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本章共 3讲第六篇 多粒子体系的热运动第 19章 近独立粒子体系的统计规律第十九章 近独立子系的统计规律第六篇 多粒子体系的热运动如果在某种灾变中，所有科学知识都将被毁灭，
只有一句话能传给后来的智慧生物，那么，怎样的说法能以最少的语言包含最多的信息呢？我相信那就是原子假说，即 万物皆由原子构成 。 在这一句话里 …… 有着关于这个世界的极大量的信息。
－－－－－ 费因曼
（美国,1918－ 1988）
结构框图统计方法的一般概念
(理想气体 p,T)
近独立子系的统计规律
*M-B分布
*F-D分布
*B-E分布麦克斯韦分子速率分布定律能均分定律分子碰撞的统计规律玻尔兹曼粒子按势能分布定律学时,6
重点,M— B统计在理想气体中的应用两个基本概念,p,T
四个统计规律麦克斯韦分子速率分布定律玻尔兹曼粒子按势能分布定律分子动能按自由度均分定律分子平均碰撞频率和平均自由程难点,近独立子系的最概然分布经典粒子,M—— B分布费米子,F—— D分布玻色子,B—— E分布了解
§ 19.1 统计方法的一般概念要点,1,复习 统计方法的一些 基本概念
2,推导理想气体 压强、温度 公式一、统计规律 —— 大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测,多次重复（大量出现）
伽尔顿板实验 (演示实验室 )例：
每个小球落入哪个槽是偶然的少量小球按狭槽分布有明显偶然性大量小球按狭槽分布呈现规律性掷骰子每掷一次出现点数是偶然的掷少数次，点数分布有明显偶然性掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律抛硬币每抛一次出现正反面是偶然的抛少数次，正反面分布有明显偶然性抛大量次数，正反面数约各 1/2，呈现规律性共同特点：
1.是群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来，
对少数事件不适用。
2.量变 — 质变,整体特征占主导地位，个体特征退居次要地位。
4.伴有涨落
3.与宏观条件相关 （如,伽尔顿板中钉的分布情况）
近似规律统计规律?
个体规律简单叠加统计规律?
例,气体实验定律不能仅由求解所有粒子的运动方程组导出。
用放大镜看清每个像点并不能得到传真照片的整体图像。
注意：
二、统计规律的数学形式 —— 概率理论
1,定义,设 总观测次数,N
出现结果 A 次数,AN
A 出现的概率：
N
NW A
A linN
2.意义,描述事物出现可能性的大小两类物理定律 第一类,约束不可能事件第二类,约束可能性小事件例,中微子的发现（能量不守恒的过程不可能发生）
eZAZA eYX 1衰变：
实验中出现,能量失窃,,泡利提出中微子假设，后来由实验证实违反能量守恒定律的事件不可能发生，
不违反能量守恒定律的事件是否都能发生呢？
例,一壶水在火上，会沸腾？会结冰？均不违反能量守恒。
某时刻，教室里的空气分子全部集中于左边，右边成为真空
…… 这不违反能量守恒。
不违反能量守恒定律的事件不是都能发生。
需要用概率理论描述和比较事物出现可能性的大小。
3.性质
1）叠加定理不可能同时出现的事件 —— 互斥事件出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现的概率之和：
BABA WWW
出现例,掷骰子
61:3
61:2
3
2
W
W
3
1
32W
出现 1— 6,W=1
归一化条件,出现所有可能的互斥事件的总概率为 1。
1d W
2）乘法定理相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件。
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发生时的概率之积 BABA WWW
例,同时掷两枚骰子其一出现 2：
6
1
2?W
另一出现 3：
6
1
3?W
同时发生：
36
1
6
1
6
1
32W
三、几个基本概念
1,分布函数小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
xN
Ni
概率密度随槽的位置 x变化，与槽宽 Δx成正比
iW
概率密度随 x 变化的函数关系 —— 分布函数例,伽尔顿板实验槽,1,2,3,…...
粒子数,N1,N2,N3 …...
i iNN
粒子出现在第 i 槽 内的概率为：
N
NW i
i?
