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本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 17章 量子力学的基本原理
§ 17.4 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一 ·一维无限深势阱
1·模型的建立,是微观粒子被局限于某区域中，并在该区域内可以自由运动的问题的简化模型。
U
例如,金属中自由电子简化受规则排列的晶格点阵作用相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势能墙的阻碍 —— 势阱认为金属中自由电子不能逸出表面 —— 无限深势阱
o a
o a
U
可解释金属导热、导电、顺磁性 …
例如,两栅极间的电子
G? C?
电子在两栅极间可自由运动
0GG UU
CGGC UU
CGGC UU
使电子返回栅极间区域电子只能在两栅极间自由运动
2,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
U(x) = 0 (0 < x < a)
axx,0
势函数设粒子在一维无限深势阱运动
o a
U
x
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(2dd 22
2
UEmx?
得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a02
d
d
22
2
Emx?
axx,0 02dd 222 Emx?
o a
U
x
3,求解波函数
0 （即粒子不能逸出势阱）axx,0
02dd 222 Emx?
该方程只有解 Ψ ＝ 0
①
axmEx 002dd 222
②
令
2
2 2
mEk? 得 0dd 22
2
kx
kxBkxAx c o ss i n)(通解,
积分常数
00?）（由? 得,B = 0
kxAx s i n)(
得0)(?a?由 0s in?kaA
a
nk )3,2,1(n
4.用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx c o ss i n)(通解,
思考,n为什么不取零和负数？
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：
0)()0( a
o a
U
x
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),(
)3,2,1(n
注意,解为驻波形式于是：
a
xn
ax
s i n2)(?,.,,)3,2,1(?n
由归一化条件
1d|| 2
xΨ
1ds i nd 2
0
2*
xa xnAx
a?
aA 2?
xanAx s i n)(?,.,,)3,2,1(?n
5.讨论 解的物理意义
,1即零点能最小能量 E
粒子不可能静止不动,满足不确定关系式中
2
22
1 2 maE
1）无限深势阱中粒子的能量量子化
2
2 2
mEk?
a
nk由 得能量本征值
,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
12 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2221 212 manEEE nn
由,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
是否满足对应原理？
022 Ema?
回到经典情况，能量连续。请举实例！
En
Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2） 粒子在势阱中的概率分布经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动粒子在势阱内各处出现的概率相等量子：
振幅函数
a
xn
ax
s i n2)(?
波函数
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),(
概率密度
a
xn
axtxΨ
222 s i n2|)(||),(|
,.,,)3,2,1(?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位臵强度不等，粒子出现的概率不相同
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),( a xnaxtxΨ 222 s i n2|)(||),(|
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9 EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
,.,,,,,3,2,1,2 nnan?
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2
归一化条件，曲线下面积相等阱内各位臵粒子出现概率不同,2||? 峰值处较大能级越高，驻波波长越短，峰值数增多经典量子相同,,|| 2 n?
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
问题讨论一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子物质波波长是否一致？
,.,,,,,3,2,1,2 nnan? Eti
ea xnatxΨs i n2),(
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
解,驻波波长如图所示由
,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
,...)3,2,1(2 nn aph?
二者是一致的。
德布罗意波长：
a
nh
a
n
mEp
m
p
E
2
2
2
2
又练习,粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，
。区间发现该粒子的概率求在 4~0 a
解：
)d(s i n2 2
4
0 a
x
a
xa
a
a
2
4
0
1008.9)2s i n412(2
a
a
x
a
x
xp
a
d||
4
0
2 x
a
x
a
a
ds i n2 2
4
0
a
x
a
22 s i n2||?
o a
n = 1
2x?
x
a/4
练习,
设粒子沿 x 方向运动，其波函数为
ix
Ax
1?
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率最大？
解,1,由归一化条件
1]a r c t gd1d1 222
22
AxAxxAxixA
得：
1?A
ixx 1
1
2.概率密度为：
2
2
2
1
1
1
1
xixx
3.令：
0dd 2?xx?
得,0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
二,势垒 隧道效应代入
0)(2dd 22
2
UEmx?
