1
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
2
本学期教学内容及特点
物理概念、物理思想深化
更加贴近物理前沿和高新科技
对自学能力的要求提高实物与场的共同运动形式和性质单粒子 —— 多粒子体系量子现象与量子规律实物运动规律基本粒子相互作用和场振动与波动多粒子体系的热运动上册 下册
3
第四篇 振动和波动
振动,任何物理量 (力学量、电学量、热学量 … )
在某一定值附近随时间周期性变化
波动,振动在空间的传播 (振动的集体效应 )
共同特征,运动在时间、空间上的周期性第 13章 振 动模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的模型往往是最有用的。这就是为什么数学在物理学中是那么有用的工具。它是抽象化的终极。
------柯尔,物理学与头脑相遇的地方,
4
结构框图简谐振动摆动 *混沌振动的合成
*频谱分析
*电磁振荡
*阻尼振动
*受迫振动
*共振重点简谐振动 （ 运动方程、特征量、能量、振动的合成 ）
其基本概念和方法可迁移到相关的领域
（自学内容：阻尼振动，受迫振动，共振；电磁振荡）
窗口,从单摆到混沌 学时,6
5
§ 13.1 简谐振动一,运动方程轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型,弹簧振子集中弹性 集中惯性回复力 和物体惯性交互作用形成谐振动
F=-kx (平衡位置为坐标原点）
6
扩展,不仅适用于弹簧系统kxF
自学下册 P 373 [例 1]
回复力：重力与浮力的合力
glk
kxF
水?
2?
F?
gm?
o
x
l
立方体
F = - k x准弹性力系统本身决定的常数离系统平衡位置的位移
7
2
2
d
d
t
xmF
xkF
0dd 2
2
xmkt x
2,运动方程令 2
m
k 得线性微分方程,02
2
2
xt x?dd *
若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
(I,U,Q,E,B,T...)
求解 *得运动方程的积分形式,)c o s ( 0 tAx
积分常数简谐振动的特征量:,,0 A
振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化
8
3.
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化由 )c o s ( 0 tAx 得
)t(At xa 022
2
c o sdd
)t(Atxv 0s i ndd
o
t
T
xa
2T
v
43T4T
1
00
9
一般情况,)c o s (
0 tAx
t
T
x,v,a
思考,由状态参量
t
xvx
d
d,?
曲线族称为 相图,画出简谐振动的相图并理解其意义。
为坐标变量作出的函数
1
22
2
2
2
2
d
d
d
d
cx
t
x
tx
t
x
积分：对
1
)(
2
1
2
1
2
d
d
C
t
x x
c
为椭圆曲线
10
相图为闭合曲线,显示出简谐振动的周期性，循环往复。
o x
txdd
振动曲线（ x－ t） 相图（ v－ x） 振动过程
0－ T/4
T/4 － T/2
T/2 － 3 T/4
3T/4 － T
第 4象限,x>0,v<0
第 3象限,x<0,v<0
第 1象限,x>0,v>0
第 2象限,x<0,v>0
正方向最大位移－平衡位置平衡位置－负方向最大位移负方向最大位移－平衡位置平衡位置－正方向最大位移思考,与振动过程和振动曲线如何对应？
o t
x
T/2
T
tgdd txv
11
角频率 描述谐振运动的快慢?
二、特征量是由系统本身决定的常数，与初始条件无关 （ 固有角频率）
1,角频率 mk
由谐振动周期性特征看? 的物理意义,
2)(
)co s (])(co s [
)()(
00
00
tTt
tATtA
txTtx
2?T
2
1
T
周期频率
12
2.振幅,A ||
m a xxA?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0?
vxA
2
2
2
vx
由
)s i n (
)c os (
0
0
tAv
tAx
在 t = 0 时刻的值
00
00
s i n
c os
Av
Ax
即初始条件
13
(1) 与状态参量)(
0t
x,v有一一对应的关系
)s i n ();c o s ( 00 tAvtAx
方向运动向处以速率质点在 xvAx 2
,2AxAv
2
3
例：
当
30
t 时：
当
350t 时：,2AxAv 2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx 2
00,.3 初相相位?t
相位是描述振动状态的物理量
14
(3) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
)s i n ();c o s ( 00 tAvtAx
初相：
0? 描述 t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s i n
c os
Av
Ax
)(
0
0
0 x
v
ar c t g
或
A
v
A
x
0
0
0
0
s in
co s
000 s i nc o s 的符号决定大小和由
(2)?2每变化 的整数倍,x,v重复原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。
)( 0t
15
[例 1] 教材 P410 13-8
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞求,T,A,
0?
m
h
m
k
解,振动系统为（ 2 m,k)
,2 mk kmT 22
确定初始条件：
以物块和平板共同运动时刻为 t=0
以平衡位置为坐标原点,向下为正。
0
0
22
0
mvghm
k
mgx
020 ghv
有：
m
h
m
k
0?t
0v?0x
x
o
16
mgkhxv a r c t ga r c t g )(
0
0
0
mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmvxA 1
2
22
2
2
02
0?
