?
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
§ 13.1 简谐振动（续）
二,特征量三,旋转矢量法一,简谐振动运动方程（以平衡位置为坐标原点）
四,孤立 谐振动系统的能量不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
)s i n (
)c os (
0
0
tAv
tAx
以平衡位置为坐标原点
水平放置的弹簧振子 k
o
x
恒量 221 kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
)t(kA)t(mAmvE 02202222k s i n21s i n2121
mk?2?
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点
k
o
x
)(co s
2
1
2
1
0
22
2
p
tkA
kxE
E-t曲线 E- x 曲线倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
Ep
Ek
E
AA x
)t(kAE 022k s i n21
x
t
t
T
T/2
E E E
p
Ek
T? T?2
)t(kAE
)t(Ax
0
22
p
0
c os
2
1
c os
竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点
)()(21 020 xxmgxxkEp
)()(21 0020 xxkxxxk
2
0
2
2
1
2
1 kxkx
2
0
22
2
1)
2
1
2
1( kxmvkxEEE
KP
恒量 202 2121 kxkA
k
m
O
x
k
x0EP=0
mg=kx0
x
k
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？ 以平衡位置为坐标原点和势能零点
2
0
2
0p 2
1)(
2
1 kxm g xxxkE
2
00
2
0 2
1)(
2
1 kxxkxxxk
2
2
1 kx?
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE
k
m
O
x
k
x0
EP=0
mg=kx0
x
k
弹簧的弹力
kxF
弹簧的伸长准弹性力：弹力与重力的合力
kxF
离系统平衡位置的位移
22kx 弹性势能 22kx
重力势能和弹性势能的总和准弹性势能，
比较 竖直悬挂的弹簧振子水平放置的弹簧振子回复力势能总能
222 212121 kAkxmv
统一描述,只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
2
1 kxE
p?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能） 221 kAE?
振动系统总能量
能量法求谐振动的振幅机械能守恒：
自学 教材 P381 [例 6]
222
2
1
2
1
2
1 kAkxmv
能量法求谐振动的周期机械能守恒：
教材 P381 [例 7]
222
2
1
2
1
2
1 kAkxmv
两边对时间求导：
2dd 22
2
Txt xa
例,能量法求谐振动的周期 （教材 P381 [例 7]）
m
x
已知：
求,T m,J,R,k
解,以平衡位置为坐标原点和零势点，向下为正，任意时刻 t 系统的机械能为：
2
222
k 2
1
2
1
2
1
2
1?
R
vJmvJmvE?
ckxEkxE 2p2p 2121 滑轮恒量 ckxRvJmvEEE 2
2
2
pk 2
1
2
1
2
1
振动系统机械能守恒：
两边对时间求导：
02 kxvRJ v am v a
xRJm kxt xa 222
2
d
d
k
RJm
T
RJm
k 2
2 2
2;
得：
§ 13.1小结：
二,特征量角频率 mk
振幅
2
2
02
0?
vxA
)(
0
0
0 x
v
ar c tg初相一,简谐振动的运动方程 (平衡位置为坐标原点）
)co s ( 0 tAx02
2
2
xt x?dd
kxF
三,旋转矢量法四,能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE
§ 13.2 振动的合成 频谱分析一、关于叠加原理的一般概念物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性微分方程,
)(1
1
1 xypx
yp
x
y
nn
n
n
n
d
d
d
d
例如,
2
2
t
rmF
d
d
2
2
2
2
2
2
t
z
mF
t
y
mF
t
x
mF
z
y
x
d
d
d
d
d
d
022
2
xt x?dd
简谐振动遵从叠加原理,其合成分解工具：
合成,矢量合成的平行四边形法则分解,傅立叶级数展开特点,是方程的解（若 )(),21 txtx
也是方程的解则 )()( 2211 txctxcx
注意：
自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象：
强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。
二、同一直线上谐振动的合成
1,同频率 )t(Ax 111 c o s
)t(Ax 222 c o s
1A?
2A?
1x2x
1?
2? x
o
21 AAA
x
A?