该槽内小球数小球总数（大量）
粒子总数,
1,2,3,4,..,x
分布曲线
L
f(x)
o x
x xx d?
曲线下窄条面积
WNNxxfS ddd)(
x
W
xN
Nxf
d
d
d
d)(一般情况：
曲线下总面积
L
L L
WxxWxxf
0
0 0
1ddddd)(
L
f(x)
o x
类比,人口数量按年龄分布考试成绩按分数分布大气中尘埃按直径分布星系中恒星按大小分布树上苹果按大小分布河床中卵石按尺度分布雹粒按尺度分布黑体辐射能量按波长分布（已学）
麦克斯韦分子运动速率分布（将学）
…,..
颗粒度问 题
2,统计平均值分数平方平均值 22 g
N
Ng
g
g
总人数
g
gNN
人数按分数的分布 Ng
得分数 g 的概率
N
Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
分数平均值
g
g
g
g gN
NgN
Ng
1 分数值该分数出现的概率一般情况：
iii WMM
例如, vvvfWvv dd
vvfvWvv dd 222
vvfvWvv d1d1)1(
变量间隔分布函数物理量
xxMfWMM dd
物理量的统计平均值
3,涨落实际出现的情况与统计平均值的偏差例,伽尔顿板,某槽中小球数各次不完全相同，在平均值附近起伏。
掷骰子,出现 4，概率 1/6，每掷 600次，
统计平均：
实际,,,,,N 次次次次 9810210099
4?
次1004?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN,
定量描述,误差理论（物理实验课）
应用,噪声、灵敏度、耗散结构 …
4,微观量和宏观量相互关系,宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观量的统计平均值以系统整体为研究对象，表征整体特征的物理量如,cmVTp
i、、、,?
对多粒子体系的两种描述：
宏观量：
微观量：
以系统内各子系为研究对象，表征个别子系特征的物理量
iiii Emvp,、、如：
5,平衡态：
不受外界影响时，宏观量不随时间变化的状态。
（不传热、不做功，内部无热核反应、化学反应）
注意：热动平衡四、理想气体的压强公式从公式推导中领会经典气体运动理论的典型思想方法：
1)提出模型
2)统计平均
3)建立宏观量与微观量的联系
4)阐明宏观量的微观本质
1.建立模型－理想气体宏观模型,严格遵守三条实验定律的体系微观模型,无规运动的弹性质点的集合不计大小不计重量分子 分子器壁除相撞外无相互作用质点：
自由质点：
理想气体分 子弹性质点：
弹性碰撞分子 器壁分子 分子
2.统计性假设 （平衡态下）
（ 1)分子处于容器内任一位置处的概率相等（均匀分布）
分子数密度处处相等VNn?
（ 2)分子沿各方向运动的概率相同
任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NN,NNN
分子速度在各个方向分量的各种平均值相同
222 zyxzyx vvv,vvv
N
v
v
N
v
v
N
ix
x
N
ix
x
1
2
21,?
N
)vvv(
N
v
v i
iziyix
i
i
2222
2
N
v
N
v
N
v
i
z
i
y
i
x?
222
222
zyx vvv
2222
3
1 vvvv
zyx
3.公式推导 （建立宏观量与微观量的联系）
出发点,
气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均冲量
St
I
S
Fp i
个别分子服从经典力学定律
大量分子整体服从统计规律推导思路：
的分子考虑速度 iii vvv d
(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁
（ yz平面 dS）的一次碰撞而产生的冲量
kvjvivv iziyixi
方向相反不变，
ix
iziy
v
vv,
弹性碰撞：
x
z
Sd
iv
iv?
iv?
iv?
ixi vv 2
设分子质量为 m，分子受器壁的冲量：
ixmv2?
ixi mvI 2?
一个分子一次碰撞对 dS 的冲量的大小：
(2) 该速度区间所有分子在 dt时间内给予 器壁的总冲量
iii vvv d设速度 的分子数密度 )( nn
i i
in为该速度区间，在 dt时间内，
与 器壁相撞的分子数为：
Stvn ixi dd
xSd
tvix d?
iv?
z
tvid x
y
o
Sdiv?
