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本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 18章 量子力学应用简介
§ 18.2 固体能带理论基础一,物态物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压强等外界条件下聚集而成的稳定结构状态。
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
P
T
物态 条 件 结 构 性 质 对称性气态液态固态热运动动能 >>
分子相互作用势能完全无序无外场时自动趋向稳定、均匀的平衡态，无一定形状、
体积。
最高热运动动能 ~
分子相互作用势能
,近程有序”
（暂时、局部）
流动性，有一定体积，无一定形状。 降低热运动动能 <<
分子间相互作用势能非晶体：
短程有序晶体：
长程有序各向同性晶面角守恒，
各向异性,
有确定熔点。
再降低物质的固、液、气态比较石英晶体的晶面角守恒
ab,74141
00120
ca,80113
bc:
a
b c
a aa a
b b b bc c c c
固体物理,晶体有成熟理论，基础是“能带理论”
非晶体理论正迅速发展
(a) 石英晶体 (b) 石英玻璃非晶体：
晶格被破坏的固体；
被“冻结”的无序结构
——,过冷”液体复杂的多体问题 大量离子和电子彼此相互作用组成系统简化,分开考虑,离离 vvmm ee绝热近似 认为离子与电子不交换能量多电子问题二、量子力学处理晶体中电子问题的思路单电子问题简化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用势能函数举例,价电子在钠离子场中单个钠离子：
两个靠近的钠离子 多个钠离子 (一维 )
固定离子势场与其它电子平均场，总势能 U：
为周期性重复排列的势阱和势垒势能函数,克朗尼克 —潘纳模型
x
U
-d o c?
oU
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数重要结论,晶体中能级 —— 能带三,晶体的能带结构
电子云重叠,相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。
——电子共有化1）晶体中电子的状态
1,形成能带的原因
隧道效应,一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另一个原子，出现一批不受特定原子束缚的共有化电子。
外层电子共有化趋向比内层电子更显著。
E1
E2
E3
2) 泡利不相容原理由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是各原子中能量相同的能级分裂为 N个与原来能级接近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
个N
数量级概念：
晶格常数,d~10-10m,1cm3中点阵数,N~1023-1024
能带宽度：△ E,几个 eV，子能级间隔,10-23eV
2,能带特点
1） 能带由准连续的 N个子能级组成，能带之间用禁带分开，原子数 N变化时，能带宽度不变，密度变化。
解方程得出：
自由电子能量曲线为抛物线，在一些位置断开。
能带能带能带禁带禁带
N个子能级
2） 能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程度增加而减少。
3） 每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为：
2(2l+1)N
价电子所处的能带 —价带可为满带可为导带例,ns带 l=0,最多容纳 电子数为 2N
np带 l=1,最多容纳 电子数为 6N
能带被电子填满,满带能带未被电子填满,导带完全未被电子填充,空带 （激发态能级）
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K,无激发电子,原子所占据的最大能级叫做 费米能级,此时满能级与空能级的分界面 叫做 费米面 。FE
1927年提出，
1957年测量第一个费米面能级（铜），随后建立费米面编目，
60年代：集成电路（ IC）
70年代：大规模、超大规模集成电路（ VCIC）
集成度高速增长，目前布线密度接近纳米量级。
5） 不同能带有可能重叠，其间 禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构，
禁带中可能出现杂质能级。
导带中的电子运动可以形成电流电子运动,分布变化满带中的电子运动不产生电流电子运动,分布不变以,即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：0?l
▲ 四,导体，绝缘体，半导体的能带特征
1,导体的能带结构：
价带为导带 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠价带为导带，又与空带部分重叠例,Li
12 21 ss
例,Mg
2622 3221 spss
例,Na
1622 3221 spss
每个原子一个价电子（ 2s 态）
N个原子共有 N
个价电子
N个 Li 原子形成固体时,2s 能级分裂为能带，有 N
个子能级。可容纳 2N个电子，成为未满带：导带每个原子二个价电子,3s
能带形成满带,但与空带重叠，形成较宽导带。
每个原子一个价电子，
3s能带形成导带,又与空带重叠，形成更宽导带。
2.绝缘体的能带结构当外来激发使较多电子越过禁带进入空带时，绝缘体击穿，原空带成为导带。
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般,从满带到空带激发微不足道，可以认为不存在导带。
3.半导体价带为满带，与空带间的禁带较窄。
1）本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空带成为导带，满带中留下空穴。
导载流子,,电子 —空穴”对 (数量较少，导电能力弱 )
外场作用下导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电原满带中电子填补空穴满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电导带
E?
