
2 2 2
D
CFD
C
D
C
N
d
Nd E Nk k T
d T N d T
Nk
N
● EF ～ T 的关系
Do Nn?
i
D
iF n
N
kTEE ln
ND>ni
ND↑,EF↑
∴ EF＞ Ei
T↑,ni↑,EF↓
2,饱和电离区
2
4
2
2/122
iDD
o
nNNn
2
4
2
2/122
iDD
o
nNN
p
1 / 222
4
ln
2
D D i
Fi
i
N N n
E E k T
n
3,过渡区
4,本征激发区
1 / 2 2()
gE
kT
o o i C Vn p n N N e
-
= = =
FiEE?
ND
0
ni
T
n
5,P型半导体的载流子浓度和费米能级
(1) 低温弱电离区
kT
E
VA
o
A
eNNp 22/1)
2
(
V
AAV
F N
NkTEEE
2
ln
22
(4)本征激发区
T↑,EF↑
(3) 过渡区
V
A
VF N
NkTEE ln
po=NA,no=ni2/NA
(2) 饱和电离区
§ 3.7 简并半导体一、简并半导体的载流子浓度
1.EF位于导带中
)(
2
2/1?
FNn co?
[ ]1 / 23 / 22
21
4 ( ) ( )
1
C
F
C
E
dn
o EE
kTE
m
n E k E c d E
h
e
p
￠
-=-
+
ò
其中：
0
2/1
2/1
1
)( dx
e
x
F
kT
EE
x
CF
费米积分
o
x
J
J dxe
xF
1
)(
（ J为整数和半整数）
2,EF位于价带中
)(2 2/1
kT
EEFNp FV
Vo
二、简并条件非简并：
kT
EEc
co
F
eNn
eNeN CkT
EE
c
CF
简并：
)(2 2/1?
FNn co?
0·1-4 -2 0 2 4 6 8
0.2
0·5
2
5
10
20
费米经典
no
()FcEEkT?
1
EF－ EC＜－ 2kT，非简并
－ 2kT≤EF－ EC＜ 0，弱简并
EF－ EC≥0，简并
N型半导体的简并条件,EF－ EC≥0
P型半导体的简并条件,Ev－ EF≥0
no=nD+
∵ 简并时,EF=EC,∴ ED＜ EF，
三、简并时的施主浓度
1 / 2
2
()
12
DF
D
C EE
kT
N
NF
e
1 / 2
1 / 2
1 / 2
2
( 1 2 ) ( )
2
( 1 2 ) ( )
2
( 1 2 ) ( )
FD
F C C D
D
EE
kT
DC
E E E E
k T k T
C
E
kT
C
N N e F
N e e F
N e e F
当,EF=EC,ξ=0,F1/2 (0)≈0.689
0,78 ( 1 2 )
DE
kT
DCN N e
ND ~ NC 至少处于同一数量级；
P型简并半导体,NA ~NV
简并半导体为重掺杂半导体
ND≥2.34NC
四、简并半导体中的杂质能级非简并时，
2/1)()(
CC EEEg
2/1)()( EEEg
VV
导带
Eg
施主能级价带施主能带本征导带简并导带能带边沿尾部Eg E′g
价带
)(Eg )(Eg
简并,△ ED→0,Eg→Eg＇
● 热平衡
●热平衡时非简并半导体载流子浓度的计算
●本征半导体载流子浓度的计算
●杂质半导体载流子浓度的计算
●简并半导体载流子浓度的计算
§ 3 - 1 热平衡状态一、热平衡在一定的温度下，存在,
产 生载流子过程 — 电子从价带或杂质能级向 导带跃迁复合过程 — 电子从导带回到价带或杂质能级上
Ec
Ev
产生 复合产生 数 == 复合数
ED
在一定的温度下,
→热平衡状态
○
●
○
●
二、热平衡时载流子浓度载流子浓度决定于,
●允许电子存在的量子态是如何按能量分布的，或者说每一个能量 E 有多少允许电子存在的量子态？
●电子是按什么规律分布在这些能量状态的？
§ 3 - 2 热平衡态时电子在量子态上的 分布几率一、费米分布函数和费米能级
1,在导带和价带费米分布函数 — 电子占据能量 E 的几率
1
1
)(
kT
EE F
e
Ef
式中 E F 具有能量量纲，称为费米能级。
没有被电子占有的几率为,
1
1
)(1
kT
EE F
e
Ef
2,在杂质能级 E A 和 E D
电子占据 E D 的几率,
1
2
1
1
)(
kT
EED FD
e
Ef
空穴占据 E A 的几率,
1
2
1
1
)(
kT
EEAp FA
e
Ef
二、玻尔兹曼分布
1,电子的玻氏分布当 E － E F ＞＞ kT 时,
kT
EE F
e
＞＞ 1
1
1
)(
kT
EE F
e
Ef
≈
)( EfAee BkT
E
kT
EE F
— 玻尔兹曼分布
2,空穴的玻氏分布
1
1
)(1
kT
EE F
e
Ef
1
1
kT
EE F
e
当 E F － E ＞＞ kT 时,
1 ( )
FEE E
k T k Tf E e B e
否则称为简并半导体 。
满足,
E?ü ￡¨ óDêó ￡? E F?ü ￡¨
óDêμ ￡′ μ? ×ó ì? 3￡
FE E k T
E k T
F或 E
称为非简并半导体
§ 3.3 状态密度
状态密度
能带中能量 E+dE之间有 dZ个量子态，则状态密度为：
() dZgE dE=