)t(A
xxx
c o s
21
平行四边形整体旋转，其对角线为简谐振动的旋转矢量，合振动仍为该直线上同一频率的谐振动。
)c os (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c osc os
s i ns i nar c t g
AA
AA
讨论,合振动的强弱与两分振动相位差的关系
)(AAAAA 12212221 c os2
12
k2
)12(?k
21m a x AAA
21m in AAA
)2,1,0(k
xO
1A
2A?
21 AAA
xO 1A?
2A?
21 AAA
特例：
0min?A
封闭多边形：
1A?
2A?
nA? A?
nAAAA 21m a x
直线：
A?
1A? 2A? nA?
nAAAA
21
1A?
2A?
nA?
A?
多个同一直线上,同频率谐振动的合成
—— 多边形法则按多边形法则叠加
naaaA
21
构成正多边形一部分
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
例,教材 P395 [例 1]
同一直线上 n 个同频率谐振动，其振幅相等而初相依次相差一个恒量，求合振动。
2s i n2
nRA?
2s i n
2s i n
1?
n
aA?
设该正多边形外接圆半径 R
2s i n21
Ra?
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
2s i n
2s i n
1?
n
aA?
2 1)(21)(21 nn
)c o s ( tAx
n
k 2 多边形闭合 A=0
2,1,0k nkk
合振动最弱：
合振动最强,.2 k? 多边形 直线 1naA?
练习,教材 P411,13~15
已知,21 AAA cm8
1?A cm10?A
61?相差与 AA
求,的相差，及 212 AAA
解,作平行四边形如图
6?o
1A?
2A? A?
6co s2 1
22
12
AAAAA
cm04.5?
c o s2 222221 AAAAA
o
AA
AAA 47.52
2ar c c os 2
22
2
2
1 o47.826
2.同一直线上不同频率的谐振动的合成
x
1A?
2A
A?
1?
2?
1?
2?
)c os (
)c os (
2222
1111
tAx
tAx
21
平行四边形形状变化
21 AA 大小变化，不表示谐振动。
设,21 AAA
)2c o s ()2c o s (2 121221 ttAxxx
振幅随时间变化 振动
21
但彼此相差很小，讨论,（１）,均很大
21,
22
1212
)2c o s ()2c o s (2 121221 ttAxxx
调制
,拍”,
第一项缓慢变化，
第二项快速变化可用音叉演示“拍”
现象调制频率,载频,
2 12
2 12
拍频,单位时间中合振动最强（或最弱）的次数
12
每多转一周比 12 AA
合振动出现一次最强
1A
2A
1?
2?
o
重要意义：
非谐振动
{ 周期性非周期性 }
谐振动
研究一切振动的基础讨论,
（２）当 可化为整数比时，合振动为周期性振动，否则合振动为非周期振动。
21
讨论,（ 3）振动的频谱任何一个振动都可以分解为一系列谐振动
min?
基频,分振动角频率的最小值谐频,? 为基频整数倍的成分主频,分振动中振幅最大的成分频谱,A 曲线周期性振动的频谱是分立的线状谱任何一个周期性函数都可以分解为一系列频率为基频整数倍的简谐函数 —— 傅立叶分解例：,方波”的分解
)7c o s715c o s513c o s31( c o s4 ttttAx
非周期性振动的频谱是连续谱例：
阻尼振动的频谱
A
三,互相垂直的谐振动合成
1.两个分振动频率相同，振动方向互相垂直
2211 c o s,c o s tAytAx
12212
21
2
2
2
2
1
2
s i nc os2, AA xyAyAxt消去一般情况下为椭圆方程几种不同相差情况下合运动轨迹
2.两个分振动振动方向互相垂直，频率成简单整数比合运动具有严格的周期性和稳定、封闭的轨道
—— 利萨如图形
)c os (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c osc os
s i ns i n
AA
AA
a r c t g
)tc os (
21
Ax
AAA
1.合振动仍为该直线上同一频率的谐振动
§ 13.2 内容小结：
掌握,同一直线上同频率谐振动的合成
2.合振动的强弱与两分振动相位差的关系
)(AAAAA 12212221 c os2
12
)2,1,0(k
k2
)12(?k
21m a x AAA
21m i n AAA
了解：
1.同一直线上不同频率的谐振动的合成,,拍”
3.互相垂直的谐振动合成（物理实验课）
2.频谱分析
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
§ 13.1 简谐振动（续）
二,特征量三,旋转矢量法一,简谐振动运动方程（以平衡位置为坐标原点）
四,孤立 谐振动系统的能量不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
)s i n (
)c os (
0
0
tAv
tAx
以平衡位置为坐标原点
水平放置的弹簧振子 k
o
x
恒量 221 kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
)t(kA)t(mAmvE 02202222k s i n21s i n2121
mk?2?
