跳转到第一页电工技术主编 李中发制作 李中发
2005年 1月跳转到第一页
理解正弦交流电的幅值与有效值、频率与周期、初相与相位差等特征量
掌握正弦交流电的相量表示法
掌握电路 KCL,KVL和元件伏安关系的相量形式，理解阻抗的概念
掌握用相量图和相量关系式分析和计算简单正弦交流电路的方法
掌握正弦交流电路的有功功率、无功功率、
视在功率、功率因数的含义和计算
了解正弦交流电路的瞬时功率和提高功率因数的方法及意义
了解正弦交流电路的频率特性、串联谐振和并联谐振的条件与特征学习要点第 3章 单相正弦电路分析跳转到第一页第 3章 单相正弦电路分析
3.1 正弦交流电的基本概念
3.2 正弦交流电的相量表示法
3.3 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
3.4 简单正弦交流电路的分析
3.5 正弦电路的功率
3.6 交流电路的频率特性跳转到第一页
3.1 正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
跳转到第一页以正弦电流为例
)s i n ( im tIi
振幅 角频率振幅,角频率 和 初相 称为正弦量的的三要素。
相位 初相角,简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形
3.1.1 正弦量的三要素跳转到第一页角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数周期与频率的关系：
T
f
1
跳转到第一页
3.1.2 相位差相位,正弦量表达式中的角度初相,t=0时的相位相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
iuiu tt )()(
相位差为：
跳转到第一页
0,u 与 i 同相。
0,u 超前 i,或 i 滞后 u 。
,u 与 i 反相。
2
,u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交跳转到第一页
3.1.3 有效值周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的时间 T内,两个电阻消耗的能量相等,则称该直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有：
周期电流的有效值为：
T dti
T
I 0 2
1
T R d tiRTI 0 22
跳转到第一页
)s i n ()( im tIti
对于正弦电流,因
I
I
dttII
m
m
T
imT
707.0
2
)(s i n
0
221
所以 正弦电流的有效值 为：
同理,正弦电压的有效值 为：
m
m UUU 7 0 7.0
2
跳转到第一页
3.2.1 复数及其运算相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数 A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度 a称为复数 A的 模,模总是取正值。
该有向线段与实轴正方向的夹角 θ称为复数 A的 辐角 。 O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
3.2 正弦交流电的相量表示法跳转到第一页根据以上关系式及欧拉公式复数 A的实部 a1及虚部 a2与模 a及辐角 θ的关系为：
s in1 aac o s2 aa?
2
2
2
1 aaa
1
2a rc t g
a
a O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
aaejaajaaA js i nc os21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型 4种形式。
s i nc os je j
跳转到第一页
121 ajaaA
221 bjbbB
复数的四则运算：
设两复数为：
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算：
)()( 2211 bajbaBA
(3)乘除运算：
)( 21)( 21
2
1
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ababebeaeBA jjj
跳转到第一页将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为：
im
j
mm IeII i?
并称其为相量。
3.2.2 正弦量的相量表示法跳转到第一页
I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi imm II
)s i n ( um tUu umm UU
)s i n(2 itI
iII
)s i n(2 utU
uUU
跳转到第一页有效值相量和振幅相量的关系：
II m 2?
UU m 2?
跳转到第一页规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其相量为 。
1I? 2I?
21 II
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
I?
dt
di Ij
3.3 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
3.3.1 相量运算规则规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II
跳转到第一页
i
i 1 i 2
例：
3196.53061 jI
)30s i n(261 ti?
)60s i n(282 ti?
求 i=i1+i2
解：
9 2 8.646082 jI
A1.2310928.3296.9
)928.64()3196.5(
21
j
jj
III
A)1.23s i n (210 ti?
相量图：
30 °
23.1 °
60 °
1I
2I
I
跳转到第一页
3.3.2 元件伏安关系的相量形式在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
跳转到第一页
1、电阻元件电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有：
RIU?
iu
IRU
R
θ u = θ i
i
+ u －
(a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
将 uUU,iII 代入，得：
iu RIU
跳转到第一页
2、电感元件电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
diLu?