得：
0? 为三象限角又：
0s i n
0co s
00
0
0
Av
A
x
0s in 0
m
h
m
k
0?t
0v?0x
x
o
17
A
x
0x
t0t
[例 2] 由振动曲线决定初相
（ 2）与初相为零的余弦函数比较
000 2 tTt
A
x 0
0 a r cc o s
为四象限角
（ 1）
0s in 0
0s i n
0co s
00
0
0
Av
A
x
0v?
18
练习,教材 P383 13.1.3
0t
4T
4
4
72
8
72
0
0
0
或：
T
t
TTTt 8741850
其中：
(2) (4)
0v?
t
0,2 00 vAx
0s i n
021co s
00
0
0
Av
A
x
0sin 0 30
(1)?
4
5? 或?43? （ 2）?
4
7? 或
（ 3）
3
3
（ 4）
答案：
4
19
三,旋转矢量法思考,写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周匀速运动的参数方程
)t(Ax 0c o s
)t(Ay 0s i n
x
y
o
m
A
0?
t?
0?t
x
y
x,y 方向分运动均为简谐振动建立旋转矢量 与谐振动的对应关系
A? x
y
o
0t
20
旋转矢量 与谐振动的对应关系A?
简谐振动振幅角频率初相振动周期相位位移加速度速度
)c o s ( 0 tAx
)t(Aa 02 co s
)t(Av 0 s i n
0?
0t
21
旋转矢量法优点：
直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相便于振动合成由 x.v 的符号确定 所在 的象限A?
23?
0
2
00vx
00vx00vx
00vx
A?
小结,简谐振动的三种描述运动方程和振动曲线（正、余弦函数）
相图（椭圆曲线）
旋转矢量周期性特征
22
练习 教材 P410 13-6
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间已知,A=24cm,T=3s,t=0时：,00?vcm,12
0?x
0A
A?
解,作 t = 0 时刻的旋转矢量作 x = -12cm 处的旋转矢量
)(x cm24o 12-12
0A
A?
s5.061m i n Tt
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
2
本学期教学内容及特点
物理概念、物理思想深化
更加贴近物理前沿和高新科技
对自学能力的要求提高实物与场的共同运动形式和性质单粒子 —— 多粒子体系量子现象与量子规律实物运动规律基本粒子相互作用和场振动与波动多粒子体系的热运动上册 下册
3
第四篇 振动和波动
振动,任何物理量 (力学量、电学量、热学量 … )
在某一定值附近随时间周期性变化
波动,振动在空间的传播 (振动的集体效应 )
共同特征,运动在时间、空间上的周期性第 13章 振 动模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的模型往往是最有用的。这就是为什么数学在物理学中是那么有用的工具。它是抽象化的终极。
------柯尔,物理学与头脑相遇的地方,
4
结构框图简谐振动摆动 *混沌振动的合成
*频谱分析
*电磁振荡
*阻尼振动
*受迫振动
*共振重点简谐振动 （ 运动方程、特征量、能量、振动的合成 ）
其基本概念和方法可迁移到相关的领域
（自学内容：阻尼振动，受迫振动，共振；电磁振荡）
窗口,从单摆到混沌 学时,6
5
§ 13.1 简谐振动一,运动方程轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型,弹簧振子集中弹性 集中惯性回复力 和物体惯性交互作用形成谐振动
F=-kx (平衡位置为坐标原点）
6
扩展,不仅适用于弹簧系统kxF
自学下册 P 373 [例 1]
回复力：重力与浮力的合力
glk
kxF
水?
2?
F?
gm?
o
x
l
立方体
F = - k x准弹性力系统本身决定的常数离系统平衡位置的位移
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2
2
d
d
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0dd 2
2
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2,运动方程令 2
m
k 得线性微分方程,02
2
2
xt x?dd *
若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
(I,U,Q,E,B,T...)
