?
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
l
m
一,单摆无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。
§ 13.3 摆动 混沌现象研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
mlmaF
切向运动方程
2
2
s i n tmlmg dd
0s i n2
2
lgtdd
建立如图自然坐标
mg
N?
n
!5!3s i n
53
一般情况下，单摆运动的微分方程是非线性微分方程，
无解析解。
0s i n22
2
tdd
令
lg?2?
得：
很小时当sin 02
2
2
tdd
简谐振动
（角谐振动）
)c o s ( tm
由初始条件决定运动方程：
g
lT?
22周期：
二,复摆即绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律?JM?
2
2
s i n tJm g h dd
0s i n22 Jm g htddmg
J
C
o
h
令
J
m g h?2? 0s i n2
2
2
tdd
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程得很小时当sin 02
2
2
td
d 角谐振动由小角度摆动都是谐振动，可推广到一切微振动均可用谐振动模型处理。
例如,晶体中原子（或离子）在晶体空间点阵格点平衡位置附近的振动。
m gh
JT?
22周期：
)c o s ( tm
由初始条件决定运动方程：
大角度摆动不是谐振动，可用相图分析其运动。
思考,下列运动形式的相图
（ 1） 匀速直线运动
（ 2） 匀速率圆周运动
（ 4） 简谐振动
（ 3） 匀加速直线运动 )00,( 00 xvx沿以状态参量为坐标变量：
相平面上的点与运动状态对应：
相点在相平面上的运动轨迹：
相平面（相空间）
相点相图
xO
txv dd?
（ 1） 匀速直线运动
O
tdd
（ 2） 匀速率圆周运动
（ 3） 匀加速直线运动
)00,( 00 xvx沿
t
xv
d
d?
axv 22?
x
（ 4） 简谐振动
1)(
2
1
2
1
2
C
t
x x
c
d
d
txv dd?
x
三、单摆和复摆的相图时设 0?t,
0 得0?tdd? 0
2 co sC
)c o s( c o s2)( 022tdd
作 ~
td
d 曲线,即相图微分方程：
积分：
Ct c o s)(21 22dd )( 由初始条件决定C
0s i ndd 22
2
t
讨论,1,00 对应 0点：系统的稳定平衡点
2,00 5 小角度摆动：角谐振动对 t 积分02
2
2
tdd
Ct 222)(dd 1; 2
22
CC? 椭圆初始条件不同 C (能量）不同 不同椭圆
3,0 封闭曲线：表示周期性往复运动讨论：
5.初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动
4,
0
相图出现分支点,鞍点 ),( GG?
物理意义,单摆倒立（轻绳 轻杆）最高点（不稳定平衡点）
无初速释放
)1 0?tdd? 向原方向旋转
)2 0?tdd? 向回摆动行为不完全确定讨论,6,小角度摆动周期,T
大角度摆动周期：
T
m,
T?
比较
* 四,混沌
１,什么是混沌决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
运动方程是完全确定的（非线性微分方程）
由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全确定
（内在随机性）
例 1,任意摆角的无阻尼单摆系统运动的描述（微分方程）完全确定：
）（系统运行中一定条件下
GG?,鞍点出现介于往复摆动和单向旋转间的随机性状态：
究竟如何运动？取决于初始条件的细微差别。
0s i n2
例 2,湍流雷诺实验流速达一定值层流 湍流实例：
尾喷管气流木星大红斑香烟的烟雾例 3,洛仑兹水桶水流速度达到一定值，
水轮的运动不可预测，
出现混沌。
水流速较高时，
滴水间隔时间出现混沌。
例 4,滴水龙头话筒话筒的输出时间例 5,多节摆（演示实验）
2.混沌的特征和意义世界本质上是非线性的，线性系统只是理想模型。
混沌是自然界的普遍现象：物理、化学、生物、气象、
农业、工程、经济 … 无所不在（稳定与突变）。
(1)普遍性
(2)对初始条件的极端敏感混沌的发现,1961年，美国气象学家洛仑兹用计算机模拟求解天气变化的序列数据，偶然发现初值的微小差异 (0.506127~0.506) 带来结果的巨大偏差。
