1
本章共 8讲第四篇 振动与波动第 15章 波的干涉、衍射和偏振
2
§ 15.4 光的夫琅和费衍射（续）
一,单缝夫琅和费衍射二,圆孔夫琅和费衍射
▲ 三,光栅夫琅和费衍射单缝衍射, Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝光栅,平行、等宽、等间距的多狭缝 (或反射面 )构成的光学元件衍射光栅 (透射光栅 ) 反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分,
3
光栅常数,
N
lbad )10~10( 43 cm
刻：遮光未刻：
透光缝条N
l
透射光栅,即刻痕玻璃。在玻璃片上刻划出一系列平行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
4
思路,
讨论 N个几何线光源的干涉
（ 2）计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
（ 1）先不计缝宽，将每缝光强各集中于一个线光源：
装置：
5
1,N 缝 (几何线光源 )干涉
（ 1）光强分布的光振动的叠加两两依次相差为个大小相等，用多边形法则进行
δ
N（ P395 例一）
d?
f
F
P
s i nd
s i n2 d?
s i n
2
d
6
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
2s i n21
RA?
2s i n2
NRA?
s i n
s i n
2
s i n
2
s i n
11
N
A
N
AA
2
1 )s i n
s i n(
NII?光强分布：
明纹中心（主明纹、主极大）
12 INI?
暗纹中心
0?I
1A?
0?A?
NA?
2A?
7
1） 明纹中心（主明纹、主极大）条件
（ 2）条纹特点（半定量讨论）
主明纹 角位置：
dk
s in
)210(,，k
光栅公式：
k
ba
d
s i n)(
s i n
)210(,，k
f
b
a
d
k
8
最高级次,1|s i n|
dk
m
)3,4;4,24( mm kdkd例：
主明纹 亮度,12 INI?
例,分光计作光栅实验，用波长? = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
k)ba( s i n
90s i n
m ax
)ba(k 35
108632300
101
9
3,
,
取 5
maxk
能观察到的谱线为 11条：
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345
9
2) 暗纹条件位置：
dN
ks i n )( Nkk
kN 2
kdN 2s i n2
1A
0?A?NA?
2A
，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk?
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
k 0 1 2
,12,2,12,2,1,,1,2,1,0 NNNNNNNk?
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2k
10
3)主明纹角宽度由暗纹条件
dN
ks i n k
Nd
c o s
2k
NdNd
2
co s
2
)1c o s0(,用于低级次栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
4) 光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21
相邻最近的暗纹处的主极大在 21
11
1s i n kd?
2
2
)
1
(
1
s i n
N
k
N
kN
d
kN
1
2
12
分辨本领,kNR?
无关与 dNR,?
NdkN 2)1(
dk2?
波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间的关系,相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集中的趋势越明显,为什么？
12
相干波数目越多，出现干涉加强的条件越苛刻，
越难以满足能量守恒,
原因单缝衍射和多缝干涉谱线比较
5) 次极大条件：
对应按多边形法则叠加，不正好为直线，也不正好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个次极大隔开，
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹和 N-2个次极大
13
小结,不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果：
光栅公式, kd?s i n
角宽度：
co s
2
Nd
亮度：
12 INI?
分辨本领,kNR?
)2,1,0(k
暗区（ N-1条暗纹,N-2条次级大）背景上出现细窄明亮的主明纹
sin
14
3,N 个单缝衍射的影响讨论 1,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射条纹彼此重合讨论 2.考虑缝宽后 会带来什么影响？
* 当缝宽分为偶数个半波带：
缝内光线自身干涉相消 01?I
即使缝间干涉相长 012 INI
该主明纹不出现 —— 缺级
15
* 当缝宽分为奇数个半波带：
缝内光线部分干涉相消，
条纹级次越高，光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀分布
—— 亮度调制
sin
sin
缺级 亮度调制
Ik,
主明纹测一般采用 1?k
16
22
0 )s i n
s i n()s i n(
NII
单缝衍射因子 多（ N）缝干涉因子
s i nd?