Stvnmv ixiix dd2
该速度区间所有分子在 dt 时间内给予 器壁 dS 的总冲量为：
分子求和对所有 0)3(?xv
i
iix
v
iixi StnmvStnmvI
ix
dd221dd2 2
0
2
（ 4）得理想气体压强公式
i
i
iix
iix
i
n
nvmn
nmv
tS
Ip
2
2
dd
tx n)vm(nvnmvmn?3
2
2
1
3
2
3
1 222
为分子平均平动能式中
2
2
1 vm
t讨论：
1）计入分子间相互碰撞，是否影响上述推导和结论？
2）如果容器中不是同种分子，结果如何？
3）以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？
哪些地方应用了统计性假设？
2）道尔顿分压定律
21 ppp
总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和提示：
1）同种理想气体分子 —— 全同弹性小球非对心碰撞：导致对 dS 相撞次数增加、减少的机会相同对心碰撞,甲代乙,乙代甲所以,考虑分子间碰撞不会影响推导结果
3）请自行总结
4.阐述宏观量的微观实质
压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器壁的平均冲量。
压强公式是一个统计规律，离开“大量”、“平均”，
P 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS 足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
压强公式反映了宏观量 p与微观量统计平均值的相互关系。 t,n?
2
2
1
vm
V
N
n
t?
tnp?3
2?
与宏观量相联系的是微观量的统计平均值五,理想气体温度公式理想气体状态方程
RTNNRTMpV
A
kTnTNRVNp
A
J / K10381 23,NRk
A
玻尔兹曼常数
tnp
n kTp
3
2?
kTt 23 与气体种类无关,Tt
理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志
温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性概念，对个别分子无温度可言热运动停止，意味着0,0, tT?
热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
练习,半径 R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子质量为 m，平衡时分子数密度为 n，推导压强公式。
miv?
i?
R o 1)一个分子一次碰撞给器壁的冲量思路：
iimvI?c o s21?
2)该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔
i
i
v
Rt?co s2
3)单位时间内该分子与器壁相撞次数
i
i
R
v
t?c o s2
1?
4)单位时间内该分子对器壁的冲量
R
mv
tI
i
2
1
1?
222
22
3
4 vmnRv
R
mN
N
v
R
mN
R
mv
i
ii
5)单位时间内所有分子对器壁冲量
tnvmnvnmp?3
2)
2
1(
3
2
3
1 22
6)单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量小结
1.基本概念,统计规律，分布函数,统计平均值，
涨落，宏观量，微观量，平衡态 …
2,理想气体 p,T公式,
tnpn k Tp?3
2, kT
t 2
3
宏观现象是微观过程统计平均的结果3.基本观念：
本章共 3讲第六篇 多粒子体系的热运动第 19章 近独立粒子体系的统计规律第十九章 近独立子系的统计规律第六篇 多粒子体系的热运动如果在某种灾变中，所有科学知识都将被毁灭，
只有一句话能传给后来的智慧生物，那么，怎样的说法能以最少的语言包含最多的信息呢？我相信那就是原子假说，即 万物皆由原子构成 。 在这一句话里 …… 有着关于这个世界的极大量的信息。
－－－－－ 费因曼
（美国,1918－ 1988）
结构框图统计方法的一般概念
(理想气体 p,T)
近独立子系的统计规律
*M-B分布
*F-D分布
*B-E分布麦克斯韦分子速率分布定律能均分定律分子碰撞的统计规律玻尔兹曼粒子按势能分布定律学时,6
重点,M— B统计在理想气体中的应用两个基本概念,p,T
四个统计规律麦克斯韦分子速率分布定律玻尔兹曼粒子按势能分布定律分子动能按自由度均分定律分子平均碰撞频率和平均自由程难点,近独立子系的最概然分布经典粒子,M—— B分布费米子,F—— D分布玻色子,B—— E分布了解
§ 19.1 统计方法的一般概念要点,1,复习 统计方法的一些 基本概念
2,推导理想气体 压强、温度 公式一、统计规律 —— 大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测,多次重复（大量出现）
伽尔顿板实验 (演示实验室 )例：
每个小球落入哪个槽是偶然的少量小球按狭槽分布有明显偶然性大量小球按狭槽分布呈现规律性掷骰子每掷一次出现点数是偶然的掷少数次，点数分布有明显偶然性掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律抛硬币每抛一次出现正反面是偶然的抛少数次，正反面分布有明显偶然性抛大量次数，正反面数约各 1/2，呈现规律性共同特点：
1.是群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来，
对少数事件不适用。
2.量变 — 质变,整体特征占主导地位，个体特征退居次要地位。
4.伴有涨落
3.与宏观条件相关 （如,伽尔顿板中钉的分布情况）
近似规律统计规律?