IjXILjU L
将 uUU,iII 代入，得：
)90( iiu LILIjU
IXLIU L
90iu
感抗,XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
U?
+ u －
θ
u
(b) 相量图跳转到第一页
3、电容元件
CUI
90ui
IjXICjU C1
或容抗,XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
U
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
duCi?
UCjI
将 uUU,iII 代入上式，得：
)90( uui CUCUjI
跳转到第一页
0 I?KCL：
0 U?KVL：
3.3.3 KCL,KVL的相量形式
R L
+
u
－
A
A 1 A 2
2I
U?
－ 45 °
1I
I?
例：图示电路，电流表 A1,A2的读数均为 10A,求电流表 A的读数。
21 III
解,由 KCL有作相量图，由相量图得：
A1.14
210
1010
22
2
2
2
1
III
跳转到第一页
452504525.0100R IRU
452504525.0100CC jIjXU
V)451 00s i n (1 00
V)451 00s i n (1 00
A)451 00s i n (
C
R
tu
tu
ti
RU
U?
－ 45 °
45 °
CU
I?
+
u s
－
R
i
C
+
u C
－
+
u R
－
例：图示 RC串联电路,R=100Ω,C=100μF，
us=100 sin100tV,求 i,uR和 uC,并画出相量图。2
解,V0100sU?
10010100100 11 6C CX?
CRs UUU
IjXU
IRU
CC
R
IjXRIjXIRUUU )( CCCRs
A4525.0452100 0100100100 0100
C
jjXR UI s
跳转到第一页
3.4 简单正弦电路的分析将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。
跳转到第一页
3.4.1 阻抗
1．阻抗的定义定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即：
m
m
I
UZ
I
UZ
Z
+
U?
－
无源二端网络
+
U?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路或跳转到第一页
mm IZU
IZU
或称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗：
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
1
CC
LL
R
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型将所有元件以相量形式表示：
跳转到第一页
2．阻抗的性质
zZjXRZ ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ
R
X
z a r c t g
zZR?c o s||? zZX?s in||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
m
m
I
U
I
UZ|| iuz
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性电压滞后电流，容性电压电流同相，阻性跳转到第一页
CjXC
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i,相量U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示：
3.4.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
(a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
－
+
L
U
－
+
R
U
－
－ CU
+
R
jX
L
－ jX
C
I
跳转到第一页
jXRXXjRZZZZ )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjRUUUU )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
－
－ CU
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU
由欧姆定律：
由 KVL：
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g
跳转到第一页
LU
CU
RU
U?
I?
CU
LU
CU
U
RU
I?
LU
LU
CU
RU
U? I
C
U?
(a ) X > 0 (b ) X < 0 (c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
1
时,X > 0,0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
1
时,X < 0,0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
1
时,X = 0,0?z?,电路呈电阻性。
跳转到第一页例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36LLX?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
100 0 1.010
11
66CCX?
kΩ
4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
跳转到第一页
V025mU?
mA451
4525
025
Z
UI m
m
V13514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
)4510s i n (
6
ti ｍ A
)4510s i n (5
6
tu
R
V
)4510s i n (6
6
tu
L V
)13510s i n (
6
tu
R V
V10s i n25 6 tu?由,得电压相量为：
LU
U?
RU
I?
CU
跳转到第一页
k4.6012.108.85
)
10001.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为：
0?z?,电路呈容性。
跳转到第一页
3.4.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
(a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
LI
CI
R
UI
R LL jX
UI
C
C jX
UI
)]11(1[
CL XX
jRUI
uUU
若已知,便可求出各个电流相量。
跳转到第一页例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
5.2
104.010
11
66C CX?
510510 66L LX?
解：
V010U?
设跳转到第一页
A25 010R RUI
A2
5
010
L
L jjjX
UI
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI?
