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本章共 8讲第四篇 振动与波动第 15章 波的干涉、衍射和偏振第十五章 波的干涉、衍射和偏振把简单的事情考虑得很复杂,
可以发现新领域；把复杂的现象看得很简单,可以发现新定律 。
-----牛顿 （ 英,1642－ 1727）
I,Newton
结构框图波的叠加原理惠更斯 -菲涅耳原理光的干涉光的衍射光的偏振
*傅立叶光学简介光的横波性两条原理 （以机械波为例） 三种现象应用于光波学时,16
难点：
驻波，光的空间相干性和时间相干性，
光的衍射，双折射，
重点：
波的叠加原理，惠更斯 -菲涅耳原理，
波的相干条件，驻波，
光程和光程差，杨氏双缝，劈尖，牛顿环，
单缝、光栅的夫琅和费衍射，
起偏和检偏，马吕斯定律，布儒斯特定律
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
1.当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
实质,振动的叠加一,波的叠加原理条件,波源：线性振动波：线性波介质中各质点均线性振动
2.通过相遇区域以后，波保持各自特征继续传播，就和未相遇过一样。
注意比较粒子相遇与波相遇时的不同情况二,波的干涉 —— 波叠加中最简单、重要的特例振动方向相同频率相同相位差恒定
(波源初相差稳定，介质稳定）
1.相干条件发波水槽实验
（演示实验室）
2.干涉现象的本质设相干波源
:1o )c o s ( 111 tAΨ
:2o )c o s ( 222 tAΨ
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
在 P 点引起的振动：
]2c o s [ 1111 rtAΨ p
]2c o s [ 2222 rtAΨ p
)](2co s [2 1212212221 rrAAAAA
)2c o s ()2c o s (
)2s i n ()2s i n (
2
22
1
11
2
22
1
11
r
ArA
rArA
a r c t g
式中 A,φ（参看教材 394页）
)(co s21 tAΨΨΨ ppp
P 点的合振动,
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
令
)(2 12
12
rr
=波源初相差 +由波程差引起的相位差即：
得 c o s2
212221 AAAAA
,2AI?由 P点合振动强度, c o s2
2121 IIIII
干涉项由于 12 恒定
取决于两波传至相遇点的波程差,21 rr
u?
u?
1r
2r1O
2O
P
1r?
2r? P?
对空间确定点 P或 P'
有确定值有确定值,I?
对空间不同点 P和 P'
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间 稳定 的 非均匀 分布 — 干涉现象相同的点，振动强度相同，其集合为双曲面干涉条纹,双曲面族
3.干涉相长和相消的条件
,
2
21 AAA
k
2121 2 IIIII
相长 相间排列|,| )12(
21 AAA
k
2121 2 IIIII
相消
,2,1,0k
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消）
的位置讨论：
c o s2 2121 IIIII
2
12
由
（ 2）
2
21
21 rr?
k
2)12(
k
－相长
－相消
,2,1,0k
特例：
11 42 IIAA
（ 1） 2121 IIAA
相长处：
相消处：
00 IA
相长相消相长相消练习 1.是非题
(1)两列不满足相干条件的波不能叠加
(3)两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之和,又不是零，则该点既不是振动最强点，又不是振动最弱点,
(2)两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好等于两波振幅之和。这两列波为相干波,
(4)在波的干涉现象中，波动相长各点或波动相消各点的集合的形状为双曲面族
√
练习 2.