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点
k
o
x
)(co s
2
1
2
1
0
22
2
p
tkA
kxE
E-t曲线 E- x 曲线倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
Ep
Ek
E
AA x
)t(kAE 022k s i n21
x
t
t
T
T/2
E E E
p
Ek
T? T?2
)t(kAE
)t(Ax
0
22
p
0
c os
2
1
c os
竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点
)()(21 020 xxmgxxkEp
)()(21 0020 xxkxxxk
2
0
2
2
1
2
1 kxkx
2
0
22
2
1)
2
1
2
1( kxmvkxEEE
KP
恒量 202 2121 kxkA
k
m
O
x
k
x0EP=0
mg=kx0
x
k
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？ 以平衡位置为坐标原点和势能零点
2
0
2
0p 2
1)(
2
1 kxm g xxxkE
2
00
2
0 2
1)(
2
1 kxxkxxxk
2
2
1 kx?
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE
k
m
O
x
k
x0
EP=0
mg=kx0
x
k
弹簧的弹力
kxF
弹簧的伸长准弹性力：弹力与重力的合力
kxF
离系统平衡位置的位移
22kx 弹性势能 22kx
重力势能和弹性势能的总和准弹性势能，
比较 竖直悬挂的弹簧振子水平放置的弹簧振子回复力势能总能
222 212121 kAkxmv
统一描述,只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
2
1 kxE
p?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能） 221 kAE?
振动系统总能量
能量法求谐振动的振幅机械能守恒：
自学 教材 P381 [例 6]
222
2
1
2
1
2
1 kAkxmv
能量法求谐振动的周期机械能守恒：
教材 P381 [例 7]
222
2
1
2
1
2
1 kAkxmv
两边对时间求导：
2dd 22
2
Txt xa
例,能量法求谐振动的周期 （教材 P381 [例 7]）
m
x
已知：
求,T m,J,R,k
解,以平衡位置为坐标原点和零势点，向下为正，任意时刻 t 系统的机械能为：
2
222
k 2
1
2
1
2
1
2
1?
R
vJmvJmvE?
ckxEkxE 2p2p 2121 滑轮恒量 ckxRvJmvEEE 2
2
2
pk 2
1
2
1
2
1
振动系统机械能守恒：
两边对时间求导：
02 kxvRJ v am v a
xRJm kxt xa 222
2
d
d
k
RJm
T
RJm
k 2
2 2
2;
得：
§ 13.1小结：
二,特征量角频率 mk
振幅
2
2
02
0?
vxA
)(
0
0
0 x
v
ar c tg初相一,简谐振动的运动方程 (平衡位置为坐标原点）
)co s ( 0 tAx02
2
2
xt x?dd
kxF
三,旋转矢量法四,能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE
§ 13.2 振动的合成 频谱分析一、关于叠加原理的一般概念物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性微分方程,
)(1
1
1 xypx
yp
x
y
nn
n
n
n
d
d
d
d
例如,
2
2
t
rmF
d
d
2
2
2
2
2
2
t
z
mF
t
y
mF
t
x
mF
z
y
x
d
d
d
d
d
d
022
2
xt x?dd
简谐振动遵从叠加原理,其合成分解工具：
合成,矢量合成的平行四边形法则分解,傅立叶级数展开特点,是方程的解（若 )(),21 txtx
也是方程的解则 )()( 2211 txctxcx
注意：
自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象：
强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。
二、同一直线上谐振动的合成
1,同频率 )t(Ax 111 c o s
)t(Ax 222 c o s
1A?
2A?
1x2x
1?
2? x
o
21 AAA
x
A?