电子 —— 多数载流子杂质能级 —— 施主能级以电子导电为主杂质能级接近导带底，其上电子容易受激发进入空带，
使其电子浓度增大。
导带价带（满）
杂质能级施主
2)N型半导体（在四价元素中掺入五价元素）
）锗（
）硅（
例如：
Ge
Si
）砷（
）磷（
例如：
sA
P
空穴 ——多数载流子杂质能级 ——受主能级以空穴导电为主杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入杂质能级，使满带中空穴浓度增大。
导带价带（满）
杂质能级受主
3) P型半导体（在四价元素中掺入三价元素）
）镓（
）硼（
例如：
Ga
B
空穴比较本征半导体
N型半导体
P型半导体导带价带（满）
杂质能级受主导带价带（满）
杂质能级施主导带
E?
能带结构 载流子
“电子 —空穴”对
(数量较少，导电能力弱 )
空穴 ——多数载流子杂质能级 ——受主能级以空穴导电为主电子 ——多数载流子杂质能级 ——施主能级以电子导电为主
4） P-N结及其单向导电性动态平衡，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲,电势高处，电势能低。
P-N结的形成及其对扩散的阻挡作用
- +
E?
eV
0
V0
P N
U
E
扩散运动 电子 N P
空穴 P N
阻挡层电场方向 N P
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
P-N结的单向导电性
P,-
N,+
阻挡层加强，势垒升高少数载流子导电N
- + N
P
P
P,+
N,-
阻挡层减弱，势垒降低多数载流子导电P
- +p N
N
P-N 结的 V－ I 特性由于热激发,半导体的载流子显著增加，杂质半导体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
热敏电阻,半导体的电阻随温度的升高而指数下降体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
介绍,半导体的其它特性和应用温差电现象（塞贝克效应）：
两种不同导体组成闭合回路时，如果两结点温度不同，
回路中将产生电动势（温差电动势）
T
塞贝克系数，半导体的温差电现象较显著。
温差电偶,广泛应用于温度测量和控制工作温度,c2800c95.268
集成电路：
P－ N结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管等各种晶体管，可以在半导体基底上制成集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路。（每平方厘米上百万个元件，布线间距接近纳米量级）
热端 冷端电子或空穴密度 小 大热运动速率 大 小
N型 正 负
P型 负 正
P型
N型
T1
热端金属
T0
冷端负载电流电流
+
-
半导体激光器：
半导体激光器也叫激光二极管,体积小，极易与光纤结合，成本低，制造方便，所需电压低 (只需 1.5V)，功率可达 102 mW，是光纤通讯中的重要光源。在创建现代 信息高速公路 的工作中起着极重要的作用,
第五篇,量子现象和量子规律,习题课
破除思维定势，建立微观模型，习惯抽象思维方式；
如果对一些结论不能理解，先暂时接受。
可通过阅读课外书籍，深入学习、逐渐理解微观世界的概念和规律。
一,学习方法建议：
二,各章要点第 16章 场的量子性
1.了解黑体辐射实验规律及普朗克能量子假设
▲ 2.理解爱因斯坦光子论的基本思想，光与物质相互作用的三种方式，掌握关于光电效应，康普顿效应的计算。
光子：
hmcp
c
h
c
EmNhIhchE,,,
2
3.掌握氢原子光谱规律及有关计算
里德伯公式,)11(1~
22 nkR
,3,2,1?k,2,1 kkn17 m10097.1R
玻尔能级及跃迁公式：
,2,1eV6.13121 nEnEE
hchEEE
kn
a
o
eUmv
hA
Amvh
2
m
2
m
2
1
2
1
o
0
2
0
A024.0
2
s i n2
cm
h
c
c
能量守恒，动量守恒光电效应 康普顿 效应
爱因斯坦辐射理论：自发辐射，受激吸收，受激辐射
4,了解激光原理和特点
激光工作原理，激光特点
激光器组成，各部分功能第 17章 量子力学基本原理
▲ 1,物质波假说，德布罗意公式及其实验验证
hmcEhmvp 2
▲ 2,不确定关系的物理意义及有关计算
z
y
x
pz
py
px tE
▲ 3,波函数的统计解释,归一化条件和标准条件
*2|| ΨΨΨ
概率密度,1d|| 2 VΨ
单值、有限、连续，Ψ概率幅：
4.互补原理微观粒子的“波动性”和“粒子性”是完整描述微观世界规律时不可缺少的、相互补充的概念。
5.薛定谔方程,一维无限深势阱的波函数及相关计算
一维定态薛定谔方程,0)(2
d
d
22
2 UEm
x?