1963年：洛仑兹在,气象科学杂志,发表,确定性非周期流,,考虑大气对流过程的动力学效应和热传输效应，
建立非线性方程组。
bzxyxyz
t
z
xzyxxzyx
x
y
yxyx
t
x
3
8
28
)(1010
d
d
d
d
d
d
温度分布的非线性度上升、下降流温差对流强度
:
:
:
z
y
x
相图：
洛仑兹奇异吸引子相轨迹在两“翅”上跳跃，自身不相交，不构成任何周期运动，系统状态变化具有不可预测的随机性 －－－长期的天气预报是不可能的。
蝴蝶效应：,巴西亚马逊河丛林中的一只蝴蝶扑腾了几下翅膀
，三个月后在美国得克萨斯州可能引起一场龙卷风,
系统状态演变对初值极端敏感，相图中两个任意靠近的点经过足够长时间，在吸引子上宏观的分离开，对应截然不同的状态 —— 由于实际上对初值的测量不可能绝对精确，这种不确定性在一定条件下被放大，导致不可预测的结果 ——
蝴蝶效应。
台球问题：光滑水平面上有三个完全相同的台球,A
沿 B,C 中心联线的垂直平分线射去，完全弹性碰撞，
碰后如何运动？
理论计算的完全对称的结果实际操作如何？
不能保证Ａ与Ｂ、Ｃ同时接触，初值无限小的偏离造成截然不同的结果。
A v
B
C
数学问题：
迭代 )1(4
11 nnn xxx
取 1.0
0?x 1 0 0 0 0 0 0 1.00?x 1 0 0 0 0 0 1.00?x
混沌：不稳定性,“差之毫厘，失之千里”
(3)强调整体论思维方式，开创复杂性研究的新方向。
物理学中的两类描述确定性描述 —— 牛顿力学,..
概率性描述 —— 分子物理、量子力学,..
确定性实例：
,我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结果，以及以后发展的原因。如果有一种智慧能了解在每一时刻支配着自然界的所有力，了解宇宙中所有物体的相互位置，如果这种智慧伟大到能对这样众多的数据进行分析，把宇宙中最庞大的天体到最轻微的原子的运动归结到一个公式之中，那么对他来说没有什么事情是不确定的，将来就象过去的那样展现在他的眼前”
—— 拉普拉斯一定条件下必然发生某一结果：
物理实验中采用多次重复求平均值方法来减小误差，
可以回顾或预言日食、月食、哈雷彗星回归 …,..
概率性描述实例,分子运动与气体压强,投骰子，
掷硬币,打靶,..
概率性描述的共同特征：
物理量在随机因素影响下可取不同数值，无法预知。
但存在总体规律，物理量取某值的概率是确定的。
伴随涨落。
短期（少量）无法预侧。
长期（大量）呈现规律。
混沌 —— 确定性系统的内在随机性伪随机性 （貌似随机）
方程是确定的,物理量短期值可以预测,但由于初值不可能绝对准确,长期预测是不可能的。
确定性描述概率性描述非线性系统内在随机性人类认识的一次飞跃线性世界 —— 小孤岛
,当你一旦离开线性近似法，你就开始航行在一个非常广阔的海洋上”
—— 考温 （美国桑塔费研究所创始人）
开创物理学的新篇章物理学发展三大方向微观 —— 粒子物理宏观 —— 天体物理,宇宙学复杂性 —— 凝聚态物理，非线性物理
方法论角度,整体论和还原论传统物理学遵循还原论思维方式复杂 简单多元 一元对物质世界进行简单、
统一的描述
（基本要素）
整体论,重视要素间关系，系统与环境的关系，
不同层次的交叉渗透。强调横向性、综合性、复杂性、整体优化原则。提供跨学科研究和学科统一的可能性。
,通往诺贝尔奖的堂皇道路通常是由简化论的思维取道的，也就是把世界分解的尽可能小，尽可能简单。你为一系列或多或少理想化了的问题寻求解题的方案，但却因此背离了真实世界。把问题限制到你能发现解决办法的地步。这就造成了科学上越来越多的碎裂片。而真实的世界却要求我们用更加整体的眼光去看问题。任何事情都会影响到其它事情，
你必须了解事情的整个关联网”
,复杂 —— 诞生与秩序与混沌边沿的科学,P72
（美）米歇尔 ·沃尔德罗普,（ 三联书店,1997）
第 13章习题课掌握：
4,同一直线上同频率谐振动合成
2,旋转矢量法
3,振动曲线
1,简谐振动的运动方程，特征量，能量计算
（弹簧系统，准弹性系统）
一,教学要求二,基本练习自学内容,电磁振荡；阻尼振动、受迫振动、共振请注意方法的迁移和扩展练习 1：
一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动，已知振动物体的最大位移为,,最大回复力为：,最大速度为,又知 t =0 时的初位移为 0.2m，
初速度与 x 轴反向。求：
（ 1）振动能量；（ 2）振动方程。
m40m,x? N80m,F?