:a 缝宽,d 光栅常数,? 衍射角
2
1 )s i n
s i n(
NII?光强分布：
2
01 )
s i n(
II?
s i na?其中：
（ 1） 亮度调制：
17
18
（ 2） 缺级条件：
光栅主明纹, kbad s i n)(s i n )2,1,0(k
单缝暗纹, kas i n )2,1(k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
k
k
a
ba
a
d
（为整数比）
缺级,
kadk )2,1(k
即：当
[例 ] 缺级?,10,5,5.2 kad
未见缺级条纹 缺级,.,,4,2,2 kad
19
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 adad进整 进整
sin
单缝衍射中央明纹区主极大
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果光强分布 22
0 )s i n
s i n()s i n(
NII
s i na?
s i nd?
零级主明纹光强:0I
式中：
20
（ 1） 细窄明亮的主明纹位置, kd?s in ),1,0(k —— 光栅公式缺级, kas in )2,1(kk
adk
角宽度：
co s
2
Nd
最高级次：
dk?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,1)(2?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区 （ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹为白色，其余各级为彩光谱，
高级次重叠,
分辨本领,NkR? )2,1,0(k
21
[例 ] 0A5000入射光,由图中衍射光强分布确定
(1) 缝数 N =?
(2) 缝宽 a =?
(3) 光栅常数 d = a+b =? 0.25?sin
I
0
解,（ 1）由相邻主极大之间有 N-1条暗纹,N-2条次极大可知,N＝ 5。
kas i n
1k 250s i n
04102
250
5000 A
a
（ 2）由单缝衍射暗纹公式
22
0.25
sin
I
0
（ 3）由光栅公式
kd?s i n
4?k 250s i n
04108
250
50004 A
d
或由缺级条件：
4?ad
041084 A ad
练习,P490 15.4.4
23
1) 图 c中 a最大
2）
缺级；）（ 2,2aad
缺级；）（ 4,4bad
缺级；）（ 1,1cad
缺级；）（ 3,3dad
练习,P490 15.4.4
24
3）,4）如图所示
2?N 4?N
1?N 3?N
d
1 1
1 1
2 2
2
3
3
4
d
d
d
25
[例 ]一平面衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光垂直入射，缝后透镜焦距 f =100 cm。求：
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠最多看到主明纹条数入射，、用红光,3A70003 ab
解,1.
m10 5 bad
kd?s i n
:1?k
m71 104 040s i n 11 d
m72 107 070s i n 2
2 d
)cm(3)s i n( s i n)tgtg( 1212 ffx
26
2,红光 2?k 1402s i n 1
d
紫光 3?k
1401203s i n 2 d
二、三级光谱重迭
3,214
dk
m 14m ax?k
最多可见主明纹,条2361142
缺级 abad 4
kd?s i n
kas i n
kk 4
3,2,1k
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
27
[例 ] 已知,?A5000
o30
mμ25.2 ad
求,1,中央主极大位置
2,屏中心 F 处条纹级次
3,屏上可见到哪几级主明纹？
解,由 kdd s i ns i n
s i ns i n? o30
1,中央主极大 0
2,屏中心 F 处 0
kd s i n 2
105000
5.0102s i n
10
6
dk
28
3.由：
得上方取 2F 2)s i n1(dk 1max?k
得下方取 2F 6)s i n1(dk 5m a xk
考虑缺级：
kkadk 25 )4,2(k
屏上级次：
4,3,2,1,0,1 共 6条主明纹（ k=-5级缺级）
kdd s i ns i n
29
练习,多光束干涉、单缝衍射、光栅衍射对比相邻光束相位差 sinπ2 d s inπ2 Na s in)(π2 ba?
基本思想?d
N
ba?
N
a
振幅矢量合成?
1A? A
Ni iAA 1
N
i
iAA
1
AA d
ii AA d?
1A? A
多光束干涉 单缝衍射 光栅衍射比较
sin?sin?
I
O
光强分布曲线
sin?