求解 *得运动方程的积分形式,)c o s ( 0 tAx
积分常数简谐振动的特征量:,,0 A
振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化
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3.
2
2
d
d,
d
d,
t
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xx 均随时间周期性变化由 )c o s ( 0 tAx 得
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1
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一般情况,)c o s (
0 tAx
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思考,由状态参量
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曲线族称为 相图,画出简谐振动的相图并理解其意义。
为坐标变量作出的函数
1
22
2
2
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积分：对
1
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C
t
x x
c
为椭圆曲线
10
相图为闭合曲线,显示出简谐振动的周期性，循环往复。
o x
txdd
振动曲线（ x－ t） 相图（ v－ x） 振动过程
0－ T/4
T/4 － T/2
T/2 － 3 T/4
3T/4 － T
第 4象限,x>0,v<0
第 3象限,x<0,v<0
第 1象限,x>0,v>0
第 2象限,x<0,v>0
正方向最大位移－平衡位置平衡位置－负方向最大位移负方向最大位移－平衡位置平衡位置－正方向最大位移思考,与振动过程和振动曲线如何对应？
o t
x
T/2
T
tgdd txv
11
角频率 描述谐振运动的快慢?
二、特征量是由系统本身决定的常数，与初始条件无关 （ 固有角频率）
1,角频率 mk
由谐振动周期性特征看? 的物理意义,
2)(
)co s (])(co s [
)()(
00
00
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tATtA
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2
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周期频率
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2.振幅,A ||
m a xxA?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
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2
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在 t = 0 时刻的值
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即初始条件
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(1) 与状态参量)(
0t
x,v有一一对应的关系
)s i n ();c o s ( 00 tAvtAx
方向运动向处以速率质点在 xvAx 2
,2AxAv
2
3
例：
当
30
t 时：
当
350t 时：,2AxAv 2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx 2
00,.3 初相相位?t
相位是描述振动状态的物理量
14
(3) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
)s i n ();c o s ( 00 tAvtAx
初相：
0? 描述 t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s i n
c os
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或
A
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000 s i nc o s 的符号决定大小和由
(2)?2每变化 的整数倍,x,v重复原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。
)( 0t
15
[例 1] 教材 P410 13-8
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞求,T,A,
0?
m
h
m
k
解,振动系统为（ 2 m,k)
,2 mk kmT 22
确定初始条件：
以物块和平板共同运动时刻为 t=0
以平衡位置为坐标原点,向下为正。
0
0
22
0
mvghm
k
mgx
020 ghv
有：
m
h
m
k
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x
o
16
mgkhxv a r c t ga r c t g )(
0
0
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mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmvxA 1
2
22
2
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02
0?
得：
0? 为三象限角又：
0s i n
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m
h
m
k
0?t
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x
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A
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[例 2] 由振动曲线决定初相
（ 2）与初相为零的余弦函数比较
000 2 tTt
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为四象限角
（ 1）
0s in 0
0s i n
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练习,教材 P383 13.1.3
0t
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4
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0
0
或：
T
t
TTTt 8741850
其中：
(2) (4)
0v?
t
0,2 00 vAx
0s i n
021co s
00
0
0
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x
0sin 0 30
(1)?
4
5? 或?43? （ 2）?
4
7? 或
（ 3）
3
3
（ 4）
答案：
4
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三,旋转矢量法思考,写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周匀速运动的参数方程
)t(Ax 0c o s
)t(Ay 0s i n
x
y
o
m
A
0?
t?
0?t
x
y
x,y 方向分运动均为简谐振动建立旋转矢量 与谐振动的对应关系
A? x
y
o
0t
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旋转矢量 与谐振动的对应关系A?
简谐振动振幅角频率初相振动周期相位位移加速度速度
)c o s ( 0 tAx
)t(Aa 02 co s
)t(Av 0 s i n
0?
0t
21
旋转矢量法优点：
直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相便于振动合成由 x.v 的符号确定 所在 的象限A?
23?
0
2
00vx
00vx00vx
00vx
A?
小结,简谐振动的三种描述运动方程和振动曲线（正、余弦函数）
相图（椭圆曲线）
旋转矢量周期性特征
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练习 教材 P410 13-6
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间已知,A=24cm,T=3s,t=0时：,00?vcm,12
0?x
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解,作 t = 0 时刻的旋转矢量作 x = -12cm 处的旋转矢量
)(x cm24o 12-12
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s5.061m i n Tt