-1m sm80.v
解：（ 1）
N)(8.0
m)(4.0
m
m
kAF
xA
)mN(24.0 8.0 1m AFk
( J )1604022121 22,.kAE
解：（ 2）
由初始条件：
0s i n-
2
1
40
20co s
00
0
0
Av
.
.
A
x
30
又：
)(s2
40
80 1m
m
.
.
A
v
Av
SI32c o s40)c o s ( 0 t.tAx
得：
练习 2：
图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长状态。令 m 沿水平面振动，经过平衡位置 O 时，另一质点 M 恰自由落下粘在 m 上，求 M 粘上前后，振动系统 角频率比 及 振幅比 。
M
mk k
xO
mk k
xO
F
F
解,m粘上 M以前受力情况如图运动微分方程
2
2
22 t xmkxFF x dd 022
2
xmkt xdd
系统作简谐振动
m
k2
1
粘上 M以后
Mm
k
2
2? m
mM
2
1
M与 m粘接过程水平方向动量守恒
21 )( vMmmv 12 vMm
mv
m
mM
v
v
A
A
1
2
2
1
2
1
11m ax1?Avv
1
1
1?
vA?
2
2
2?
vA?同理：
1vOmM 时速率为经过平衡位置前，设粘上
2vOmMM 时速率为经过平衡位置后，设粘上?
思考和讨论：
（ 1） 如果 M是在 m运动到最大位移处，垂直落在 m上的，
情况如何？
（ 2） 如果两弹簧串接在一起，再联结 m，情况又如何？
21
21
kk
kkk
串 ;
111
21
)kkk( 21 kkk并
k
mk1 k2
xO
mk x
等效于
1;
2
1
2
1
A
A
m
mM
练习 3,用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此弹簧秤在 10cm长的刻度尺上读数从 0—— 10N,他称一块月球岩石时读数为 4N,让岩石上下自由振动时的周期为
0.98s，试由此估算月球表面的重力加速度。
解：
m
k
T
kxmg
x
2
04.0
0
0
m
2
2
2
2
0
2
20
98.0
404.04
)
2
(
T
xg
g
Tg
k
mg
x
264.1 sm
本章共 3讲第四篇 振动与波动第 13章 振动
l
m
一,单摆无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。
§ 13.3 摆动 混沌现象研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
mlmaF
切向运动方程
2
2
s i n tmlmg dd
0s i n2
2
lgtdd
建立如图自然坐标
mg
N?
n
!5!3s i n
53
一般情况下，单摆运动的微分方程是非线性微分方程，
无解析解。
0s i n22
2
tdd
令
lg?2?
得：
很小时当sin 02
2
2
tdd
简谐振动
（角谐振动）
)c o s ( tm
由初始条件决定运动方程：
g
lT?
22周期：
二,复摆即绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律?JM?
2
2
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0s i n22 Jm g htddmg
J
C
o
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令
J
m g h?2? 0s i n2
2
2
tdd
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程得很小时当sin 02
2
2
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d 角谐振动由小角度摆动都是谐振动，可推广到一切微振动均可用谐振动模型处理。
例如,晶体中原子（或离子）在晶体空间点阵格点平衡位置附近的振动。
m gh
JT?
22周期：
)c o s ( tm
由初始条件决定运动方程：
大角度摆动不是谐振动，可用相图分析其运动。
思考,下列运动形式的相图
（ 1） 匀速直线运动
（ 2） 匀速率圆周运动
（ 4） 简谐振动
（ 3） 匀加速直线运动 )00,( 00 xvx沿以状态参量为坐标变量：
相平面上的点与运动状态对应：
相点在相平面上的运动轨迹：
相平面（相空间）
相点相图
xO
txv dd?
（ 1） 匀速直线运动
O
tdd
（ 2） 匀速率圆周运动
（ 3） 匀加速直线运动
)00,( 00 xvx沿
t
xv
d
d?
axv 22?
x
（ 4） 简谐振动
1)(
2
1
2
1
2
C
t
x x
c
d
d
txv dd?
x
三、单摆和复摆的相图时设 0?t,
0 得0?tdd? 0
2 co sC
)c o s( c o s2)( 022tdd
作 ~
td
d 曲线,即相图微分方程：
积分：
Ct c o s)(21 22dd )( 由初始条件决定C
0s i ndd 22
2
t
讨论,1,00 对应 0点：系统的稳定平衡点
2,00 5 小角度摆动：角谐振动对 t 积分02
2
2
tdd
Ct 222)(dd 1; 2
22
CC? 椭圆初始条件不同 C (能量）不同 不同椭圆
3,0 封闭曲线：表示周期性往复运动讨论：
5.初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动
4,
0
相图出现分支点,鞍点 ),( GG?