A452222422CLR jjjIIII
A)4510s i n (4 6 ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
跳转到第一页
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
－
+
－
1U
2U
21 ZZZ
21
21
ZZ
ZZZ
UZZ ZU
21
1
1
UZZ ZU
21
2
2
I
ZZ
ZI
21
2
1
IZZ ZI
21
1
2
1I
2I
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联
3.4.4 阻抗的串联与并联跳转到第一页
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
+
－
+
－
1U
2U
例,图 示 电 路,)916.6(1 jZ Ω,
)45.2(2 jZ Ω, 30100U? V,求总电流
I? 及各阻抗的电压 1U? 和 2U?,并画出相量图。
3010566.8
45.2916.621
j
jjZZZ
解：
A0103010 301 0 0 ZUI
V6.551 0 90106.559.10
010)916.6(11
jIZU
V582.470105872.4
010)45.2(22
jIZU
1
U?
U?
2
U?
I?
－ 58 °
30 °
55,6 °
跳转到第一页例,图 示 电 路,)11(1 jZ Ω,
)43(2 jZ Ω, 010U? V,求总电流 I?
及各阻抗的电流 1I? 和 2I?,并画出相量图。1I? 2I?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2解：
8.282
9.365
1.825
34
17
4311
)43)(11(
21
21
j
j
jj
jj
ZZ
ZZ
Z
A8.28258.282 010 ZUI
A45258.2825
9.365
1.535
8.2825
4311
43
21
2
1
jj
j
I
ZZ
Z
I
A1.5328.2825
9.365
452
8.2825
4311
11
21
1
2
jj
j
I
ZZ
Z
I
1
I?
U?
2
I?
I?
－ 53.1 °
28.8 °
45 °
跳转到第一页
3.5 正弦电路的功率
3.5.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
tUu
tIi
)]2c os ([c os)s i n(2s i n2 tUItUtIuip
c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT
-
+ Nu i设
iu
，则：
1,瞬时 功率
2．平均功率（有功功率）
跳转到第一页对电阻元件 R,0,UIP? 。
对电感元件 L, 90?,0?P 。
对电容元件 C, 90?,0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
c o sUIP? c o s? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均功率。
跳转到第一页
3．无功功率
s i nUIQ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R,0,0?Q 。
对电感元件 L, 90?,UIQ? 。
对电容元件 C, 90?,UIQ 。
4．视在功率
UIS? 单位为伏安（ VA）
222 QPS
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系：
表示用电设备的容量。
跳转到第一页例：图示电路。已知 R=2Ω,L=1H,C=0.25F,U=10 sin2tV。
求电路的有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S和功率因数 λ
2
+
u
－
i
i 1 i
2
R
L
C
解,V010U?
212L LX?
225.02 11C CX?
452222
222
)2)(22())((
CL
CL
j
jj
jj
jXjXR
jXjXR
Z
A4525.2
4522
010
Z
UI
7 0 7.0)45c o s (c o s z
W25707.025.210c os zUIP
V a r25
s in z
UIQ
VA225?
UIS
跳转到第一页
1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容 。
3.5.2 功率因数的提高
)t a n( t a n
2 2122
C
fU
P
U
QC
+
U?
－ 1
I?
CI
电动机
R U?
I?
L
I
I
CI
I?
C
CI
1I
跳转到第一页例,一台功率为 11kW的感应电动机,接在 220 V
,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 100A。
（ 1） 求电动机的功率因数；
（ 2） 若要将功率因数提高到 0.9,应在电动机两端并联一个多大的电容器？
（ 3） 计算并联电容器后的电流值；
（ 4） 若再将功率因数提高到 1,应再在电动机两端并联一个多大的电容器？
解,(1)
605.0a r c c o s1?
5.01 002 20 1011c o s
3
L
1
UI
P?
跳转到第一页
（ 2） 8.259.0a r c c o s2?