I
O
I
O
本章共 8讲第四篇 振动与波动第 15章 波的干涉、衍射和偏振
2
§ 15.4 光的夫琅和费衍射（续）
一,单缝夫琅和费衍射二,圆孔夫琅和费衍射
▲ 三,光栅夫琅和费衍射单缝衍射, Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝光栅,平行、等宽、等间距的多狭缝 (或反射面 )构成的光学元件衍射光栅 (透射光栅 ) 反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分,
3
光栅常数,
N
lbad )10~10( 43 cm
刻：遮光未刻：
透光缝条N
l
透射光栅,即刻痕玻璃。在玻璃片上刻划出一系列平行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
4
思路,
讨论 N个几何线光源的干涉
（ 2）计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
（ 1）先不计缝宽，将每缝光强各集中于一个线光源：
装置：
5
1,N 缝 (几何线光源 )干涉
（ 1）光强分布的光振动的叠加两两依次相差为个大小相等，用多边形法则进行
δ
N（ P395 例一）
d?
f
F
P
s i nd
s i n2 d?
s i n
2
d
6
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
n
M
P
x
2s i n21
RA?
2s i n2
NRA?
s i n
s i n
2
s i n
2
s i n
11
N
A
N
AA
2
1 )s i n
s i n(
NII?光强分布：
明纹中心（主明纹、主极大）
12 INI?
暗纹中心
0?I
1A?
0?A?
NA?
2A?
7
1） 明纹中心（主明纹、主极大）条件
（ 2）条纹特点（半定量讨论）
主明纹 角位置：
dk
s in
)210(,，k
光栅公式：
k
ba
d
s i n)(
s i n
)210(,，k
f
b
a
d
k
8
最高级次,1|s i n|
dk
m
)3,4;4,24( mm kdkd例：
主明纹 亮度,12 INI?
例,分光计作光栅实验，用波长? = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
k)ba( s i n
90s i n
m ax
)ba(k 35
108632300
101
9
3,
,
取 5
maxk
能观察到的谱线为 11条：
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345
9
2) 暗纹条件位置：
dN
ks i n )( Nkk
kN 2
kdN 2s i n2
1A
0?A?NA?
2A
，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk?
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
k 0 1 2
,12,2,12,2,1,,1,2,1,0 NNNNNNNk?
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2k
10
3)主明纹角宽度由暗纹条件
dN
ks i n k
Nd
c o s
2k
NdNd
2
co s
2
)1c o s0(,用于低级次栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
4) 光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21
相邻最近的暗纹处的主极大在 21
11
1s i n kd?
2
2
)
1
(
1
s i n
N
k
N
kN
d
kN
1
2
12
分辨本领,kNR?
无关与 dNR,?
NdkN 2)1(
dk2?
波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间的关系,相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集中的趋势越明显,为什么？
12
相干波数目越多，出现干涉加强的条件越苛刻，
越难以满足能量守恒,
原因单缝衍射和多缝干涉谱线比较
5) 次极大条件：
对应按多边形法则叠加，不正好为直线，也不正好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个次极大隔开，
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹和 N-2个次极大
13
小结,不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果：
光栅公式, kd?s i n
角宽度：
co s
2
Nd
亮度：
12 INI?
分辨本领,kNR?
)2,1,0(k
暗区（ N-1条暗纹,N-2条次级大）背景上出现细窄明亮的主明纹
sin
14
3,N 个单缝衍射的影响讨论 1,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射条纹彼此重合讨论 2.考虑缝宽后 会带来什么影响？
* 当缝宽分为偶数个半波带：
缝内光线自身干涉相消 01?I
即使缝间干涉相长 012 INI
该主明纹不出现 —— 缺级
15
* 当缝宽分为奇数个半波带：
缝内光线部分干涉相消，
条纹级次越高，光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀分布
—— 亮度调制
sin
sin
缺级 亮度调制
Ik,
主明纹测一般采用 1?k
16
22
0 )s i n
s i n()s i n(
NII
单缝衍射因子 多（ N）缝干涉因子
s i nd?