物理意义,单摆倒立（轻绳 轻杆）最高点（不稳定平衡点）
无初速释放
)1 0?tdd? 向原方向旋转
)2 0?tdd? 向回摆动行为不完全确定讨论,6,小角度摆动周期,T
大角度摆动周期：
T
m,
T?
比较
* 四,混沌
１,什么是混沌决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
运动方程是完全确定的（非线性微分方程）
由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全确定
（内在随机性）
例 1,任意摆角的无阻尼单摆系统运动的描述（微分方程）完全确定：
）（系统运行中一定条件下
GG?,鞍点出现介于往复摆动和单向旋转间的随机性状态：
究竟如何运动？取决于初始条件的细微差别。
0s i n2
例 2,湍流雷诺实验流速达一定值层流 湍流实例：
尾喷管气流木星大红斑香烟的烟雾例 3,洛仑兹水桶水流速度达到一定值，
水轮的运动不可预测，
出现混沌。
水流速较高时，
滴水间隔时间出现混沌。
例 4,滴水龙头话筒话筒的输出时间例 5,多节摆（演示实验）
2.混沌的特征和意义世界本质上是非线性的，线性系统只是理想模型。
混沌是自然界的普遍现象：物理、化学、生物、气象、
农业、工程、经济 … 无所不在（稳定与突变）。
(1)普遍性
(2)对初始条件的极端敏感混沌的发现,1961年，美国气象学家洛仑兹用计算机模拟求解天气变化的序列数据，偶然发现初值的微小差异 (0.506127~0.506) 带来结果的巨大偏差。
1963年：洛仑兹在,气象科学杂志,发表,确定性非周期流,,考虑大气对流过程的动力学效应和热传输效应，
建立非线性方程组。
bzxyxyz
t
z
xzyxxzyx
x
y
yxyx
t
x
3
8
28
)(1010
d
d
d
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d
d
温度分布的非线性度上升、下降流温差对流强度
:
:
:
z
y
x
相图：
洛仑兹奇异吸引子相轨迹在两“翅”上跳跃，自身不相交，不构成任何周期运动，系统状态变化具有不可预测的随机性 －－－长期的天气预报是不可能的。
蝴蝶效应：,巴西亚马逊河丛林中的一只蝴蝶扑腾了几下翅膀
，三个月后在美国得克萨斯州可能引起一场龙卷风,
系统状态演变对初值极端敏感，相图中两个任意靠近的点经过足够长时间，在吸引子上宏观的分离开，对应截然不同的状态 —— 由于实际上对初值的测量不可能绝对精确，这种不确定性在一定条件下被放大，导致不可预测的结果 ——
蝴蝶效应。
台球问题：光滑水平面上有三个完全相同的台球,A
沿 B,C 中心联线的垂直平分线射去，完全弹性碰撞，
碰后如何运动？
理论计算的完全对称的结果实际操作如何？
不能保证Ａ与Ｂ、Ｃ同时接触，初值无限小的偏离造成截然不同的结果。
A v
B
C
数学问题：
迭代 )1(4
11 nnn xxx
取 1.0
0?x 1 0 0 0 0 0 0 1.00?x 1 0 0 0 0 0 1.00?x
混沌：不稳定性,“差之毫厘，失之千里”
(3)强调整体论思维方式，开创复杂性研究的新方向。
物理学中的两类描述确定性描述 —— 牛顿力学,..
概率性描述 —— 分子物理、量子力学,..
确定性实例：
,我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结果，以及以后发展的原因。如果有一种智慧能了解在每一时刻支配着自然界的所有力，了解宇宙中所有物体的相互位置，如果这种智慧伟大到能对这样众多的数据进行分析，把宇宙中最庞大的天体到最轻微的原子的运动归结到一个公式之中，那么对他来说没有什么事情是不确定的，将来就象过去的那样展现在他的眼前”
—— 拉普拉斯一定条件下必然发生某一结果：
物理实验中采用多次重复求平均值方法来减小误差，
可以回顾或预言日食、月食、哈雷彗星回归 …,..