两相干波源 A,B 位置如图所示，频率?=100Hz，
波速 u =10 m/s,?A-?B=?，求,P 点振动强弱。
A B
P
m20
5m1 Br
解：
m1010010,u
5m1A?r
22B 2015r
2 0 12 0 02 ABAB rr
P点干涉相消 |AA|A 21
2121 2 IIIII
练习 3,教材 P509 15-3
已知：
2,4 201002121
IIISS,为相干波源，相距、
求,外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
解,点外侧）对 PS
11
4222 121020 rr
干涉相消，合成波 0,0 IA
外侧不振动即 1S
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA
外侧各点振动最强。即 2S
点外侧）对 PS?22
04222 121020 rr
之间如何？思考,21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播三、驻波右行波,)2c o s (
111
xtAΨ
左行波,)2c o s (
212
xtAΨ
以坐标原点为参考点，向右为正方向。
2
2;
2 1212
xt令：
则, c o s;c o s 1211 AA
1.驻波的形成条件,相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播,
xo
u? u?
合成波：
2
c o s
2
2c o s2
c o sc o s2
1212
1
121
txA
A
振幅随 x 变化波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点的振动，不是行波，称为 驻波 。
振动最强 位置：12 AA? 波腹振动相消 A=0 位置,波节其余点 120 AA
a,c,e,g...
始终不振动 A=0，
称 波节
o,b,d,f,..
振动最强
,2 1AA?
称 波腹其余点 120 AA
2,特征
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点的振动,
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
2
)2(
相距两相邻波腹（或波节）
(3)相邻波节之间各点同相同一波节两侧的点反相稳定的分段振动
(4)能流密度
0)21(21 221221 uAuAI
附近周期性转移。
在波腹、波节、不向前传播能量。 pk EE
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
:2,0 Tt?
最大）集中于波节附近（形变各质点最大位移
p
k,0,0
EE
Ev
:43,4 TTt?
,,0
,
kp EEE
变为零各质点达平衡位置，形
)( 速率最大集中于波腹附近
.pk 性转移在波腹、波节附近周期,EE?
如何理解？
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
(5) 驻波系统的固有频率：
总之：
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应,驻”波
2nnL
n
L
n
2
L
nuuv
n
n 2
),3,2,1(n
所有可能的振动方式,简正模式基频 谐频
1m ax 2 AA?由得波腹位置：
kx 22 12
1242 kx ),2,1,0(k
解：
例,由 合成波波函数：
求 波腹和波节的位置
2co s22co s2 12121 txA
0min?A由得波节位置：
)(44)12( 12 kx ),2,1,0(k
2)12(2
2 12
kx
3,半波损失波在两种不同介质界面上的反射全波反射半波反射自由端反射波密 波疏界面反射特征阻抗,大uz 小uz
反射波与入射波在反射点同相波腹反射波与入射波在反射点反相固定端反射波疏 波密界面反射波节?相位突变半波损失思考,用能量守恒说明半波损失的原因参看,杨建华、苏蕙蕙,,大学物理重大难点辅导,
成都科大出版社,1993,P247。
4,驻波 应用举例：
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器，激光器谐振腔量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …,..
u?
v?
解 1.
u?
v?
解 2.
注意,是 半波反射,反射点应为波节。
练习,画图中入射波在界面的反射波形
u? 波疏 波密
v?
练习,教材 P509 15-8
求,1）入射波函数；
2）反射波函数；
3） x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
t=0时 原点处 为反射点Pv,0,0 00
已知,平面简谐行波 A、,u 沿 +x 传播?
u?
xo
P
43?
波疏 波密
20
原点初相
)22c o s (0 tA
解,1） t=0时 原点处
,0,0 00 v?
u?
xo
P
43?
波疏 波密
]2)(2c o s [ uxtAΨ
入射波函数：
实际上 P为波节,0
反入 PPp ΨΨΨ
反射波函数：
]2)(2c o s [])4
3
(2c o s [
uxtvAu
x
tvAΨ 反
]2)(2c o s [ uxtAΨ
2) 入射波在反射点 P引起的振动
vtAutvAΨ P 2c o s]2)4
3
(2c o s [入反射波在 P点振动 )2c o s ( vtAΨ
P反半波损失
u?
xo
P
43?
波疏 波密
3）入射波、反射波干涉静止条件：
又?