▲ 一维无限深势阱,
)0(),2,1(s i n2)( axna xnax
隧道效应解为驻波形式第 18章 量子力学应用简介
描述电子状态的四个量子数及其物理意义
▲ 1,原子结构的量子理论
泡利不相容原理和能量最小原理
每壳层、支壳层最多容纳的电子数
22n )12(2?l
晶体能带结构；满带、导带、空带、价带概念? 导体、绝缘体、半导体能带特点；
N型,P型半导体； P-N结的单向导电性
▲ 2,导体、绝缘体、半导体能带结构特点重要实验夫兰克 —赫兹实验,证明原子能级的存在戴维孙 —革末实验,证明电子的波动性斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋练习 1,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其物质波波长 与速度 有如下关系? v
2222 D11C
1BA
vc
cv
vv
答案,C
22
22
22
0
111
1 cvv
cv
cvvm
h
mv
h
p
h
解 2：
解 1：
vmv
h
p
h 1 答案,B
√
练习 2,设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中确定粒子动量精确度最高的是哪一个？
x
x
x
x
由不确定关系：
xx p,xpx ;?
答案,A
练习 3,将波函数在空间各点的振幅同时增大为 3倍，
则粒子在空间的分布概率将
1）增大为 9 倍,2）增大为 6倍，
3）增大为 3倍,4）不变。
答案,4)
练习 4,称为电子的康普顿波长,其中为电子静质量,c 为光速,h 为普朗克恒量）。当电子的动能等于它静止能量时，它的德布罗意波长
=________?
c?
cmhc 0 0m
33
解：
20202k cmcmmcE由题意得
0202 22 mmcmmcE
即
cv 23?
ccm
h
cm
h
mv
h
3
3
3
3
2 02 30
根据相对论公式
0mm
21
1
2
c
v
得
sJ10634.6 34h
kg1011.9 31em
已知：
练习 5.
戴维孙 —革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶体上，在掠射角 时，测得电子流强度出现第二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体的晶格常数。
20
C10601 19,e?
m eUp
eU
m
p
E
2
2
2
k
解,先求电子动量由德布罗意公式：
m104952 11,m e Uhph?
由布喇开公式：
2s i n2 kd
nm1 6 10s i n2,kd
得晶格常数：
练习 6,计算宽度为 b 的一维无限深势阱中的粒子处于第二激发态时
（ 1）概率密度最大值？
（ 2）概率密度最大的位置？
x
u
b0
解：
建立如图坐标系，可知波函数为
.,,,,,3,2,1s i n2)( nb xnbxn
第二激发态对应 n=3,由此得到：
xbbp * 3s i n2 233 则 bp 2max?
xbbp 3s i n2 2*33
概率密度最大值对应于
13s i n 2?xb?
即
32
12
2
123 bkx;k
b
x
对应概率密度最大位置当
2,1,00 kbx?