:a 缝宽,d 光栅常数,? 衍射角
2
1 )s i n
s i n(
NII?光强分布：
2
01 )
s i n(
II?
s i na?其中：
（ 1） 亮度调制：
17
18
（ 2） 缺级条件：
光栅主明纹, kbad s i n)(s i n )2,1,0(k
单缝暗纹, kas i n )2,1(k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
k
k
a
ba
a
d
（为整数比）
缺级,
kadk )2,1(k
即：当
[例 ] 缺级?,10,5,5.2 kad
未见缺级条纹 缺级,.,,4,2,2 kad
19
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 adad进整 进整
sin
单缝衍射中央明纹区主极大
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果光强分布 22
0 )s i n
s i n()s i n(
NII
s i na?
s i nd?
零级主明纹光强:0I
式中：
20
（ 1） 细窄明亮的主明纹位置, kd?s in ),1,0(k —— 光栅公式缺级, kas in )2,1(kk
adk
角宽度：
co s
2
Nd
最高级次：
dk?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,1)(2?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区 （ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹为白色，其余各级为彩光谱，
高级次重叠,
分辨本领,NkR? )2,1,0(k
21
[例 ] 0A5000入射光,由图中衍射光强分布确定
(1) 缝数 N =?
(2) 缝宽 a =?
(3) 光栅常数 d = a+b =? 0.25?sin
I
0
解,（ 1）由相邻主极大之间有 N-1条暗纹,N-2条次极大可知,N＝ 5。
kas i n
1k 250s i n
04102
250
5000 A
a
（ 2）由单缝衍射暗纹公式
22
0.25
sin
I
0
（ 3）由光栅公式
kd?s i n
4?k 250s i n
04108
250
50004 A
d
或由缺级条件：
4?ad
041084 A ad
练习,P490 15.4.4
23
1) 图 c中 a最大
2）
缺级；）（ 2,2aad
缺级；）（ 4,4bad
缺级；）（ 1,1cad
缺级；）（ 3,3dad
练习,P490 15.4.4
24
3）,4）如图所示
2?N 4?N
1?N 3?N
d
1 1
1 1
2 2
2
3
3
4
d
d
d
25
[例 ]一平面衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光垂直入射，缝后透镜焦距 f =100 cm。求：
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠最多看到主明纹条数入射，、用红光,3A70003 ab
解,1.
m10 5 bad
kd?s i n
:1?k
m71 104 040s i n 11 d
m72 107 070s i n 2
2 d
)cm(3)s i n( s i n)tgtg( 1212 ffx
26
2,红光 2?k 1402s i n 1
d
紫光 3?k
1401203s i n 2 d
二、三级光谱重迭
3,214
dk
m 14m ax?k
最多可见主明纹,条2361142
缺级 abad 4
kd?s i n
kas i n
kk 4
3,2,1k
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
27
[例 ] 已知,?A5000
o30
mμ25.2 ad
求,1,中央主极大位置
2,屏中心 F 处条纹级次
3,屏上可见到哪几级主明纹？
解,由 kdd s i ns i n
s i ns i n? o30
1,中央主极大 0
2,屏中心 F 处 0
kd s i n 2
105000
5.0102s i n
10
6
dk
28
3.由：
得上方取 2F 2)s i n1(dk 1max?k
得下方取 2F 6)s i n1(dk 5m a xk
考虑缺级：
kkadk 25 )4,2(k
屏上级次：
4,3,2,1,0,1 共 6条主明纹（ k=-5级缺级）
kdd s i ns i n
29
练习,多光束干涉、单缝衍射、光栅衍射对比相邻光束相位差 sinπ2 d s inπ2 Na s in)(π2 ba?
基本思想?d
N
ba?
N
a
振幅矢量合成?
1A? A
Ni iAA 1
N
i
iAA
1
AA d
ii AA d?
1A? A
多光束干涉 单缝衍射 光栅衍射比较
sin?sin?
I
O
光强分布曲线
sin?
I
O
I
O
