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本章共 2讲第四篇 振动与波动第 14章 波的产生和传播一,平面简谐行波二,波的特征量,
三,波形曲线
*四,波函数（波动方程的积分形式）
五,波动方程的微分形式 (了解 )
,,u?
§ 14.1 平面简谐行波 (续 )
六,波的能量
）的总和、介质元振动能量（ pk EE
1.介质元的能量设弹性细棒中有纵波
)(c o s uxtAy
动能：
22 )(
2
1
2
1
t
yVmvE
ddd
k?
VuxtA d )(s i n21 222
的介质元取长 xd xSVm ddd
S
S
x
x xx d?
yy d?
md
y
势能：
两端质点的相对位移）取决于介质元的形变（pd E
2)(
2
1 ykE dd
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2
2
1 kyE?
pd
S
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Syk
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2
1 222
VuxtA d )(s i n21 2222)(21 ykE dd p?
介质元振动能量
VuxtAEEE dddd pk )(s i n 222
注意理解：
波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒同相变化pk d,d EE
纵波（体变） 形变最大形变为零横波,)(
x
y
切变形变最大形变为零平衡位置处：
最大速度最大、
最大、最大、切变
k
p
d
d
E
Exy
0,0 pk dd EExy 速度为零，切变最大位移处：
平衡位置处：
.E
E
最大速度最大、
最大最大、疏部或密部中心、形变
k
p
d;d
最大位移处,0dd,
pk EE速度为零、形变为零孤立系统，机械能守恒反相变化pk,EE 同相变化pk d,d EE
非孤立系统,dE不守恒比较：
质点谐振动能量 介质元波动能量练习 1,一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质点在负的最大位移处，
则它的能量是：
（ 1）动能为零，势能最大；
（ 2）动能为零，势能为零；
（ 3）动能最大，势能最大；
（ 4）动能最大，势能为零； 答案：（ 2）
答案：（ 3）
练习 2,一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中
（ 1）它的势能转换成动能；
（ 2）它的动能转换成势能；
（ 3）它从相邻的一段媒质元获得能量，
其能量逐渐增加；
（ 4）它把自己的能量传给相邻的一段媒质元，
其能量逐渐减小；
2.能量密度由介质元振动能量
VuxtAEEE dddd pk )(s i n 222
)(s i n 222 uxtAVEwdd
得 能量密度,
平均能量密度
T tuxtATw 0 222 )(s i n1 d 2221 A?
3.能流密度：
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量方向相同能量传播方向与 u?
uAI 2221
能流密度 ——波的强度的能量内通过 St
StuwE
uAuwSt EI 2221
S? S?
tu?
u?
例,已知,柱面波、均匀介质、不计吸收求,A与 r,I与 r关系,柱面波波函数
1
2
1
2
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1
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S
S
A
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A
A
I
I
单位时间内通过 能量相等和 21 SS
2
22
21
22
1 2
1
2
1 SuASuA
解,取半径分别为,,
21 rr
高 h 的柱面 21,SS
1r
2r
1S 2S
h
柱面波波函数 ])(co s [
0
0
u
rt
r
A
A0,离波源单位距离处质点振动的振幅。
自行推导球面波波函数教材 P424 [例 5],])(c o s [
00 u
rt
r
A
§ 14.4 多普勒效应 录象 1-2-1（ 16分钟）
多普勒效应,由于波源或观测者的运动，导致观测者所接收到的波动频率与波源的振动频率不相等的现象。
要点：
设：波速 u；
观测者：相对介质速率 vr,接收频率波源：相对介质速率 vs,振动频率
r?
s?
