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本章共 2讲第四篇 振动与波动第 14章 波的产生和传播第十四章 波的产生和传播事实上，如一个硬币的两面，科学和艺术源于人类活动最高尚的部分，都追求着深刻性、普遍性、永恒和富有意义。
－－－ 李政道 （ 1926－ ）
获 1957年诺贝尔物理奖结构框图：
平面简谐行波特征量波函数能 量多普勒效应*电磁波
*声 波
*非线性波简介重点：
波动与振动的关系，
波的特征量，
平面简谐行波的波函数，波形曲线，
波的能流密度，
多普勒效应学时,4
难点：
平面简谐行波的波函数，多普勒效应电磁波的产生和传播
§ 14.1 平面简谐行波一,平面简谐行波振动在空间传播 波动波源 介质真空振动的相位（状态）和能量振动质点引起邻近质点的振动实际振动都是有阻尼的阻尼摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量有序运动能量 有序运动能量波源自由振动（无能量补充） —— 波动不能长期维持受迫振动（有能量补充） —— 波动才能长期维持简谐振动 简谐波 （ 波源及介质中各质点均作谐振动 ）
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上任一点切线方向为该点波传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,
平面波,..）
波前 (波阵面 ),传在最前面的波面波面波线波面 波线在各向同性均匀介质中，
波线为直线，
波线与波面垂直二、波的特征量波的特征,空间和时间上的周期性
、频率周期 T.1
即介质中各质点振动的周期和频率，由波源振动情况决定。
描述波动的时间周期性
T
1 时间频率
波长.2
同一波线上，相邻的相位差为?2 的两点间的距离描述波动的空间周期性
1?k 空间频率平面简谐行波波面为平面 传播中的波，与“驻波”相对照而言。
时间周期性空间周期性在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度：
Tu
波速由介质的性质决定介质密度弹性模量?u （ P421 [例 4] 推导）
3,波速 u?
注意区分：
相位传播速度：在各向同性介质中为常数质点振动速度
)s i n ( 0 tAtyv dd
方向平行,纵波方向垂直,横波:v:u?
固体：
TuGuYu 弦上波横波纵波 ;;
流体：
Bu?纵波弹性模量杨氏模量 Y
LS
FL
LL
SF
Y
应变应力切变模量 G
应变应力?G
dS
FD
Dd
SF
应变应力?B
V
V
P
体变模量 B
三、波形曲线思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布对横波,直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置，
x
o
u?
2
波峰波谷纵波的波形曲线
x
ψ
振动曲线 波形曲线图形研究对象物理意义特征注意,波形曲线与振动曲线比较某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律
v?
由振动曲线可知某时刻其方向参看下一时刻状况初相周期 T,振幅 A 0?
由波形曲线可知该时刻各质点位移只有 t=0时刻波形才能提供初相波长?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点v?
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
A
t
P
t0
T
v?
o
A
xPt0
v?o
u?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）、、,tzyxΨΨ (?
波函数,振动量 Ψ 随时间、空间的变化规律
建立波函数的依据波的空间、时间 周期性沿波传播方向各质点振动状态（相位）相继落后
（滞后效应）
上章 简谐振动：微分方程 积分形式本章 平面简谐波：积分形式 微分方程解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,
建立一维坐标。
设 P为波线上任意一点，坐标 x
P(x) xo
u?
只讨论一维情况,
对平面简谐行波 的数学形式建立 ),( txΨΨ?
已知,波线上任一点 O的振动方程
)c o s ( 0 tAΨ o
、向右传播波速 u
求,该平面简谐波波函数 )( txΨΨ,?
方法 1 O的振动状态传到 P所需时间
u
xt
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt
即
)()( 0 ttΨtΨ p
])(c o s [ 0 uxtA
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ (1)
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 tAΨ
参考点
P(x) xo
u?
由于
2uuT (1),(2) 是一致的
)2c o s ( 0 xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 xtAtxΨ (2)
2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O 落后
2?x
方法 2
P(x) xo
u?
平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 xtA
])(2c o s [ 0 xTtA
])(2c o s [ 0?
xutA
)(0 曲线方程处质点振动方程即 tx
时当给定 0)1 xx?
])(c o s [)(),( 000 uxtAtΨtxΨ
.)(0 方程时刻的波形曲线即 xt
时当给定 0)2 tt?
])(c o s [)(),( 000 uxtAxΨtxΨ
均变化时、当 tx)3
对应跑动的波形
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ
u?
)2co s (
])(co s [),(
0
0
x
tA
u
x
tAtxΨ
练习 1,建立向 -x 方向传播的简谐行波波函数以参考点为原点 )co s (
00 tAΨ
P相位比 O超前
ttΨtΨ P 0
P(x) xo
u?
练习 2.移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,)c o s ( tAΨ
C xu?沿波速
mm 8,5 BCCOOC
求,
点振动方程。并写出为原点建立波函数、，分别以
B
OO?