个体规律简单叠加统计规律?
例,气体实验定律不能仅由求解所有粒子的运动方程组导出。
用放大镜看清每个像点并不能得到传真照片的整体图像。
注意：
二、统计规律的数学形式 —— 概率理论
1,定义,设 总观测次数,N
出现结果 A 次数,AN
A 出现的概率：
N
NW A
A linN
2.意义,描述事物出现可能性的大小两类物理定律 第一类,约束不可能事件第二类,约束可能性小事件例,中微子的发现（能量不守恒的过程不可能发生）
eZAZA eYX 1衰变：
实验中出现,能量失窃,,泡利提出中微子假设，后来由实验证实违反能量守恒定律的事件不可能发生，
不违反能量守恒定律的事件是否都能发生呢？
例,一壶水在火上，会沸腾？会结冰？均不违反能量守恒。
某时刻，教室里的空气分子全部集中于左边，右边成为真空
…… 这不违反能量守恒。
不违反能量守恒定律的事件不是都能发生。
需要用概率理论描述和比较事物出现可能性的大小。
3.性质
1）叠加定理不可能同时出现的事件 —— 互斥事件出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现的概率之和：
BABA WWW
出现例,掷骰子
61:3
61:2
3
2
W
W
3
1
32W
出现 1— 6,W=1
归一化条件,出现所有可能的互斥事件的总概率为 1。
1d W
2）乘法定理相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件。
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发生时的概率之积 BABA WWW
例,同时掷两枚骰子其一出现 2：
6
1
2?W
另一出现 3：
6
1
3?W
同时发生：
36
1
6
1
6
1
32W
三、几个基本概念
1,分布函数小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
xN
Ni
概率密度随槽的位置 x变化，与槽宽 Δx成正比
iW
概率密度随 x 变化的函数关系 —— 分布函数例,伽尔顿板实验槽,1,2,3,…...
粒子数,N1,N2,N3 …...
i iNN
粒子出现在第 i 槽 内的概率为：
N
NW i
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该槽内小球数小球总数（大量）
粒子总数,
1,2,3,4,..,x
分布曲线
L
f(x)
o x
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曲线下窄条面积
WNNxxfS ddd)(
x
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曲线下总面积
L
L L
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L
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类比,人口数量按年龄分布考试成绩按分数分布大气中尘埃按直径分布星系中恒星按大小分布树上苹果按大小分布河床中卵石按尺度分布雹粒按尺度分布黑体辐射能量按波长分布（已学）
麦克斯韦分子运动速率分布（将学）
…,..
颗粒度问 题
2,统计平均值分数平方平均值 22 g
N
Ng
g
g
总人数
g
gNN
人数按分数的分布 Ng
得分数 g 的概率
N
Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
分数平均值
g
g
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NgN
Ng
1 分数值该分数出现的概率一般情况：
iii WMM
例如, vvvfWvv dd
vvfvWvv dd 222
vvfvWvv d1d1)1(
变量间隔分布函数物理量
xxMfWMM dd
物理量的统计平均值
3,涨落实际出现的情况与统计平均值的偏差例,伽尔顿板,某槽中小球数各次不完全相同，在平均值附近起伏。
掷骰子,出现 4，概率 1/6，每掷 600次，
统计平均：
实际,,,,,N 次次次次 9810210099
4?