6
5,
2,6
bbbx? 处即
o b
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
2x?
x
本章共 3讲第五篇 量子现象和量子规律第 18章 量子力学应用简介
§ 18.2 固体能带理论基础一,物态物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压强等外界条件下聚集而成的稳定结构状态。
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
P
T
物态 条 件 结 构 性 质 对称性气态液态固态热运动动能 >>
分子相互作用势能完全无序无外场时自动趋向稳定、均匀的平衡态，无一定形状、
体积。
最高热运动动能 ~
分子相互作用势能
,近程有序”
（暂时、局部）
流动性，有一定体积，无一定形状。 降低热运动动能 <<
分子间相互作用势能非晶体：
短程有序晶体：
长程有序各向同性晶面角守恒，
各向异性,
有确定熔点。
再降低物质的固、液、气态比较石英晶体的晶面角守恒
ab,74141
00120
ca,80113
bc:
a
b c
a aa a
b b b bc c c c
固体物理,晶体有成熟理论，基础是“能带理论”
非晶体理论正迅速发展
(a) 石英晶体 (b) 石英玻璃非晶体：
晶格被破坏的固体；
被“冻结”的无序结构
——,过冷”液体复杂的多体问题 大量离子和电子彼此相互作用组成系统简化,分开考虑,离离 vvmm ee绝热近似 认为离子与电子不交换能量多电子问题二、量子力学处理晶体中电子问题的思路单电子问题简化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用势能函数举例,价电子在钠离子场中单个钠离子：
两个靠近的钠离子 多个钠离子 (一维 )
固定离子势场与其它电子平均场，总势能 U：
为周期性重复排列的势阱和势垒势能函数,克朗尼克 —潘纳模型
x
U
-d o c?
oU
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数重要结论,晶体中能级 —— 能带三,晶体的能带结构
电子云重叠,相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。
——电子共有化1）晶体中电子的状态
1,形成能带的原因
隧道效应,一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另一个原子，出现一批不受特定原子束缚的共有化电子。
外层电子共有化趋向比内层电子更显著。
E1
E2
E3
2) 泡利不相容原理由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是各原子中能量相同的能级分裂为 N个与原来能级接近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
个N
数量级概念：
晶格常数,d~10-10m,1cm3中点阵数,N~1023-1024
能带宽度：△ E,几个 eV，子能级间隔,10-23eV
2,能带特点
1） 能带由准连续的 N个子能级组成，能带之间用禁带分开，原子数 N变化时，能带宽度不变，密度变化。
解方程得出：
自由电子能量曲线为抛物线，在一些位置断开。
能带能带能带禁带禁带
N个子能级
2） 能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程度增加而减少。
3） 每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为：
2(2l+1)N
价电子所处的能带 —价带可为满带可为导带例,ns带 l=0,最多容纳 电子数为 2N
np带 l=1,最多容纳 电子数为 6N
能带被电子填满,满带能带未被电子填满,导带完全未被电子填充,空带 （激发态能级）
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K,无激发电子,原子所占据的最大能级叫做 费米能级,此时满能级与空能级的分界面 叫做 费米面 。FE
1927年提出，
1957年测量第一个费米面能级（铜），随后建立费米面编目，
60年代：集成电路（ IC）
70年代：大规模、超大规模集成电路（ VCIC）
集成度高速增长，目前布线密度接近纳米量级。
5） 不同能带有可能重叠，其间 禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构，
禁带中可能出现杂质能级。
导带中的电子运动可以形成电流电子运动,分布变化满带中的电子运动不产生电流电子运动,分布不变以,即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：0?l
▲ 四,导体，绝缘体，半导体的能带特征
1,导体的能带结构：
价带为导带 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠价带为导带，又与空带部分重叠例,Li
12 21 ss
例,Mg
2622 3221 spss
例,Na
1622 3221 spss
每个原子一个价电子（ 2s 态）
N个原子共有 N
个价电子
N个 Li 原子形成固体时,2s 能级分裂为能带，有 N
个子能级。可容纳 2N个电子，成为未满带：导带每个原子二个价电子,3s
能带形成满带,但与空带重叠，形成较宽导带。
每个原子一个价电子，
3s能带形成导带,又与空带重叠，形成更宽导带。
2.绝缘体的能带结构当外来激发使较多电子越过禁带进入空带时，绝缘体击穿，原空带成为导带。
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般,从满带到空带激发微不足道，可以认为不存在导带。
3.半导体价带为满带，与空带间的禁带较窄。
1）本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空带成为导带，满带中留下空穴。
导载流子,,电子 —空穴”对 (数量较少，导电能力弱 )
外场作用下导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电原满带中电子填补空穴满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电导带
E?