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
（ 1）以 O为坐标原点
P离参考点 C的距离 5 xx
])5(c o s [])(c o s [ uxtAuxtAΨ
代入将 3Bx
])8(c o s [])53(c o s [ utAutAΨ B
解,
以 C为参考点,)c o s ( tAΨ
C
设 P为波线上任意一点
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
代入将 13Bx
])8(c o s [])513(c o s [ utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点的振动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ uxtAuxtAΨ
为坐标原点以 O?)2(
P离参考点距离 5 xx
u
)(mx
B O O?
55
8
C P
即解：,t?设新的时间坐标为,的关系与 tt?
050 tt 050 tt
代入原 波函数,
)]050(104[c o s040 txΨ?
]2)52(10c o s [040 xt
与原函数比较：
)52(10c o s040 xtΨ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相练习 3,更换计时起点后如何建立波函数已知,)104(c o s040 txΨ
求,将计时起点延后 0.05 s 情况下的波函数
SI
练习 4,已知平面简谐波在 t =2s 时波形，求波函数已知,?,,uA 传、波向 x? 波形s2?t
求,)( txy,
解,时间变换,2 tt令时刻波形该波形为 0t
思考,写原点振动方程
u?
原点处 0
0?y 00?v
得
20
将 代入2 tt
]2)2(2c o s [ uxtuAy （ SI）
得原点振动方程
)22c o s (0 tuAy
]2)(2c o s [ uxtuAy
波函数：
A
o x
0,0 tx
u?
练习 5,由波形曲线和振动曲线建立波函数已知,平面简谐波 t = 0 时波形波线上 x = 1 m 处 P 点振动曲线求,波函数 （ 1） 以 O 为参考点
（ 2） 以 P 为参考点
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
解,由图可知,m20A m2 s20T
则 1102 s
T 1sm10 Tu?
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
（ 1）以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
O在 t=0 时刻过平衡位置向正向运动
2
3
0?
)2310c o s (2.00 tΨ
]23)10(10c o s [2.0 xtΨ
波向 -x方向传播：
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
波向 -x方向传播
]2)10 1(10c o s [20 xtΨ
]2)10(10c o s [20 xt
（ 2）以 P为参考点，先写 P的振动方程
P的初相：
2
p )210c o s (20 tΨ p
五,波动方程的微分形式（了解）
1,一维情况由
])(c o s [ uxtAΨ
])(s i n [ uxtuAxΨ
])(co s [2
2
2
2
uxtu Ax Ψ
得
])(s i n [ uxtAtΨ
])(c o s [22
2
uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
线性微分方程引入拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
波动的微分方程表示为
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ?
本章共 2讲第四篇 振动与波动第 14章 波的产生和传播第十四章 波的产生和传播事实上，如一个硬币的两面，科学和艺术源于人类活动最高尚的部分，都追求着深刻性、普遍性、永恒和富有意义。
－－－ 李政道 （ 1926－ ）
获 1957年诺贝尔物理奖结构框图：
平面简谐行波特征量波函数能 量多普勒效应*电磁波
*声 波
*非线性波简介重点：
波动与振动的关系，
波的特征量，
平面简谐行波的波函数，波形曲线，
波的能流密度，
多普勒效应学时,4
难点：
平面简谐行波的波函数，多普勒效应电磁波的产生和传播
§ 14.1 平面简谐行波一,平面简谐行波振动在空间传播 波动波源 介质真空振动的相位（状态）和能量振动质点引起邻近质点的振动实际振动都是有阻尼的阻尼摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量有序运动能量 有序运动能量波源自由振动（无能量补充） —— 波动不能长期维持受迫振动（有能量补充） —— 波动才能长期维持简谐振动 简谐波 （ 波源及介质中各质点均作谐振动 ）
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上任一点切线方向为该点波传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,
平面波,..）
波前 (波阵面 ),传在最前面的波面波面波线波面 波线在各向同性均匀介质中，
波线为直线，
波线与波面垂直二、波的特征量波的特征,空间和时间上的周期性
、频率周期 T.1
即介质中各质点振动的周期和频率，由波源振动情况决定。
描述波动的时间周期性
T
1 时间频率
波长.2
同一波线上，相邻的相位差为?2 的两点间的距离描述波动的空间周期性
1?k 空间频率平面简谐行波波面为平面 传播中的波，与“驻波”相对照而言。
时间周期性空间周期性在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度：
Tu
波速由介质的性质决定介质密度弹性模量?u （ P421 [例 4] 推导）
3,波速 u?
注意区分：
相位传播速度：在各向同性介质中为常数质点振动速度
)s i n ( 0 tAtyv dd
方向平行,纵波方向垂直,横波:v:u?
固体：
TuGuYu 弦上波横波纵波 ;;
流体：
Bu?纵波弹性模量杨氏模量 Y
LS
FL
LL
SF
Y
应变应力切变模量 G
应变应力?G
dS
FD
Dd
SF
应变应力?B
V
V
P
体变模量 B
三、波形曲线思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布对横波,直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置，
x
o
u?
2
波峰波谷纵波的波形曲线
x
ψ
振动曲线 波形曲线图形研究对象物理意义特征注意,波形曲线与振动曲线比较某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律
v?