4
3?x,2,1,0,1 k
即所求波节位置,?,
4
5,
4
3,
4,4,4
3x
由
)12(4412 kxu vx
得
4)12(
kx
]2)(2c o s [ uxtAΨ
]2)(2c o s [ uxtAΨ 反
本章共 8讲第四篇 振动与波动第 15章 波的干涉、衍射和偏振第十五章 波的干涉、衍射和偏振把简单的事情考虑得很复杂,
可以发现新领域；把复杂的现象看得很简单,可以发现新定律 。
-----牛顿 （ 英,1642－ 1727）
I,Newton
结构框图波的叠加原理惠更斯 -菲涅耳原理光的干涉光的衍射光的偏振
*傅立叶光学简介光的横波性两条原理 （以机械波为例） 三种现象应用于光波学时,16
难点：
驻波，光的空间相干性和时间相干性，
光的衍射，双折射，
重点：
波的叠加原理，惠更斯 -菲涅耳原理，
波的相干条件，驻波，
光程和光程差，杨氏双缝，劈尖，牛顿环，
单缝、光栅的夫琅和费衍射，
起偏和检偏，马吕斯定律，布儒斯特定律
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
1.当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
实质,振动的叠加一,波的叠加原理条件,波源：线性振动波：线性波介质中各质点均线性振动
2.通过相遇区域以后，波保持各自特征继续传播，就和未相遇过一样。
注意比较粒子相遇与波相遇时的不同情况二,波的干涉 —— 波叠加中最简单、重要的特例振动方向相同频率相同相位差恒定
(波源初相差稳定，介质稳定）
1.相干条件发波水槽实验
（演示实验室）
2.干涉现象的本质设相干波源
:1o )c o s ( 111 tAΨ
:2o )c o s ( 222 tAΨ
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
在 P 点引起的振动：
]2c o s [ 1111 rtAΨ p
]2c o s [ 2222 rtAΨ p
)](2co s [2 1212212221 rrAAAAA
)2c o s ()2c o s (
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2
22
1
11
2
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1
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式中 A,φ（参看教材 394页）
)(co s21 tAΨΨΨ ppp
P 点的合振动,
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
令
)(2 12
12
rr
=波源初相差 +由波程差引起的相位差即：
得 c o s2
212221 AAAAA
,2AI?由 P点合振动强度, c o s2
2121 IIIII
干涉项由于 12 恒定
取决于两波传至相遇点的波程差,21 rr
u?
u?
1r
2r1O
2O
P
1r?
2r? P?
对空间确定点 P或 P'
有确定值有确定值,I?
对空间不同点 P和 P'
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间 稳定 的 非均匀 分布 — 干涉现象相同的点，振动强度相同，其集合为双曲面干涉条纹,双曲面族
3.干涉相长和相消的条件
,
2
21 AAA
k
2121 2 IIIII
相长 相间排列|,| )12(
21 AAA
k
2121 2 IIIII
相消
,2,1,0k
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消）
的位置讨论：
c o s2 2121 IIIII
2
12
由
（ 2）
2
21
21 rr?
k
2)12(
k
－相长
－相消
,2,1,0k
特例：
11 42 IIAA
（ 1） 2121 IIAA
相长处：
相消处：
00 IA
相长相消相长相消练习 1.是非题
(1)两列不满足相干条件的波不能叠加
(3)两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之和,又不是零，则该点既不是振动最强点，又不是振动最弱点,
(2)两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好等于两波振幅之和。这两列波为相干波,
(4)在波的干涉现象中，波动相长各点或波动相消各点的集合的形状为双曲面族
√
练习 2.
两相干波源 A,B 位置如图所示，频率?=100Hz，
波速 u =10 m/s,?A-?B=?，求,P 点振动强弱。
A B
P
m20
5m1 Br
解：
m1010010,u
5m1A?r
22B 2015r
2 0 12 0 02 ABAB rr
P点干涉相消 |AA|A 21
2121 2 IIIII
练习 3,教材 P509 15-3
已知：
2,4 201002121
IIISS,为相干波源，相距、
求,外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
4? u?