电子 —— 多数载流子杂质能级 —— 施主能级以电子导电为主杂质能级接近导带底，其上电子容易受激发进入空带，
使其电子浓度增大。
导带价带（满）
杂质能级施主
2)N型半导体（在四价元素中掺入五价元素）
）锗（
）硅（
例如：
Ge
Si
）砷（
）磷（
例如：
sA
P
空穴 ——多数载流子杂质能级 ——受主能级以空穴导电为主杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入杂质能级，使满带中空穴浓度增大。
导带价带（满）
杂质能级受主
3) P型半导体（在四价元素中掺入三价元素）
）镓（
）硼（
例如：
Ga
B
空穴比较本征半导体
N型半导体
P型半导体导带价带（满）
杂质能级受主导带价带（满）
杂质能级施主导带
E?
能带结构 载流子
“电子 —空穴”对
(数量较少，导电能力弱 )
空穴 ——多数载流子杂质能级 ——受主能级以空穴导电为主电子 ——多数载流子杂质能级 ——施主能级以电子导电为主
4） P-N结及其单向导电性动态平衡，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲,电势高处，电势能低。
P-N结的形成及其对扩散的阻挡作用
- +
E?
eV
0
V0
P N
U
E
扩散运动 电子 N P
空穴 P N
阻挡层电场方向 N P
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
P-N结的单向导电性
P,-
N,+
阻挡层加强，势垒升高少数载流子导电N
- + N
P
P
P,+
N,-
阻挡层减弱，势垒降低多数载流子导电P
- +p N
N
P-N 结的 V－ I 特性由于热激发,半导体的载流子显著增加，杂质半导体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
热敏电阻,半导体的电阻随温度的升高而指数下降体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
介绍,半导体的其它特性和应用温差电现象（塞贝克效应）：
两种不同导体组成闭合回路时，如果两结点温度不同，
回路中将产生电动势（温差电动势）
T
塞贝克系数，半导体的温差电现象较显著。
温差电偶,广泛应用于温度测量和控制工作温度,c2800c95.268
集成电路：
P－ N结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管等各种晶体管，可以在半导体基底上制成集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路。（每平方厘米上百万个元件，布线间距接近纳米量级）
热端 冷端电子或空穴密度 小 大热运动速率 大 小
N型 正 负
P型 负 正
P型
N型
T1
热端金属
T0
冷端负载电流电流
+
-
半导体激光器：
半导体激光器也叫激光二极管,体积小，极易与光纤结合，成本低，制造方便，所需电压低 (只需 1.5V)，功率可达 102 mW，是光纤通讯中的重要光源。在创建现代 信息高速公路 的工作中起着极重要的作用,
第五篇,量子现象和量子规律,习题课
破除思维定势，建立微观模型，习惯抽象思维方式；
如果对一些结论不能理解，先暂时接受。
可通过阅读课外书籍，深入学习、逐渐理解微观世界的概念和规律。
一,学习方法建议：
二,各章要点第 16章 场的量子性
1.了解黑体辐射实验规律及普朗克能量子假设
▲ 2.理解爱因斯坦光子论的基本思想，光与物质相互作用的三种方式，掌握关于光电效应，康普顿效应的计算。
光子：
hmcp
c
h
c
EmNhIhchE,,,
2
3.掌握氢原子光谱规律及有关计算
里德伯公式,)11(1~
22 nkR
,3,2,1?k,2,1 kkn17 m10097.1R
玻尔能级及跃迁公式：
,2,1eV6.13121 nEnEE
hchEEE
kn
a
o
eUmv
hA
Amvh
2
m
2
m
2
1
2
1
o
0
2
0
A024.0
2
s i n2
cm
h
c
c
能量守恒，动量守恒光电效应 康普顿 效应
爱因斯坦辐射理论：自发辐射，受激吸收，受激辐射
4,了解激光原理和特点
激光工作原理，激光特点
激光器组成，各部分功能第 17章 量子力学基本原理
▲ 1,物质波假说，德布罗意公式及其实验验证
hmcEhmvp 2
▲ 2,不确定关系的物理意义及有关计算
z
y
x
pz
py
px tE
▲ 3,波函数的统计解释,归一化条件和标准条件
*2|| ΨΨΨ
概率密度,1d|| 2 VΨ
单值、有限、连续，Ψ概率幅：
4.互补原理微观粒子的“波动性”和“粒子性”是完整描述微观世界规律时不可缺少的、相互补充的概念。
5.薛定谔方程,一维无限深势阱的波函数及相关计算
一维定态薛定谔方程,0)(2
d
d
22
2 UEm
x?