得 0
2
d
d
22
2
mEx ( x < 0 x > a)
)0( ax 0)(2
d
d
022
2
UEmx?
势函数：
)( xU
0 x < 0,x > a
0U
ax0
模型,金属表面的势能墙不是无限高，而是有限值
o a
U0
x
U
通解：
)0(11 111 xeBeA xikxik?
)0(22 222 axeBeA xikxik
)(11 333 axeBeA xikxik
令
2
2
1
2
mEk?
)(2 0222 UEmk
0dd 212
2
kx
0dd 2222 kx
( x < 0,x > a)
)0( ax
Etie乘第一项,向 x方向传播的波 [例 ])(1 1 tExkieA
第二项,向 -x方向传播的反射波 [例 ])(1 1 tExkieB
同理，第二项,向 -x方向传播的反射波)(
1
1 t
ExkieB
)co s (,11)(1 1 xktEAeA t
Exki
取实部由欧拉公式,
s i nc o s ie i
第一项,)(
1
1 t
Exki
eA
向 x方向传播的波 类比：与 )(c o s uxtAΨ
Etie乘 )0(11 111 xeBeA xikxik?说明：
由波函数连续及 势能有限跃迁处两侧一阶导数连续 得
)(
d
d
)(
d
d
)()(
)0(
d
d
)0(
d
d
)0()0(
32
32
21
21
a
x
a
x
aa
xx
可解得
21
32
,
,
BB
AA
令 11?A （以入射波强度为标准）
03?B由 ax? 处无反射波：
)0(11 111 xeBeA xikxik?
)0(22 222 axeBeA xikxik
)(11 333 axeBeA xikxik
o a
U
0
x
U
o a
U0
x
入射波 +反射波 透射波
U
越过势垒，只透射，
不反射不能越过势垒，只反射，
不透射
)0( 1?B
既透射，也反射既透射，也反射
)0( 3?A
0UE?
0UE?
经典 量子比较隧道效应,总能量 E小于势垒高度 U0的粒子也有可能贯穿势垒，到达另侧
T
U
a
0
贯穿系数：
)(22
2
01
2
3 0
||
|| EUma
x
ax eT
应用举例
E
垒。粒子和子核间的库仑势粒子穿过衰变：
粒子—结合成小单位两个质子和两个中子的结合能比较大，核内
,
He4
He4
1,解释放射性 衰变?
微观世界的“劳山道士”
2.解释黑洞的“霍金蒸发”
也可以用真空极化来解释黑洞不是绝对黑的，其内部的物质可以通过量子力学隧道效应逸出。
3,扫描隧穿显微镜（ STM)
(获 1986年诺贝尔物理奖）
宾尼希 (德）
(Gerd Binnig,1947-)
罗雷尔（瑞士）
（ Heinich Rohrer,1933-)
—— 具有原子级高分辨率，继光学显微镜、
电子显微镜之后的第三代显微镜。
基本原理,探针表面、样品表面由于隧道效应逸出的电子，
形成“电子云”
加电压形成隧穿电流 —— 对表面间距异常敏感通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
U
z
---1959年：费曼演讲,在底部还有很大的空间,
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性 …… 如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
扫描隧穿显微镜（ STM)让我们能够实现这个奇迹。
分辨率
xy方向 0.2nm
z 方向 0.005nm
在原子尺度探测
具有原子级高分辨率
在大气压下或真空中均能工作,
无损探测,可获取物质表面的三维图像。
可进行表面结构研究，实现表面纳米 ( )
级加工，为 纳米科技的发展创造了条件
m10 9?
1990年 7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。
1990年：美国国际商用机器公司（ IBM）阿尔马登研究中心科学家把 35个氙原子移动到位，组成 IBM三个字母，加起来不到 3nm。
通过移走原子构成的图形通过移走原子构成的图形分子人纳米科学技术应用实例硅表面硅原子的排列 砷化镓表面砷原子的排列碘原子在铂晶体上的吸附 量子围栏
CSTM—— 9000型扫描隧道显微镜录象（ VCD）：扫描探针显微镜,18分钟
本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 17章 量子力学的基本原理
§ 17.4 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一 ·一维无限深势阱
1·模型的建立,是微观粒子被局限于某区域中，并在该区域内可以自由运动的问题的简化模型。
U
例如,金属中自由电子简化受规则排列的晶格点阵作用相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势能墙的阻碍 —— 势阱认为金属中自由电子不能逸出表面 —— 无限深势阱
o a
o a
U
可解释金属导热、导电、顺磁性 …
例如,两栅极间的电子
G? C?