三种典型情况：
1.相对于介质，波源静止，观测者以速率 vr 运动频率变化原因：接收波的范围变化。
s
r
r u
vu
srr
srr
v
v
,0
,0
波源运动：观测者观测者朝向波源运动：
背离
2.相对于介质，观测者静止，波源以速率 vs 运动频率变化原因：接收波的波长变化。
s
s
r vu
u
srs
srs
v
v
,0
,0
观测者运动：波源波源朝向观测者运动：
背离
3.波源和观测者均相对于介质运动
s
s
r
r vu
vu
srsr
srsr
vv
vv
,0,0
,0,0
运动：波源观测者运动：波源观测者背向与相向与练习 1,公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度，所用雷达波的频率为 。发出的雷达波被一迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频率为 的拍频。此汽车是否已超过了限定车速?
Hz100.5 10?
Hz101.1 4?
-1hkm?100
解：
雷达波传播速率：
设汽车速率为 v
-1sm 8103u
测速仪发射的雷达波频率为 Hz100.5 10
s?
发射波与接收波形成的拍频为 Hz101.1 4
多普勒效应广泛应用于迅速、准确的速度测量。
1）雷达波由测速仪 ——汽车：
波源静止，接收器运动，汽车接收到的频率为
s
rr
r u
vuvu?
r
r
s vu
u
2）雷达波由汽车 ——测速仪：
接收器静止，波源运动，测速仪接收到的由汽车反射的雷达波频率为
svu
vu?
发射波与接收波形成的拍频为
ssss vu
v
vu
vu
21
u
vvu s 2
得汽车速率：
-1-1
10
48
hkm119sm331052 101.11032
s
uv
汽车超速行驶。
练习 2,主动脉内血液的流速一般是 0.32m/s，今沿血流方向发射 4.0MHz的超声波，该红血球反射回的波与原发射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内传播速度为 1.54× 103 m/s 。
解：
Hz1066.1
1054.1
100.432.02
22
1
3
3
6
u
v
vu
v
vu
vu?
病例,“经颅多普勒,检查结果结论,两侧中动脉，基底动脉血流减缓，供血不足。
声学,研究物质中机械波的产生、传播、接收及其与物质的相互作用，是一门既古老、又前沿的学科
§ 14.3 声波、超声、次声（了解）
声波特点：
1,频率范围广
1610~
Hz
Hz
Hz
Hz
20~10
102~20
10~102
10~105
4
4
84
128
特超声声子具有量子性质进入微观领域分子热运动
Hz10~10 1412
超声可听声次声 ——穿透力特强、用于研究大气、海洋、地壳
3.与其它学科相互渗透，应用面广超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学 ……
超声显微镜,给出物理弹性象（分辨率 ）?A500
次声武器,与人体器官（固有频率 3~17Hz）共振口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计 …,..
2.传播介质广 （各种气、液、固、等离子体 … )
穿透力强 （与原子、电子、空穴、位错,… 均作用）
是探索物质结构三大技术之一声学电磁学粒子作用
§ 14.5 非线性波简介（了解）
一、非线性效应对波动的影响实际介质 非线性微分方程 非线性波波动方程 解理想弹性介质波动方程 线性微分方程解线性波强度较小时略去非线性效应波强度较大时，不能忽略非线性效应的影响。
波强度较大时，非线性效应的影响：
1,波速不仅与介质性质有关,而且与振动状态有关。
介质元位移不同时，波速 u 不相等。
2.波形随传播距离增加发生越来越大的畸变。原来单一频率的波可以变成含有各高次谐频的复合波。
3.由于介质对波能的吸收通常随着波的频率增高而增大，所以波形畸变使波的能量向高次谐频转移导致介质对波能的吸收增大。
4.叠加原理对非线性波失效。
二,实例：孤波发现,1834年，英国，罗素 （运河中发现，水槽中重现）
传播中波形不变两孤波相遇分开后保持原波速和波形。具有经典粒子和波的大部分性质 ——孤立子处在空间有限范围稳定性：
完整性：
定域性：
特性成因：
非线性效应,改变波形色散效应,改变波形一定条件下相互抵消，使波形不变。
三,应用
KDV方程,用于描述浅水波，等离子体离子波,..