由振动曲线可知某时刻其方向参看下一时刻状况初相周期 T,振幅 A 0?
由波形曲线可知该时刻各质点位移只有 t=0时刻波形才能提供初相波长?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点v?
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
A
t
P
t0
T
v?
o
A
xPt0
v?o
u?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）、、,tzyxΨΨ (?
波函数,振动量 Ψ 随时间、空间的变化规律
建立波函数的依据波的空间、时间 周期性沿波传播方向各质点振动状态（相位）相继落后
（滞后效应）
上章 简谐振动：微分方程 积分形式本章 平面简谐波：积分形式 微分方程解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,
建立一维坐标。
设 P为波线上任意一点，坐标 x
P(x) xo
u?
只讨论一维情况,
对平面简谐行波 的数学形式建立 ),( txΨΨ?
已知,波线上任一点 O的振动方程
)c o s ( 0 tAΨ o
、向右传播波速 u
求,该平面简谐波波函数 )( txΨΨ,?
方法 1 O的振动状态传到 P所需时间
u
xt
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt
即
)()( 0 ttΨtΨ p
])(c o s [ 0 uxtA
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ (1)
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 tAΨ
参考点
P(x) xo
u?
由于
2uuT (1),(2) 是一致的
)2c o s ( 0 xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 xtAtxΨ (2)
2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O 落后
2?x
方法 2
P(x) xo
u?
平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 xtA
])(2c o s [ 0 xTtA
])(2c o s [ 0?
xutA
)(0 曲线方程处质点振动方程即 tx
时当给定 0)1 xx?
])(c o s [)(),( 000 uxtAtΨtxΨ
.)(0 方程时刻的波形曲线即 xt
时当给定 0)2 tt?
])(c o s [)(),( 000 uxtAxΨtxΨ
均变化时、当 tx)3
对应跑动的波形
])(c o s [),( 0 uxtAtxΨ
u?
)2co s (
])(co s [),(
0
0
x
tA
u
x
tAtxΨ
练习 1,建立向 -x 方向传播的简谐行波波函数以参考点为原点 )co s (
00 tAΨ
P相位比 O超前
ttΨtΨ P 0
P(x) xo
u?
练习 2.移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,)c o s ( tAΨ
C xu?沿波速
mm 8,5 BCCOOC
求,
点振动方程。并写出为原点建立波函数、，分别以
B
OO?
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
（ 1）以 O为坐标原点
P离参考点 C的距离 5 xx
])5(c o s [])(c o s [ uxtAuxtAΨ
代入将 3Bx
])8(c o s [])53(c o s [ utAutAΨ B
解,
以 C为参考点,)c o s ( tAΨ
C
设 P为波线上任意一点
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
代入将 13Bx
])8(c o s [])513(c o s [ utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点的振动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ uxtAuxtAΨ
为坐标原点以 O?)2(
P离参考点距离 5 xx
u
)(mx
B O O?
55
8
C P
即解：,t?设新的时间坐标为,的关系与 tt?
050 tt 050 tt
代入原 波函数,
)]050(104[c o s040 txΨ?
]2)52(10c o s [040 xt
与原函数比较：
)52(10c o s040 xtΨ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相练习 3,更换计时起点后如何建立波函数已知,)104(c o s040 txΨ
求,将计时起点延后 0.05 s 情况下的波函数
SI
练习 4,已知平面简谐波在 t =2s 时波形，求波函数已知,?,,uA 传、波向 x? 波形s2?t
求,)( txy,
解,时间变换,2 tt令时刻波形该波形为 0t
思考,写原点振动方程
u?
原点处 0
0?y 00?v
得
20
将 代入2 tt
]2)2(2c o s [ uxtuAy （ SI）
得原点振动方程
)22c o s (0 tuAy
]2)(2c o s [ uxtuAy
波函数：
A
o x
0,0 tx
u?
练习 5,由波形曲线和振动曲线建立波函数已知,平面简谐波 t = 0 时波形波线上 x = 1 m 处 P 点振动曲线求,波函数 （ 1） 以 O 为参考点
（ 2） 以 P 为参考点
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
解,由图可知,m20A m2 s20T
则 1102 s
T 1sm10 Tu?
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
（ 1）以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
O在 t=0 时刻过平衡位置向正向运动
2
3
0?
)2310c o s (2.00 tΨ
]23)10(10c o s [2.0 xtΨ
波向 -x方向传播：
)(mx
)(mΨ
p
10 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.20.1
0.2
波向 -x方向传播
]2)10 1(10c o s [20 xtΨ
]2)10(10c o s [20 xt
（ 2）以 P为参考点，先写 P的振动方程
P的初相：
2
p )210c o s (20 tΨ p
五,波动方程的微分形式（了解）
1,一维情况由
])(c o s [ uxtAΨ
])(s i n [ uxtuAxΨ
])(co s [2
2
2
2
uxtu Ax Ψ
得
])(s i n [ uxtAtΨ
])(c o s [22
2
uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
线性微分方程引入拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
波动的微分方程表示为
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ?