电子在两栅极间可自由运动
0GG UU
CGGC UU
CGGC UU
使电子返回栅极间区域电子只能在两栅极间自由运动
2,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
U(x) = 0 (0 < x < a)
axx,0
势函数设粒子在一维无限深势阱运动
o a
U
x
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(2dd 22
2
UEmx?
得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a02
d
d
22
2
Emx?
axx,0 02dd 222 Emx?
o a
U
x
3,求解波函数
0 （即粒子不能逸出势阱）axx,0
02dd 222 Emx?
该方程只有解 Ψ ＝ 0
①
axmEx 002dd 222
②
令
2
2 2
mEk? 得 0dd 22
2
kx
kxBkxAx c o ss i n)(通解,
积分常数
00?）（由? 得,B = 0
kxAx s i n)(
得0)(?a?由 0s in?kaA
a
nk )3,2,1(n
4.用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx c o ss i n)(通解,
思考,n为什么不取零和负数？
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：
0)()0( a
o a
U
x
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),(
)3,2,1(n
注意,解为驻波形式于是：
a
xn
ax
s i n2)(?,.,,)3,2,1(?n
由归一化条件
1d|| 2
xΨ
1ds i nd 2
0
2*
xa xnAx
a?
aA 2?
xanAx s i n)(?,.,,)3,2,1(?n
5.讨论 解的物理意义
,1即零点能最小能量 E
粒子不可能静止不动,满足不确定关系式中
2
22
1 2 maE
1）无限深势阱中粒子的能量量子化
2
2 2
mEk?
a
nk由 得能量本征值
,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
12 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2221 212 manEEE nn
由,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
是否满足对应原理？
022 Ema?
回到经典情况，能量连续。请举实例！
En
Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2） 粒子在势阱中的概率分布经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动粒子在势阱内各处出现的概率相等量子：
振幅函数
a
xn
ax
s i n2)(?
波函数
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),(
概率密度
a
xn
axtxΨ
222 s i n2|)(||),(|
,.,,)3,2,1(?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位臵强度不等，粒子出现的概率不相同
Etie
a
xn
atxΨ
s i n2),( a xnaxtxΨ 222 s i n2|)(||),(|
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9 EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
,.,,,,,3,2,1,2 nnan?
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2
归一化条件，曲线下面积相等阱内各位臵粒子出现概率不同,2||? 峰值处较大能级越高，驻波波长越短，峰值数增多经典量子相同,,|| 2 n?
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
问题讨论一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子物质波波长是否一致？
,.,,,,,3,2,1,2 nnan? Eti
ea xnatxΨs i n2),(
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE?
13 9EE?
14 16 EE?
txΨ,2x?
x
解,驻波波长如图所示由
,.,,)3,2,1(?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
,...)3,2,1(2 nn aph?
二者是一致的。
德布罗意波长：
a
nh
a
n
mEp
m
p
E
2
2
2
2
又练习,粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，
。区间发现该粒子的概率求在 4~0 a
解：
)d(s i n2 2
4
0 a
x
a
xa
a
a
2
4
0
1008.9)2s i n412(2
a
a
x
a
x
xp
a
d||
4
0
2 x
a
x
a
a
ds i n2 2
4
0
a
x
a
22 s i n2||?
o a
n = 1
2x?
x
a/4
练习,
设粒子沿 x 方向运动，其波函数为
ix
Ax
1?
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率最大？
解,1,由归一化条件
1]a r c t gd1d1 222
22
AxAxxAxixA
得：
1?A
ixx 1
1
2.概率密度为：
2
2
2
1
1
1
1
xixx
3.令：
0dd 2?xx?
得,0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
二,势垒 隧道效应代入
0)(2dd 22
2
UEmx?