F900)8.25t a n60(t a n2205014.32 1011)t a n(t a n2 2
3
212
fU
PC
（ 3） A6.55
9.0220
1011
c os
3
2
U PI
（ 4） 01a r c c o s3?
F350)0t a n8.25(t a n2205014.32 1011)t a n(t a n2 2
3
322
fU
PC
5012 20 1011c o s
3
3
U PI
跳转到第一页
3.6 交流电路的频率特性
3.6.1 RC电路的频率特性交流电路中，感抗和容抗都与频率有关，当电源电压（激励）的频率改变时，即使电压的幅值不变，电路中各部分电流和电压（响应）的大小和相位也会随着改变。响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。
R
C
+
u
1
－
+
u
2
－
1,RC低通滤波电路
)()(
)a r c t a n (
)(1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
T
RC
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
跳转到第一页幅频特性：
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
相频特性：
)a r c t a n ()( 12 RC
截止角频率：
RC
1
0
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0,7 0 7
)(
0 ω
－ 45 °
－ 90 °
通频带跳转到第一页
2,RC高通滤波电路
R
C
+
u 1
－
+
u 2
－
)()(
1
a rc t a n
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
T
RC
RC
RC
j
Cj
R
R
U
U
jT
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.7 07
)(
0 ω
45 °
90 ° 通频带跳转到第一页由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，
当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作状态称为 谐振 。
1、串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
01CL CLXX 0a r c t g CL R XX?
当 时，
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
3.6.2 谐振电路跳转到第一页品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0
特性阻抗,CLCL
0
0
1
谐振频率,LCf?2 1o?谐振角频率,LC
1
o
电路串联谐振时的主要特征：
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时,电流具有最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相,电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
跳转到第一页
2、并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ1,LjZ C?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
1
1
)(
C1
C1
∵ RL,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
跳转到第一页谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
L
C
谐振角频率为：
LC
1
0
谐振频率为：
LC
f
2
1
0
在
RL
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，
0
，电压与电流同相，阻抗为
RC
L
Z?,阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。
2005年 1月跳转到第一页
理解正弦交流电的幅值与有效值、频率与周期、初相与相位差等特征量
掌握正弦交流电的相量表示法
掌握电路 KCL,KVL和元件伏安关系的相量形式，理解阻抗的概念
掌握用相量图和相量关系式分析和计算简单正弦交流电路的方法
掌握正弦交流电路的有功功率、无功功率、
视在功率、功率因数的含义和计算
了解正弦交流电路的瞬时功率和提高功率因数的方法及意义
了解正弦交流电路的频率特性、串联谐振和并联谐振的条件与特征学习要点第 3章 单相正弦电路分析跳转到第一页第 3章 单相正弦电路分析
3.1 正弦交流电的基本概念
3.2 正弦交流电的相量表示法
3.3 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
3.4 简单正弦交流电路的分析
3.5 正弦电路的功率
3.6 交流电路的频率特性跳转到第一页
3.1 正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
跳转到第一页以正弦电流为例
)s i n ( im tIi
振幅 角频率振幅,角频率 和 初相 称为正弦量的的三要素。
相位 初相角,简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形
3.1.1 正弦量的三要素跳转到第一页角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数周期与频率的关系：
T
f
1
跳转到第一页
3.1.2 相位差相位,正弦量表达式中的角度初相,t=0时的相位相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
iuiu tt )()(
相位差为：
跳转到第一页
0,u 与 i 同相。
0,u 超前 i,或 i 滞后 u 。
,u 与 i 反相。
2
,u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交跳转到第一页
3.1.3 有效值周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的时间 T内,两个电阻消耗的能量相等,则称该直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有：
周期电流的有效值为：
T dti
T
I 0 2
1
T R d tiRTI 0 22
跳转到第一页
)s i n ()( im tIti
对于正弦电流,因
I
I
dttII
m
m
T
imT
707.0
2
)(s i n
0
221
所以 正弦电流的有效值 为：
同理,正弦电压的有效值 为：
m
m UUU 7 0 7.0
2
跳转到第一页
3.2.1 复数及其运算相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数 A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度 a称为复数 A的 模,模总是取正值。
该有向线段与实轴正方向的夹角 θ称为复数 A的 辐角 。 O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
3.2 正弦交流电的相量表示法跳转到第一页根据以上关系式及欧拉公式复数 A的实部 a1及虚部 a2与模 a及辐角 θ的关系为：
s in1 aac o s2 aa?