)t(A
xxx
c o s
21
平行四边形整体旋转，其对角线为简谐振动的旋转矢量，合振动仍为该直线上同一频率的谐振动。
)c os (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c osc os
s i ns i nar c t g
AA
AA
讨论,合振动的强弱与两分振动相位差的关系
)(AAAAA 12212221 c os2
12
k2
)12(?k
21m a x AAA
21m in AAA
)2,1,0(k
xO
1A
2A?
21 AAA
xO 1A?
2A?
21 AAA
特例：
0min?A
封闭多边形：
1A?
2A?
nA? A?
nAAAA 21m a x
直线：
A?
1A? 2A? nA?
nAAAA
21
1A?
2A?
nA?
A?
多个同一直线上,同频率谐振动的合成
—— 多边形法则按多边形法则叠加
naaaA
21
构成正多边形一部分
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
例,教材 P395 [例 1]
同一直线上 n 个同频率谐振动，其振幅相等而初相依次相差一个恒量，求合振动。
2s i n2
nRA?
2s i n
2s i n
1?
n
aA?
设该正多边形外接圆半径 R
2s i n21
Ra?
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
2s i n
2s i n
1?
n
aA?
2 1)(21)(21 nn
)c o s ( tAx
n
k 2 多边形闭合 A=0
2,1,0k nkk
合振动最弱：
合振动最强,.2 k? 多边形 直线 1naA?
练习,教材 P411,13~15
已知,21 AAA cm8
1?A cm10?A
61?相差与 AA
求,的相差，及 212 AAA
解,作平行四边形如图
6?o
1A?
2A? A?
6co s2 1
22
12
AAAAA
cm04.5?
c o s2 222221 AAAAA
o
AA
AAA 47.52
2ar c c os 2
22
2
2
1 o47.826
2.同一直线上不同频率的谐振动的合成
x
1A?
2A
A?
1?
2?
1?
2?
)c os (
)c os (
2222
1111
tAx
tAx
21
平行四边形形状变化
21 AA 大小变化，不表示谐振动。
设,21 AAA
)2c o s ()2c o s (2 121221 ttAxxx
振幅随时间变化 振动
21
但彼此相差很小，讨论,（１）,均很大
21,
22
1212
)2c o s ()2c o s (2 121221 ttAxxx
调制
,拍”,
第一项缓慢变化，
第二项快速变化可用音叉演示“拍”
现象调制频率,载频,
2 12
2 12
拍频,单位时间中合振动最强（或最弱）的次数
12
每多转一周比 12 AA
合振动出现一次最强
1A
2A
1?
2?
o
重要意义：
非谐振动
{ 周期性非周期性 }
谐振动
研究一切振动的基础讨论,
（２）当 可化为整数比时，合振动为周期性振动，否则合振动为非周期振动。
21
讨论,（ 3）振动的频谱任何一个振动都可以分解为一系列谐振动
min?
基频,分振动角频率的最小值谐频,? 为基频整数倍的成分主频,分振动中振幅最大的成分频谱,A 曲线周期性振动的频谱是分立的线状谱任何一个周期性函数都可以分解为一系列频率为基频整数倍的简谐函数 —— 傅立叶分解例：,方波”的分解
)7c o s715c o s513c o s31( c o s4 ttttAx
非周期性振动的频谱是连续谱例：
阻尼振动的频谱
A
三,互相垂直的谐振动合成
1.两个分振动频率相同，振动方向互相垂直
2211 c o s,c o s tAytAx
12212
21
2
2
2
2
1
2
s i nc os2, AA xyAyAxt消去一般情况下为椭圆方程几种不同相差情况下合运动轨迹
2.两个分振动振动方向互相垂直，频率成简单整数比合运动具有严格的周期性和稳定、封闭的轨道
—— 利萨如图形
)c os (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c osc os
s i ns i n
AA
AA
a r c t g
)tc os (
21
Ax
AAA
1.合振动仍为该直线上同一频率的谐振动
§ 13.2 内容小结：
掌握,同一直线上同频率谐振动的合成
2.合振动的强弱与两分振动相位差的关系
)(AAAAA 12212221 c os2
12
)2,1,0(k
k2
)12(?k
21m a x AAA
21m i n AAA
了解：
1.同一直线上不同频率的谐振动的合成,,拍”
3.互相垂直的谐振动合成（物理实验课）
2.频谱分析