次1004?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN,
定量描述,误差理论（物理实验课）
应用,噪声、灵敏度、耗散结构 …
4,微观量和宏观量相互关系,宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观量的统计平均值以系统整体为研究对象，表征整体特征的物理量如,cmVTp
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对多粒子体系的两种描述：
宏观量：
微观量：
以系统内各子系为研究对象，表征个别子系特征的物理量
iiii Emvp,、、如：
5,平衡态：
不受外界影响时，宏观量不随时间变化的状态。
（不传热、不做功，内部无热核反应、化学反应）
注意：热动平衡四、理想气体的压强公式从公式推导中领会经典气体运动理论的典型思想方法：
1)提出模型
2)统计平均
3)建立宏观量与微观量的联系
4)阐明宏观量的微观本质
1.建立模型－理想气体宏观模型,严格遵守三条实验定律的体系微观模型,无规运动的弹性质点的集合不计大小不计重量分子 分子器壁除相撞外无相互作用质点：
自由质点：
理想气体分 子弹性质点：
弹性碰撞分子 器壁分子 分子
2.统计性假设 （平衡态下）
（ 1)分子处于容器内任一位置处的概率相等（均匀分布）
分子数密度处处相等VNn?
（ 2)分子沿各方向运动的概率相同
任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NN,NNN
分子速度在各个方向分量的各种平均值相同
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N
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222
222
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2222
3
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3.公式推导 （建立宏观量与微观量的联系）
出发点,
气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均冲量
St
I
S
Fp i
个别分子服从经典力学定律
大量分子整体服从统计规律推导思路：
的分子考虑速度 iii vvv d
(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁
（ yz平面 dS）的一次碰撞而产生的冲量
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方向相反不变，
ix
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v
vv,
弹性碰撞：
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iv?
iv?
iv?
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设分子质量为 m，分子受器壁的冲量：
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ixi mvI 2?
一个分子一次碰撞对 dS 的冲量的大小：
(2) 该速度区间所有分子在 dt时间内给予 器壁的总冲量
iii vvv d设速度 的分子数密度 )( nn
i i
in为该速度区间，在 dt时间内，
与 器壁相撞的分子数为：
Stvn ixi dd
xSd
tvix d?
iv?
z
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y
o
Sdiv?
Stvnmv ixiix dd2
该速度区间所有分子在 dt 时间内给予 器壁 dS 的总冲量为：
分子求和对所有 0)3(?xv
i
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v
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0
2
（ 4）得理想气体压强公式
i
i
iix
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2
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2
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1
3
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3
1 222
为分子平均平动能式中
2
2
1 vm
t讨论：
1）计入分子间相互碰撞，是否影响上述推导和结论？
2）如果容器中不是同种分子，结果如何？
3）以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？
哪些地方应用了统计性假设？
2）道尔顿分压定律
21 ppp
总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和提示：
1）同种理想气体分子 —— 全同弹性小球非对心碰撞：导致对 dS 相撞次数增加、减少的机会相同对心碰撞,甲代乙,乙代甲所以,考虑分子间碰撞不会影响推导结果
3）请自行总结
4.阐述宏观量的微观实质
压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器壁的平均冲量。
压强公式是一个统计规律，离开“大量”、“平均”，
P 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS 足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
压强公式反映了宏观量 p与微观量统计平均值的相互关系。 t,n?
2
2
1
vm
V
N
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t?
tnp?3
2?
与宏观量相联系的是微观量的统计平均值五,理想气体温度公式理想气体状态方程
RTNNRTMpV
A
kTnTNRVNp
A
J / K10381 23,NRk
A
玻尔兹曼常数
tnp
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3
2?
kTt 23 与气体种类无关,Tt
理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志
温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性概念，对个别分子无温度可言热运动停止，意味着0,0, tT?
热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
练习,半径 R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子质量为 m，平衡时分子数密度为 n，推导压强公式。
miv?
i?
R o 1)一个分子一次碰撞给器壁的冲量思路：
iimvI?c o s21?
2)该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔
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i
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3)单位时间内该分子与器壁相撞次数
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1?
4)单位时间内该分子对器壁的冲量
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5)单位时间内所有分子对器壁冲量
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2)
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3
1 22
6)单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量小结
1.基本概念,统计规律，分布函数,统计平均值，
涨落，宏观量，微观量，平衡态 …
2,理想气体 p,T公式,
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2, kT
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3
宏观现象是微观过程统计平均的结果3.基本观念：