2
2
2
1 aaa
1
2a rc t g
a
a O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
aaejaajaaA js i nc os21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型 4种形式。
s i nc os je j
跳转到第一页
121 ajaaA
221 bjbbB
复数的四则运算：
设两复数为：
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算：
)()( 2211 bajbaBA
(3)乘除运算：
)( 21)( 21
2
1
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ababebeaeBA jjj
跳转到第一页将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为：
im
j
mm IeII i?
并称其为相量。
3.2.2 正弦量的相量表示法跳转到第一页
I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi imm II
)s i n ( um tUu umm UU
)s i n(2 itI
iII
)s i n(2 utU
uUU
跳转到第一页有效值相量和振幅相量的关系：
II m 2?
UU m 2?
跳转到第一页规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其相量为 。
1I? 2I?
21 II
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
I?
dt
di Ij
3.3 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
3.3.1 相量运算规则规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II
跳转到第一页
i
i 1 i 2
例：
3196.53061 jI
)30s i n(261 ti?
)60s i n(282 ti?
求 i=i1+i2
解：
9 2 8.646082 jI
A1.2310928.3296.9
)928.64()3196.5(
21
j
jj
III
A)1.23s i n (210 ti?
相量图：
30 °
23.1 °
60 °
1I
2I
I
跳转到第一页
3.3.2 元件伏安关系的相量形式在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
跳转到第一页
1、电阻元件电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有：
RIU?
iu
IRU
R
θ u = θ i
i
+ u －
(a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
将 uUU,iII 代入，得：
iu RIU
跳转到第一页
2、电感元件电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
diLu?
IjXILjU L
将 uUU,iII 代入，得：
)90( iiu LILIjU
IXLIU L
90iu
感抗,XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
U?
+ u －
θ
u
(b) 相量图跳转到第一页
3、电容元件
CUI
90ui
IjXICjU C1
或容抗,XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
U
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
duCi?
UCjI
将 uUU,iII 代入上式，得：
)90( uui CUCUjI
跳转到第一页
0 I?KCL：
0 U?KVL：
3.3.3 KCL,KVL的相量形式
R L
+
u
－
A
A 1 A 2
2I
U?
－ 45 °
1I
I?
例：图示电路，电流表 A1,A2的读数均为 10A,求电流表 A的读数。
21 III
解,由 KCL有作相量图，由相量图得：
A1.14
210
1010
22
2
2
2
1
III
跳转到第一页
452504525.0100R IRU
452504525.0100CC jIjXU
V)451 00s i n (1 00
V)451 00s i n (1 00
A)451 00s i n (
C
R
tu
tu
ti
RU
U?
－ 45 °
45 °
CU
I?
+
u s
－
R
i
C
+
u C
－
+
u R
－
例：图示 RC串联电路,R=100Ω,C=100μF，
us=100 sin100tV,求 i,uR和 uC,并画出相量图。2
解,V0100sU?
10010100100 11 6C CX?
CRs UUU
IjXU
IRU
CC
R
IjXRIjXIRUUU )( CCCRs
A4525.0452100 0100100100 0100
C
jjXR UI s
跳转到第一页
3.4 简单正弦电路的分析将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。
跳转到第一页
3.4.1 阻抗
1．阻抗的定义定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即：
m
m
I
UZ
I
UZ
Z
+
U?