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1S 2SP P?
解,点外侧）对 PS
11
4222 121020 rr
干涉相消，合成波 0,0 IA
外侧不振动即 1S
4? u?
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干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA
外侧各点振动最强。即 2S
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04222 121020 rr
之间如何？思考,21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播三、驻波右行波,)2c o s (
111
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左行波,)2c o s (
212
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以坐标原点为参考点，向右为正方向。
2
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2 1212
xt令：
则, c o s;c o s 1211 AA
1.驻波的形成条件,相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播,
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合成波：
2
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c o sc o s2
1212
1
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A
振幅随 x 变化波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点的振动，不是行波，称为 驻波 。
振动最强 位置：12 AA? 波腹振动相消 A=0 位置,波节其余点 120 AA
a,c,e,g...
始终不振动 A=0，
称 波节
o,b,d,f,..
振动最强
,2 1AA?
称 波腹其余点 120 AA
2,特征
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点的振动,
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
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2
)2(
相距两相邻波腹（或波节）
(3)相邻波节之间各点同相同一波节两侧的点反相稳定的分段振动
(4)能流密度
0)21(21 221221 uAuAI
附近周期性转移。
在波腹、波节、不向前传播能量。 pk EE
u?
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:2,0 Tt?
最大）集中于波节附近（形变各质点最大位移
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:43,4 TTt?
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,
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变为零各质点达平衡位置，形
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u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
(5) 驻波系统的固有频率：
总之：
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应,驻”波
2nnL
n
L
n
2
L
nuuv
n
n 2
),3,2,1(n
所有可能的振动方式,简正模式基频 谐频
1m ax 2 AA?由得波腹位置：
kx 22 12
1242 kx ),2,1,0(k
解：
例,由 合成波波函数：
求 波腹和波节的位置
2co s22co s2 12121 txA
0min?A由得波节位置：
)(44)12( 12 kx ),2,1,0(k
2)12(2
2 12
kx
3,半波损失波在两种不同介质界面上的反射全波反射半波反射自由端反射波密 波疏界面反射特征阻抗,大uz 小uz
反射波与入射波在反射点同相波腹反射波与入射波在反射点反相固定端反射波疏 波密界面反射波节?相位突变半波损失思考,用能量守恒说明半波损失的原因参看,杨建华、苏蕙蕙,,大学物理重大难点辅导,
成都科大出版社,1993,P247。
4,驻波 应用举例：
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器，激光器谐振腔量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …,..
u?
v?
解 1.
u?
v?
解 2.
注意,是 半波反射,反射点应为波节。
练习,画图中入射波在界面的反射波形
u? 波疏 波密
v?
练习,教材 P509 15-8
求,1）入射波函数；
2）反射波函数；
3） x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
t=0时 原点处 为反射点Pv,0,0 00
已知,平面简谐行波 A、,u 沿 +x 传播?
u?
xo
P
43?
波疏 波密
20
原点初相
)22c o s (0 tA
解,1） t=0时 原点处
,0,0 00 v?
u?
xo
P
43?
波疏 波密
]2)(2c o s [ uxtAΨ
入射波函数：
实际上 P为波节,0
反入 PPp ΨΨΨ
反射波函数：
]2)(2c o s [])4
3
(2c o s [
uxtvAu
x
tvAΨ 反
]2)(2c o s [ uxtAΨ
2) 入射波在反射点 P引起的振动
vtAutvAΨ P 2c o s]2)4
3
(2c o s [入反射波在 P点振动 )2c o s ( vtAΨ
P反半波损失
u?
xo
P
43?
波疏 波密
3）入射波、反射波干涉静止条件：
又?
4
3?x,2,1,0,1 k
即所求波节位置,?,
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)12(4412 kxu vx
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