Sine-Gordon方程：
用于电荷密度波，晶格位错传播，基本粒子模型非线性薛定谔方程：
用于深水波、非线性光学、一维铁磁体,..
光孤子传播光纤通讯，
DNA的解链和复制，
蛋白质中能量、信息的高速传递 ……
第十四章教学要求：
掌握,平面简谐行波的特征量、波函数、波形曲线、能流密度理解,多普勒效应了解,电磁波、声波、孤波大作业 1：自学报告内容,1）阻尼振动、受迫振动、共振；
2）电磁振荡、电磁波要求,1）突出研究方法、物理意义方面的理解和比较；
2）有重点，有特色，格式不限
3）第 10周交报告（计入平时成绩）。
任选其一
本章共 2讲第四篇 振动与波动第 14章 波的产生和传播一,平面简谐行波二,波的特征量,
三,波形曲线
*四,波函数（波动方程的积分形式）
五,波动方程的微分形式 (了解 )
,,u?
§ 14.1 平面简谐行波 (续 )
六,波的能量
）的总和、介质元振动能量（ pk EE
1.介质元的能量设弹性细棒中有纵波
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动能：
22 )(
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势能：
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1 222
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介质元振动能量
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注意理解：
波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒同相变化pk d,d EE
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切变形变最大形变为零平衡位置处：
最大速度最大、
最大、最大、切变
k
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平衡位置处：
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最大最大、疏部或密部中心、形变
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非孤立系统,dE不守恒比较：
质点谐振动能量 介质元波动能量练习 1,一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质点在负的最大位移处，
则它的能量是：
（ 1）动能为零，势能最大；
（ 2）动能为零，势能为零；
（ 3）动能最大，势能最大；
（ 4）动能最大，势能为零； 答案：（ 2）
答案：（ 3）
练习 2,一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中
（ 1）它的势能转换成动能；
（ 2）它的动能转换成势能；
（ 3）它从相邻的一段媒质元获得能量，
其能量逐渐增加；
（ 4）它把自己的能量传给相邻的一段媒质元，
其能量逐渐减小；
2.能量密度由介质元振动能量
VuxtAEEE dddd pk )(s i n 222
)(s i n 222 uxtAVEwdd
得 能量密度,
平均能量密度
T tuxtATw 0 222 )(s i n1 d 2221 A?
3.能流密度：
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量方向相同能量传播方向与 u?
uAI 2221
能流密度 ——波的强度的能量内通过 St
StuwE
uAuwSt EI 2221
S? S?
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例,已知,柱面波、均匀介质、不计吸收求,A与 r,I与 r关系,柱面波波函数
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解,取半径分别为,,
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高 h 的柱面 21,SS
1r
2r
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柱面波波函数 ])(co s [
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A0,离波源单位距离处质点振动的振幅。
自行推导球面波波函数教材 P424 [例 5],])(c o s [
00 u
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§ 14.4 多普勒效应 录象 1-2-1（ 16分钟）
多普勒效应,由于波源或观测者的运动，导致观测者所接收到的波动频率与波源的振动频率不相等的现象。
要点：
设：波速 u；
观测者：相对介质速率 vr,接收频率波源：相对介质速率 vs,振动频率
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三种典型情况：
1.相对于介质，波源静止，观测者以速率 vr 运动频率变化原因：接收波的范围变化。
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v
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,0
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波源运动：观测者观测者朝向波源运动：
背离
2.相对于介质，观测者静止，波源以速率 vs 运动频率变化原因：接收波的波长变化。
s
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3.波源和观测者均相对于介质运动
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运动：波源观测者运动：波源观测者背向与相向与练习 1,公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度，所用雷达波的频率为 。发出的雷达波被一迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频率为 的拍频。此汽车是否已超过了限定车速?
Hz100.5 10?
Hz101.1 4?