－
无源二端网络
+
U?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路或跳转到第一页
mm IZU
IZU
或称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗：
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
1
CC
LL
R
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型将所有元件以相量形式表示：
跳转到第一页
2．阻抗的性质
zZjXRZ ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ
R
X
z a r c t g
zZR?c o s||? zZX?s in||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
m
m
I
U
I
UZ|| iuz
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性电压滞后电流，容性电压电流同相，阻性跳转到第一页
CjXC
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i,相量U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示：
3.4.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
(a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
－
+
L
U
－
+
R
U
－
－ CU
+
R
jX
L
－ jX
C
I
跳转到第一页
jXRXXjRZZZZ )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjRUUUU )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
－
－ CU
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU
由欧姆定律：
由 KVL：
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g
跳转到第一页
LU
CU
RU
U?
I?
CU
LU
CU
U
RU
I?
LU
LU
CU
RU
U? I
C
U?
(a ) X > 0 (b ) X < 0 (c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
1
时,X > 0,0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
1
时,X < 0,0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
1
时,X = 0,0?z?,电路呈电阻性。
跳转到第一页例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36LLX?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
100 0 1.010
11
66CCX?
kΩ
4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
跳转到第一页
V025mU?
mA451
4525
025
Z
UI m
m
V13514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
)4510s i n (
6
ti ｍ A
)4510s i n (5
6
tu
R
V
)4510s i n (6
6
tu
L V
)13510s i n (
6
tu
R V
V10s i n25 6 tu?由,得电压相量为：
LU
U?
RU
I?
CU
跳转到第一页
k4.6012.108.85
)
10001.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为：
0?z?,电路呈容性。
跳转到第一页
3.4.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
(a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
LI
CI
R
UI
R LL jX
UI
C
C jX
UI
)]11(1[
CL XX
jRUI
uUU
若已知,便可求出各个电流相量。
跳转到第一页例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
5.2
104.010
11
66C CX?
510510 66L LX?
解：
V010U?
设跳转到第一页
A25 010R RUI
A2
5
010
L
L jjjX
UI
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI?
A452222422CLR jjjIIII
A)4510s i n (4 6 ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
跳转到第一页
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
－
+
－
1U
2U
21 ZZZ
21
21
ZZ
ZZZ
UZZ ZU
21
1
1
UZZ ZU
21
2
2
I
ZZ
ZI
21
2
1
IZZ ZI
21
1
2
1I
2I
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联
3.4.4 阻抗的串联与并联跳转到第一页
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
+
－
+
－
1U
2U
例,图 示 电 路,)916.6(1 jZ Ω,
)45.2(2 jZ Ω, 30100U? V,求总电流
I? 及各阻抗的电压 1U? 和 2U?,并画出相量图。
3010566.8
45.2916.621
j
jjZZZ
解：
A0103010 301 0 0 ZUI
V6.551 0 90106.559.10
010)916.6(11
jIZU
V582.470105872.4
010)45.2(22
jIZU
1
U?
U?
2
U?
I?
－ 58 °
30 °
55,6 °
跳转到第一页例,图 示 电 路,)11(1 jZ Ω,
)43(2 jZ Ω, 010U? V,求总电流 I?
及各阻抗的电流 1I? 和 2I?,并画出相量图。1I? 2I?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2解：
8.282
9.365
1.825
34
17
4311
)43)(11(
21
21
j
j
jj
jj
ZZ
ZZ
Z
A8.28258.282 010 ZUI
A45258.2825
9.365
1.535
8.2825
4311
43
21
2
1
jj
j
I
ZZ
Z
I
A1.5328.2825
9.365
452
8.2825
4311
11
21
1
2
jj
j
I
ZZ
Z
I
1
I?
U?
2
I?
I?