▲ 一维无限深势阱,
)0(),2,1(s i n2)( axna xnax
隧道效应解为驻波形式第 18章 量子力学应用简介
描述电子状态的四个量子数及其物理意义
▲ 1,原子结构的量子理论
泡利不相容原理和能量最小原理
每壳层、支壳层最多容纳的电子数
22n )12(2?l
晶体能带结构；满带、导带、空带、价带概念? 导体、绝缘体、半导体能带特点；
N型,P型半导体； P-N结的单向导电性
▲ 2,导体、绝缘体、半导体能带结构特点重要实验夫兰克 —赫兹实验,证明原子能级的存在戴维孙 —革末实验,证明电子的波动性斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋练习 1,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其物质波波长 与速度 有如下关系? v
2222 D11C
1BA
vc
cv
vv
答案,C
22
22
22
0
111
1 cvv
cv
cvvm
h
mv
h
p
h
解 2：
解 1：
vmv
h
p
h 1 答案,B
√
练习 2,设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中确定粒子动量精确度最高的是哪一个？
x
x
x
x
由不确定关系：
xx p,xpx ;?
答案,A
练习 3,将波函数在空间各点的振幅同时增大为 3倍，
则粒子在空间的分布概率将
1）增大为 9 倍,2）增大为 6倍，
3）增大为 3倍,4）不变。
答案,4)
练习 4,称为电子的康普顿波长,其中为电子静质量,c 为光速,h 为普朗克恒量）。当电子的动能等于它静止能量时，它的德布罗意波长
=________?
c?
cmhc 0 0m
33
解：
20202k cmcmmcE由题意得
0202 22 mmcmmcE
即
cv 23?
ccm
h
cm
h
mv
h
3
3
3
3
2 02 30
根据相对论公式
0mm
21
1
2
c
v
得
sJ10634.6 34h
kg1011.9 31em
已知：
练习 5.
戴维孙 —革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶体上，在掠射角 时，测得电子流强度出现第二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体的晶格常数。
20
C10601 19,e?
m eUp
eU
m
p
E
2
2
2
k
解,先求电子动量由德布罗意公式：
m104952 11,m e Uhph?
由布喇开公式：
2s i n2 kd
nm1 6 10s i n2,kd
得晶格常数：
练习 6,计算宽度为 b 的一维无限深势阱中的粒子处于第二激发态时
（ 1）概率密度最大值？
（ 2）概率密度最大的位置？
x
u
b0
解：
建立如图坐标系，可知波函数为
.,,,,,3,2,1s i n2)( nb xnbxn
第二激发态对应 n=3,由此得到：
xbbp * 3s i n2 233 则 bp 2max?
xbbp 3s i n2 2*33
概率密度最大值对应于
13s i n 2?xb?
即
32
12
2
123 bkx;k
b
x
对应概率密度最大位置当
2,1,00 kbx?
6
5,
2,6
bbbx? 处即
o b
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
2x?
x