-1hkm?100
解：
雷达波传播速率：
设汽车速率为 v
-1sm 8103u
测速仪发射的雷达波频率为 Hz100.5 10
s?
发射波与接收波形成的拍频为 Hz101.1 4
多普勒效应广泛应用于迅速、准确的速度测量。
1）雷达波由测速仪 ——汽车：
波源静止，接收器运动，汽车接收到的频率为
s
rr
r u
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2）雷达波由汽车 ——测速仪：
接收器静止，波源运动，测速仪接收到的由汽车反射的雷达波频率为
svu
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发射波与接收波形成的拍频为
ssss vu
v
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21
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得汽车速率：
-1-1
10
48
hkm119sm331052 101.11032
s
uv
汽车超速行驶。
练习 2,主动脉内血液的流速一般是 0.32m/s，今沿血流方向发射 4.0MHz的超声波，该红血球反射回的波与原发射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内传播速度为 1.54× 103 m/s 。
解：
Hz1066.1
1054.1
100.432.02
22
1
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6
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病例,“经颅多普勒,检查结果结论,两侧中动脉，基底动脉血流减缓，供血不足。
声学,研究物质中机械波的产生、传播、接收及其与物质的相互作用，是一门既古老、又前沿的学科
§ 14.3 声波、超声、次声（了解）
声波特点：
1,频率范围广
1610~
Hz
Hz
Hz
Hz
20~10
102~20
10~102
10~105
4
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84
128
特超声声子具有量子性质进入微观领域分子热运动
Hz10~10 1412
超声可听声次声 ——穿透力特强、用于研究大气、海洋、地壳
3.与其它学科相互渗透，应用面广超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学 ……
超声显微镜,给出物理弹性象（分辨率 ）?A500
次声武器,与人体器官（固有频率 3~17Hz）共振口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计 …,..
2.传播介质广 （各种气、液、固、等离子体 … )
穿透力强 （与原子、电子、空穴、位错,… 均作用）
是探索物质结构三大技术之一声学电磁学粒子作用
§ 14.5 非线性波简介（了解）
一、非线性效应对波动的影响实际介质 非线性微分方程 非线性波波动方程 解理想弹性介质波动方程 线性微分方程解线性波强度较小时略去非线性效应波强度较大时，不能忽略非线性效应的影响。
波强度较大时，非线性效应的影响：
1,波速不仅与介质性质有关,而且与振动状态有关。
介质元位移不同时，波速 u 不相等。
2.波形随传播距离增加发生越来越大的畸变。原来单一频率的波可以变成含有各高次谐频的复合波。
3.由于介质对波能的吸收通常随着波的频率增高而增大，所以波形畸变使波的能量向高次谐频转移导致介质对波能的吸收增大。
4.叠加原理对非线性波失效。
二,实例：孤波发现,1834年，英国，罗素 （运河中发现，水槽中重现）
传播中波形不变两孤波相遇分开后保持原波速和波形。具有经典粒子和波的大部分性质 ——孤立子处在空间有限范围稳定性：
完整性：
定域性：
特性成因：
非线性效应,改变波形色散效应,改变波形一定条件下相互抵消，使波形不变。
三,应用
KDV方程,用于描述浅水波，等离子体离子波,..
Sine-Gordon方程：
用于电荷密度波，晶格位错传播，基本粒子模型非线性薛定谔方程：
用于深水波、非线性光学、一维铁磁体,..
光孤子传播光纤通讯，
DNA的解链和复制，
蛋白质中能量、信息的高速传递 ……
第十四章教学要求：
掌握,平面简谐行波的特征量、波函数、波形曲线、能流密度理解,多普勒效应了解,电磁波、声波、孤波大作业 1：自学报告内容,1）阻尼振动、受迫振动、共振；
2）电磁振荡、电磁波要求,1）突出研究方法、物理意义方面的理解和比较；
2）有重点，有特色，格式不限
3）第 10周交报告（计入平时成绩）。
任选其一