即状态密度是能带中能量 E附近单位能量间隔内的量子态数目
x x+L
一、理想晶体的 k空间的状态密度
1.一维晶体设它由 N个原子组成，晶格常数为 a，晶体的长为 L，起点在 x处
a
L=a× N
在 x和 x+L处，电子的波函数分别为 φ(x)和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
· · · · · k
-2/L -1/ L 0 1/L 2/L
2,三维晶体设晶体的边长为 L,L=N× a，
体积为 V=L3
VLLL
1111
K空间中的状态分布
kx
yk
kz
ky
小立方的体积为：
一个允许电子存在的状态在 k空间所占的体积
V
V
1
1
单位 k 空间允许的状态数为：
单位 k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积 V
— k 空间的量子态（状态）密度考虑自旋后,k空间的电子态密度为,2V
任意 k空间体积 V 中所包含的电子态数为：V VV2
)(
2
)( 222*
2
zyx
n
kkk
m
h
EckE
二、半导体导带底附近和价带顶附近的状态密度
1,极值点 k0=0,E(k)为球形等能面
(1) 导带底
2/12/32
*
)()
2
(4)( EckE
h
m
V
dE
dZ
Eg nc
dEEckE
h
m
VEdZ n 2/12/32
*
)()
2
(4)(
导带底附近单位能量间隔的电子态数 —
量子态（状态）密度为：
2/12/32
*
)()
2
(4)( kEEv
h
m
VEg pV
状态密度与能量的关系
(2)价带顶
E
Ec
1
Ev
2
gc(E)
gv(E)
*
2
*
2
*
22
2
)(
z
zoz
y
yoy
x
xox
m
kk
m
kk
m
kkh
EckE
2/13
2/1***2/3
)()(24)( EckE
h
mmmVS
dE
dZEg zyx
c
2,极值点 ko≠0
导带底附近的状态密度为：
式中 S为导带极小值的个数
Si,S=6,Ge,S=4
导带底附近：
§ 3.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度 no和 po
一、导带电子浓度 no和价带空穴浓度 po
1.电子浓度 no
kT
EEc
dn
o
F
e
h
k T m
VNn
2/3
2
2
2/
2/3
2
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h
k T m
Nc dn
kT
EEc
co
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令：
—— 导带有效状态密度
2/3
2
2
2
h
k T m
N dpV
kT
EE
Vo
vF
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2,空穴浓度 po
价带中的空穴浓度为：
其中
—— 价带的有效状态密度二、载流子浓度积浓度积 nopo及影响因素
kT
E
Vc
kT
EE
kT
EEc
Vco
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0
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§ 3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度一、本征半导体的费米能级
dn
dp
C
V
iF m
m
kT
N
NkTEE ln
4
3ln
2
kT
E
dpdn
kT
E
dpdn
kT
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22/34/3
2
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2/3
2
2
2/1
2
0
)(
2
2
二、本征载流子浓度及影响因素
1.本征载流子浓度 ni
Tk
E
TAn gi
1
2
ln
2
3
ln
2,影响 ni的因素
(1) mdn,mdp,Eg —— 材料
(2)T 的影响
T↑,lnT↑,1/T↓,ni↑
高温时，在 ln ni～ 1/T 坐标下，近似为一直线。
1/T
lnni
-Eg/(2k)
1
2
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)(
kT
EED FD
e
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1
2
1
1
)(
kT
EEAp FA
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电子占据 ED的几率,
空穴占据 EA的几率,
§ 3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴浓度
1
2
1
)(
kT
EE
D
DDD
FD
e
N
EfNn
12?