－ 53.1 °
28.8 °
45 °
跳转到第一页
3.5 正弦电路的功率
3.5.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
tUu
tIi
)]2c os ([c os)s i n(2s i n2 tUItUtIuip
c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT
-
+ Nu i设
iu
，则：
1,瞬时 功率
2．平均功率（有功功率）
跳转到第一页对电阻元件 R,0,UIP? 。
对电感元件 L, 90?,0?P 。
对电容元件 C, 90?,0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
c o sUIP? c o s? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均功率。
跳转到第一页
3．无功功率
s i nUIQ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R,0,0?Q 。
对电感元件 L, 90?,UIQ? 。
对电容元件 C, 90?,UIQ 。
4．视在功率
UIS? 单位为伏安（ VA）
222 QPS
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系：
表示用电设备的容量。
跳转到第一页例：图示电路。已知 R=2Ω,L=1H,C=0.25F,U=10 sin2tV。
求电路的有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S和功率因数 λ
2
+
u
－
i
i 1 i
2
R
L
C
解,V010U?
212L LX?
225.02 11C CX?
452222
222
)2)(22())((
CL
CL
j
jj
jj
jXjXR
jXjXR
Z
A4525.2
4522
010
Z
UI
7 0 7.0)45c o s (c o s z
W25707.025.210c os zUIP
V a r25
s in z
UIQ
VA225?
UIS
跳转到第一页
1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容 。
3.5.2 功率因数的提高
)t a n( t a n
2 2122
C
fU
P
U
QC
+
U?
－ 1
I?
CI
电动机
R U?
I?
L
I
I
CI
I?
C
CI
1I
跳转到第一页例,一台功率为 11kW的感应电动机,接在 220 V
,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 100A。
（ 1） 求电动机的功率因数；
（ 2） 若要将功率因数提高到 0.9,应在电动机两端并联一个多大的电容器？
（ 3） 计算并联电容器后的电流值；
（ 4） 若再将功率因数提高到 1,应再在电动机两端并联一个多大的电容器？
解,(1)
605.0a r c c o s1?
5.01 002 20 1011c o s
3
L
1
UI
P?
跳转到第一页
（ 2） 8.259.0a r c c o s2?
F900)8.25t a n60(t a n2205014.32 1011)t a n(t a n2 2
3
212
fU
PC
（ 3） A6.55
9.0220
1011
c os
3
2
U PI
（ 4） 01a r c c o s3?
F350)0t a n8.25(t a n2205014.32 1011)t a n(t a n2 2
3
322
fU
PC
5012 20 1011c o s
3
3
U PI
跳转到第一页
3.6 交流电路的频率特性
3.6.1 RC电路的频率特性交流电路中，感抗和容抗都与频率有关，当电源电压（激励）的频率改变时，即使电压的幅值不变，电路中各部分电流和电压（响应）的大小和相位也会随着改变。响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。
R
C
+
u
1
－
+
u
2
－
1,RC低通滤波电路
)()(
)a r c t a n (
)(1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
T
RC
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
跳转到第一页幅频特性：
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
相频特性：
)a r c t a n ()( 12 RC
截止角频率：
RC
1
0
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0,7 0 7
)(
0 ω
－ 45 °
－ 90 °
通频带跳转到第一页
2,RC高通滤波电路
R
C
+
u 1
－
+
u 2
－
)()(
1
a rc t a n
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
T
RC
RC
RC
j
Cj
R
R
U
U
jT
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.7 07
)(
0 ω
45 °
90 ° 通频带跳转到第一页由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，
当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作状态称为 谐振 。
1、串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
01CL CLXX 0a r c t g CL R XX?
当 时，
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
3.6.2 谐振电路跳转到第一页品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0
特性阻抗,CLCL
0
0
1
谐振频率,LCf?2 1o?谐振角频率,LC
1
o
电路串联谐振时的主要特征：
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时,电流具有最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相,电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
跳转到第一页
2、并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ1,LjZ C?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
1
1
)(
C1
C1
∵ RL,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
跳转到第一页谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
L
C
谐振角频率为：
LC
1
0
谐振频率为：
LC
f
2
1
0
在
RL
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，
0
，电压与电流同相，阻抗为
RC
L
Z?,阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。