概率性描述实例,分子运动与气体压强,投骰子，
掷硬币,打靶,..
概率性描述的共同特征：
物理量在随机因素影响下可取不同数值，无法预知。
但存在总体规律，物理量取某值的概率是确定的。
伴随涨落。
短期（少量）无法预侧。
长期（大量）呈现规律。
混沌 —— 确定性系统的内在随机性伪随机性 （貌似随机）
方程是确定的,物理量短期值可以预测,但由于初值不可能绝对准确,长期预测是不可能的。
确定性描述概率性描述非线性系统内在随机性人类认识的一次飞跃线性世界 —— 小孤岛
,当你一旦离开线性近似法，你就开始航行在一个非常广阔的海洋上”
—— 考温 （美国桑塔费研究所创始人）
开创物理学的新篇章物理学发展三大方向微观 —— 粒子物理宏观 —— 天体物理,宇宙学复杂性 —— 凝聚态物理，非线性物理
方法论角度,整体论和还原论传统物理学遵循还原论思维方式复杂 简单多元 一元对物质世界进行简单、
统一的描述
（基本要素）
整体论,重视要素间关系，系统与环境的关系，
不同层次的交叉渗透。强调横向性、综合性、复杂性、整体优化原则。提供跨学科研究和学科统一的可能性。
,通往诺贝尔奖的堂皇道路通常是由简化论的思维取道的，也就是把世界分解的尽可能小，尽可能简单。你为一系列或多或少理想化了的问题寻求解题的方案，但却因此背离了真实世界。把问题限制到你能发现解决办法的地步。这就造成了科学上越来越多的碎裂片。而真实的世界却要求我们用更加整体的眼光去看问题。任何事情都会影响到其它事情，
你必须了解事情的整个关联网”
,复杂 —— 诞生与秩序与混沌边沿的科学,P72
（美）米歇尔 ·沃尔德罗普,（ 三联书店,1997）
第 13章习题课掌握：
4,同一直线上同频率谐振动合成
2,旋转矢量法
3,振动曲线
1,简谐振动的运动方程，特征量，能量计算
（弹簧系统，准弹性系统）
一,教学要求二,基本练习自学内容,电磁振荡；阻尼振动、受迫振动、共振请注意方法的迁移和扩展练习 1：
一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动，已知振动物体的最大位移为,,最大回复力为：,最大速度为,又知 t =0 时的初位移为 0.2m，
初速度与 x 轴反向。求：
（ 1）振动能量；（ 2）振动方程。
m40m,x? N80m,F?
-1m sm80.v
解：（ 1）
N)(8.0
m)(4.0
m
m
kAF
xA
)mN(24.0 8.0 1m AFk
( J )1604022121 22,.kAE
解：（ 2）
由初始条件：
0s i n-
2
1
40
20co s
00
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Av
.
.
A
x
30
又：
)(s2
40
80 1m
m
.
.
A
v
Av
SI32c o s40)c o s ( 0 t.tAx
得：
练习 2：
图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长状态。令 m 沿水平面振动，经过平衡位置 O 时，另一质点 M 恰自由落下粘在 m 上，求 M 粘上前后，振动系统 角频率比 及 振幅比 。
M
mk k
xO
mk k
xO
F
F
解,m粘上 M以前受力情况如图运动微分方程
2
2
22 t xmkxFF x dd 022
2
xmkt xdd
系统作简谐振动
m
k2
1
粘上 M以后
Mm
k
2
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mM
2
1
M与 m粘接过程水平方向动量守恒
21 )( vMmmv 12 vMm
mv
m
mM
v
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A
A
1
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1
11m ax1?Avv
1
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2
2
2?
vA?同理：
1vOmM 时速率为经过平衡位置前，设粘上
2vOmMM 时速率为经过平衡位置后，设粘上?
思考和讨论：
（ 1） 如果 M是在 m运动到最大位移处，垂直落在 m上的，
情况如何？
（ 2） 如果两弹簧串接在一起，再联结 m，情况又如何？
21
21
kk
kkk
串 ;
111
21
)kkk( 21 kkk并
k
mk1 k2
xO
mk x
等效于
1;
2
1
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1
A
A
m
mM
练习 3,用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此弹簧秤在 10cm长的刻度尺上读数从 0—— 10N,他称一块月球岩石时读数为 4N,让岩石上下自由振动时的周期为
0.98s，试由此估算月球表面的重力加速度。
解：
m
k
T
kxmg
x
2
04.0
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m
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2
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mg
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264.1 sm