kT
EE
D
DDD FD
e
N
nNn
若施主浓度和受主浓度分别为 ND,NA，
施主能级上的电子浓度 nD为：
— 未电离的施主浓度电离的施主浓度 nD+为：
1
2
1
)(
kT
EE
A
ApAA FA
e
N
EfNp
kT
EE
A
AAA AF
e
N
pNp?
21
没有电离的受主浓度 pA为：
电离的受主浓度 pA-为：
二、杂质半导体载流子浓度和费米能级带电粒子有：
电子、空穴、电离的施主和电离的受主电中性条件：
no + pA- = po + nD+
1,低温弱电离区温度很低,kT＜△ ED＜＜ Eg，
本征激发很小
2/3
2
22
h
k T mNc dn?
1 / 2
1 / 2 2
()
()
2
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n N N
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● no,EF
∵ 温度很低,很小
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N
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2
ln
22
ln
● n0 ～ T 的关系
kT
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1/T
lnni
-Eg/(2k)
-△ ED/(2k)
C
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F N
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2
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ln
2
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● EF ～ T 的关系
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ND>ni
ND↑,EF↑
∴ EF＞ Ei
T↑,ni↑,EF↓
2,饱和电离区
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2/122
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1 / 222
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ln
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3,过渡区
4,本征激发区
1 / 2 2()
gE
kT
o o i C Vn p n N N e
-
= = =
FiEE?
ND
0
ni
T
n
5,P型半导体的载流子浓度和费米能级
(1) 低温弱电离区
kT
E
VA
o
A
eNNp 22/1)
2
(
V
AAV
F N
NkTEEE
2
ln
22
(4)本征激发区
T↑,EF↑
(3) 过渡区
V
A
VF N
NkTEE ln
po=NA,no=ni2/NA
(2) 饱和电离区
§ 3.7 简并半导体一、简并半导体的载流子浓度
1.EF位于导带中
)(
2
2/1?
FNn co?
[ ]1 / 23 / 22
21
4 ( ) ( )
1
C
F
C
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其中：
0
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1
)( dx
e
x
F
kT
EE
x
CF
费米积分
o
x
J
J dxe
xF
1
)(
（ J为整数和半整数）
2,EF位于价带中
)(2 2/1
kT
EEFNp FV
Vo
二、简并条件非简并：
kT
EEc
co
F
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EE
c
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简并：
)(2 2/1?
FNn co?
0·1-4 -2 0 2 4 6 8
0.2
0·5
2
5
10
20
费米经典
no
()FcEEkT?
1
EF－ EC＜－ 2kT，非简并
－ 2kT≤EF－ EC＜ 0，弱简并
EF－ EC≥0，简并
N型半导体的简并条件,EF－ EC≥0
P型半导体的简并条件,Ev－ EF≥0
no=nD+
∵ 简并时,EF=EC,∴ ED＜ EF，
三、简并时的施主浓度
1 / 2
2
()
12
DF
D
C EE
kT
N
NF
e
1 / 2
1 / 2
1 / 2
2
( 1 2 ) ( )
2
( 1 2 ) ( )
2
( 1 2 ) ( )
FD
F C C D
D
EE
kT
DC
E E E E
k T k T
C
E
kT
C
N N e F
N e e F
N e e F
当,EF=EC,ξ=0,F1/2 (0)≈0.689
0,78 ( 1 2 )
DE
kT
DCN N e
ND ~ NC 至少处于同一数量级；
P型简并半导体,NA ~NV
简并半导体为重掺杂半导体
ND≥2.34NC
四、简并半导体中的杂质能级非简并时，
2/1)()(
CC EEEg
2/1)()( EEEg
VV
导带
Eg
施主能级价带施主能带本征导带简并导带能带边沿尾部Eg E′g
价带
)(Eg )(Eg
简并,△ ED→0,Eg→Eg＇