得 0
2
d
d
22
2
mEx ( x < 0 x > a)
)0( ax 0)(2
d
d
022
2
UEmx?
势函数：
)( xU
0 x < 0,x > a
0U
ax0
模型,金属表面的势能墙不是无限高，而是有限值
o a
U0
x
U
通解：
)0(11 111 xeBeA xikxik?
)0(22 222 axeBeA xikxik
)(11 333 axeBeA xikxik
令
2
2
1
2
mEk?
)(2 0222 UEmk
0dd 212
2
kx
0dd 2222 kx
( x < 0,x > a)
)0( ax
Etie乘第一项,向 x方向传播的波 [例 ])(1 1 tExkieA
第二项,向 -x方向传播的反射波 [例 ])(1 1 tExkieB
同理，第二项,向 -x方向传播的反射波)(
1
1 t
ExkieB
)co s (,11)(1 1 xktEAeA t
Exki
取实部由欧拉公式,
s i nc o s ie i
第一项,)(
1
1 t
Exki
eA
向 x方向传播的波 类比：与 )(c o s uxtAΨ
Etie乘 )0(11 111 xeBeA xikxik?说明：
由波函数连续及 势能有限跃迁处两侧一阶导数连续 得
)(
d
d
)(
d
d
)()(
)0(
d
d
)0(
d
d
)0()0(
32
32
21
21
a
x
a
x
aa
xx
可解得
21
32
,
,
BB
AA
令 11?A （以入射波强度为标准）
03?B由 ax? 处无反射波：
)0(11 111 xeBeA xikxik?
)0(22 222 axeBeA xikxik
)(11 333 axeBeA xikxik
o a
U
0
x
U
o a
U0
x
入射波 +反射波 透射波
U
越过势垒，只透射，
不反射不能越过势垒，只反射，
不透射
)0( 1?B
既透射，也反射既透射，也反射
)0( 3?A
0UE?
0UE?
经典 量子比较隧道效应,总能量 E小于势垒高度 U0的粒子也有可能贯穿势垒，到达另侧
T
U
a
0
贯穿系数：
)(22
2
01
2
3 0
||
|| EUma
x
ax eT
应用举例
E
垒。粒子和子核间的库仑势粒子穿过衰变：
粒子—结合成小单位两个质子和两个中子的结合能比较大，核内
,
He4
He4
1,解释放射性 衰变?
微观世界的“劳山道士”
2.解释黑洞的“霍金蒸发”
也可以用真空极化来解释黑洞不是绝对黑的，其内部的物质可以通过量子力学隧道效应逸出。
3,扫描隧穿显微镜（ STM)
(获 1986年诺贝尔物理奖）
宾尼希 (德）
(Gerd Binnig,1947-)
罗雷尔（瑞士）
（ Heinich Rohrer,1933-)
—— 具有原子级高分辨率，继光学显微镜、
电子显微镜之后的第三代显微镜。
基本原理,探针表面、样品表面由于隧道效应逸出的电子，
形成“电子云”
加电压形成隧穿电流 —— 对表面间距异常敏感通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
U
z
---1959年：费曼演讲,在底部还有很大的空间,
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性 …… 如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
扫描隧穿显微镜（ STM)让我们能够实现这个奇迹。
分辨率
xy方向 0.2nm
z 方向 0.005nm
在原子尺度探测
具有原子级高分辨率
在大气压下或真空中均能工作,
无损探测,可获取物质表面的三维图像。
可进行表面结构研究，实现表面纳米 ( )
级加工，为 纳米科技的发展创造了条件
m10 9?
1990年 7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。
1990年：美国国际商用机器公司（ IBM）阿尔马登研究中心科学家把 35个氙原子移动到位，组成 IBM三个字母，加起来不到 3nm。
通过移走原子构成的图形通过移走原子构成的图形分子人纳米科学技术应用实例硅表面硅原子的排列 砷化镓表面砷原子的排列碘原子在铂晶体上的吸附 量子围栏
CSTM—— 9000型扫描隧道显微镜录象（ VCD）：扫描探针显微镜,18分钟
